蘭州市重點中學2023-2024學年九年級數(shù)學第一學期期末質量檢測試題含解析

蘭州市重點中學2023-2024學年九年級數(shù)學第一學期期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，其對稱軸是，且過點，下列說法：①；②；③；④若是拋物線上兩點，則，其中說法正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④2．下列說法中，不正確的是（）A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似C．所有的等邊三角形都相似 D．有一個角是100°的兩個等腰三角形相似3．對于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（）A．點（﹣2，﹣1）在它的圖象上 B．它的圖象在第一、三象限C．當x＞0時，y隨x的增大而增大 D．當x＜0時，y隨x的增大而減小4．已知點A（1，a）、點B（b，2）關于原點對稱，則a+b的值為（）A．3 B．-3 C．-1 D．15．下列函數(shù)中，的值隨著逐漸增大而減小的是（）A． B． C． D．6．將拋物線先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度可得拋物線（）A． B．C． D．7．若拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個公共點，且過點A(m，n），B(m﹣8，n)，則n的值為（）A．8 B．12 C．15 D．168．函數(shù)和在同一坐標系中的圖象大致是（）A． B． C． D．9．不等式組的整數(shù)解有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個10．正八邊形的中心角為（）A．45° B．60° C．80° D．90°11．如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB=1：2：4，則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG等于()A．1：2：4 B．1：4：16 C．1：3：12 D．1：3：712．下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，點在雙曲線（）上，過點作軸，垂足為點，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線交軸于點，交軸于點，連接.若，則的值為______.14．在中，，，，則的長是__________．15．如圖，在平行四邊形中，點、在雙曲線上，點的坐標是，點在坐標軸上，則點的坐標是___________.16．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，則CF=______．17．設，，是拋物線上的三點，則，，的大小關系為__________．18．拋物線（a>0）過點（﹣1，0）和點（0，﹣3），且頂點在第四象限，則a的取值范圍是____．三、解答題（共78分）19．（8分）為了維護國家主權和海洋權利，海監(jiān)部門對我國領海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，如圖，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時50海里的速度向正東方航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）已知在燈塔P的周圍25海里內有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？．20．（8分）某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售單價x（元/件）與每天銷售量y（件）之間的關系如下表．x（元/件）15182022…y（件）250220200180…（1）直接寫出：y與x之間的函數(shù)關系；（2）按照這樣的銷售規(guī)律，設每天銷售利潤為w（元）即（銷售單價﹣成本價）x每天銷售量；求出w（元）與銷售單價x（元/件）之間的函數(shù)關系；（3）銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？21．（8分）已知在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y＝x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A(1,m)和點B(－2,－1).（1）求k,b的值；（2）連結OA,OB,求△AOB的面積.22．（10分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，拋物線與x軸的另一交點為B．（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；（2）設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．23．（10分）解方程組:24．（10分）總書記指出，到2020年全面建成小康社會，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標．為貫徹的指示，實現(xiàn)精準脫貧，某區(qū)相關部門指導對口幫扶地區(qū)的村民，加工包裝當?shù)靥厣r產品進行銷售，以增加村民收入．