空間幾何體的外接球和內(nèi)切球問題-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）（解析版）

考向29空間幾何體的外接球

和內(nèi)切球問題

I.（2022年乙卷理9文12）9.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個頂點(diǎn)均在球。的球面

上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為

當(dāng)且僅當(dāng)之=1-￠，即/=3時，等號成立

423

故選C

2.（2022年新高考1卷）8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36兀,

且3利/圭IBG,則該正四棱雉體積的取值范圍是

A.[18,?B.[?,?]C.

D.[18,27]

44443

【答案】C

【解析】記三棱錐高與側(cè)棱夾角為e,高為/2,底面中心到各頂點(diǎn)的距離為加，

COSθ=3+'-----=-^-e[?,-],則/=6CoS6,n

'/=/?sin=6sin^∞sθ,

2×3×∕622

仁潦T寰薩=6COS3S底f2mx2*2∕

COSθ

故V=gs底?∕z=gx2nrh=144(sin^cos2θ)2,

?y=sin夕COS2。=sin6(1—sin2θ)=x(1-x2)=-x3+x,x二sin6∈[!,

2

y'=-3x2÷1,故x∈,y'vθ,x∈,γ,>0,

即嗑X=144‰J=144,亭凈了號

囁n=144x

3.（2022年新高考2卷）7.正三棱臺高為1,上下底邊長分別是30和46,所有頂點(diǎn)在同一球面上，則

球的表面積是

A.IOO乃B.128;TC.144萬D.192萬

【答案】A

【解析】由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑是3,

下底面所在平面截球所得圓的半徑是4,

則軸截面中由幾何知識可得,N-32+JR2-4'=1,或JR2_32-J店一不=1

解得相=25,因此球的表面積是S=4%/?2=4乃-25=100萬.故選A.

AI

L正方體內(nèi)切球、外接球、棱切球的球心都是正方體的中心，若正方體棱長為。，則這三種球的半徑分別

為a?∕3a?∣2a

2,~,"2^-'

2.長方體的外接球的球心是其體的對角線的中點(diǎn)；若長方體的過同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為名。,C則外接

球的半徑是業(yè)＞；+Cl若長方體過同一頂點(diǎn)的三個面的對角線長分別為X,y,z則外接球的半徑是

222

y∕2y∣x+y+z

4

3.直三棱柱的外接球球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn).若直三棱柱的側(cè)棱長為h,底面三角形外接

圓半徑為R(或可用正弦定理求得它)則外接球半徑為?

4.正四面體的內(nèi)切球、外接球的球心都是正四面體的中心，它是高的一個四等分點(diǎn)，若四面體的棱長為a,

則其內(nèi)切球半徑為業(yè)“，外接球半徑為立

124

5.正棱錐的外接球球心在其高上，具體位置可通過建立直角三角形運(yùn)用勾股定理計算得到.

6.正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐、相對棱相等的三棱錐，這些

幾何體的外接球問題可以補(bǔ)形成長方體或正方體來解決.

7.一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐的外接球題，可補(bǔ)形為直三棱柱來解決問題.

8.圓錐的內(nèi)切球和外接球問題可作公共的軸截面，找出兩個幾何體的關(guān)系解決問題.

9.多面體內(nèi)切球問題可由公式

多面體表面積?R內(nèi)切球半徑=V多面體恤來計算內(nèi)切球半徑?

1.常用結(jié)論

(1)正方體和長方體的外接球的球心為其體對角線的中點(diǎn).

(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn).

(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點(diǎn).

(4)正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過構(gòu)造直角三角形計算得到.

(5)若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心.

2.構(gòu)造正方體、長方體、直棱柱等用上述結(jié)論確定外接球的球心

(1)同一個頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體，求其外接球問題可構(gòu)造正方體或長方體.

(2)相對的棱長相等的三棱錐，求其外接球問題可構(gòu)造正方體或長方體.

3.球的有關(guān)性質(zhì)

(1)球的任意一個截面都是圓.其中過球心的截面叫做球的大圓，其余的截面都叫做球的小圓.

(2)球的小圓的圓心和球心的連線垂直于小圓所在的平面.反之，球心在球的小圓所在平面上的射影是

小圓的圓心.

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為:RJd旺反

(4)球的兩個平行截面的圓心的連線垂直于這兩個截面，且經(jīng)過球心.

