數(shù)學(xué)人教A版必修3學(xué)案2-2-1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

2．2用樣本估計(jì)總體2．2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布[目標(biāo)]1.理解用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的方法；2.掌握列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖的方法；3.能夠利用圖形解決實(shí)際問題．[重點(diǎn)]頻率分布直方圖的畫法及莖葉圖的畫法．[難點(diǎn)]應(yīng)用頻率分布直方圖估計(jì)總體的分布．知識點(diǎn)一頻率分布表和頻率分布直方圖[填一填]1．頻率分布直方圖的繪制(1)求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差．(2)決定組距與組數(shù)，組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，一般來說，數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān)，樣本容量越大，所分組數(shù)越多，當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，常分為5～12組．(3)將數(shù)據(jù)分組．(4)列頻率分布表，計(jì)算各小組的頻率，作出頻率分布表．(5)畫頻率分布直方圖．其中橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比．2．頻率分布直方圖的意義頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，各小長方形的面積的總和等于1.[答一答]1．如何確定組距？提示：組距的選擇應(yīng)力求“取整”，如果極差不利于分組(如不能被組數(shù)整除)，可適當(dāng)增大極差，如在左、右兩端各增加適當(dāng)范圍(盡量使兩端增加的量相同)．2．頻率分布直方圖中長方形的面積有什么含義？提示：在頻率分布直方圖中，由于長方形的面積S＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，所以各個(gè)小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組上的頻率的大?。R點(diǎn)二頻率分布折線圖、總體密度曲線[填一填]1．頻率分布折線圖的定義連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．2．總體密度曲線的定義在樣本頻率分布直方圖中，隨著樣本容量的增加，所分組數(shù)的增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線，它能夠精確地反映總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息．[答一答]3．頻率分布折線圖有什么優(yōu)缺點(diǎn)？提示：頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它可以表示數(shù)量的多少，直觀地反映數(shù)量的增減情況，即變化趨勢；缺點(diǎn)是它不適合總體分布較多的情況．知識點(diǎn)三莖葉圖[填一填]1．莖葉圖的適用范圍在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好．2．莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便．3．莖葉圖的缺點(diǎn)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，枝葉就會很長，莖葉圖就顯得不太方便．[答一答]4．畫莖葉圖時(shí)，重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)只記錄一次嗎？提示：不是．繪制莖葉圖時(shí)，重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”位置的數(shù)據(jù)．同一數(shù)據(jù)出現(xiàn)幾次，就要在圖中體現(xiàn)幾次．類型三畫樣本的頻率分布直方圖[例1]下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高．(單位：cm)區(qū)間界限[122,126)[126,130)[130,134)人數(shù)5810區(qū)間界限[134,138)[138,142)[142,146)人數(shù)223320區(qū)間界限[146,150)[150,154)[154,158]人數(shù)1165(1)列出樣本頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比．[解](1)樣本頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158]50.04合計(jì)1201(2)其頻率分布直方圖如下：(3)由樣本頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我們估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.在該問題中，分組區(qū)間已經(jīng)給出，只需計(jì)算相應(yīng)的頻率即可列表.在畫頻率分布直方圖時(shí)，小長方形的高是頻率除以組距，需要預(yù)先進(jìn)行計(jì)算.畫頻率分布直方圖時(shí)，還需注意比例適當(dāng).從頻率分布表或頻率分布直方圖，可以估計(jì)總體的分布情況.[變式訓(xùn)練1]為了檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組情況與頻數(shù)如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65)，2.(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖．解：(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[10.75,10.85)30.03[10.85,10.95)90.09[10.95,11.05)130.13[11.05,11.15)160.16[11.15,11.25)260.26[11.25,11.35)200.20[11.35,11.45)70.07[11.45,11.55)40.04[11.55,11.65)20.02合計(jì)1001.00(2)頻率分布直方圖及頻率分布折線圖如圖所示：類型二頻率分布直方圖的應(yīng)用[例2]為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為24171593，第二小組的頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約是多少？[解](1)頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，因此第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.因?yàn)榈诙〗M的頻率＝eq\f(第二小組的頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(第二小組的頻數(shù),第二小組的頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由直方圖可估計(jì)該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握下列關(guān)系式：1eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率.2eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù).[變式訓(xùn)練2]從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)．由圖中數(shù)據(jù)可知a＝0.030.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為3.解析：根據(jù)(0.035＋a＋0.020＋0.010＋0.005)×10＝1，求得a＝0.030.身高在[120,130)內(nèi)學(xué)生有0.030×10×100＝30人，在[130,140)內(nèi)學(xué)生有0.020×10×100＝20人，在[140,150]內(nèi)學(xué)生有0.010×10×100＝10人，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為eq\f(18,30＋20＋10)×10＝3(人)．類型三莖葉圖及應(yīng)用[例3]某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗(yàn)．兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412，414,415,421,423,423,427,430,430,434,443，445,445,451,454.品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395，397,397,400,401,401,403,406,407,410,412，415,416,422,430.(1)畫出莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？(3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．[分析]兩組數(shù)據(jù)比較多，注意不要漏掉數(shù)據(jù)，根據(jù)莖葉圖的特點(diǎn)(分布情況)寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．[解](1)莖葉圖如圖．(2)樣本容量不大，畫莖葉圖很方便，此時(shí)莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息丟失，而且還可以隨時(shí)記錄新的數(shù)據(jù)．(3)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A畝產(chǎn)量的平均數(shù)比品種B畝產(chǎn)量的平均數(shù)大；②品種A的畝產(chǎn)量波動比品種B的畝產(chǎn)量波動大，故品種A的畝產(chǎn)量穩(wěn)定性較差．1利用莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，通常從莖葉圖中各個(gè)“葉”上的數(shù)字多少來分析該組數(shù)據(jù)的分布對稱性、穩(wěn)定性等.2如果莖葉圖中的數(shù)據(jù)大致集中在某一行附近，那么說明這組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定.,3莖葉圖只適用于樣本數(shù)據(jù)較少的情況.[變式訓(xùn)練3]為了調(diào)查甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站受歡迎的程度，隨機(jī)選取了14天，統(tǒng)計(jì)上午8：00～10：00間各自的點(diǎn)擊量，得到如圖所示的莖葉圖，根據(jù)莖葉圖解答下列問題：(1)求乙網(wǎng)站點(diǎn)擊量的極差；(2)求甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10,40]間的頻數(shù)和頻率；(3)請你估計(jì)甲、乙兩網(wǎng)站哪個(gè)更受歡迎？并說理由．解：(1)根據(jù)莖葉圖，得乙網(wǎng)站的點(diǎn)擊量的最大值是71，最小值是5，則乙網(wǎng)站的極差為71－5＝66.(2)觀察莖葉圖，得甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10,40]間的點(diǎn)擊量有20,24,25,38共4個(gè)，所以甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10,40]間的頻數(shù)為4，頻率為eq\f(4,14)＝eq\f(2,7).(3)觀察莖葉圖，得甲網(wǎng)站的點(diǎn)擊量集中在莖葉圖的下方，而乙網(wǎng)站的點(diǎn)擊量集中在莖葉圖的上方，從數(shù)據(jù)的分布情況來看，甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù)，所以甲網(wǎng)站更受歡迎．1．一個(gè)容量為40的樣本數(shù)據(jù)分組后組數(shù)與頻數(shù)如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8)，4.則樣本在[25,25.9)上的頻率為(C)A.eq\f(3,20)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)解析：[25,25.9)包括[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10，頻數(shù)之和為20，頻率為eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，故選C.2．在用樣本頻率分布估計(jì)總體分布的過程中，下列說法正確的是(C)A．總體容量越大，估計(jì)越精確B．總體容量越小，估計(jì)越精確C．樣本容量越大，估計(jì)越精確D．樣本容量越小，估計(jì)越精確3．從甲、乙兩種玉米苗中各抽6株，分別測得它們的株高如圖所示(單位：cm)，根據(jù)數(shù)據(jù)估計(jì)(D)A．甲種玉米比乙種玉米不僅長得高而且長得整齊B．乙種玉米比甲種玉米不僅長得高而且長得整齊C．甲種玉米比乙種玉米長得高但長勢沒有乙整齊D．乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整齊解析：甲種玉米株高集中在21cm～37cm，極差為37－16＝21cm，乙種玉米株高集中在27～45且極差為45－14＝31cm，因此可以判斷乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整齊．故選D.4．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)．所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組．如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為(C)A．6B．8C．12D．18解析：由題圖可知，第一組與第二組的頻率之和為(0.24＋0.16)×1＝0.4.因?yàn)榈谝唤M與第二組共有20人，所以該試驗(yàn)共選取志愿者eq\f(20,0.4)＝50(人)，故第三組共有50×0.36＝18(人)，沒有療效的有6人，故有療效的有18－6＝12(人)．5．甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在某幾場比賽得分情況為甲：12,15,25,24,39,36,31,37,49,44,50；乙：16,13,14,26,23,28,39,33,38,51.(1)畫出甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在某幾場比賽得分的莖葉圖；(2)甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是多少．解：(1)以得分的十位數(shù)為“莖”，個(gè)位數(shù)為“葉”在同一圖中畫出即可．莖葉圖如圖所示．(2)甲得分的中位數(shù)為第六個(gè)數(shù)36，乙得分的中位數(shù)為第五個(gè)和第六個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即eq\f(26＋28,2)＝27，所以甲、乙得分的中位數(shù)之和為63.——本課須掌握的兩大問題1．理解頻率分布直方圖注意以下幾點(diǎn)：(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1，利用這一點(diǎn)可以檢驗(yàn)所畫的直方圖是否正確．(2)同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，得到的直方圖的形狀也不相同．不同的形狀給人以不同的印象，這種印象很多時(shí)候會影響我們對總體的判斷．(3)同一個(gè)總體，由于抽樣的隨機(jī)性，如果隨機(jī)地抽取另外一個(gè)樣本，所形成的樣本頻率分布一般會與前一個(gè)樣本的頻率分布有所不同，但是它們都可以近似地看作總體的分布．2．對莖葉圖的認(rèn)識：(1)莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少、較為集中且位數(shù)不多時(shí)比較適用．由于它較好地保留了原始數(shù)據(jù)且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，所以可以幫助我們分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布，還可以用來分析樣本的一些數(shù)字特征．(2)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：其一，圖上沒有原始數(shù)據(jù)的損失，所有信息都可從這個(gè)莖葉圖中得到；其二，莖葉圖可以隨時(shí)記錄，方便記錄與表示．eq\o(\s\up7(),\s\do5(學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂))不能正確理解頻率分布直方圖開講啦在頻率分布直方圖中，每個(gè)小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所有小長方形的面積之和為1.在解題時(shí)，常因把小長方形的高誤認(rèn)為是頻率而導(dǎo)致錯(cuò)誤．[典例]為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡在17.5～18歲之間的