第五章抽樣與參數(shù)估計(jì)國貿(mào)

11三月2024第五章抽樣與參數(shù)估計(jì)國貿(mào)第一節(jié)抽樣推斷的一般問題抽樣推斷的意義抽樣推斷是在抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)上，利用樣本的實(shí)際資料計(jì)算樣本指標(biāo)，并據(jù)以推算總體相應(yīng)數(shù)量特征的一種統(tǒng)計(jì)方法。抽樣推斷具有以下特點(diǎn)：抽樣推斷是由部分推算整體的一種認(rèn)識(shí)方法。抽樣推斷是建立在隨機(jī)取樣的基礎(chǔ)上。抽樣推斷是運(yùn)用概率估計(jì)的方法。抽樣推斷的誤差可以事先計(jì)算并加以控制。2抽樣推斷的內(nèi)容推斷的前提是我們對(duì)總體的數(shù)量特征不了解或了解很少，但是利用抽樣推斷的方法去解決這類問題，可以有兩種途徑，因此，抽樣推斷的內(nèi)容就有兩個(gè)方面，即參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。這兩方面的內(nèi)容雖然都是利用樣本觀察值所提供的信息，對(duì)總體做出估計(jì)或判斷，但它們所解決問題的著重點(diǎn)是不同的。3一、參數(shù)估計(jì)。由于我們不知道總體數(shù)量特征，可以這樣考慮即依據(jù)所獲得的樣本觀察資料，對(duì)所研究對(duì)象總體的水平、結(jié)構(gòu)、規(guī)模等數(shù)量特征進(jìn)行估計(jì)，這種推斷方法稱為總體參數(shù)估計(jì)。二、假設(shè)檢驗(yàn)。由于我們對(duì)總體的變化情況不了解，不妨先對(duì)總體的狀況作某種假設(shè)，然后在根據(jù)抽樣推斷的原理，根據(jù)樣本觀察對(duì)所作假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，來判斷這種假設(shè)的真?zhèn)?，以決定我們行動(dòng)的取舍，這種推斷方法稱為總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。4有關(guān)抽樣的基本概念一、總體和樣本?？傮w也稱全及總體，指所要認(rèn)識(shí)研究對(duì)象的全體。它是由所研究范圍內(nèi)具有某種共同性質(zhì)的全體單位所組成的集合體?？傮w的單位數(shù)通常是很大的，甚至是無限的，一般用N表示總體的單位數(shù)。樣本又稱子樣，它是從全及總體中隨機(jī)抽取出來的們作為代表這一總體的哪部分單位組成的集合體，樣本的單位數(shù)是有限的，相對(duì)值或標(biāo)志屬性決定的。一個(gè)全及指標(biāo)的指標(biāo)數(shù)值是確定的、唯一的，所以稱為參數(shù)。5二、總體參數(shù)何樣本統(tǒng)計(jì)量。對(duì)于總體中的數(shù)量標(biāo)志，常用的總體參數(shù)有總體平均數(shù)和總體方差，用和表示?？傮w參數(shù)樣本統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)成數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差6三、樣本容量和樣本個(gè)數(shù)樣本容量是指一個(gè)樣本包含的單位數(shù)。樣本個(gè)數(shù)又稱樣本可能數(shù)目，是指從一個(gè)總體中可能抽取多少樣本。