新高考二輪復(fù)習真題導(dǎo)數(shù)講義第38講 指對函數(shù)問題之對數(shù)單身狗（解析版）

第38講指對函數(shù)問題之對數(shù)單身狗

1.已知函數(shù)f(x)=2ex^2+ax.

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(H)對任意x>0,求證：f(x)>x(lnx+a).

【解答】解:(I)F(X)的定義域是R,f'(x)=2e'-2+a,

當”..0時，T(x)>O恒成立，故/(x)在R上單調(diào)遞增，

當“<O時，?∕,(x)>O,解得：x>2+∕n(-≤),

令r(x)<0,解得:x<2+ln(~^),

故f(x)在(-∞,2+/〃(-§)上單調(diào)遞減，在(2+歷(-9，+8)上單調(diào)遞增；

綜上：當α.OE?,f(x)在A上單調(diào)遞增，

當α<0時，f(x)在(fθ,2+比(-0))上單調(diào)遞減，在(2+歷(-§，+∞)上單調(diào)遞增;

(Il)證明：要證，(X)>x(阮r+4),即證2eA-2+辦>x(∕πx+a),

W2?

即證2e*">χ∕,又x>0,故---->Im,即證=----lnx>O

nxXe~X

人/、2ex1r∏∣∣,/、2(%—l)e?—e2X

令g(x)=F.--Inx,則g，(X)=---------------,

eXeX

令r(x)=2(x-l)ex-e2x,則/(X)=2xex-e2,

2j

而/(x)在(0,+∞)遞增，且/(1)=2e-e<0fι(2)=3/>0,

故存在唯一的實數(shù)為∈(1,2),使得/(不)=0,

故Nx)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(%,+oo)上單調(diào)遞增，

r(0)=-2<0,r(2)=0,

故大昂r(x)>O時，x>2,當r(x)<O時，OVXV2,

故g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,÷∞)上單調(diào)遞增，

故g(x)..g(2)=1-1∏2>O?

2ex

綜上：—----lnx>O,EP/(x)>x(lnx+a).

eX

2.已知函數(shù)f(x)=xex-2ex+a(x-1)2(6Z<0)

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(幻在點(O,AO))處的切線的斜率為1,證明：當x>0時/(x)>2e(阮c-∕T)+l

【解答】解:(1)f,(x)=(x-V)ex÷2a(x-l)=(x-V)(ex+2a).

令r(x)=O可得％=1或X=ln(-2a).

①若ln(-2a)=1?即α=-?，則f,(x)=(x-1)(XΛ-e)..O恒成立，

2

.?./(x)在R上單調(diào)遞增；

②若/〃(一2z)vl,即,<α<0,

2

則當X<ln(-2a)或x>1時，∕z(x)>O,當ln(-2a)vx<1時，f,(x)<O,

??.∕(x)在(-8,加(-24))上單調(diào)遞增，在(加(-2α),1)上單調(diào)遞減，在(l,+∞)上單調(diào)遞增；

③若ln(-2a)>1,BPa<,

2

則當XVI或x>歷(-2α)時，∕,(x)>O,當IVXV例(-2α)時，∕,(x)<O,

.?.∕(x)(-oo,1)上單調(diào)遞增，在(1,/〃(-2幻)上單調(diào)遞減，在(加(-24),+∞)上單調(diào)遞增.

x

={χ-?)e+2a(x-l),

.,.∕z(0)=-l-2tz=l,故α=-1././(x)=xex-2ex-(x-1)2,

設(shè)g(x)=/(x)-2e(lnx-ex~l)-1=xex-Ifelnx-(x-l)2-1,

g'(x)=(X+l)e*-------2(%—1),

X

令力(X)=(X+l)e?---2(x-l)，則h,(x)=(x+2)ex+^--2≈xex+?+2(ex-1)，

XXX

顯然，當x>0時，?z(x)>0,故人(%)在(0,?∞)上單調(diào)遞增，

又〃(1)=0,???當OVXVl時，g'(x)<O,當”>1時，g'(x)>O,

.?.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(L+oo)上單調(diào)遞增,

二.當x=l時，g(x)取得最小值g(1)=e-l>O,

.?.g(x)>O,即f(x)>2e(lnx-ex~l)+1.

3.設(shè)/(x)=(x+?)ln(x+1).

