高考數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)中含參討論問題總結(jié)(解析版)

專題05導(dǎo)數(shù)中含參討論問題總結(jié)

一、重點(diǎn)題型目錄

【題型】一'由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

【題型】二'由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)

【題型】三、含參分類討論求函數(shù)單調(diào)性區(qū)間

【題型】四、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)

【題型】五、有導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）

【題型】六'已知函數(shù)最值求參數(shù)

【題型】七'參變分離法解決導(dǎo)數(shù)問題

【題型】八、構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判定函數(shù)值大小

【題型】九'構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問題

二、題型講解總結(jié)

【題型】一'由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

例1.（2023?全國.高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（χ）=m*+*+αv的單調(diào)遞減區(qū)間為O則（）.

A.α∈（-∞,-3]B.a=—3

C.a=3D.a∈（-∞,3]

【答案】B

【分析】根據(jù)F（X）得到r（χ）,再根據(jù)“X）的單調(diào)遞減區(qū)間是得到T和1是方程

r（H=o的兩個根，代入解方程即可.

【詳解】由"x）=mx+χ2+av得r（χ）=至衛(wèi)11,乂F（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是加，所以T和

1是方程魚士竺擔(dān)=O的兩個根，代入得a=-3.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意

X

故選：B.

例2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/O）=SinX+acosX在區(qū)間（蓊）上是減函數(shù)，則

實(shí)數(shù)”的取值范圍為（）

A.a>√2-lB.a≥?C.β>l-√2D.a≥-?

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立，分離參數(shù)后由正切函數(shù)單調(diào)性求解.

【詳解】由題意，/'（x）=cosx-asinx≤0在?.?∣）上恒成立，

COSX1

即ɑ≥在上恒成立,

sinxtanx

因?yàn)閥=tanx在上單調(diào)遞增，所以y=tanx＞l,

所以在XeE時，。＜去＜1，

所以αNl.

故選：B

例3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(司=丁+0?+法+。，g(x)為“X)的導(dǎo)函數(shù).若

/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是()

A.勸有最小值3B.的有最大值2百

C./(0)√(l)≤0D.g(O)?g⑴≥0

【答案】D

【分析】由/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，得至IJg(O)=b≤0,g⑴=2a+b+3≤0,即可判斷D；

求出f(O)"(l)=c(α+b+l)+/,當(dāng)c<0時，W∕(0)√(l)>0,可否定C；記z=“2—3A，其

/、f2。+b+3W0

中(4力)滿足A<0，利用數(shù)形結(jié)合求出，判斷A、B.

【詳解】由題意可得g(x)=尸(X)=3/+2G:+6.

因?yàn)?(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，

所以g(x)40在(0,1)上恒成立,即g(0)=6≤0,g⑴=2α+6+3≤0,所以g(0)?g⑴≥0,

因?yàn)?⑼=CJ(I)=α+b+c+l,/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以c>α+6+c+l,即α+b+l<O,

所以/(0)"⑴=c(α+b+c+l)=c(α+b+l)+/,

當(dāng)c<0時，有“0)?/⑴>0

所以C錯誤，D正確.

2。+。+3≤0

記z=∕-3"其中(。力)滿足

b<0

作出可行域如圖示:

11

bbf=-c2f——二

33

m+z>+3=o

2a+b+3=0

由解得:

b=0

當(dāng)拋物線6=經(jīng)過點(diǎn)At?∣,(∕∣時zu；最小，沒有最大值.故A、B錯誤.

故選：D.

例4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知/(X)=W-l)e--；/，若不等式/

在(l,+∞)上恒成立，則。的值可以為()

A.-√2B.-1C.1D.√2

【答案】AD

【分析】由條件可得/(χ)在(l,"o)上單調(diào)遞增，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系列不等式求"的

范圍，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】設(shè)y=x-1—lnx(x>l),則y=jl>0,

X

所以y=x-l-lnx在(l,+∞)上單調(diào)遞增，所以x-l-lnx>0,

所以lnx<x-l,x∈(l,+8),0<lnx<x-l,

所以Ax)在(l,+∞)上單調(diào)遞增,

所以/'(X)=W-1)e'T-X≥O對VXe(I,+8)恒成立，即儲_1≥W恒成立.

ag(χ)=~?^,g'(χ)=LU,當(dāng)χ>ι時，g'(χ)<°,故g(χ)<g⑴=1，

ee

4~—1≥1’解得a≥Λ∕2或a≤—\/2,

所以α的值可以為-夜，√2.