已知該特色農產品每件成本10元，日銷售量(袋)與每袋的售價(元)之間關系如下表：每袋的售價(元)…2030…日銷售量(袋)…2010…如果日銷售量y(袋)是每袋的售價x(元)的一次函數(shù)，請回答下列問題：（1）求日銷售量y(袋)與每袋的售價x(元)之間的函數(shù)表達式；（2）求日銷售利潤(元)與每袋的售價(元)之間的函數(shù)表達式；（3）當每袋特色農產品以多少元出售時，才能使每日所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？(提示：每袋的利潤=每袋的售價每袋的成本)25．（12分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（0，﹣4）和B（2，0）兩點．（1）求c的值及a，b滿足的關系式；（2）若拋物線在A和B兩點間，從左到右上升，求a的取值范圍；（3）拋物線同時經過兩個不同的點M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，求a的值．26．如圖，一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交于A、B兩點，與x軸交于D點，且C、D兩點關于y軸對稱．（1）求A、B兩點的坐標；（2）求△ABC的面積．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】根據二次函數(shù)的圖像和性質逐個分析即可．【詳解】解：對于①：∵拋物線開口向上，∴a>0，∵對稱軸，即，說明分子分母a,b同號，故b>0，∵拋物線與y軸相交，∴c<0，故，故①正確；對于②：對稱軸，∴，故②正確；對于③：拋物線與x軸的一個交點為(-3,0)，其對稱軸為直線x=-1，根據拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的另一個交點為,1,0)，故當自變量x=2時，對應的函數(shù)值y=，故③錯誤；對于④：∵x=-5時離對稱軸x=-1有4個單位長度，x=時離對稱軸x=-1有個單位長度，由于＜4，且開口向上，故有，故④錯誤，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與其系數(shù)的符號之間的關系，熟練掌握二次函數(shù)的圖形性質是解決此類題的關鍵．2、A【分析】根據相似多邊形的定義，即可得到答案.【詳解】解：A、所有的菱形都相似，錯誤；B、所有的正方形都相似，正確；C、所有的等邊三角形都相似，正確；D、有一個角是100°的兩個等腰三角形相似，正確；故選：A.【點睛】本題考查了相似多邊形的定義，熟練掌握相似多邊形的性質：對應角相等，對應邊成比例是解題的關鍵.3、C【詳解】由題意分析可知，一個點在函數(shù)圖像上則代入該點必定滿足該函數(shù)解析式，點（-2，-1）代入可得，x=-2時，y=-1，所以該點在函數(shù)圖象上，A正確；因為2大于0所以該函數(shù)圖象在第一，三象限，所以B正確；C中，因為2大于0，所以該函數(shù)在x＞0時，y隨x的增大而減小，所以C錯誤；D中，當x＜0時，y隨x的增大而減小，正確，故選C.考點：反比例函數(shù)【點睛】本題屬于對反比例函數(shù)的基本性質以及反比例函數(shù)的在各個象限單調性的變化4、B【分析】由關于原點對稱的兩個點的坐標之間的關系直接得出a、b的值即可.【詳解】∵點A（1，a）、點B（b，2）關于原點對稱，∴a=﹣2，b=﹣1，∴a+b=﹣3.故選B.【點睛】關于原點對稱的兩個點，它們的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標也互為相反數(shù).5、D【分析】分別利用一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性分析得出答案．【詳解】A選項函數(shù)的圖象是隨著增大而增大，故本選項錯誤；B選項函數(shù)的對稱軸為，當時隨增大而減小故本選項錯誤；C選項函數(shù)，當或，隨著增大而增大故本選項錯誤；D選項函數(shù)的圖象是隨著增大而減小，故本選項正確；故選D.【點睛】本題考查了三種函數(shù)的性質，了解它們的性質是解答本題的關鍵，難度不大．6、A【分析】根據拋物線平移的規(guī)律：上加下減，左加右減，即可得解.【詳解】平移后的拋物線為故答案為A.【點睛】此題主要考查拋物線平移的性質，熟練掌握，即可解題.7、D【分析】由題意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又拋物線過點A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B關于直線x＝對稱，所以A（+4，n），B（﹣4，n），把點A坐標代入y＝x2+bx+c，化簡整理即可解決問題．【詳解】解：由題意b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，又∵拋物線過點A（m，n），B（m﹣8，n），∴A、B關于直線x＝對稱，∴A（+4，n），B（﹣4，n），把點A坐標代入y＝x2+bx+c，n＝（+4）2+b（+4）+c＝b2+1+c，∵b2＝4c，∴n＝1．故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質,關鍵在于熟悉性質,靈活運用.8、D【解析】試題分析：當k＜0時，反比例函數(shù)過二、四象限，一次函數(shù)過一、二、四象限；當k＞0時，反比例函數(shù)過一、三象限，一次函數(shù)過一、三、四象限．故選D．考點：1．反比例函數(shù)的圖象；2．一次函數(shù)的圖象．9、B【分析】先解出不等式組的解集，然后再把所有符合條件的整數(shù)解列舉出來即可.【詳解】解：解得，解得，∴不等式組的解集為：，整數(shù)解有1、2、3共3個，故選：B.【點睛】本題考查了一元一次不等式組的的解法，先分別求出各不等式的解集，注意化系數(shù)為1時，如果兩邊同時除以一個負數(shù)，不等號的方向要改變；再求各個不等式解集的公共部分，必要時，可用數(shù)軸來求公共解集.10、A【分析】根據中心角是正多邊形的外接圓相鄰的兩個半徑的夾角，即可求解.