第05講 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)）（原卷版）

第05講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【人教A版2019】·模塊一分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理·模塊二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1．分類加法計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理的概念完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同的方法.

(2)分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)

分類加法計(jì)數(shù)原理又稱分類計(jì)數(shù)原理或加法原理，其特點(diǎn)是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情，我們可以用第一類有種方法，第二類有種方法，，第n類有種方法，來(lái)表示分類加法計(jì)數(shù)原理，即強(qiáng)調(diào)每一類中的任一種方法都可以完成要做的事，因此一共有+++種不同方法可以完成這件事.(3)分類的原則

分類計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.2．分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)

分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是在所有的各步之中，每一步都要使用一種方法才能完成要做的事，可以利用圖形來(lái)表示分步乘法計(jì)數(shù)原理，圖中的“”強(qiáng)調(diào)要依次完成各個(gè)步驟才能完成要做的事情，從而共有×××種不同的方法可以完成這件事.

(3)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說(shuō)，弄清要經(jīng)過(guò)哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題.

(2)區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理①針對(duì)的是“分類”問(wèn)題針對(duì)的是“分步”問(wèn)題②各種方法相互獨(dú)立各個(gè)步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事(3)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇分類→將問(wèn)題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計(jì)數(shù)原理；分步→將問(wèn)題分為幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計(jì)數(shù)原理.在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.【考點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析】【例1.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（1）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．()（2）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()【例1.2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．（判斷對(duì)錯(cuò)）【變式1.1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯(cuò)誤的寫錯(cuò)誤）（1）從書架上任取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書各1本是分類問(wèn)題.()（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情．()（3）分類加法計(jì)數(shù)原理可用來(lái)求完成一件事有若干類方法這類問(wèn)題．()（4）從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問(wèn)題．()【變式1.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各事件哪些是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)．（1）一個(gè)三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語(yǔ)文書，下層放有2本不同的英語(yǔ)書，從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）一個(gè)三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語(yǔ)文書，下層放，有2本不同的英語(yǔ)書；從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書，語(yǔ)文書，英語(yǔ)書各一本，有多少種不同的取法？（3）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？【考點(diǎn)2分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【例2.1】（2023下·黑龍江大慶·高二校考期中）完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有4種不同的方法，在第2類方案中有5種不同的方法，在第3類方案中有6種不同的方法，那么完成這件事共有N種不同的方法，其中N=（

）A．15 B．6 C．24 D．120【例2.2】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二?？计谥校┩瓿梢豁?xiàng)工作，有兩種方法，有6個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方法，從這10個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（

）A．6種 B．10種 C．4種 D．60種【變式2.1】（2023·高二單元測(cè)試）如圖所示，在A,B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通,今發(fā)現(xiàn)A,B之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有（）A．9種 B．11種 C．13種 D．15種【變式2.2】（2023下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）從甲地到乙地，若一天中有火車5班、汽車12班、飛機(jī)3班、輪船6班，則一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（

）A．18 B．20 C．26 D．1080【考點(diǎn)3分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【例3.1】（2023上·山東德州·高二校考階段練習(xí)）為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校開設(shè)了游泳、武術(shù)和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人從中任選1門課程參加，則不同的選法共有（

）A．12種 B．64種 C．81種 D．96種【例3.2】（2023下·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）若3名學(xué)生報(bào)名參加天文?計(jì)算機(jī)?文學(xué)?美術(shù)這4個(gè)興趣小組，每人選1組，則不同的報(bào)名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【變式3.1】（2023下·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某學(xué)校開設(shè)了籃球、書法、美術(shù)、吉他、舞蹈、擊劍共六門活動(dòng)課程，甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門活動(dòng)課程參加，則這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有（

）A．120種 B．114種 C．210種 D．216種【變式3.2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108C．144 D．196模塊二模塊二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用1．兩類計(jì)數(shù)問(wèn)題的求解思路：(1)“類中有步”計(jì)數(shù)問(wèn)題：完成一件事有幾類方案，每一類方案中分若干步，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出每一類方案中的方法數(shù)，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理把各類方案的方法數(shù)相加，即可得出結(jié)果.(2)“步中有類”計(jì)數(shù)問(wèn)題：完成一件事的過(guò)程分成若干步，完成每一步的方法分成若干類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求出完成每一步中的方法數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理把每一步的方法數(shù)相乘，即可得出結(jié)果.2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用主要包括四個(gè)方面：(1)\o"實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題"\t"/gzsx/zsd29497/_blank"實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題；(2)\o"代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題"\t"/gzsx/zsd29498/_blank"代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題；(3)\o"幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題"\t"/gzsx/zsd29499/_blank"幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題；(4)\o"涂色問(wèn)題"\t"/gzsx/zsd29501/_blank"涂色問(wèn)題.【考點(diǎn)1

涂色問(wèn)題】【例1.1】（2023上·江西新余·高二校考階段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給矩形A，B，C，D涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種【例1.2】（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．360 C．480 D．600【變式1.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為（）A．192 B．420 C．210 D．72【變式1.2】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué)?中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020【考點(diǎn)2兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】【例2.1】（2023上·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）高二1、2、3班各有升旗班同學(xué)人數(shù)分別為：1、3、3人，現(xiàn)從中任選2人參加升旗，則2人來(lái)自不同班的選法種數(shù)為（

）A．12 B．15 C．20 D．21【例2.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方形ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上1,2,3,4中的某一個(gè)數(shù)字（可以重復(fù)），則頂點(diǎn)A,B處的數(shù)字都大于頂點(diǎn)C,D處的數(shù)字的標(biāo)注方法有（

）A．36種 B．48種 C．24種 D．26種【變式2.1】（2023下·陜西榆林·高二?？计谥校┤鐖D所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之間建有A，B，C，D，E五個(gè)水閘，若上游有充足的水源但下游沒(méi)有水，則這五個(gè)水閘打開或關(guān)閉的情況有（

）

A．24種 B．23種 C．15種 D．7種【變式2.2】（2023下·廣東韶關(guān)·高二校考期中）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠?牛?虎?兔?龍?蛇?馬?羊?猴?雞?狗?豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，已知甲同學(xué)喜歡牛?馬，乙同學(xué)喜歡牛?狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，讓甲乙丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有（

）A．90種 B．80種 C．60種 D．50種模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023上·甘肅白銀·高二?？计谀┘?乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲?乙所選的課程不相同的選法共有（

）A．6種 B．12種 C．3種 D．9種2．（2023上·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號(hào)為1,2,3,4的四道試題，編號(hào)為1,2,3,4的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號(hào)和自己的編號(hào)都不同的情況共有（

）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種3．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．484．（2023上·甘肅白銀·高二?？计谀┨咔驎r(shí)甲?乙?丙三人互相傳遞，由甲開始傳球，經(jīng)過(guò)3次傳遞后，球又被傳回到甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．6種 B．8種 C．2種 D．4種5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．366．（2023上·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．4807．（2023下·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）2022年北京冬奧會(huì)的順利召開，激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺(tái)滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種8．（2003·全國(guó)·高考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0,y=0,2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（

）A．95 B．91 C．88 D．759．（2023下·上海嘉定·高二?？茧A段練習(xí)）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不對(duì)10．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，讓甲乙丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有（

）A．50種 B．60種 C．80種 D．90種11．（2023下·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.(1)從