故選：AD.

【題型】二'由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)

例5.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=χ2+χ-lnx-2在其定義域的一個子區(qū)間

(2k-l,2k+l)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

【答案】D

【分析】先求出函數(shù)的定義域(O,+∞),則有2k-1≥O,對函數(shù)求導(dǎo)后，令/'(X)=O求出極值

點(diǎn)，使極值點(diǎn)在(2左-L2A+1)內(nèi)，從而可求出實(shí)數(shù)%的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+∞),

所以M一120,即∕≥1,

2

廣(X)=2x+}--=2廠+1=(X+1)(21)

XXX

令/'(X)=0,得X=J或X=T(舍去)，

因?yàn)?(x)在定義域的一個子區(qū)間(2k-l,2Z+l)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，

113

所以24一1<—<2女+1,得一

244

13

綜上，?≤?<7>

24

故選：D

例&(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=f3+雙2+4X在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，則

實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

A.[2,÷x>)B.(2,+∞)

C.(→o,2]D.(-∞,2)

【答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為了'(x)≥0在(0,2)上恒成立，采用分離變量法可得2α≥3x-}由

4

3x—<4可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

X

【詳解】."(力在(0,2)上單調(diào)遞增，.??f(X)=-3/+2?+4≥0在(0,2)上恒成立,

3V2_44/、

即24≥衛(wèi)」=3X-M在(0,2)匕恒成立，

XX

又y=3x-3在(0,2)上單調(diào)遞增，.?.3x--<6-2=4,.?.2α≥4,解得：a≥2,

XX

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為[2,茁).

故選：A.

例7.(2023?全國?高三專題練習(xí))下列說法正確的有()

A.設(shè)A={x∣2≤x≤5},8={x∣2α≤x≤α+3},若8qA,則實(shí)數(shù)0的取值范圍是口，2]

B.ua>l,匕>1”是“必>1”成立的充分條件

C.命題p：VxeR,X2>0>貝U-IP：3x∈R,x2<0

D."a≤5"是"函數(shù)/(x)=e'-(a-2)x-3是R上的單調(diào)增函數(shù)”的必要不充分條件

【答案】BD

【分析】分8=0與3H0兩種情況討論，求出參數(shù)4的范圍，即可判斷A,根據(jù)不等式的

性質(zhì)及充分條件的定義判斷B,根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷C,求出函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)，由/'(x)≥0恒成立求出。的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷D即可；

【詳解】解：對于A：當(dāng)5=0,即2a>4+3,解得4>3時滿足BqA,

α+3≤5

當(dāng)B≠0,因?yàn)锽uA,所以，2d≥2,解得l<α≤2,綜上可得α∈[l,2][3,內(nèi))，故A

2?！?。+3

錯誤；

對于B：由a>l,b>l則而>1,故“a>l,匕>1”是“必>1”成立的充分條件，即B正確；

對于C：命題p：VxwR,χ2>o,則-)p：Ξr∈R,?2<0,故C錯誤；

對于D：因?yàn)?x)=e*-(α-2)x-3,所以/'(x)=e'—(α-2),若f(x)在R上單調(diào)遞增,

則r(x)=e*-(α-2)≥0恒成立，所以2≤0,解得ι≤2,因?yàn)?Y),2](-∞,5],

所以“α≤5''是"函數(shù)"x)=e*-(α-2)x-3是R上的單調(diào)增函數(shù)”的必要不充分條件，故D

正確；

故選：BD

2x+&]工-∕nx在

例(2023?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)f(x)=Sin上單調(diào)遞

8.6j2-

減，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值是

【答案】√3

【分析】原問題等價于/'(x)=2cos(2x+￡|-X-機(jī)≤0在0弓上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求最值

即可.