(5)球的直徑等于球的內(nèi)接長方體的對角線長.

(6)若直棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的球心。是直棱柱的兩個底面的外接圓的圓心的連線

的中點(diǎn).

一、單選題

1.一個底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為20兀，則該四棱柱的高為()

A.√3B.2C.3正D.√19

【答案】C

【解析】設(shè)球的半徑為R,則4πR2=20τr,解得我=5

設(shè)四棱柱的高為〃，則/+1+1=4尸，解得∕z=3√∑

故選：C

2.圓柱內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為16π,則球O的體積為

()

32πC64πC,,

A.-----B.-----C.16π

33

【答案】A

【解析】設(shè)球。的半徑為七則圓柱的底面圓的半徑為R,高為2R,

所以兀N?2R=16兀，解得：R=2,

4X)

則球O的體積為抻

故選：A

3.已知正方體ABC。-AgaR的八個頂點(diǎn)在同一個球面上，若正方體的棱長是2,則該球的表面積是()

A.6πB.12πC.18πD.24π

【答案】B

【解析】正方體ABCQ-ABCQl的八個頂點(diǎn)在同一個球面上，

若正方體的棱長是2,設(shè)外接球的半徑為r,則(Zr)-=2α??+2-%解得

故球的直徑為2√L球的表面積為S=4x乃x(若Y=12萬.故選：B.

4.己知一個棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該球體的體積為()

A.也兀B.4√3Λ-C.8%D.?2π

3

【答案】B

【解析】若棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在同一個球面上，

則球的直徑等于正方體的體對角線長，即2R=亞f/=26，(其中R是該球的半徑)，

所以R=K,則球的體積V=鏟N=4岳.

故選：B.

5.在三棱錐P—ABC,若E4_L平面ABC,ACLBC,∣Λ(^=5,∣BC∣=√Π,∣PA∣=8,則三棱錐P—AfiC外

接球的表面積是()

A.100πB.50πC.144πD.72π

【答案】A

【解析】如圖，將三棱錐放于一個長方體內(nèi)：

則三棱錐的外接球就是長方體的外接球，.??P8為三棱錐P—ABC外接球的直徑,

"?"?PB?=752+(√Π)2+82=10.

二外接球的表面積為：4萬x(2)=100%.

故選：A.

6.矩形ABCD中，A8=4,BC=3,沿AC將ABCz）矩形折起，使面BAC，面D4C,則四面體A—8CD的

外接球的體積為（)

A.9"B.9萬C125C125

C.----冗D.——π

69123

【答案】A

【解析】如圖:

矩形ABCD中，因?yàn)锳8=4,SC=3,

所以L>8=AC=5,

設(shè)DB交AC于O,則。是mABC和RVD4C的外心，

所以。到點(diǎn)A8,C,。的距離均為∣?,所以。為四面體A-BcD的外接球的球心,

所以四面體A-88的外接球的半徑7?=|,

所以四面體A-BCD的外接球的體積V=gχ%x（∣[=等.

故選:A.

7.已知點(diǎn)A8,C是球。的小圓0∣上的三點(diǎn)，若A3=BC=C4=3√5,OQ=4,則球。的表面積為（）

A.64πB.100πC.144πD.200π

【答案】B

【解析】因?yàn)锳8=5C=CA=3√i,所以。ABe是正三角形，。1是其外接圓圓心，所以ABC的外接圓半

徑r=O∣A=∣χ當(dāng)X3√5=3,球O的半徑R=JOq?+產(chǎn)=J彳+3?=5,所以球。的表面積為

4πR2=4π×25=l∞π?

故選：B.

8.已知四棱錐P-ABC。中，24_L平面ABCZ）,底面ABC。是矩形，AD=3AB=3PA,若四棱錐AMBCz）

外接球的表面積為1反，則四棱錐尸-ABC。的體積為（）

A.3B.2C.√2D.1

【答案】D

【解析】設(shè)四棱錐RABC。外接球的半徑為R,則4%K=1E,即4R2=11?

