2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 5 立體幾何選擇填空壓軸小題 作業(yè)

專題5立體幾何選擇填空壓軸小題專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.已知四面體A-88中，ΔABC和ΔBC3都是邊長(zhǎng)為6的正三角形，則當(dāng)四面體的體積

最大時(shí)，其外接球的表面積是

A.60兀B.30萬C.20萬D.15萬

2.在四面體ABCD中，AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,用平行于A8,C￡）的平面

截此四面體，得到截面四邊形EFG”,則四邊形EFG〃面積的最大值為（）

499

A.-B.-C.-D.3

342

3.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉微在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何

體，它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟

合）在一起的方形傘（方蓋）.如圖，正邊形A8C。是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，若該幾何

體的正視圖與側(cè)視圖都是半徑為的圓，根據(jù)祖迪原理，可求得該幾何體的體積為

4.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4,E為棱AB的中點(diǎn)，過E作此正四面體的外接球的截面，則

該截面面積的最小值是

A.4Λ^B.8兀C.?1πD.16ΛΓ

5.過棱長(zhǎng)為1的正方體的一條體對(duì)角線作截面，則截得正方體的截面面積的最小值是

A.1B.√2C.—D.—

22

6.已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，E、尸分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，且瓦7/BC,

將一A肝沿EF折成..4E/，使平面4EZU平面EFC3,則幾何體A'-EFCB的體積的最大

值為

A.更B.友C.ID.空

9983

7.在菱形48Cz）中，Λ=y,ΛB=4√3,將4ABD沿BO折起到△PBD的位置,二面角

P-8D-C的大小為三，則三棱錐P-Ba）的外接球的表面積為（）

A.2√?rB.2√7Λ?C.72兀D.112萬

8.已知三棱錐D-ABC中，AB=BC=?,AD=4i,BD=也,AC=√2,BCLAD,則

三棱錐的外接球的表面積為

A.6πB.4兀C.>∕6πD.8>∕6π

9.在底面是正方形的四棱錐P-ΛBC。中，底面ABCZ）,點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在

棱A￡）上，平面CE尸與P4交于點(diǎn)K,且R4=ΛB=3,AF=Z,則四棱錐K-A的外接

球的表面積為

10.如圖，在三棱錐P—ΛBC中，PA，平面ABC,ABLBC,ADlBP,PA=AC,若三

棱錐尸-ABC外接球的表面積為8萬，則三棱錐P-As體積的最大值為（）

?-TBYC-4d?T

二、填空題

11.已知正三棱柱A8C-AB∣α的側(cè)棱長(zhǎng)為4,底面邊長(zhǎng)為遙，且它的六個(gè)頂點(diǎn)均在球。的

球面上，則4B兩點(diǎn)的球面距離為.

12.已知四棱錐P-ABeo的底面ABC。是邊長(zhǎng)為"的正方形，且PA_L平面ABCO,PA=a,

點(diǎn)M為線段PC上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）,則當(dāng)三棱錐M-BCD的外接球的表面積最小時(shí)，

CM的長(zhǎng)為.

13.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-AMGA中，以A為球心半徑為空的球面與正方體表面

3

的交線長(zhǎng)為.

14.已知球的半徑為24cm,一個(gè)圓錐的高等于這個(gè)球的直徑，而且球的表面積等于圓錐的

表面積，則這個(gè)圓錐的體積是em?.（結(jié)果保留圓周率兀）

15.已知正方體ABCQ-A瓦GR的棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)P在棱AA上，四棱錐用的頂點(diǎn)

都在球。的球面上，則球。的表面積取值范圍是.