【詳解】由/(力=$皿〔2X+看)-5-"優(yōu)在[°，π

上單調(diào)遞減,

得廣(x)=2cos(2x+-^j-x-∕∕2≤0fχ∈0,0-

BP2cos[2x+-^J-x≤/n,

令gα)=2cos∣2七卜中W儲則/(x)=-4sin(2x+^J-l,

當(dāng)x∈0,—時，-≤2x+-≤^-,!∣∣ι]2≤4sinι2x+-j≤4,

_6J662k6J

所以一5≤^-4sin^2x÷^j-l<-3,即g<x)<0,

所以g(x)在Xeo,1是單調(diào)遞減函數(shù)，g(x)≤g(O)nTOI=G

f?lm>?/?,m的最小值為由.

故答案為：?/?

【題型】三'含參分類討論求函數(shù)單調(diào)性區(qū)間

例9.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知〃X)=--+ln(x+l),則下列說法正確的是()

x+J

A.當(dāng)α>0時，/(x)有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)B.當(dāng)α<0時，/(x)無極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)

C.當(dāng)4>0時，/(x)有最大值D.當(dāng)“<0時，的最小值小于或等于0

【答案】D

【分析】討論。>0、a<0,利用導(dǎo)數(shù)研究/(x)在定義域上的單調(diào)性，進(jìn)而判斷極值點(diǎn)及最

值情況，即可確定答案.

【詳解】由題設(shè)，尸(X)=;~R+一二=盧粵且x∈(T,+8),

(x+l)^x+1(x+l)^

當(dāng)α>0時/'(x)>0,則/(x)在(-1,E)上遞增，無極值點(diǎn)和最大值，A、C錯誤；

當(dāng)“<0時,若XW(T,T-α)貝IJr(X)<0,/(x)遞減;x∈(-l-α,+∞)貝∣Jf癡)>0,/(x)遞

增；

所以/(x)Nf(T-α)="+l+ln(-α),即/(x)無極大值點(diǎn),有極小值點(diǎn),B錯誤;

令g(α)="+1+ln(-?)且αe(-∞,0),則g〈“)=1+’=

a

當(dāng)”<一1時g'(α)>O,g(α)遞增；當(dāng)一1<a<0時g'(α)<0,g(α)遞減；

所以gS)≤g(T)=0,即/(x)的最小值小于或等于0,D正確；

故選：D

例10.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x-∣nx-l,若不等式/⑺川門-以在區(qū)

間(0』上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.IWb?,8,；)C.(最+8)D.

一,+8

2

【答案】A

【分析】f(x)-a(x-?)2NO即為X-Inx-I-。(工-1)?>0,設(shè)g(x)=X-Inx-I-O(X-I)2,

xe(0,l],求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，分解aS；和討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性，求出函數(shù)

g(x)在區(qū)間(0』上的最小值，即可得解.

【詳解】解：由已知可得F(X)-α(x-l)2≥0即為X-InX-I-a(x-l)2≥0,

設(shè)g(x)=x-InX-I-α(x-l)2,x∈(0,1］,

則g'(χ)=(七

WX?,

當(dāng)a≤O時，顯然g'(χ)vθ,當(dāng)O<a≤g時，g'(x)Vo在Xe(0,1］上也成立，

所以aS；時，g(x)在(0,1］上單調(diào)遞減，g(x)≥g⑴=0恒成立；

當(dāng)”>?ξ■時，當(dāng)O<x<ζζ—時，g'(x)<0,當(dāng)—<x<l時，g'(x)>0,

22a2a

所以g(x)在(o,*］上單調(diào)遞減，在(1/)上單調(diào)遞增，

于是，存在x°e(g,l),使得g(%>)<g⑴=0,不滿足g(x)≥O,舍去此情況，

綜上所述，a≤^.

故選：A.

例11.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知“je2α+(m-2)e"-α=me2%+(m-2)e”,貝IJ()

A.當(dāng)“ze(-l,0),a,力e(-∞,0)時，a>b

B.當(dāng)m∈(-l,0),a,b∈(τo,0)時，a<b

C.當(dāng)me(l,2),?,bw(θ,+∞)時，a>b

D.當(dāng)，"e(l,2),a,?∈(0,+∞)?,a<b

【答案】AC

【分析】根據(jù)等號兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)f(x),利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性

進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)/(x)="ze"+(m-2)e*-x,

因?yàn)閙e2"+(W-2)ert-α=wτe2ft+(/n-2)e*,

所以/(α)=/(6)+6,當(dāng)0,8W(→Λ,0)時,

/(fl)-∕(?)=?<0,HP∕(a)<∕(?).