由題意，易知PC2=4R2,得尸C=VH，

設(shè)AB=x,得Jχ2+9χ2+χ2=U,解得X=1,

所以四棱錐RA8CE＞的體積為gxlχ3xl=L

故選：D

二、多選題

9.設(shè)一空心球是在一個大球（稱為外球）的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球（稱為內(nèi)球），已知內(nèi)球面上的點(diǎn)與

外球面上的點(diǎn)的最短距離為1,若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上、所有面均與內(nèi)球相切，則（）

A.該正方體的棱長為2B.該正方體的體對角線長為3+6

C.空心球的內(nèi)球半徑為百-1D.空心球的外球表面積為（12+66）兀

【答案】BD

【解析】設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r,R，則正方體的棱長為2r,體對角線長為2R,.??R=√Jr,

又由題知R-r=l,所以r=3+I,R=g*,

22

.?.正方體棱長為6+1,體對角線長為3+g,

.?.外接球表面積為π（3+百丫=（12+6月）π,

故選：BD.

10.正方體A8CO-A4CQ中，AA=2,點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動，點(diǎn)。在線段AA上運(yùn)動，則下列說法中

正確的有（）

A.三棱錐PC的體積為定值

B.線段尸2長度的最小值為2

C.當(dāng)P為BG的中點(diǎn)時，三棱錐尸-A8片的外接球表面積為2萬

D.平面BPQ截該正方體所得截面可能為三角形、四邊形、五邊形

【答案】AB

【解析】

如圖，由正方體ABCD-A片GR可得RCI//AB.D1C1=AB,

故四邊形2GBA為平行四邊形，故8G//A。，而8C∣（z平面ARC,A。u平面AZ）C,

故BCiH平面AD1C,：.8G上任一點(diǎn)到平面AAC距離為定值,

即P到平面AnC距離為定值，而ARC面積為定值，.?.故％gc為定值，A對.

PQmm=48=2,B對.

?.?底面AABB∣為等腰直角三角形，且邊長為2,.?.AAB與外接圓半徑為夜，

???三棱錐P-45g的高為;gC∣=gx2=l,

如圖，取ABl的中點(diǎn)為M,連接MP,MB,則M尸=gAC=√Σ,

故MP=MB、=MA=MB=6,故M為三棱錐尸-A8B∣的外接球的球心，

且半徑為0,故表面積為8%，故C不對.

如下圖所示：平面BPQ截該正方體所得截面可能為三角形、四邊形，不可能為五邊形，故D錯.

故選：AB.

三、填空題

11.已知A,B,C,。是同一球面上的四個點(diǎn)，其中ABC是正三角形，平面ABC,AD=2,AB=3,

則該球的表面積為.

【答案】16π

d==—=243

【解析】由題意，ABC的外接圓直徑sin600也，且，ABC的外接圓直徑，Az）與外接球直徑

T

構(gòu)成勾股定理，所以外接球直徑。滿足加=f+4。2=16.

故外接球表面積S=兀O=16兀.

D

B

故答案為：16π

12.己知球。的一個截面面積為3萬，若球。上的點(diǎn)到該截面的最大距離為3,則球。的表面積為

【答案】16萬

【解析】設(shè)球。的半徑為R,截面圓的半徑為八。到截面的距離為"，

πr^=3zrr=?∣3

則由題意得R+d=3解得JJ=I

R2-d2=r2R=2

所以球。的表面積為4TΓR2=∣6;T

故答案為：16;T

13.已知一ABC的頂點(diǎn)都是球。的球面上的點(diǎn)，AB=2,NACB=90。，ZBAC=30°,若三棱錐。-ABC的

體積為邁，則球。的表面積為.

3

【答案】36萬

【解析】因?yàn)镹AeB=90。，取48的中點(diǎn)M,則M為，ABC外接圓的圓心，

所以（W，平面ABC,

因?yàn)锳B=2,ZACB=90。，ZfiAC=30°,所以8C=1,AC=6,

所以S.C=2XIXE~~,

,∕∣∏c22

又由三棱錐。-ABC的體積為逅，所以JoMXYl=也，解得OM=20,

3323

所以球O的半徑為JoM2+（與j=弁訐=3,

故球。的表面積S=4%*3?=36萬.

故答案為：36萬.

14.已知四棱錐P-ASC。的底面為矩形，PA=PD=AB=T,PB=PC=BC=壺,

則其外接球的表面積為.