和樣本容量以及抽樣方法有關(guān)。7四、重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣也稱置回抽樣，它是指每次抽取一個(gè)樣本登記后在放回總體中參加下一次抽取。也就是說每一個(gè)樣本單位都有被重復(fù)抽取的可能。從總體N個(gè)單位中，用重復(fù)抽樣的方法，隨機(jī)n個(gè)單位構(gòu)成一個(gè)樣本則共可抽取個(gè)樣本。8例如：總體有A、B、C、D四個(gè)單位，要從中以重復(fù)抽樣的方法抽取兩個(gè)單位構(gòu)成樣本，先從四個(gè)單位中取1個(gè)，有四種取法，結(jié)果登記后再放回，然后再從四個(gè)單位中取1個(gè)，也有四種取法，前后取兩個(gè)構(gòu)成樣本，全部可能抽取的樣本數(shù)目為4×4=16個(gè)。9不重復(fù)抽樣也稱置回抽樣，它是指每次抽取一個(gè)樣本登記后不放回總體中參加下一次抽取。也就是說每一個(gè)樣本單位只有一次被抽取的可能。從總體N個(gè)單位中，用不重復(fù)抽樣的方法，隨機(jī)n個(gè)單位構(gòu)成一個(gè)樣本則共可抽取N（N-1）（N-2）…（N-n+1）個(gè)樣本。10不重復(fù)抽樣P93考慮順序的不重復(fù)抽樣不考慮順序的不重復(fù)抽樣11例如：總體有A、B、C、D四個(gè)單位，要從中以不重復(fù)抽樣的方法抽取兩個(gè)單位構(gòu)成樣本，先從四個(gè)單位中取1個(gè)，有四種取法，然后再從三個(gè)單位中取1個(gè)，有3種取法，前后取兩個(gè)構(gòu)成樣本，全部可能抽取的樣本為4×3=12個(gè)。12第二節(jié)抽樣誤差（1）抽樣誤差①概念是指在遵守隨機(jī)原則的條件下，用抽樣總體指標(biāo)估計(jì)或推斷全及總體指標(biāo)所不可避免的誤差。②具體內(nèi)容③特點(diǎn)a.是抽樣調(diào)查所固有的，不可避免b.它是個(gè)隨機(jī)變量c.它是實(shí)際誤差（理論誤差），無法計(jì)算13（2）抽樣平均誤差（可以計(jì)算）①概念簡(jiǎn)稱平均誤差，是指所有可能組成的樣本的抽樣平均數(shù)或抽樣成數(shù)與總體平均數(shù)或總體成數(shù)的平均誤差。注意：抽樣誤差的平均數(shù)不是算術(shù)平均，而是標(biāo)準(zhǔn)差式的平均。②意義抽樣平均誤差越大，則表示樣本的代表性低抽樣平均誤差越小，則表示樣本的代表性高③計(jì)算14抽樣平均誤差分反映抽樣誤差一般水平的指標(biāo)。抽樣平均誤差是抽樣平均數(shù)或抽樣成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。抽樣平均數(shù)（或成數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)差是按抽樣平均數(shù)（或成數(shù)）與其全及總體平均數(shù)（或成數(shù)）離差平方和計(jì)算的。但由于抽樣平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)，而抽樣成數(shù)的平均數(shù)等于總體成數(shù)，抽樣指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差恰好反映了抽樣指標(biāo)和總體指標(biāo)的平均離差程度。15①樣本平均數(shù)的數(shù)學(xué)期望值即樣本平均數(shù)的平均數(shù)