⑴求/(?)的最小值；

(2)若對任意的x..0,都有/(x)..αr成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)/(x)=(?+?)ln{x+1),

.?.x+l>0，解得x>-l,

ff(x)=ln{x+1)+1,

令[(X)=0,得χ+ι=L,BPx=I-I,

ee

當x∈(-1」一1)時\f?x)<0；當X￡(1-1,+∞)時\f?x)>0.

ee

「?X=」一1時，lfM]nιili=/(?-?)=?/n(?)=---

eeeee

(2)令8(%)=(工+1)/〃(五+1)-0￥,

對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g?x)=ln(x+↑)+?-a

令9(X)=0,解得x=e1-l,

⑺當知1時，對所有x>0,g'(x)>O,所以g(%)在[O,+oo)上是增函數(shù),

又g(0)=0,所以對X..0,都有g(shù)(x)..g(O),

即當〃,，1時，對于所有X..0,都有/(x)..4x?

3)當a>l時,對于OVxV肘7-1,g'(x)vθ,所以g(x)在(OdT-D是減函數(shù),

Xg(O)=O,所以對OVXVeaT—1,都有g(shù)(x)<g(O),

即當g>l時，不是對所有的"0,都有/(x)..αX成立.

綜上，。的取值范圍是(-oo,1].

4.已知函數(shù)f(x)=(x+?)lnx-a(x-?).

(I)當α=2時，求函數(shù)/a)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當時，/(x)>0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(I)當。=2時，/(x)=(x÷V)lnx-2(x-1),f,(x)=lnx+--?,

X

1?_1

令g(x)=bvc+——1,則g'(%)=——，

XXT

當X￡(0,1)時，gr(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

當X∈(l,÷w)時，<(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(“加=g(I)=0,所以jΓ(x)..O?

故/(x)在區(qū)間(0,位)上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間.

(Il)/'(x)=∣nχ---F1—α，

X

設(shè)A(x)=Inx+工+1-α,x>1,則Λ,(x)??-?=?-^?>O>

XXXX

所以〃(X)在區(qū)間a，+8)上單調(diào)遞增，即r(x)在區(qū)間a,”)上單調(diào)遞增，且尸(1)=2-<

①當4,2時，/'(x)>0,/(X)在區(qū)間(1,?KO)上單調(diào)遞增，所以/(x)>/(1)=0滿足條件;

②當4>2時，f'(1)=2-α<0,f?ea)=?+e^tt>Q,

所以加w(l,ea],使得T(x0)=0,所以當X∈(1,J?)時,f,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

即當與e(l,*o)時，f(x)<f(1)=0,不滿足題意.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為(-8,2].

5.已知函數(shù)f(χ)=如學(xué).

X

(1)當機=1時，求F(X)的最大值;

(2)討論關(guān)于X的方程/(X)=,心的實根的個數(shù).

【解答】解：(1)〃?=1時，F(xiàn)(X)=^?L則尸(X)=一2"+1，

X第

?」

令r(x)>0,解得：0<x<∕5,令r(χ)vθ,解得：χ>∕5,

??

故/(x)在(0,一)遞增，在(”，+8)遞減，

故/(為.=/(”)=?∣;

(2)由/(x)="z-加X,得歷T——D=O,%=1顯然是該方程的根，

x^÷1

XXl時，方程等價于s=C竺，

X2-I

令∕z(x)=C2""X,(χ>0,x≠l),

X-1

則〃(x)=-λ,,(4∕?r-X2+?),

(x--1)2X2

令φ(x)=4lnx-x2+?,

Jr

則"(X)=Lx-=_2;”一<0,

XXX

.?.x>OE?,夕(幻單調(diào)遞減，

.?.0vxvl時，φ(x)>φ(I)=0,h!(x)<0,〃(尤)單調(diào)遞減，

x>l時，φ(4<φ(1)=0,∕√(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

X→+∞時，h(x)→+∞,x→0f?,?(x)→+∞,%1時，Λ(x)→1,

畫出函數(shù)〃(X)的圖像，如圖示:

結(jié)合圖像得：/%>1時，方程m=A(x)有2個實根，

辦,1時,方程m=h(x)沒有實根,

綜上：〃4,1時，方程/(x)=m-∕nτ僅有1個實根,

m>1時，方程f(x)=m-Inx有3個實根.

6.己知函數(shù)/(K)二mY--------.

(1)討論AX)的單調(diào)性，并證明了(幻有且僅有兩個零點；

(2)設(shè)/是/S)的一個零點，證明曲線y=加X在點A(X0,/”))處的切線也是曲線y=e'的切線.

