河北省2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期省級(jí)聯(lián)測(cè)考試（3月）數(shù)學(xué)試題含解析

河北省2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期省級(jí)聯(lián)測(cè)考試（3月）數(shù)學(xué)試題含解析2023—2024高三省級(jí)聯(lián)測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷班級(jí)__________姓名__________.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A B.C. D.3.將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-24.已知，則（）A. B. C. D.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則（）A.2 B. C. D.36.甲?乙?丙?丁4位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)建模?物理探究?英語(yǔ)演講?勞動(dòng)實(shí)踐四項(xiàng)活動(dòng)，每人只能報(bào)其中一項(xiàng)，則在甲同學(xué)報(bào)的活動(dòng)其他同學(xué)不報(bào)的情況下，4位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為（）A. B. C. D.7.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.4 C.6 D.38.設(shè)，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.10.下列說(shuō)法正確是（）A.若數(shù)據(jù)的極差和平均數(shù)相等，則B.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為10.5C.若，則D.若，隨機(jī)變量，則11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得直線與直線為異面直線B.存在點(diǎn)，使得C.若為線段的中點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐體積相等D.過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，若，則__________.13.已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則滿足上述條件的一條直線的方程為__________.14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的范圍.16.2020年11月，國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021—2035年）》，要求深入實(shí)施發(fā)展新能源汽車國(guó)家戰(zhàn)略，推動(dòng)中國(guó)新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展，加快建設(shè)汽車強(qiáng)國(guó).新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動(dòng)力來(lái)源（或使用常規(guī)的車用燃料?采用新型車載動(dòng)力裝置），綜合車輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)?具有新技術(shù)?新結(jié)構(gòu)的汽車.為了了解消費(fèi)者對(duì)不同種類汽車的購(gòu)買情況，某車企調(diào)查了近期購(gòu)車的100位車主的性別與購(gòu)車種類的情況，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)挝唬喝诵詣e購(gòu)車種類合計(jì)新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男20女50合計(jì)30100（1）補(bǔ)全上面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷購(gòu)車種類與性別是否有關(guān)；（2）已知該車企的A型號(hào)新能源汽車有紅?白?黑?藍(lán)四種顏色.現(xiàn)有三個(gè)家庭各計(jì)劃購(gòu)買一輛A型號(hào)新能源汽車，記購(gòu)買的汽車顏色相同的家庭個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82817.如圖，已知平行六面體棱長(zhǎng)均為.（1）證明：；（2）延長(zhǎng)到，使，求直線與平面所成角正弦值.18.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).19.信息熵是信息論之父香農(nóng)（Shannon）定義的一個(gè)重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計(jì)算信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵.（1）當(dāng)時(shí)，計(jì)算；（2）若，判斷并證明當(dāng)增大時(shí)，的變化趨勢(shì)；（3）若，隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，證明：.2023—2024高三省級(jí)聯(lián)測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷班級(jí)__________姓名__________.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)并集的定義求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，從而求出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：A.3.將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】由模長(zhǎng)公式得，而，由即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所?故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則（）A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由題意解三角形得，由此代入拋物線方程得，結(jié)合焦半徑公式即可求解.【詳解】

過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)橹本€的傾斜角為，則，設(shè)，因?yàn)椋?，所?故選：B.6.甲?乙?丙?丁4位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)建模?物理探究?英語(yǔ)演講?勞動(dòng)實(shí)踐四項(xiàng)活動(dòng)，每人只能報(bào)其中一項(xiàng)，則在甲同學(xué)報(bào)的活動(dòng)其他同學(xué)不報(bào)的情況下，4位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式分別計(jì)算出積事件所含的基本事件數(shù)和事件所含的基本事件數(shù)，代入公式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)“甲同學(xué)報(bào)的活動(dòng)其他同學(xué)不報(bào)”，“4位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同”，由題得，所以.故選：C.7.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.4 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】由已知結(jié)合雙曲線的定義得到，，，再根據(jù)余弦定理，得到，求出離心率即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，在中，，在中，，因?yàn)?，所以，整理得，故，故離心率.故選：D.8.設(shè)，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)以及零點(diǎn)存在定理得出函數(shù)單調(diào)性結(jié)合端點(diǎn)值即可得出當(dāng)時(shí)，，由此，進(jìn)一步構(gòu)造，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性，由此可得，令，即.【詳解】令，則，令.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，則，即.令，所以，當(dāng)時(shí)，則，即，故故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值，由此即可順利得解.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知可直接得到A；換元法得到B；乘“1”法得到C；基本不等式判斷D即可.【詳解】對(duì)于，由題可得，即，故A正確；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B不正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：ACD.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若數(shù)據(jù)的極差和平均數(shù)相等，則B.