16.下圖中的幾何體是由兩個(gè)有共同底面的圓錐組成.已知兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)分別為P、Q,

高分別為2、1,底面半徑為1.A為底面圓周上的定點(diǎn)，8為底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)（不與A重

合）.下列四個(gè)結(jié)論：

①三棱錐P-ABQ體積的最大值為g；

②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為2；

③當(dāng)直線BQ與AP所成角最小時(shí)，其正弦值為嚕；

④直線BQ與AP所成角的最大值為；

其中正確的結(jié)論有.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

17.在正方體48C。-AMGR中（如圖），已知點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題:

①d三棱錐A-APC的體積不變；

②直線AP與平面ACR所成的角的大小不變；

③二面角P-AD1-C的大小不變；

④M是平面ABIGR上到點(diǎn)。和C1距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是直線AA

其中真命題的編號(hào)是.（寫出所有真命題的編號(hào)）

18.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，24,底面488,PA=Z,若在

四棱錐內(nèi)挖掉一個(gè)體積最大的圓柱，則剩余幾何體的表面積等于.

19.已知三棱錐A-BC。的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=AC=DB=DC,AD=2BC=4,

則球O的表面積的最小值為.

20.已知在四面體A-BCO中，AB=CD=10,AC=BD=2四,AD=BC=2√41,則四

面體A-Bco外接球的表面積為.

答案:

1.A

【解析】

【詳解】

由題設(shè)當(dāng)兩個(gè)平面互相垂直時(shí)，四面體的體積最大，此時(shí)四面體的高為∕z=PE=3√L如圖，

設(shè)球心為。，過。作O?_L平面BCD,過。作。Q,平面ABC,因?yàn)?/p>

PE=JXY?x6=G,￡>P=2x@x6=26，所以O(shè)Q=PE=√L在直角三角形M。。與

3232

R2=唐+-&2R=>∕i5

APo。中分別運(yùn)用勾股定理可得｛,Α，，解之得｛,故所求球的表面

心=(.3&"2+(.S>2d=Wr>

S=4Λ-×(√15)2=60^,應(yīng)選答案A.

點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)是如何確定該幾何體的外接球的球心與半徑.求解時(shí)，先依據(jù)題設(shè)求

出當(dāng)兩平面互相垂直時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)三棱錐的高〃=PE=即是正三角形的

高，然后依據(jù)球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等可畫出圖形中的三角形并求解可得球的半徑

R=后,最后運(yùn)用球的面積公式使得問題獲解.

2.B

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知G"〃A8,EFUAB,GF//CD,EH//CD,因?yàn)锳D=CD=3,

AC=BC=4,故4?_LCz),所以四邊形為矩形，設(shè)3尸:BO=3G:BC=PG:CE)=X,O<x<l,

建立二次函數(shù)關(guān)系求解四邊形面積的最大值.

【詳解】

設(shè)截面分別與棱AD,BD,BC,AC交于點(diǎn)E,尸,G，.由直線A8〃平面EFGH,

且平面A8C平面EFGH=GH,平面ABDc平面E尸GH=斯

得GH“AB,EFHAB,所以GH”EF,

同理可證四〃FG,所以四邊形EFG”為平行四邊形，

又AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,

可證得AB_La),四邊形EFGH為矩形.

設(shè)BF:BD=BG:BC=FG:CD=x,O<x<l,

則FG=3x,HG=3(1),于是SMGH=FG?HG=9x(l-x)=-9(x—g)+?,0<x<1

19

當(dāng)X=］時(shí)，四邊形瓦'G〃的面積有最大值

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了運(yùn)用四面體中的對(duì)稱性來證明四邊形是矩形,線面平行的性質(zhì)，二次函數(shù)求最值,

屬于較難題.

3.C

【解析】

【詳解】

如圖所示，結(jié)合幾何體的特征，構(gòu)造底面邊長(zhǎng)為2R,高為R的長(zhǎng)方體，上頂面中心與下底

面組成四棱錐P-ABa>,則正方體去掉四棱錐所得的幾何體與題中“牟合方蓋”的上半部分

符合祖Bfl原理，

據(jù)此可得，該幾何體的體積：V=2x(2Rx2RxR-；x2Rx2RxR)=gR'.

本題選擇C選項(xiàng).

點(diǎn)睛：中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)具有濃厚的應(yīng)用色彩，更注重算法：中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)用性的特點(diǎn)，決定

了它以解決實(shí)際問題和提高計(jì)算技術(shù)為主要目標(biāo)，因此,他的成果都表此案為算法的相識(shí).中

國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)寓理于算：中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重算法，并不等于它就沒有邏輯推理，沒有建立其自

身的理論體系.