【答案】3萬

【解析】如圖取AD中點(diǎn)E，底面中心為。…外接球的球心為。，則。"JL底面ABCD,

由因?yàn)镽=PD=A3=1,PB=PC=BC=叵，

所以PA2+AB2=PB2,PD-+DC2-=PC2,PDr+P^=AD2

即ΛB,Λ4,CDVPD,PALPD,

因此有qE=1C。=:,PE=-sJPA2+AD2=—,

2222

O.C=-yjAB2+AD2=—,

'22

設(shè)球的半徑為R,。。….

在直角梯形PE。。中，2=?+乎-，

在直角OOC中，N=閨+1

聯(lián)立得d=0,即R=正，故球的表面積為4mK=3萬.

2

故答案為：3π

一、單選題

1.（2022?廣東佛山?二模）如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個底面和圓錐的頂

點(diǎn)均在體積為36%的球面上，若圓柱的高為2,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.2通πB.4λ∕βτtC.16τrDT

【答案】B

【解析】依題意，做球的剖面圖如下：

其中，。是球心，E是圓錐的頂點(diǎn)，EC是圓錐的母線，

由題意可知球的半徑計算公式：*兀X=36aR=3,由于圓柱的高為2,

0D=?,OE=3-1=2,DC=√32-l2=2√2，母線EC=J2?+8=2G，

/.圓錐的側(cè)面積為S=L.EC.2兀?DC=i×2√3×2Λ-×2√2=4瓜兀,

22

故選：B.

2.（2022?海南?模擬預(yù)測）“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的

幾何模型.如圖1，正方體的棱長為2,用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向

和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的

體積之比為4：萬，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（）

?O4πO816

rcD.

333T

【答案】C

【解析】正方體的體積為23=8,其內(nèi)切球的體積為4三TT,

由條件可知牟合方蓋的體積為4多TTχ24=”16,

3π3

故正方體除去牟合方蓋后剩余的部分體積為8-g=*

故選：C

3.（2022?山東青島?二模）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的

幾何體，如圖，羨除ABCOE尸中，底面ABC。是正方形，E尸〃平面A88,EF=2,其余棱長都為1,則

這個幾何體的外接球的體積為（）

333

【答案】B

【解析】連接AC,BD交于點(diǎn)必取E尸的中點(diǎn)0,則OMJ_平面ABa）,,取BC的中點(diǎn)G,連接尸G,作

GHLEF,垂足為H,如圖所示

由題意可知，HF==,FG=B,所以HG=JFG2-HF2=立,

222

所以。M="G=巫,AM=也,所以O(shè)W=JOMAM2=],又OE=1,

22

所以O(shè)A=QB=OC=OD=OE=OF=I,即這個幾何體的外接球的球心為。，半徑為1,

所以這個幾何體的外接球的體積為V=∣π∕?3=?∣×π×l3=∣π.

故選：B.

4.（2022.江蘇南京.模擬預(yù)測）足球運(yùn)動成為當(dāng)今世界上開展最廣、影響最大、最具魅力、擁有球迷數(shù)最多

的體育項(xiàng)目之一，2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽.比賽于2022年11月21日至12月18日

在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場舉行.己知某足球的表面上有四個點(diǎn)4,B,Cr。滿足

2萬

AB=BC=AD=BD=CD=&dm，二面角A-Bf）-C的大小為丁，則該足球的體積為（）

?7Λ∕42ΛΓ,3a35λ∕2^?,C14^32?∣2π,

A.-------dm3B.---dm33C.——dm3D.---dmi3

27272727

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，三棱錐A-BS如圖所示，圖中點(diǎn)O為線段3D的中點(diǎn)，N,M分別是線段AO,CO上靠

近點(diǎn)O的三等分點(diǎn)，

因?yàn)锳B=8C=AD=8。=Cf>=√idm,

所以aABD和一CS。均為等邊三角形，

因?yàn)辄c(diǎn)O為線段8。的中點(diǎn)，

所以AoJ_8D,C0_LBE>,

2τz^

所以N4OC為二面角A-C的平面角，所以NAOC=?-,

因?yàn)?ΛB。和CBD均為等邊三角形，點(diǎn)O為線段BZ）的中點(diǎn)，

所以AO,CO分別為LABD和CBD的中線，

因?yàn)镹,M分別是線段AO,C。上靠近點(diǎn)O的三等分點(diǎn)，

所以N,M分別為和；CM的外心，

過MM分別作平面說和平面C8Z）的垂線硒,EM,交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為三棱錐A-BCD外接球的球心，