易知f'(x)=(屐'f(2e*+l),

當(dāng)/ne(T,0)時，/'(x)<0,所以〃力在(?⑼上單調(diào)遞減,

所以α>b,故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤.

當(dāng)“，bw(0,4w)時，/(α)-∕(?)=?>0,即/(α)>"b).

當(dāng)機(jī)∈(1,2)時，令r(χ)=0,解得X=Tn加，

所以/(x)在(Yo,-Inzn)上單調(diào)遞減，在(-In”?,+?o)上單調(diào)遞增，

所以”>b,故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯誤.

故選：AC.

【題型】四'根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)

例12.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=V-3法+6在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則人的

取值范圍是()

A.(-∞,1)B.(0,1)C.(l,+∞)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值點(diǎn)，然后使極小值點(diǎn)在(0,1)內(nèi)，從而可求出6的取

值范圍

【詳解】由題意，得f(x)=3χ2-3b,

當(dāng)b≤0時，/U)>0在(0,1)上恒成立，所以/(x)在(0,1)上遞增，函數(shù)無極值，

所以b>0,

令/'(X)=O,則x=±〃，

函數(shù)在(_后，揚(yáng))±Γ(x)<0,函數(shù)遞減，在(血，+oo)±∕,(X)>O,函數(shù)遞增

X=揚(yáng)時，函數(shù)取得極小值

I函數(shù)f(x)=xs-3fer+b在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值,

0<√?<l,

□6□(0,1)

故選：B.

例13.(2023?全國?高三專題練習(xí))若-?,(分別是函數(shù)"力=而(5+協(xié)(0>0,0<9<萬)

的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，且在區(qū)間(K)上’函數(shù)尸/U)存在唯一的極大值點(diǎn)與,使得/(?)=1-

則下列數(shù)值中，0的可能取值是()

81c99C105C117

Aλ.—B.—C.D.

4444

【答案】C

【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)的概念結(jié)合正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

j

——ωt-φ=kyπ,

【詳解】設(shè)函數(shù)y=∕(χ)的最小正周期為T,由題意得,（K也eZ）,則

π

—CD-\-（p=k^7Γ-?--

3(22+1)

O;^^4,其中匕GeZ),在區(qū)間佰上,

k'ππYκ=k2-ky1155J

S=3+"

函數(shù)y=/(?)存在唯一的極大值點(diǎn)與，使得/(%)=1，

所以X-2=N≤2T,解得O＜0≤3O,即3(2"+l)≤30,解得∕≤19.5.

515154

117TT397Γ?TT

對于D.若0=——，則々=19.由Q=&產(chǎn)+:0=A/+二;一(KeZ),且0＜e＜萬可知。=彳，可

4344

π.

--ω-vφ=kxπ,

使,化,月∈Z）,成立,

π,π

—co(p=k?+5

當(dāng)Xe年,時當(dāng)x+^e（2.7肛6.6初當(dāng)?或孚時，〃天）=1都成立,

故不符合；

對于C.若G=⑼，則女=17,9==+且。<?<）可知

434

π.

——ω+φ=kyπ,

3π一士當(dāng)WXe信[π句π]時.丁105"丁34(∕c"u6/不、

φ=-＞可使1(匕,NwZ),成立,

4π.π

-ω-?-φ=κ2π+y

當(dāng)竽』+?=當(dāng)時，存在唯一的極大值點(diǎn)%，使得/（不）=1，故符合條件;

QQJr33萬TC

對于B.若①=一,則Z=16,由0=匕4+—G=K),且0＜。＜乃可知9=:,

4344

πj

----ω+φ=κπ,

lππ99Ti

可使，(K，&eZ),成立，當(dāng)x∈時二x+2f(1.9乃，5.2萬),

π.π15,T44

-ω+φ=κ2π-^-

當(dāng)日毛+?=：或當(dāng)時’/伍）=1都成立，故不符合;

對于A.若刃=?，則％=13,由夕二女圖+^^=2］乃+弓乙且0<°v乃可知9=多,

π.