4.A

【解析】

【詳解】

將四面體ABCO放置在正方體中，如圖所示，

可得正方體的外接球就是四面體ABC。的外接球，

因?yàn)檎拿骟wABC。的棱長(zhǎng)為4,

所以正方體的棱長(zhǎng)為2亞，可得外接球的半徑滿足2R=2√∑χ石=2遙，即R=遙，

又E為BC的中點(diǎn)，過E作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心。的距離最大時(shí)，

此時(shí)截面圓的面積最小，

此時(shí)球心。到截面的距離等于正方體棱長(zhǎng)的一半，

可得截面圓的半徑為r=，/?2一2=2，得到截面圓的面積的最小值為S=Ir2=4乃，

故選A.

5.D

【解析】

【分析】

取對(duì)角線頂點(diǎn)所不在的兩個(gè)側(cè)棱的中點(diǎn)M,N,與對(duì)角線兩個(gè)頂點(diǎn)相連，所得四邊形即為所有

過對(duì)角線的截面中面積最小的，由此可求出截面面積.

【詳解】

如圖：

在正方體中，取4人。0的中點(diǎn)〃川,連接。陽,8%8可出”

過RB的平面截得正方體的截面中，當(dāng)截面為菱形AMBN時(shí)，截面面積最小，

5=∣∣M7V∣∣D1B∣=lχ√2x√3=^,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方體的截面面積的求法，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

6.B

【解析】

【詳解】

分析：設(shè)基=2(0<2<l),???EF=2Z當(dāng)平面4"，平面EFCB時(shí)，由面面垂直的性質(zhì)定

BC

理，得A，M_L平面EFCB,可得幾何體A-E尸CS的體積V=九(1-萬)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的單調(diào)性，可得;I=3時(shí)，體積最大，從而可得結(jié)果.

3

詳解：

ig—=2(0<Λ<I),.-.EF=24,

AABC的高AN為G,.?.ΔAEF的高AM為JLl,

當(dāng)平面A,EFJ-平面EFCB時(shí)，由面面垂直的性質(zhì)定理，

得4MJ_平面EFCB,■■以幾何體Λ,-EFCB的體積

V=∣×√3Λ^(√3-√3Λ)(2+22)]=λ(l-22),

.V?=1-3Λ2,當(dāng)

.?W在2=@時(shí)，取得最大值，.?.Vnm=空，故選B.

點(diǎn)睛：求最值問題往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)酒己方法、換元法、不等式

法、三角函數(shù)法、圖象法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，首先確定函數(shù)的

定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)的最值即可.

7.D

【解析】

【分析】

由題意作示意圖，找到底面等邊△8。C的外接圓圓心。，以及三棱錐P-BCD的外接球的

球心O',過戶作PF_LAC于尸，則面PFOo為球體最大截面，進(jìn)而根據(jù)已知條件即可求外

接球半徑，即可求外接球表面積.

【詳解】

由題意可得如下示意圖，設(shè)AC,BD交于E,

則AC_LBD,即CEA.BD,PEJ.BD

所以NPEC為二面角尸—8D—C的平面角，即ZPEC=寸

又PECE=E,所以B￡>_L平面PCE,

過戶作尸尸，AC于尸，BDLPF,BDAC=E,

所以P/_1_平面ABCD,

若。，?！謩e是面BOC的外接圓圓心、三棱錐尸-BCO的外接球的球心，

則OO_L平面ABCD,所以O(shè)O'∕∕PF,

所以P,F,0,0'必共面且該面為球體的最大截面，

連接OO',O'D,OD,O'P,有。D=O/=R為外接球半徑，

8=/■為面8。C的外接圓半徑，若設(shè)。O'=x,

則：x2+r2=R2,OF2+(PF-X)2=R2,

：菱形ABC。中，A=-,AB=4y∕3,ZPEC=-,

33

：.PD=DC=PB=BC=4日PE=EC=6,BD=4√3,

目￡D=—=2√3,OE=-=2,PF=PE-sin-=3y∕3,OF=0E+EF=2+PEcos-=5,

2333

.?.r2=OD2=OE2+ED2=16，

即￠+16=25+(36-X)2,解得第=2石，二R2=28,

所以三棱錐尸-BCD的外接球的表面積4成2=112n,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，應(yīng)用了三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)與其在底面上的垂足，該底面外

接圓圓心，三棱錐外接球球心四點(diǎn)共面且為球體最大截面求球體半徑，進(jìn)而求球體表面積,

屬于較難題.