【解答】解析：(1)函數(shù)/(X)=加X—四.定義域為：(0,1)D(1,+8)；

12-

f?x)=—+-----7>0,(^>0Hx≠l),

X(x-l)

Λ∕(x)在(0,1)和(1,+oo)上單調(diào)遞增,

①在((U)區(qū)間取值有?!■代入函數(shù)，由函數(shù)零點的定義得，

ee

/(4)<0,")>0，∕?√A<o,

e^ee^e

：./(x)在(0,1)有且僅有一個零點，

②在(1,M)區(qū)間，區(qū)間取值有e,/代入函數(shù)，由函數(shù)零點的定義得,

又?f(e)<0./(e2)>0,f(e)√(e2)<0,

.?./(x)在(l,+∞)上有且僅有一個零點，

故/(x)在定義域內(nèi)有且僅有兩個零點；

(2)X。是f(x)的一個零點，則有加?=E±L

Xn-I

曲線y=∕wx,則有y'=—

由直線的點斜式可得曲線的切線方程,

曲線y=∕nx在點A(xf),/，/)處的切線方程為：y-Inx0??(?-?ɑ).

?

即：y=2?x-l+∕"x1,,將/叫)=為上?代入，

?XOT

即有：y=-^-x+---，

XoXo-I

而曲線y=e'的切線中，在點(歷-LL)處的切線方程為：?-???(?-/n?)???+-!-/^

???????

將阮?=3代入化簡，即：y=-Lχ+上，

XOT??-ι

故曲線y=∕nx在點A(x°,從％)處的切線也是曲線y="的切線.

故得證.

7.己知函數(shù)f(x)=/〃一匚+—J(x>0,4eR)

x+1x+1

(1)討論函數(shù)F(X)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于X的不等式(x+l)∕nx+α+α(x+l)2,,(x+l)f(x)恒成立，求”的取值范圍.

a_(1-α)x+1

【解答】解：(1)f?x)=—5—(x>0).

X(X+1)(X+l)2-X(X+I)?

4,1時，∕,(Λ)>0,此時函數(shù)/(x)在(O,+∞)上單調(diào)遞增.

(I-α)(x-----?-)

α>lf?,/，W=

Λ-(Λ+1Γ

可得：函數(shù)/(X)在(0,二一)內(nèi)單調(diào)遞增；在(二一,+OO)內(nèi)單調(diào)遞減.

a-?a-?

(2)不等式(工+1)歷￥+。+。(工+1)2,,(工+1)/'(4)化為：④_//心+D=g(χ),χ>0.

x+1

g，(X)=歷(X+DJ,可得x=e-1時，函數(shù)g(x)取得極小值即最小值，g(e-1)=」

U÷l)"(

1

.?.%—.

e

.?.”的取值范圍是(-∞,-i

e

8.已知函數(shù)f(x)=∕nx-0T2+(2-a)x,a>0.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)αeN*,若關(guān)于X的不等式/(x),,-1在(0,位)上恒成立，求。的最小值.

【解答】解：(1)山題意得，f?x)=--2ax-a+2=σx+^~ax+x?x>G),α>0,

XX

?∕,(x)>0,得O<x<l,.?.函數(shù)f(x)在(0」)上單調(diào)遞增；

aa

由((X)<0,得x>L.?.函數(shù)/(x)在(L+OO)上單調(diào)遞減，

aa

.?.函數(shù)/(X)在(0」)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減；

aa

(2)由(1)可知，函數(shù)/(x)在(0」)上單調(diào)遞增，(L+8)H單調(diào)遞減，

aa

一?/(λ‰=/(^)=ln-+--??

aaa

又?/(%),,-1在(O,Ko)上恒成立，

,χ

??f?),tuιx+-1?KPIn—+?,,O?

aaaa

令∕=~L,則z>0,設(shè)gQ)=加f+f,則g(∕),,0,

a

gγz)=l+l=liI>O,

.?.函數(shù)g(∕)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，且g(g)=∕n→^<0,g⑴=1>O,

.?.存在唯一的f°∈(g,l),使得gQ0)=O,且當f∈(0"°)時，g(∕)<0;當f∈(J,+8)時，gQ)>O,

.?.OvLi解得aJ∈(l,2).

ato

aeN”,

??.〃的最小值為2.