【詳解】∵360°÷8＝45°，∴正八邊形的中心角為45°，故選：A．【點睛】本題主要考查正八邊形的中心角的定義，理解正八邊形的外接圓相鄰的兩個半徑的夾角是中心角，是解題的關鍵.11、C【分析】由于DE∥FG∥BC，那么△ADE△AFGABC，根據AD：AF：AB=1：2：4，可得出三個相似三角形的面積比，進而得出△ADE、四邊形DFGE、四邊形FBCG的面積比.【詳解】設△ADE的面積為a,則△AFG和△ABC的面積分別是4a、16a;則分別是3a、12a;則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG=1：3：12故選C.【點睛】本題主要考察相似三角形，解題突破口是根據平行性質推出△ADE△AFGABC.12、B【分析】根據中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：B．【點睛】此題考查的是中心對稱圖形和軸對稱圖形的識別,掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念是解決此題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】設OA交CF于K．利用面積法求出OA的長，再利用相似三角形的性質求出AB、OB即可解決問題；【詳解】解：如圖，設OA交CF于K．由作圖可知，CF垂直平分線段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，CF=，∴AK=OK=，∴OA=，∵∠AOB+∠AOF=90°，∠CFO+∠AOF=90°，∴∠AOB=∠CFO，又∵∠ABO=∠COF，∴△FOC∽△OBA，∴，∴，∴OB=，AB=，∴A（，），∴k=×=．故答案為：．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，勾股定理，相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．14、【分析】根據cosA=可求得AB的長．【詳解】解：由題意得，cosA=，∴cos45°=，解得AB=．故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．15、【分析】先根據點A的坐標求出雙曲線的解析式，然后根據點B,C之間的縱坐標之差和平行四邊形的性質求出點D的坐標即可.【詳解】∵點在雙曲線上∴∴∴∵點B,點在坐標軸上∴B,C兩點的縱坐標之差為1∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD//BC，AD=BC∴A,D兩點的縱坐標之差為1∴D點的縱坐標為∴∴∴的坐標是故答案為【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)及平行四邊形的性質，掌握待定系數(shù)法及平行四邊形的性質是解題的關鍵.16、【解析】試題分析：證△AEF≌△ADF，推出AE=AD=5，EF=DF，在△ABE中，由勾股定理求出BE=3，求出CE=2，設CF=x，則EF=DF=4-x，在Rt△CFE中，由勾股定理得出方程（4-x）2=x2+22，求出x即可．試題解析：∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，AD=BC=5，AB=CD=4，∵EF⊥AE，∴∠AEF=∠D=90°，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（AAS），∴AE=AD=5，EF=DF，在△ABE中，∠B=90°，AE=5，AB=4，由勾股定理得：BE=3，∴CE=5-3=2，設CF=x，則EF=DF=4-x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2=CE2+CF2，∴（4-x）2=x2+22，x=，CF=．考點：矩形的性質．17、【分析】根據點A、B、C的橫坐標利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出y1、y2、y3的值，比較后即可得出結論．【詳解】∵，，是拋物線y＝?（x＋1）2＋1上的三點，∴y1＝0，y2＝?3，y3＝?8，∵0＞?3＞?8，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據點的坐標利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出縱坐標是解題的關鍵．18、0＜a＜3.【解析】試題解析：∵二次函數(shù)的圖象與坐標軸分別交于點(0,?3)、(?1,0)，∴c=?3，a?b+c=0，即b=a?3，∵頂點在第四象限，又∵a>0，∴b<0，∴b=a?3<0，即a<3，故故答案為點睛：二次函數(shù)的頂點坐標為：三、解答題（共78分）19、（1）30°；（2）海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．【分析】（1）根據直角的性質和三角形的內角和求解；（2）過點P作PH⊥AB于點H，根據解直角三角形，求出點P到AB的距離，然后比較即可.【詳解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°∴∠APB=180°-30°-120°=30°（2）過點P作PH⊥AB于點H在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=PH在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=PH∴AB=AH-BH=PH=50解得PH=25＞25，因此不會進入暗礁區(qū)，繼續(xù)航行仍然安全.