8.B

【解析】

【分析】

依據(jù)題中數(shù)據(jù)，利用勾股定理可判斷出AABJ.A。從而可得三棱錐各面都為直角三

角形，進(jìn)而可知外接圓的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積

【詳解】

如圖，因?yàn)?2+4)2=&)2,482+8。2=4(72

.?.48_140,48_1,8(7又3。，仞，.?.CB，而ABr),

從而可得三棱錐各面都為直角三角形，CD是三棱錐的外接球的直徑，

在WAeB。中，BC=},BD=?j3,：.CD=2

即2R=2,R=1,S表=4萬R2=4萬，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)生空間想象以及數(shù)學(xué)建模能力，能夠依據(jù)條件建立合適的模型是解題的關(guān)鍵.

9.D

【解析】

【詳解】

如圖所示，

延長(zhǎng)BA,CF,交于G,連接EG,與PA交于K,則AG=6,過A作AH//PB,與EG交于H,

則笠=經(jīng)=￡=!=3,故AK="將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)寬高分別為3,3,§的長(zhǎng)方體,故

PKPEBE9355

四棱錐的外接圓即為長(zhǎng)方體的外接圓，2R=不3?+3?=6屆=半,R=誓，所以

球的表面積為S=Φrχ蓋=要乃，故選D.

10.A

【解析】

【分析】

設(shè)Aβ=α,BC=b,由三棱錐P-ABC外接球的表面積為8;r,可得出/+后=4.根據(jù)等體

Aab

=

積法得VP-ACD^P-ABCAZiC=3(2〃+/),利用基本不等式可求得三棱錐P-ACO體積的

最大值.

【詳解】

設(shè)48=α,BC=b,由三棱錐P-ABC外接球的表面積為8萬，得外接球的半徑R=√L又

%_1_平面ABC,ABLBC,

所以AB2+8C2+Ap2=AC2+Ap2=2Ap2=(2Ry=8,所以AP=2,所以T+∕=4?

因?yàn)镻AJ-平面ABC,ADLPB,所以PB=J4+〃BD=I:,過。作DE±AB,垂

√4+α2

足為E,則Z)E，平面ABC,

所以DE//PA,所以罷二空，所以=τ,所以

PABP4+a2

2

“τ,"IC5/CAZC)Z1,2a14ah4ab

k8=LABL%叩=3-(PA-E)=｝仍E-=J=ψ77)=3(2"⑹

=∕2αN立=W,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=2,即。=氈，A=亞時(shí)，“=”成立，所以三

3IT+Jba33

棱錐尸-AS體積的最大值為史.

3

故選：A.

P

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)計(jì)算，等體積法的運(yùn)用，屬于較難題.

11.鮑

3

【解析】

【分析】

根據(jù)題意畫出示意圖求出ZAOB=60°和OB=娓,結(jié)合球面距離定義計(jì)算求解即可.

【詳解】

如圖所示，設(shè)二4?C中心為G,連接。GoA,AG,。3.

根據(jù)等邊三角形性質(zhì)知AG是.ABC外接圓半徑，根據(jù)正弦定理得8C=2RsinA,得

AG=R=6,又因?yàn)镺G=g∕U1=2,所以在氏OAG中，OA=J(OG)Zf(AG)?=迷,同理

08=",所以.?QA8是等邊三角形，所以ZAOB=60。，所以A,B兩點(diǎn)的球面距離為

—瓦.