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為10.5C.若，則D.若，隨機(jī)變量，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和極差公式即可得到關(guān)于的方程，則可判斷A；利用百分位數(shù)計(jì)算公式即可判斷B；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)二項(xiàng)分布的均值的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，故A不正確；對(duì)于B，由于，所以數(shù)據(jù)，16的第80百分位數(shù)為12，故B不正確；對(duì)于C，，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，所以隨機(jī)變量的期望，故D正確.故選：CD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得直線與直線為異面直線B.存在點(diǎn)，使得C.若為線段的中點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐體積相等D.過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面，即可判斷直線與直線不是異面直線；根據(jù)線面垂直證明線線垂直即可判斷；直接求出，根據(jù)，構(gòu)造三棱柱，利用即可求解，類比球體的截面，找到截面面積最大的狀態(tài)，畫出截面圖，求得面積即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，如圖，連接，，由正方體的性質(zhì)知，，所以四點(diǎn)共面，平面，故不正確；對(duì)于，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，若為的中點(diǎn)，則平面，又平面，所以，在中，，所以，故，又平面，所以平面，又平面，所以，故正確；對(duì)于，如圖，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)，連接，則幾何體為斜三棱柱，從而，在三棱柱中，,其中,,∴,又，故正確；對(duì)于，如圖，因?yàn)檎襟w中心對(duì)稱（類比為球體，看作弦），故過(guò)的截面經(jīng)過(guò)正方體的對(duì)稱中心時(shí)所得截面面積最大，此時(shí)截面交棱于中點(diǎn)，也為中點(diǎn)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，所以過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積最大時(shí)，截面形狀為正六邊形，面積為，故正確.故選:.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在求解三棱錐的體積時(shí)一般可以通過(guò)轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，更換幾何體的底面和高求解，也可以將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)容易求解的幾何體的體積差求解；解決選項(xiàng)的關(guān)鍵就是能夠合理轉(zhuǎn)化問題，類比解決，從而找到截面面積最大的狀態(tài).三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，若，則__________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列式計(jì)算，即得答案.【詳解】由題意知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，得，解得，故答案為：813.已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則滿足上述條件的一條直線的方程為__________.【答案】（或）【解析】【分析】分為當(dāng)直線的斜率存在時(shí)和直線的斜率不存在時(shí)，利用圓中的幾何關(guān)系求出直線方程即可.【詳解】由題意得圓心，半徑，故點(diǎn)在圓外，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由得，即，即，解得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，故直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.故答案為：（或）14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，再將看成整體角，求得范圍，作出的圖象，根據(jù)題設(shè)可知函數(shù)在上恰好出現(xiàn)兩個(gè)最大值點(diǎn)，結(jié)合圖象，需使區(qū)間右端點(diǎn)所在的范圍滿足，計(jì)算即得.【詳解】，令，因?yàn)?，所以，作出函?shù)的圖象.要使在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿足，即使在區(qū)間上必須恰好出現(xiàn)兩個(gè)最大值.由圖知，，解得，故的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變形求；（2）利用正弦定理將的范圍轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域求解.【小問1詳解】由正弦定理得，，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，所?【小問2詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)?所以.所以.因?yàn)?所以.所以，所以.16.2020年11月，國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021—2035年）》，要求深入實(shí)施發(fā)展新能源汽車國(guó)家戰(zhàn)略，推動(dòng)中國(guó)新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展，加快建設(shè)汽車強(qiáng)國(guó).新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動(dòng)力來(lái)源（或使用常規(guī)的車用燃料?采用新型車載動(dòng)力裝置），綜合車輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)?具有新技術(shù)?新結(jié)構(gòu)的汽車.為了了解消費(fèi)者對(duì)不同種類汽車的購(gòu)買情況，某車企調(diào)查了近期購(gòu)車的100位車主的性別與購(gòu)車種類的情況，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)挝唬喝诵詣e購(gòu)車種類合計(jì)新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男20女50合計(jì)30100（1）補(bǔ)全上面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷購(gòu)車種類與性別是否有關(guān)；（2）已知該車企的A型號(hào)新能源汽車有紅?白?黑?藍(lán)四種顏色.現(xiàn)有三個(gè)家庭各計(jì)劃購(gòu)買一輛A型號(hào)新能源汽車，記購(gòu)買的汽車顏色相同的家庭個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，再與臨界值比對(duì)即得.（2）求出的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】列聯(lián)表如下（單位：人）：性別購(gòu)車種類合計(jì)新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男202040女501060合計(jì)7030100設(shè)零假設(shè)：購(gòu)車種類與性別無(wú)關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即購(gòu)車種類與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.【小問2詳解】依題意，的可能取值為，，所以的分布列為023數(shù)學(xué)期望.17.如圖，已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為.（1）證明：；（2）延長(zhǎng)到，使，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法處理即可.【小問1詳解】如圖，連接，與交于點(diǎn)，連接，由題意可得，平行六面體中，連接，，易得是正三角形，則，所以，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)?，面，所以平?因?yàn)槠矫妫?【小問2詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由（1）可知，平面.因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，面，所以平面，易知是等邊三角形，故三棱錐為正四面體，因?yàn)槿忮F為正四面體，所以為的重心，則.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，則，因?yàn)椋?，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則所以令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析