考點：解直角三角形20、（1）y＝﹣10x+1；（2）w＝﹣10x2+500x﹣10；（3）銷售單價定為25元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤2250元．【分析】（1）根據題意得出日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求出即可；（2）根據銷量×每件利潤=總利潤，即可得出所獲利潤W為二次函數(shù)；（3）將（2）中的二次函數(shù)化為頂點式，確定最值即可．【詳解】（1）由圖表中數(shù)據得出y與x是一次函數(shù)關系，設解析式為：y=kx+b，則，解得：．故y與x之間的函數(shù)關系式為：y=﹣10x+1．故答案為：y=﹣10x+1．（2）w與x的函數(shù)關系式為：w=(x﹣10)y=(x﹣10)(﹣10x+1)=﹣10x2+500x﹣10；（3）w=﹣10x2+500x﹣10=﹣10(x﹣25)2+2250，因為﹣10＜0，所以當x=25時，w有最大值．w最大值為2250，答：銷售單價定為25元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤2250元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用及二次函數(shù)最大值求法，難度適中，解答本題的關鍵是根據題意，逐步求解，由易到難，搞清楚這兩個函數(shù)之間的聯(lián)系．21、（1）k=2；b=1；（2）【解析】（1）把B(－2,－1)分別代入和即可求出k,b的值；（2）直線AB與x軸交于點C，求出點C的坐標，可得OC的長，再求出點A的坐標，然后根據求解即可.【詳解】解：（1）把B(－2,－1)代入,解得,把B(－2,－1)代入,解得.（2）如圖,直線AB與x軸交于點C,把y=0代入，得x=-1，則C點坐標為(－1,0),∴OC=1.把A(1,m)代入得,∴A點坐標為A(1,2)..【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征，一次函數(shù)與坐標軸的交點，坐標與圖形，以及三角形的面積公式，運用數(shù)形結合的思想是解答本題的關鍵.22、（1）y=x+3，y=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）【分析】（1）首先由題意根據拋物線的對稱性求得點B的坐標，然后利用交點式，求得拋物線的解析式；再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式；（2）首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的長，然后分別從點B為直角頂點、點C為直角頂點、點P為直角頂點去分析求解即可求得答案．【詳解】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），拋物線與x軸的另一交點為B，∴B的坐標為：（﹣3，0），設拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，3）代入，﹣3a=3，解得：a=﹣1，∴拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x2﹣2x+3；把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得：，解得：，∴直線y=mx+n的解析式為：y=x+3；（2）設P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2，即：18+4+t2=t2﹣6t+10，解之得：t=﹣2；②若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2，即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解之得：t=4，③若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2﹣6t+10=18，解之得：t1=，t2=；綜上所述P的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，數(shù)形結合思想解題是本題的解題關鍵.23、.【分析】根據加減消元法即可求解.【詳解】解:得:.解得:代入①，解得:所以，原方程組的解為【點睛】此題主要考查二元一次方程組的求解，解題的關鍵是熟知加減消元法的運用.24、（1）；（2）P=；（3）當每袋特色農產品以25元出售時，才能使每日所獲得的利潤最大,最大利潤是225元.【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；（2）根據日銷售利潤=每袋的利潤×銷售量即可得出日銷售利潤(元)與每袋的售價(元)之間的函數(shù)表達式；（3）根據二次函數(shù)的性質求最大值即可.【詳解】解：（1）設一次函數(shù)的表達式為：，將(，)，(，)代入中得解得∴售量(袋)與售價(元)之間的函數(shù)表達式為．(2)()()．(3)()(40)∴當時，∴當每袋特色農產品以25元出售時，才能使每日所獲得的利潤最大,最大利潤是225元.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵.25、（1）c＝﹣4，2a+b＝2；（2）﹣1≤a＜0或0＜a≤1；（3）①a＝；②a＝1【分析】（1）直接將AB兩點代入解析式可求c，以及a，b之間的關系式．

（2）根據拋物線的性質可知，當a＞0時，拋物線對稱軸右邊的y隨x增大而增大，結合拋物線對稱軸x=和A、B兩點位置列出不等式即可求解；（3）①根據拋物線的對稱性得出，解得a=；②根據M、N的坐標，易證得兩點都在直線y=-2x-3上，即M、N是直線y=-2x-3與拋物線y=a