9.已知函數(shù)/(x)=gαχ2+(]-2α)X-2∕nx,α∈R;

(1)討論/(K)的單調(diào)性；

(2)若不等式F(X)…I在((M)上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)?/(x)=g0χ2+(1—2a)x-2Λιr,x>0,

q,、ax2+(l-2a)x-2(0r+l)(x-2)

.?.J(X)=---------------=------------，

XX

①當a.0時，令尸(X)V0,得OVX<2；令/。)>0,得x>2；

②當αvθ時，令[(力=0,得工=一_1或工=2；

a

(I)當_』>2,即一1<α<0時，令r(x)<0,得0<xv2或x>—l；令t(x)>0,^2<x<--；

a2aa

(H)當」=2時，即a=」時，則(*)<0恒成立；

a2

(HI)當-1<2時，即■時，令r*)<0,得O<x<-L或χ>2;令/(x)>O,得一L<X<2;

a2aa

綜上所述：當α.0時，/(x)在(0,2)上遞減，在(2,+oo)上遞增；

當-1<a<0時，/(x)在(0,2)和(-,，+∞)上遞減，在(2,-3上遞增；

2aa

當。=-1時，/(χ)在(0,+∞)上遞減；

當。<二時，/(x)在(0,-工)和(2,"o)上遞減，在(-,，2)上遞增.

2aa

(2)由(1)得①當a..-；時，/(x)在(0,1)上遞減，

3311

:.f(1)=l--β...-,

2223

②當“<_■!■時，

2

(I)當-L1，即&-1時，F(xiàn)(X)在(0,-2)上遞減，在(-LD上遞增，

aaa

11Iq

.*.f(—)=2------1-2∕zι(-------—>；.a,-lz6f合題意；

a2a2a2

(U)當一L>l,即-l<a<-L時，F(xiàn)(X)在(0,1)上遞減，

a2

.?.f(I)=?--a>->-,符合題意；

2422

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(-8,-?j.

10.已知/(X)=蛆，直線/為曲線y=∕(x)在a,/⑺)處的切線，直線/與曲線y=/(x)相交于點(s,7(S))

X

且S<f.

(I)求，的取值范圍；

(II)(1)證明：如,l+'?(x-e)-^τ?(x-e)2?(x-e)3；

(2)證明：s>-t-3tlnt.

2

【解答】(I)解：由∕ω=--得f'(X)=上隼,則/⑺=上?，

XXt

可得曲線y=F(X)在“，/⑴)處的切線方程為y-,=F√x-0，

1-Int1Hnt

π即πy=―-—X——+-----?

人/?Inx?-lnt12lntH6，、八“、?-lnx\-lnt

令g(x)=-----------—X+----------，顯然g(f)=O,g<x)=-、-----------)

xrftx2r

由g,,(x)=3=0,得X=",

X

33

.?.gG)在(0,/)上單調(diào)遞減，在(潟，+00)上單調(diào)遞增.

若K/,%∈(O")Bij?,--妙〉!~~竺’.?.g<%)>0,

X2V

則g(x)在((V)上單調(diào)遞增，且g(Q=O,??.g(%)在(OJ)上無零點,舍去；

若C，>一一，???％g(°,/)時，g'(χ)而“=.(/)=一5-1=<°，

則g(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，在(X0,。上單調(diào)遞減，而XfO時，g(x)→-∞,

???g(x)在(Oj)上存在零點.

故f的取值范圍是(滔，+00)：

(II)證明:(1)令〃(X)=∕nx-[l+L?(x-e)—！?--(?-e)2+—(?-^)3]?