即為足球的球心，所以線段EB為球的半徑，

因?yàn)锳Oj,6￡>,CO_LBO,AB=BC=AD=BD=CD=√2dm,

所以AO=CO=@dm,則No=MO=逅dm,

26

因?yàn)锳O=Co,EO=EO,NENO=NEMO=90°,

?Jl

所以AENOmAEMO,所以NEoN=NEM。=—NAoC=上，

23

在直角4E∕WO中，EM=OMtan-=-,

32

因?yàn)镋M，平面BCD,3Λ∕u平面BCD,

所以

因?yàn)镸是CBO的外心，所以BM=巫,

3

所以EB=?/EM2+BM2

所以V=3Λ?.EB3=±乃jj?]=Z^

33(?6J27

所以足球的體積為跡m,

27

故選:A

5.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為3600Okm（軌道高度是指

衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為。，半徑，為640Okm的球，其上點(diǎn)A的緯度是指。4與

赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α,記衛(wèi)

星信號覆蓋地球表面的表面積為S=2s2（i-cosα）（單位：km?）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

?6400

2萬T（I-CoSa）=I-CoSa=-6400+36000~042=42%-

故選：C.

6.（2021?遼寧丹東?二模）球。的兩個相互垂直的截面圓。1與O2的公共弦AB的長度為2,若是直

角三角形，AB是等邊三角形，則球。的表面積為（）

A.9πB.12πC.16πD.20π

【答案】D

【解析】如圖，過作直線4,平面AO*,過01作直線平面A0∣8,則4與∕2相交于。，。即為球心,

連接A。，則Ao為該球的半徑，

取A8的中點(diǎn)C,連接OC,O?C,

因?yàn)閊O∣AB是直角三角形，Λβ=2,

所以qc=gAB=ι,

因?yàn)锳O2AB是等邊三角形，所以O(shè)zCLAB,O/=48=2,

因?yàn)槠矫?AB，平面QAB,平面。248平面GAB=A8,

所以GCL平面。AB,所以O(shè)zCLQC,

因?yàn)槠矫鍽AB,所以。O“。?。，同理00〃。。，

所以四邊形OaCO2為矩形，

所以O(shè)O2=OC=I,

因?yàn)?。O?1平面QA8,所以0。LOzA,

222

所以O(shè)A=y∣OO^+O2A=√l+2=√5,

所以球的表面積為4乃x（6Y=20%,

故選：D

O2

O1

7.（2022?山東濰坊?三模）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面

體"鱉席''是四個面都是直角三角形的三棱錐.若一個“鱉膈”的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，且該“鱉麝”的高

為2,底面是腰長為2的等腰直角三角形.則球。的表面積為（）

A.127B.4*兀C.6冗D.2y∣6π

【答案】A

【解析】如下圖所示:

在三棱錐A-BS中，AB_L平面BCZ）,8。_1,8且3。=8=2,AB=2,

因?yàn)锳B-L平面BCD,BC、BD、8U平面BCD,則AB_L3C,ABVBD,CDLAB,

CDVBC,ABCBC=B,?CDΛ平面ABC,ACU平面ABC,.?AC±CD,

所以，三棱錐A-BCD的四個面都是直角三角形，且BD=JBC2+Cbl=20，

AD=>JAB2+BD2=2√3，

設(shè)線段AO的中點(diǎn)為0,則O3=OC=:AO=OA=O。，

2

所以，點(diǎn)。為三棱錐A-BcO的外接球球心，

設(shè)球。的半徑為R,則R=TAO=G,因此，球。的表面積為472=12萬.

故選：A.

8.（2022?山西呂梁?二模（文））已知球。的表面積為100萬，平面α,6分別截球0,得截面圓〃與圓M圓

M的面積為16ι,圓N的面積為9萬，M,N分別為圓μ和圓N的圓心，有下列四個命題：

①IMNl的最大值為7；

②點(diǎn)N可以在平面ɑ內(nèi)；

③點(diǎn)M可以在平面夕內(nèi)；

④當(dāng)圓M和圓N相交時，相交弦的最大值為6.