36003

故答案為:場(chǎng)

3

【解析】

【分析】

連接由題意知三棱錐M-BC。的外接球即四棱錐Λ7-A88的外接球，然后設(shè)四棱錐

M-AB8外接球的球心為0,半徑為R,連接AC與8。交于點(diǎn)。I,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特

征分析出當(dāng)。與。1重合時(shí)，三棱錐M-BCO的外接球的表面積最小，然后設(shè)CM的中點(diǎn)為

N,連接。聲，利用三角形相似求得CN=立“，即可求得CM的長(zhǎng).

3

【詳解】

連接ΛM,由題意可知三棱錐BCD的外接球即四棱錐M-ABC。的外接球，則當(dāng)三棱錐

M-BCr)外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐M-ABCD外接球的半徑最小.設(shè)四棱錐

例-ABCD外接球的球心為。，半徑為R,連接AC與BO交于點(diǎn)01.當(dāng)。與。I不重合時(shí)，

連接00、,易知Oa?平面ABCD,則。。101C,連接0C,在RtZ?00C中，R=Oe>0?.

當(dāng)。與。I重合時(shí)，R=OC=OC,所以當(dāng)三棱錐M-BCD的外接球的表面積最小時(shí)，。與

Oi重合，R=OC.設(shè)CM的中點(diǎn)為N,連接0∣N,易知。N，CM,則cosNOCN=器=費(fèi),

CNJlar-(-

所以比L-而，解得CN=上〃，所以CM=2CW=生α?

——a33

2

故答案為：空a

3

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用直角三角形中斜邊最長(zhǎng)判斷出當(dāng)。與0∣重合時(shí)，三棱錐M-BCD的外接球

的表面積最小是解題的關(guān)鍵所在.

∣25√3

13.Ti

6

【解析】

【詳解】

DC

球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面

小與8、面ABC。和面MR。上；另一類在不過頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面即GC、面CCQO

和面ABGR上.在面44瓦8上，交線為弧E尸且在過球心A的大圓上，因?yàn)锳E=平，

AA=1,則NAAE=￡,同理NBAF=9，所以NEAF=g,故弧EF的長(zhǎng)為矩,生=立萬，

而這樣的弧共有三條.在面BMGC上，交線為弧尸G且在距球心為1的平面與球面相交所

得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心為B,半徑為立，NFBG==,所以弧FG的長(zhǎng)為

2.三:旦兀,這樣的弧也有三條，于是，所得的曲線長(zhǎng)為3x走萬+3x3?更萬，故

326966

答案為空》.

6

14.12288πcm,

【解析】

【分析】

結(jié)合球的表面積等于圓錐的表面積，建立等式，計(jì)算半徑r,利用體積計(jì)算公式

V=πr2-h,即可.

【詳解】

結(jié)合題意可知圓錐高h(yuǎn)=48,設(shè)圓錐底面半徑為r,則圓錐表面積

S=g?2πr??∣r2+h2+πr2=πr4r2+482+πr2=gzr241,計(jì)算得至Ij

/?=16,所以圓錐的體積^=42.拉=》162?48=12288萬

【點(diǎn)睛】

本道題考查了立體幾何表面積和體積計(jì)算公式，結(jié)合題意，建立等式，計(jì)算半徑r,即可,

屬于中等難度的題.

【解析】

設(shè)qp=x,o∣G=y,根據(jù)幾何關(guān)系得到N=/+/,尸=苧+y-≥±,從而得到x,y

的關(guān)系，再利用消元法，得至∣jR2=f+y2=y2-√5y+3,最后利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)，

得到R2的取值范圍，從而得到球。的表面積取值范圍.

【詳解】

如圖，設(shè)球。的球心為G,AA的中點(diǎn)。1,CG的中點(diǎn)。2，。。2的中點(diǎn)。，

且O。=也，OA=OB=-.

因?yàn)锽,。,2,用在球面上，所以球心在線段。O2上，

點(diǎn)P也在球面上，GP=GB=R.

設(shè)。IP=X,0∣G=y.則OG-y-.

2

在RtAOfG中，R2=x2+y2.......①

在∕?∣?BOG中，R2=+........②，

聯(lián)立①②，得χ2=<-√∑y,因?yàn)?≤x≤^,所以它WyW還.

422'8

2222

所以N=x+y=y-√2y+^=(y-?y)+?∣∈［∣,∣∣b

所以球。的表面積取值范圍為［3兀,2弓5兀］.