----ω+φ=kg

ππ

可使,(K&EZ),成立，當(dāng)x∈時，—X+—∈(2,1^?,4.8^),

π.πi5,y44

-ωλ-φ-k2π+—

當(dāng)與?χ0+弓=冷或半時，/（3=1都成立，故不符合;

故選：c

【題型】五、有導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)

例14.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)直線x=r與函數(shù)"x)=2χ2,g(x)=lnx的圖象分別

交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)IMM達(dá)到最小時r的值為()

A.1B.?C.@D.立

222

【答案】B

【分析】由題意，函數(shù)y=∕α)-gα)=2x2-Inx的最小值即達(dá)到最小值時，再求導(dǎo)分

析y=∕(x)-g(x)=2χ2-lnx的極小值點(diǎn)即可

【詳解】設(shè)函數(shù)y="x)-g(x)=2χ2-InX,求導(dǎo)數(shù)得y=4x-L=心上以竺』

XX

因?yàn)棣?gt;o,故當(dāng)o<x<；時，y'<o,函數(shù)在(o,g)上為單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)x>g時，y'>0,函數(shù)在(g,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)

所以X=I■為y=F(X)-g(X)=2χ2TnX的極小值點(diǎn).故當(dāng)MVl達(dá)到最小時，的值為，

故選：B.

例15.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5cm,該紙片上的

等邊三角形ABC的中心為0.0、E、尸為圓。上的點(diǎn)，ADBC,aEC4,..E4B分別是以

BC,C4,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,C4,A8為折痕折起AOBC,

△EC4,ΛFAB,使得。、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體

積(單位：cn√)的最大值為.

【答案】4V15cm,

【分析】連接0。，交BC于點(diǎn)G,設(shè)OG=X,則BC=2√iv,DG=5-x,

進(jìn)而算出三棱錐的高和體積，

l

構(gòu)造函數(shù)，令/(x)=25√-iθχ5,xe(o,∣),

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性進(jìn)而求出最大值.

【詳解】由題意，連接0。，交BC于點(diǎn)G,由題意得8J.8C,OG=蛇BC,

6

即OG的長度與BC的長度成正比，設(shè)OG=X,則8C=2√ir,DG=5-x,三棱錐的高

222222

h=?∣DG-OG=√25-l(k+x-x=√25-10x，Sabc=^×~^×(2√3x)=3y∣3x,

則y=gsABc>∕z=√Ir2>j25-10x=√Lj25√*-10χ5,令/(χ)=25?√-lθV,Xe(O

/'(X)=IOOx3-50√,令f'(x)≥O,BPχ4-2√≤0,解得x≤2,則f(x)≤∕(2)=80,

v≤√3×>^δ=4√i5cm?,,體積最大值為4√15cm3.

故答案為：4>/15cm?

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題將三棱錐體積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，考查學(xué)

生對這些知識的掌握能力，本題的解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的方法，屬于中檔題.

例16.(2023?河北?高三階段練習(xí))VxeR,∣2e1t-l∣≥2x+a,則α的最大值為.

【答案】1

【分析】VXeR,∣2e*-l∣≥2x+a,即VXeR,∣2e*-l卜2x2α,?>∕(x)=∣2ev-l∣-2x,分x>lng

和x≤ln:兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出答案.

【詳解】解：Vx∈R,∣2e'-l∣≥2x+Λ,

即VXeR,∣2eλ-l卜2x≥”,

令/(x)=∣2e'-1-2x,

當(dāng)2e*-l>0,即x>ln；時，/(x)=2ev-l-2x,

則f'(x)=2e'-2,

當(dāng)ln?∣<x<O時，∕,(x)<0,當(dāng)x>0時，/,x)>0,

所以函數(shù)/(尤)在(in；,0)上遞減，在(O,+e)上遞增，

所以當(dāng)x>ln∕時，/(<n=/(0)=1,

當(dāng)2e*-l≤0,即x≤ln<時，/(x)=l-2et-2x,

因?yàn)楹瘮?shù)》=2/,〉=2欠為增函數(shù)，

所以函數(shù)/(司=1—21-2%在(-8,111；)上遞減，

所以當(dāng)x≤lng時，∕?n=∕^n∣]=l∏4>l.

綜上所述，/(x)mbl="0)=l,

所以4≤1,

即”的最大值為1.

故答案為：1.