其中為真命題的是（）

A.①??B.②??C.①②④D.①③④

【答案】C

【解析】由題意得，球0的半徑為5,圓M和圓N的半徑分別為4和3.當(dāng)α〃力，且在球心。的異側(cè)時，IMNl

最大，最大值為7,故①正確；

圓M是過點(diǎn)M半徑最小的截面圓，圓N的半徑小于圓M的半徑，所以點(diǎn)M不可以在平面夕內(nèi)，故③錯誤;

圓N是過點(diǎn)N半徑最小的截面圓，圓M的半徑大于圓N的半徑，所以點(diǎn)N可以在平面α內(nèi)，故②正確；

當(dāng)圓M和圓N相交時，過點(diǎn)N的最長弦為圓N的直徑，所以相交弦的最大值為6,故④正確.

故選C.

二、多選題

9.（2022?湖南?長沙一中模擬預(yù)測）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切

球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等?“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，

O、，為圓柱上下底面的圓心，。為球心，EF為底面圓O∣的一條直徑，若球的半徑廠=2,則（）

A.球與圓柱的表面積之比為1:2

B.平面QE尸截得球的截面面積最小值為令萬

C.四面體CDE尸的體積的取值范圍為了

D.若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則正+所的取值范圍為[2+26,46]

【答案】BCD

【解析】由球的半徑為廠，可知圓柱的底面半徑為廠，圓柱的高為2八則球表面積

為4乃產(chǎn)，圓柱的表面積+24r?2r=6W2,

所以球與圓柱的表面積之比為:，故A錯誤；

過。作OGLOQ于G,則由題可得OG=JX與=2叵

22√55

O2

設(shè)O到平面DEF的距離為4，平面OEF截得球的截面圓的半徑為4,

2222

則4≤0G,zι=r-<∕l=4-J1≥4-^=y,

所以平面Z)EF截得球的截面面積最小值為華萬,故B正確；

由題可知四面體Cz)EF的體積等于2匕“臼，點(diǎn)E到平面。C。的距離ds(0,4],

1232

又S“q=]X4X4=8,所以=t*8dw(0,1],故C正確；

由題可知點(diǎn)P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)P在底面的射影為P,

貝I]PP'=2,PE=√22+P'E2,PF=√22+P'F2,P'E2+PT2=16,

設(shè)f=P?,則fe[θd],PE+PF=√22+Z+√22+16-/,

所以(PE+PFF=(也?+1+√22+16-r)^=24+2√-∕2+16z+80

2

=24+25∕-(∕-8)+144∈[24+8√5,48],

所以尸E+PFe[2+2√^4√f∣,故D正確.

故選：BCD.

10.(2022?全圜模擬預(yù)測)已知正三棱錐S-ABC的底面ABC的面積為3月，體積為3,球0∣,。2分別是

三棱錐S-A8C的外接球與內(nèi)切球，則下列說法正確的是()

A.球。I的表面積為石乃

B.二面角S-AB-C的大小為30

C.若點(diǎn)E在棱58上，則AE+CE的最小值為巡I

7

D.在三棱錐S-A8C中放入一個球θ`,使其與平面SAB、平面SBC、平面SAC以及球O?均相切，則球

的半徑為正

9

【答案】ACD

【解析】依題意，BABl=3瓜解得AB=2√5,設(shè)三棱錐S-ABC的高為〃，則三棱錐S-ABC的體積

4

V=∣×3√3A=3,解得〃=√L設(shè)點(diǎn)S在底面ABC內(nèi)的投影為。，與為球O∣的半徑，連接80,則

（fY+BO』：,即（√J-RJ+4=R;,解得N=乎，則球。1的表面積y=4萬/?：=?萬，故A正確

（對應(yīng)下方右圖）.

取棱AB的中點(diǎn)O,連接SDo〃，由正三棱錐的性質(zhì)，易知SoLARCOLAB,于是NQO即為二面角

S-AB-C的平面角，tanNSDO=√5,且0?！躈SZX）≤180。，貝∣J∕S3O=60,故B錯誤.

將側(cè)面SAB,SBC平面展開，使得S,A氏C四點(diǎn)共面，顯然AC的連線就是A￡+CE有最小

值.SA=SS=SC=Jh2+BO2=√7>故在ASBC中，COSNSBC=SBMSC=——1?~『=一,

ISD?DC2×√7×2√37

貝IJSinNSBC=Ji==亞，故AC=2BC?sinNSBC=2x2√5x名自=紀(jì)互，故C正確（對應(yīng)下

777

方左圖）.