O

故答案為：［3π,竽25兀］

O

【點(diǎn)睛】

本題考查四棱錐與球的切接問題、球的表面積，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)

化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，求解的關(guān)鍵是先確定以什么為變量進(jìn)行研究.

16.①③

【解析】

【分析】

由①可知Vp-ABQ=匕-/W只需求點(diǎn)A到面PBQ的最大值

對(duì)于②，求直線PB與平面布。所成角的最大值，可轉(zhuǎn)化為總到軸截面距離的最大值問題

進(jìn)行求解

對(duì)于③④，可采用建系法進(jìn)行分析

【詳解】

選項(xiàng)①

Q

131

如圖所示，當(dāng)OAJLO3時(shí)，四棱錐體積最大，VA.PBQ=SPBQOA^-×→?=-

選項(xiàng)②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為tanNBPo=槳=：,所以ZBPO≠?

r(.)2O

選項(xiàng)③和④，如圖所示:

以垂直于OC方向?yàn)閄軸，。。方向?yàn)閥軸，OP方向?yàn)閆軸,其中A(O,-1,0)設(shè)B(CoSaSinaO)

P(0,0,2),β(0,0,-1).AP=(0,1,i),BQ=(-cosθ,-cosθ,-l)

?AP-BQ?∣-cos”2∣

設(shè)直線BQ與AP所成角為α,COSa=謁向=I加五',當(dāng)CoSe=I時(shí)，COSa取到最

十值?^?ɑ吐府?M

天恒，COSa=-------，ltL∏'jsιna=------，

1010

由于改。€卜1,1],.上8$。一2|?1,3],CoSaH0,所以ɑ取不到

答案選①、③

【點(diǎn)睛】

幾何體的旋轉(zhuǎn)問題需要結(jié)合動(dòng)態(tài)圖形和立體幾何基本知識(shí)進(jìn)行求解，需找臨界點(diǎn)是正確解題

的關(guān)鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進(jìn)行求解.

17.①③④(多選或錯(cuò)選或不選不給分，少選均給一半，)

【解析】

【詳解】

①匕-可C=匕用V=IX號(hào)?xgSiGC為定值；②因?yàn)锽CJ/AR,所以8G〃面AAC,因

此P到面AAC距離不變，但AP長(zhǎng)度變化，因此直線AP與平面ACR所成的角的大小變化；

③二面角P-ADx-C的大小就是平面ABC,Dy與平面ARC所組成二面角的大小,因此不變;

④到點(diǎn)。和C1距離相等的點(diǎn)在平面A1BCD1±.,所以M點(diǎn)的軌跡是平面ABC。與平面

AiBfCtDx的交線AiDl.綜上真命題的編號(hào)是①③④

18.8+4λ^÷-

9

【解析】

【分析】

首先將挖掉的圓柱放在一個(gè)正四棱柱里面，根據(jù)體積公式列出圓柱體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)

工具判斷體積最大值時(shí)圓柱的高和底面半徑，最后求出剩下幾何體的表面積即可.

【詳解】

如圖，在四棱錐P-ABCO內(nèi)作出正四棱柱AMNK-HEFG,

其中點(diǎn)E,F,C,H,M,K分別在棱尸8,PC,PD,PA.AB,Af)上，

則要使挖掉的圓柱體積最大，

則需其底面圓為正四棱柱AMNK-HEFG底面的內(nèi)切圓，

連接〃尸，設(shè)挖掉的圓柱的底面圓半徑為，高為，

則“F=2j^?,AH=h.連接4C,

易知點(diǎn)N在AC上、在平面PAC內(nèi)，

易為HFHAC,則箓=誓，即吟1=2ΞΔ,即r=等=T，

ACPA2√2222

故挖掉的圓柱的體積V=乃//?=》(1一1]O=?,'一4∕+4"),0<Λ<2.

則S=工(36一8∕j+4)=-(Λ-2)(3/?-2),

44

22

當(dāng)0</<一時(shí)，v,>o,當(dāng)一<〃<2時(shí)，r<o,

33

2