a.定義式16b.推導(dǎo)式②樣本平均數(shù)的方差（）或標(biāo)準(zhǔn)差（）17樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差即為平均數(shù)的抽樣平均誤差（抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差）。

所以，平均數(shù)抽樣平均誤差的計(jì)算為：18影響抽樣誤差大小的因素主要有：1、總體各單位標(biāo)志值的差異程度。抽樣誤差的大小和總體標(biāo)準(zhǔn)差的大小成正比例關(guān)系。2、樣本單位數(shù)。抽取樣本單位數(shù)越多，抽樣誤差越小；抽取樣本單位數(shù)越少，抽樣誤差越大。抽樣誤差的大小和樣本單位數(shù)的平方根成反比例關(guān)系。3、抽樣方法。不重復(fù)抽樣誤差比重復(fù)抽樣誤差小。4、抽樣調(diào)查的組織形式。選曲不同的抽樣組織形式，也會(huì)有不同的抽樣誤差。19簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下的抽樣平均誤差的計(jì)算一、抽樣平均數(shù)的抽樣誤差（1）重復(fù)抽樣條件下，抽樣平均誤差和總體的變異程度以及樣本容量大小兩個(gè)因素有關(guān)，它們的具體關(guān)系如下：從這一公式可以看出，抽樣平均誤差的大小和總體標(biāo)準(zhǔn)差成正比變化。20（二）在不重復(fù)抽樣的條件下，抽樣平均數(shù)的平均誤差不但和總體變異程度、樣本容量有關(guān)，而且還要考慮總體單位數(shù)的多少。它們的關(guān)系如下：21總體方差是未知的，解決方法1.用估計(jì)的材料2.用過去的差所得到的材料。如果有幾個(gè)不同的總體方差的材料，則應(yīng)該用數(shù)值較大的。3.用樣本方差材料代替總體方差4.如果既沒有過去的材料，又需要在調(diào)查之前就估計(jì)出抽樣誤差，可以在大規(guī)模調(diào)查之前，組織一次小規(guī)模的試驗(yàn)性調(diào)查22二、抽樣成數(shù)的平均誤差。抽樣成數(shù)的平均誤差表明各樣本成數(shù)和總體成數(shù)絕對(duì)離差的一般水平。由于總體成數(shù)可以表現(xiàn)為總體是非標(biāo)志的（0，1）分布的平均數(shù)，而且它的方差也可以從總體成數(shù)推算出來，即：P與P（1-P）。因此容易從抽樣平均數(shù)的抽樣平均誤差和總體標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系推算出來。23（一）在重復(fù)抽樣條件下：24（二）在不重復(fù)抽樣條件下：25以上計(jì)算過程中如無總體方差時(shí)，可用樣本方差代替。總體成數(shù)一般是不知道的，用過去資料代替，選用最大的方差。成數(shù)方差的最大值是0.5（1－0.5）＝0.25，當(dāng)兩類總體各占一半時(shí)，它的變動(dòng)程度最大。因此選用最大值，也就是選用最接近0.25的方差值。26例已知總體方差為1000元，總體單位數(shù)為4個(gè)，樣本單位數(shù)為2個(gè)，用不重復(fù)抽樣的方法計(jì)算抽樣平均誤差。27例：要估計(jì)某地區(qū)10000名兒童的入學(xué)率，隨機(jī)抽取400名，檢查有320名兒童入學(xué)，求抽樣入學(xué)率的平均誤差。根據(jù)已知條件：1、在重復(fù)抽樣條件下：282、在不重復(fù)抽樣條件下：29三、抽樣極限誤差抽樣極限誤差（抽樣允許誤差）是從另一個(gè)角度考慮抽樣誤差問題。以樣本的抽樣指標(biāo)來估計(jì)總體指標(biāo)，要達(dá)到完全準(zhǔn)確毫無誤差，這幾乎是不可能的，所以，在估計(jì)總體指標(biāo)的同時(shí)就必須考慮估計(jì)誤差的大小。我們不希望誤差太大，誤差愈大樣本的價(jià)值愈小。但也不是誤差愈小愈好，因?yàn)樵谝欢ㄏ薅戎鬁p少抽樣誤差勢(shì)必增加很多費(fèi)用。所以，在作抽樣估計(jì)時(shí)，應(yīng)該根據(jù)所研究的變異程度和分析任務(wù)的要求確定可允許誤差的范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)字都算是有效的。30概念允許誤差：指樣本和總體指標(biāo)之間誤差的可能范圍。由于總體指標(biāo)是一個(gè)確定的數(shù)（未知的常數(shù)），而樣本指標(biāo)（隨機(jī)變量）則是圍繞總體指標(biāo)上下波動(dòng)的，它與總體指標(biāo)之間既有正離差，也有負(fù)離差，樣本指標(biāo)變動(dòng)的上限或下限與總體指標(biāo)之差的絕對(duì)值就可以表示抽樣誤差的可能范圍，我們將這種以絕對(duì)值形式表示的抽樣誤差的可能范圍稱為抽樣極限誤差。31用表示抽樣平均數(shù)極限誤差和抽樣成數(shù)極限誤差。