三棱錐S-ABC的表面積為3G+*Gxj（?/?-（可x3=9#,根據(jù)內(nèi)切球半徑廠和棱錐體積V,棱錐

表面積為S,易知Sr=3V,設(shè)&為球。2的半徑，&為球。,的半徑，則gx9√5R=3,解得R,=正，原三

棱錐的高A=G,作一平面平行于底面ABC,去截原三棱錐，得到一個％=竽的棱臺，那么剩余部分棱

錐的高是原棱錐的;，根據(jù)相似關(guān)系，剩余棱錐的底面積為3gχ1,,表面積為9√5χ1,體積為

3石XLX且XLL于是gχ9Kχ['解得&=立，故D正確.

933939939

故選：ACD.

三、填空題

11.（2022.全國.模擬預(yù)測）有一張面積為8夜的矩形紙片ABC￡>,其中。為45的中點(diǎn)，。為CO的中點(diǎn),

將矩形ABa）繞。。旋轉(zhuǎn)得到圓柱。0一如圖所示，若點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，直線AM與底面圓。所成角的

正切值為也，E尸為圓柱的一條母線（與A￡>,8C不重合），則當(dāng)三棱錐A-EFM的體積取最大值時，三

4

【答案】專41

【解析】設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為r,則2M=8√Σ,即歷=4√L

因?yàn)橹本€A"與底面圓。所成角的正切值為走，

4

h,

所以N=也，即一=√Σ.

2r-Vr

rh=4&

h=2√2

由匕五'得'

r=2

、r

連接BE,由題意得AEJ_BE,AEA.EF,

又BEEF=E,所以AEL平面MEF,

而AEU平面AEF,所以平面/1￡FJ_平面ME/.

過點(diǎn)、M作MNLEF于點(diǎn)N,則MN，平面AEA

τξiAE=a,BE-h,則/+6?=16,

于是三棱錐A-EFM的體積匕EFM=~×~^×2Λ∕2×?=-6t?≤-×a,

A-EFM323323

當(dāng)且僅當(dāng)α=8=2&時取等號，

設(shè)此時三棱錐A-EFM外接球的球心到平面AEF的距離為X,外接球半徑為R,

貝!|爐+4=2+（2&—解得X=半，

于是K?=X2+4=-+4=-,

88

所以當(dāng)三棱錐A-EFM的體積取最大值時，

三棱錐A-ERW外接球的表面積S=4%雙=T?

41

故答案為：■

12.（2022.河南.模擬預(yù)測（理））我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石

制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用.圖1

是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的兒何

體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為2,若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個球的

表面上，則這個球的表面積為.

圖1圖2

【答案】9π

【解析】設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為〃，

則其外接球的半徑為R=-√Λ2+22+22=-√∕Γ+8=h+-h=-h

2222

3

解得/7=1,所以R=]

故球的表面積為S=4乃K?=9乃

故答案為：9萬

Cl

13.（2022?重慶?二模）無窮符號8在數(shù)學(xué)中是一個重要的符號，該符號的引入為微積分和集合論的研究帶

來了便利，某校在一次數(shù)學(xué)活動中以無窮符號為創(chuàng)意來源，設(shè)計了如圖所示的活動標(biāo)志，該標(biāo)志由兩個半

徑分別為15和20的實(shí)心小球相交而成，球心距=25,則該標(biāo)志的體積為.

附：一個半徑為R的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線

段長叫做球缺的高（記為H）,球缺的體積公式為V=兀

【答案】14400兀

【解析】記兩球面的交線為圓。，其大圓截面如圖所示，

2222

則15-O1O=20-O2O,S.OOl+OO2=25,

解得。。=9,OO2=16,且圓。的半徑為12,

兩球體的公共部分可看作兩個球缺，

小球中的球缺高為15-。?=6,VJ=36πx（15-2）,

大球中的球缺高為20-。。2=4,?=16π×^20-∣

故丫=3兀(153+2。3)_匕_K

=-π(153+203-27×13-16×14)

=14400π.

故答案為：14400兀.