e2e"3e

則〃(e)=0,?f(x)=?-?+??(x-^)-??(x-e)2,

xeee

11222

A"(x)=--+---√x-β),hrtf(x)=---,

%eeXer

當x∈(0,e)時?，h!,?x)>0?當x∈(e,÷∞)時，h,,f(x)<0,

則〃〃(X)的最大值為夕(e)=0,可得”(%)單調(diào)遞減,又〃(e)=0,

??.當x∈(0,e)時，Ar(x)>0,力。)單調(diào)遞增，當x∈(e,+oo)時，A,(x)<O,∕z(x)單調(diào)遞減,

3

則h(x>nax=h(e)=0?即3,1+,?(x-e)—?(x-e)2+?-(?-^)；

(2)先證Ins<ImH—,(5—/)—22?(s—+^~f?(s—θ?，

令0(%)=IntH—?(x—/)—■—7?(x—∕)~÷-―^?(x—E),'—bιχ,

(f|(?)=------?(x—/)H■—-?(x—∕)^—，

trrX

12122

4'(X)=__τ+κ(x-∕)+r，^∕z,(x)=-----

rr%2rx5

當x∈(0j)時，""(x)vθ,當x∈Q,+∞)時，。心)>0,

則”(X)的最小值為"Q)=O,可得"(X)單調(diào)遞增,又09)=0,

.?.當x∈(0")時，，"(x)vO,O(A:)單調(diào)遞減，當x∈Q,+∞)時，φ?x)>G,力(用單調(diào)遞增,

23

則φ(x)nιin=奴f)=0，即Ins<Int+??(5-r)-?-(5-1)+??(?-r),

(S,/(S))是直線/上的點，..竺=匕儀(ST)+電，

Srt

,JInt4----(5—Z)------7,(5—Z)2+—r(X—/)3

Ins1?-Int、Itntt2產(chǎn)3〃

—=-L(S-t)+—<------h-------------------------------------------

SttS

3

可得J^￡(S-，)5+^2_/皿<；GT)——($_。2+-L.(5-0,

.?.(s-ι)2〈一J?(s-r)2+J?(s-'P,

↑-lnt11z

TV廿費

^?-lnt<-—+—?(s-t)

23t

?s>-t-3tbιt.

2

11.已知函數(shù)F(X)=?tr,^(x)=%+tn(m∈R).

(I)若/(x),,g(x)恒成立，求實數(shù)加的取值范圍;

(2)求證：當x>0時，"*2日)上1∕πλ+[.

X

【解答】(1)解:F(x)=f(x)-g(x)=Inx-X-m(x>0),

則F(X)=上?，

X

當O<x<l時，F(xiàn)'(x)>0,則尸(X)單調(diào)遞增,

當x>l時,F(X)<0,則F(X)單調(diào)遞減，

所以當X=I時，F(xiàn)(X)取得最大值/(1)=-?-m,

因為/(xλ,g(x)恒成立，即F(x)?O恒成立，

則—1—τn,,O,解得in..1,

故實數(shù)機的取值范圍為［-1,+8);

(2)證明：由(1)可知，∕n?,X-I恒成立，即x?.∕nr+l,

所以要證e'+(2-e)x-llnχ+λy

X

只需證明e*-(6-2口-1..工2成立即可，

令〃(X)=ex-X2-(?-2)x-1(%>0),

則h'(x)=ex-2x-(e-2),

令m(x)=ex-2x-(e-2)(X>0),

則m'(x)=ex-2,

當0<x<加2時,m'M<0,則皿x)單調(diào)遞減，

當X>Inl時，m'(x)>0,則ZM(X)單調(diào)遞增，

又/(0)=3-e>0,h'(1)=0,

因為0<加2<1,則”(加2)<0,

所以存在Λoe(O,∕"2),使得/?’(Xo)=0,

故當XW(O,與)時,/(X)>0,則〃(X)單調(diào)遞增，

當Xe(Xo,1)時，Λ,(x)<O,則∕ι(x)單調(diào)遞減,

當Xe(l,+OO)時，Λ,(x)>O>則〃(X)單調(diào)遞增，

又加O)="(1)=0,

所以〃(x)..0,

gx2gχ1

因此，當x>0時，+(-)~∕m-+1

X

12.已知函數(shù)優(yōu)，g(x)=kx1-2x(k∈R).

(1)若y=∕(x)在X=I處的切線也是y=g(x)的切線，求&的值;

(2)若x∈(0,+∞),/(X),,g(x)恒成立，求人的最小整數(shù)值.

【解答】解:(1)由/(x)=∕nx,

得r0)=?L,則r(1)=ι,

X

又/(I)=0,??.y=/(X)在X=I處的切線方程為y=x-l.

聯(lián)立口==1,得依2-3X+1=0.

[y=kx-2x

由題意，k≠0j且△=(一3)2-4攵=。，解得％=2；

4

(2)x∈(0,+oo)，f(x),yg(x)恒成立，

B∣Jkx1-2x-lnx..O對任意XG(O,+∞)恒成立，令Λ(x)=kxλ-Ix-Inx,

當X=I時，得匕.2；

C14r2—2r-1

若左=2,A(x)=2x2-2x-Inx,A,(x)=4x-2——=---------------(x>0).

XX

4f-2x-l=O的正根為匕正<1,則〃(X)在(1拽，1)上單調(diào)遞增，

44

而人(1)=0,可得MX)<∕z(1)=O在(生且，1)上成立，與∕z(x)?.O矛盾；

4

當我..3時，Λ(x)=kx2-2x-lnx..3x2-2x-lnx(0,+∞)上成立.

令O(X)=X-1一。優(yōu)，則或(X)=I-L=一-,

XX

當x∈(O,l)時，￠/(X)VO,O(X)單調(diào)遞減，當％∈(l,+∞)時，"(%)>0,例幻單調(diào)遞增.

.?.φ(x)..φ(I)=0?BPx-?..lnx,

可得入