32根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明：33概率度t與置信度F(t)置信度：是指總體指標(biāo)落在某一區(qū)間內(nèi)的概率保證程度，常用概率函數(shù)F(t)表示。概率度：用抽樣極限誤差除以相應(yīng)抽樣平均誤差得出的相對(duì)數(shù)稱為概率度，它表示抽樣極限誤差的范圍為抽樣平均誤差的若干倍。34t（概率度）置信度（概率）抽樣誤差范圍0.50.38290.51.00.68271.01.50.86641.51.960.95001.962.000.95452.003.000.99733.0035第三節(jié)參數(shù)估計(jì)一、參數(shù)估計(jì)需要解決的問題參數(shù)估計(jì)就是以所計(jì)算的樣本指標(biāo)來估計(jì)相應(yīng)的總體指標(biāo)，需要解決下面三個(gè)問題：1.針對(duì)待估的總體指標(biāo)，根據(jù)樣本構(gòu)造一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量，作為該總體指標(biāo)的估計(jì)量。2.對(duì)所構(gòu)造的估計(jì)量的優(yōu)良性作出判斷，并在必要時(shí)進(jìn)行修正。（無偏性、一致性、有效性）3.在給定的可靠程度下，求出抽樣估計(jì)的極限誤差。36二、參數(shù)估計(jì)的形式1.點(diǎn)估計(jì)（定值估計(jì)）對(duì)于總體的未知參數(shù)，由樣本構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量對(duì)其作出估計(jì)，則稱為的估計(jì)量。即不考慮抽樣誤差，直接從樣本指標(biāo)來推斷全及總體指標(biāo)。在多個(gè)估計(jì)量中，由于估計(jì)量是水機(jī)變量，選擇一個(gè)優(yōu)良性估計(jì)量，需要明確優(yōu)良性估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)：無偏性、有效性、一致性。

372.區(qū)間估計(jì)（1）總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)由得

38如果估計(jì)區(qū)間越大，則可靠程度(概率保證程度)越大；估計(jì)區(qū)間越小，則可靠程度越小。而估計(jì)區(qū)間又與抽樣極限誤差有關(guān)，在一定的抽樣方式下，抽樣極限誤差又是由概率度t決定的。因而可靠程度與t之間有一定正比關(guān)系。39(2)總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)由40例：某燈泡廠某月生產(chǎn)5000000個(gè)燈泡，在進(jìn)行質(zhì)量檢查中，隨機(jī)抽取500個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，這500個(gè)燈泡的耐用時(shí)間見下表：試求：⑴該廠全部燈泡平均耐用時(shí)間的取值范圍（概率保證程度0.9973）⑵檢查500個(gè)燈泡中不合格產(chǎn)品占0.4%，試在0.6827概率保證下，估計(jì)全部產(chǎn)品中不合格率的取值范圍。(3)如果耐用時(shí)間在1000小時(shí)以上為優(yōu)等品,估計(jì)優(yōu)等品率在95.45%的概率保證下的范圍41耐用時(shí)間（小時(shí)）燈泡數(shù)f組中值xxf800～85035850～900127900～950185950～10001031000～1050421050～11008合計(jì)42由概率保證程度0.9973，查表得概率度t=343p=0.4%

概率保證程度為0.6827時(shí)，t=144優(yōu)等品率P=50/500=0.1總體總量指標(biāo)的推算即用樣本指標(biāo)或總體指標(biāo)（總體平均數(shù)和總體成數(shù)）的區(qū)間估計(jì)值乘以總體單位數(shù)來推算總體總量指標(biāo)45測(cè)試題:財(cái)經(jīng)名錄共有400頁,現(xiàn)隨手翻看(可重復(fù))40頁,發(fā)現(xiàn)其有2頁印刷不良,試求全書印刷不良頁數(shù)的95%信賴區(qū)間.p=0.05t=1.96-0.0184≤P≤0.11840≤P≤0.11840≤400P≤400×0.11840≤400P≤4746小結(jié)：在作區(qū)間估計(jì)時(shí)，同時(shí)要作兩方面的判斷第一，誤差范圍的判斷，即總體指標(biāo)在哪兩個(gè)數(shù)值范圍之間。這個(gè)判斷說明的是區(qū)間估計(jì)的準(zhǔn)確程度。第二，把握程度的判斷，表現(xiàn)為概率值。它說明的是作上述范圍判斷的可靠性。兩個(gè)判斷的關(guān)系：準(zhǔn)確程度高（即誤差范圍小），則把握程度低；準(zhǔn)確程度低（即誤差范圍大），則把握程度高。47一對(duì)矛盾48第四節(jié)樣本容量的確定㈠影響必要樣本容量的因素⒈總體各單位標(biāo)志變異程度即總體方差或p(1-p)的大小。總體標(biāo)志變異程度大，要求樣本容量大一些；反之，總體標(biāo)志變異程度小，樣本容量可以小些。⒉允許的極限誤差或的大小允許的極限誤差越大，樣本容量越小；反之，極限誤差越小，樣本容量越大。49⒊抽樣方法在其它條件相同的情況下，重置抽樣