【題型】六'已知函數(shù)最值求參數(shù)

例17.(2023?廣西?模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/(x)=lnx+αr存在最大值0,貝心的值為()

A.-2B.--C.1D.e

e

【答案】B

【分析】討論。與0的大小關(guān)系確定/S)的單調(diào)性，求出/O)的最大值.

【詳解】因?yàn)槭?x)=^+α,x>0,

所以當(dāng)α≥0時，*[x)>O恒成立，故函數(shù)”x)單調(diào)遞增，不存在最大值;

當(dāng)“<0時，令/'(x)=O,得出X=-J

所以當(dāng)Xe(O,-￡)

時，D>0函數(shù)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(-1,+s)時，f'(x)<O,函數(shù)單調(diào)遞減,

所以f(x)m=/(_5)=In=解得：a=-l.

故選：B.

例18.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)〃X)=廠+j-"在區(qū)間(α,。+D上存在最小值,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-∞,-l)B.(-2,-1)

【答案】D

【分析】求得f'(x)=r21"+2,根據(jù)/(χ)在區(qū)間(α,α+l)上存在最小值，得到((與)=0

且f'(a)<O,7'(α+l)>0,設(shè)g(x)=-V+α+2,根據(jù)g(α)<O且g(α+l)>O,列出不等式

組，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)='+2j-",可得:(》)=-1+;+2,

ee

且/(X)在區(qū)間(a,a+i)上存在最小值,

即/'(x)在區(qū)間3,。+1)上存在?∈(α,w+l),

使得r(%)=o且rg)<o,rg+ι)>o,

設(shè)g(x)=-f+a+2,即滿足g(a)<0,且g("+l)>0,

g(α)=-a2+a+2<0,解得土好

可得《<a<-?

g(α+l)=-〃2-α+l>0

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是[二^一,-1J

故選：D.

例19.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(χ)=?1p,則下列結(jié)論正確的是()

e

A.函數(shù)AX)只有一個零點(diǎn)

B.函數(shù)/*)只有極大值而無極小值

C.當(dāng)γ<%<0時，方程/(x)=%有且只有兩個實(shí)根

D.若當(dāng)xe[t,+∞)時，∕ωmax=4,貝卜的最大值為2

e^

【答案】CD

【分析】解方程/(X)=O判斷A；利用導(dǎo)數(shù)探討程X)的極值判斷B；分析函數(shù)/(X)的性質(zhì),

借助圖象判斷C；由/(2)=?結(jié)合取最大值的X值區(qū)間判斷D作答.

e.

【詳解】對于A,由/(x)=0得：V+χ7=o,解得X=二生叵，A不正確；

2

,λx2,

對于B,對/(x)求導(dǎo)得：∕(x)=-^^~~=—S￡2),當(dāng)χ<τ或JC>2時，∕(x)<0,

exe*

當(dāng)-l<x<2時,∕,(x)>0.

即函數(shù)F(X)在(Y0,T),(2,?κo)上單調(diào)遞減，在(-1,2)上單調(diào)遞增,

因此，函數(shù)/(X)在x=-l處取得極小值/(-1)=-e,在x=2處取得極大值/(2)=2,B不正

e

確；

對于C,由選項(xiàng)B知，作出曲線y=∕(χ)及直線y="如圖，觀察圖象得當(dāng)Y<A<O時，

所以當(dāng)-e<k<O時，方程f(χ)=k有且只有兩個實(shí)根，C正確；

對于D,因/(2)=?,而函數(shù)/(幻在(2,+?>)上單調(diào)遞減，因此當(dāng)Xek+∞)時，/(X)nm=4,

e-e

當(dāng)且僅當(dāng)2w[f,+∞),即f≤2,所以/的最大值為2,D正確.

故選：CD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出")=0的解；(2)圖象法：

作出函數(shù)/(x)的圖象，觀察

與X軸公共點(diǎn)個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它

們的公共點(diǎn)個數(shù).

【題型】七'參變分離法解決導(dǎo)數(shù)問題

例20.(2023?江蘇?蘇州中學(xué)高三階段練習(xí))若關(guān)于X的不等式(4人-1-InX)X<lnx—x+3對

于任意xe(l,+8)恒成立，則整數(shù)左的最大值為()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【分析】參變分離將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.