14.（2022?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測（理））已知球。與棱長為。的正方體43CO-A旦CQ各個面均相切，給出

下列結(jié)論：

①當(dāng)4=1時，球O的表面積為3π;

②該正方體外接球的體積與球O的體積之比為3√5:1;

③當(dāng)α=2時，球。被平面所截的截面面積為I兀；

Tr

④當(dāng)α=2時，若點(diǎn)M滿足AM=2MB,則過M的平面截球。所得截面面積的最小值是

其中正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③

【解析】易知正方體的體對角線是其外接球的直徑，正方體的棱長是其內(nèi)切球的直徑；

設(shè)該正方體的外接球的半徑為R,內(nèi)切球（即球O）的半徑為廠，

則√‰=2R,a=2r,即R=等α,r=p

對于①：當(dāng)a=l時，球。的半徑為r=；,

其表面積為S=4π∕=4π×（^）2=π,

即①錯誤；

對于②：因?yàn)樵撜襟w的外接球、內(nèi)切球的半徑之比為mr=√Lι,

所以體積比為尸：/=3/:1,

即②正確；

對于③：由題意，得球O被平面AQG所截的截面是圓,

且是正三角形VAfG的內(nèi)切圓，設(shè)其半徑為（，

則{=20X立XL包.，

1233

2

其面積為5∣=§π,

即③正確；

對于④：由題意，得"3=26，OM=^DlB=-y,

當(dāng)截面與OM垂直時，點(diǎn)。到該截面的距離最大，

此時截面的半徑最小，即其面積最小；

則截面半徑的最小值為弓=房號

此時面積為:兀，即④錯誤.

故答案為：②③.

---------------------MBMMK

:真題練）

1.（2021年高考全國甲卷理科）已如4.B.C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)，且

ACLBC,AC=BC=\,則三棱錐O—ABC的體積為（）

A.至B.且C.旦D?E

121244

【答案】A

【解析】?「ACLBC,AC=BC=I,.?Q4BC為等腰直角三角形，.?.A8=√5,

則AA6C外接圓的半徑為正，又球的半徑為1,

2

設(shè)0到平面ABC的距離為d，

訴I、“ICz1111√2√2

助以%-ABC=§SAβc?^=-×-×l×l×?=-?

故選：A.

2.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）已知AB,C為球。球面上的三個點(diǎn)，OOl為，ABC的外接圓，若

OOl的面積為4兀，AB=BC=AC=Oa,則球。的表面積為（）

A.64πB.48πC.36πD.32π

【答案】A

【解析】設(shè)圓。1半徑為，球的半徑為R,依題意，得"∕=4%,.?.r=2,AABC為等邊三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin600=26,.?OOx=AB=2√3,根據(jù)球的截面性質(zhì)Oa?L平面ABC，

2222

.?.OOtA,OlA,R=OA=λ∕θO,+OlA=y∣OO^+r=4,，球。的表面積S=4πR=64〃.

3.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)∏卷理科）已知AABC是面積為為3等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若

4

球。的表面積為16電則O到平面A3C的距離為（）

A.√3B.-C.1D.—

22

【答案】C

O

AB

設(shè)球。的半徑為R,則4萬/?2=16%，解得：R=2.

設(shè)CABC外接圓半徑為，，邊長為。，一ABC是面積為空的等邊三角形,

4

，aZ=Y1,解得：α=3,"=LR=MjJ=萬

2243V43V4

???球心。到平面ABC的距離d='N"=J口=1.

故選：C.

4.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國I卷理科）已知三棱錐ABC的四個頂點(diǎn)在球。的球面上，

PA=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是1,AB的中點(diǎn)，NCEF=90°,

則球。的體積為（）

A.8瓜兀B.48兀C.2?[βπD.?[βπ

【答案】D

【解析】三棱錐尸一ABC為正三棱錐，取AC中點(diǎn)M,連接尸M,8M,則AC_LPM,A8"L3M,

PMBM=M,可得ACj■平面PBM,從而ACLPB,又PB"EF,EF上CE,可得PB_LCE,

又ACnCE=C,所以PB，平面PAC,從而PB上PA,PB上PC,從而正三棱錐P-ABC的三條

側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=6,可將該三棱錐還原成一個以PA,PB,PC為棱

的正方體，正方體的體對角線即為球。的直徑，即2R=JJ,R=在，