【詳解】(4火-I-InX)X<lnx-x+3對于任意Xe(I,+8)恒成立

等價于4%<皿+Inx+3對于任意X∈(l,+∞)恒成立

XX

??Inx3,、I-Inx13x-?nx-2

令/(X)=——+1Inx+-,r則ιl/(X)=-3—+-----Z=------2—

XXXXXX

1X-]

令g(x)=x—InX—2,則/(χ)=l——=----->0

XX

所以g(x)在(LKo)上單調(diào)遞增，又g⑶=l-ln3<0,g(4)=2-ln4>0

所以g(x)在(3,4)有且僅有一個根與,滿足Xo-InXo-2=0,即InXO=X0-2

當(dāng)xe(l,Λ0)時，g(x)<0,即f'(x)<O,函數(shù)AX)單調(diào)遞減,

XW(XO,+?)時,g(x)>O,即/'(x)>0,函數(shù)F(X)單調(diào)遞增，

X-231

所以/(Anm=/(XO)=I^+/-2+—=/+——1

???

-?,1?,1,713

由對勾函數(shù)可知3+,-l<??+1?4+τ^1，即7<∕C?)<:

JXo434

因?yàn)?%<∕(x°),即無<32,-L<Z?2<I∣,我Z

412416

所以％≤0?

故選：C

例21.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知4，々，匕均為優(yōu)=H的解，且西<々<工3,

則下列說法正確的是()

2

c

?-*∣e(-2,T)B?β∈(l,e)

C.x1+x2<OD.x2+X3<2e

【答案】B

【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)“三個等價”，將方程根的問題轉(zhuǎn)化成構(gòu)造出的函數(shù)零點(diǎn)的問題，利用

零點(diǎn)存在性定理確定出4的取值情況；B,C,D選項(xiàng)：對方程變形，參變分離構(gòu)造函數(shù)，

從函數(shù)的角度以及利用極值點(diǎn)偏移可以得出相應(yīng)結(jié)論，詳細(xì)過程見解析.

【詳解】對于A,令/a)=/-/,因?yàn)樗?(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，與X軸有

唯一交點(diǎn)，

由零點(diǎn)存在性定理，得"-1)=/-1<0,/(O)=αo-O>O,則與w(-l,0),故A錯誤.

對于B,C,D,當(dāng)x>0時，兩邊同時取對數(shù)，并分離參數(shù)得到”=2，

2X

令g(x)=(,?3(X)=I［產(chǎn)，

當(dāng)XW(O,e)時,g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增；

尚x∈(e,+∞)時，g,(x)<O,g(x)單調(diào)遞減;

如圖所示，

???當(dāng)x>0時，y=孚與g(χ)=9上的圖象有兩個交點(diǎn)，

2X

?e(θ,?),解得αe(l,/),故B正確；

,?.x2∈(l,e),由A選項(xiàng)知Xle(T,0),.?.x∣+W>0,故C錯誤；

由極值點(diǎn)偏移知識，此時函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)左移，則有&產(chǎn)>e,故D錯誤.

故選：B.

例22.(2023?上海?高三專題練習(xí))在空間直角坐標(biāo)系O-種中，三元二次方程所對應(yīng)的曲

面統(tǒng)稱為二次曲面.比如方程/+V+Z?=1表示球面，就是一種常見的二次曲面.二次曲

面在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、建筑等眾多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.已知點(diǎn)P(x,%z)是二次曲面

4/-盯+V-2z=O上的任意一點(diǎn)，且x>0,γ>O,z>0,則當(dāng)一■取得最小值時，不

孫

等式e*@"In：恒成立，則實(shí)數(shù)“的取值范圍是

----1--------≤U

X22

【答案】[-e,+8)

【分析】先通過三取得最小值這個條件找出當(dāng)x,%z的關(guān)系，帶入后一個不等式，利用對數(shù)

孫

恒等式變型，此后分離參數(shù)求最值即可.

【詳解】根據(jù)題意4χ2-q+y2-2z=0,帶入三可得：==舁=土二更蟲=生+F-8,

xyxy2xy2xyy2x2

而x>0,y>0,利用基本不等式生+4≥2、住《=2,當(dāng)2=：,即y=2x取得等號，

y2x?y2xy2x

z(y=2x

此時2z=4f-χ?2x+4χ2=61,即z=3f,綜上可知，當(dāng)一取得最小值時，\」，帶

xy[z=3x~

入第二個式子可得，《+以一小二≥0,即G+αχ-α∣nx≥O,于是

X2X

-+cιx-a}nx=ex~inx+a(x-]nx)≥O,設(shè)〃="(x)=x-InX,u,(x)=1—=--,故當(dāng)x>l時，

XXX

“(X)遞增，OVXVI時,“(X)遞減,“(x)min=〃(O=1；于是原不等式轉(zhuǎn)化為〃21時,et,+au≥O

恒成立，即-α≤E在“2時恒成立，設(shè)〃(")=4("≥1),于是I?)=e"("Jn仕O,故地)

UUW

在時單調(diào)遞增，∕7(w)min=∕ι(l)=e,^-a<e,a≥-e即可.

故答案為：［-e,+∞)

【點(diǎn)睛】本題《+αx-"lnx≥O恒成立的處理用到了時數(shù)恒等式，若直接分離參數(shù)求最值,

X

會造成很大的計(jì)算量.

【題型】八、構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判定函數(shù)值大小

例23.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)〃X)(XnR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)

=0,當(dāng)x>0時，V,(x)-∕(x)>0,則使得/(x)>0成立的X的取值范圍是()

A.(-8,-1)□(-1,O)B.(0,1)□(1,+8)

C.(-∞,-1)□(0,1)D.(-1,0)□(1,-H?)

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=#，求導(dǎo)結(jié)合題意可得g(x)=#的單調(diào)性與奇偶性，結(jié)合

g(T)=O求解即可

【詳解】由題意設(shè)g(x)=W，則g<x)=礦(”小)

□當(dāng)QO時,有礦(x)-y(x)>O,

當(dāng)x>O0寸，g'(x)>O,

函數(shù)g(x)=午在(0,÷∞)上為增函數(shù)，

□函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，

□g(-X)=g(X)，

□函數(shù)g(?)為定義域上的偶函數(shù)，

g(X)在(-8,0)上遞減，

由/(-1)=0得，g(-1)=0,

不等式/(x)>0x?g(x)>0,

x>0x<0

,g(χ)>g⑴或［g(χ)<g(-∣)’

即有x>l或-l<x<0,

口使得/(x)>0成立的X的取值范圍是：(-1,0)［(1,+8),

故選：D.

例24.(2023?全國?模擬預(yù)測)以下數(shù)量關(guān)系比較的命題中，正確的是()

2-Inπ1CIn2Inπ

B.In2>-C.—<-D.——>——

?-eɑ>23πe2π

【答案】ABC

【分析】令/(x)=elnx-x(x>0),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可判斷A；根據(jù)指數(shù)

函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；令g(x)=∕(x>0),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)

而可判斷CD；

【詳解】對于A：設(shè)/(x)=elnx-x(x>0),則以力=：—1=三(χ>O),

當(dāng)O<x<e時，∕qχ)>O,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時，∕,(x)<O,函數(shù)單調(diào)遞減；

所以F(X)Cy(e)=elne-e=O,所以/(2)=eln2-2<∕(e)=0,B∣J2>eln2,

2

所以「〉2，故A正確；

2

對于B：因?yàn)?>e2,所以ln8>lnd,所以31n2>2,即ln2>§,故B正確；

對于CD：設(shè)g(x)=-j(x>0),g(x)=——.

當(dāng)0<x<e時，g'(χ)>O,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)％>e時，g'(x)<O,函數(shù)單調(diào)遞減；

所以g(e)>g(π),即皿<L故C正確;

πe

又g(e)>g(兀)>g(4),所以等>浮=浮，故D錯誤；

故選：ABC

【題型】九、構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問題

例25.(2023?全國?高三專題練習(xí))定義在(0,+8)上的函數(shù)F(X)滿足

礦(x)+l>0J(2)=ln；,則不等式/(e*)+x>0的解集為()

A.(0,21n2)B.(0,ln2)C.(In2,l)D.(ln2,+∞)

【答案】D

【分析】構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+l聯(lián)(x>O),利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，將∕C)+x>0變形

為g(e')>g(2)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解