2023年重慶市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷及答案解析

2023年重慶市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）己知集合4={1,a2],B={l,9,a},若AUB,則實數(shù)”組成的集合為（）

A.{-3,-1,0,3}B.{-3,3}

C.{-1,0,3）D.{-3,0,3}

2.（5分）復(fù)數(shù)Z=M的虛部為（

1—1

A.1B.-1C.iD.-z

3.（5分）重慶南濱路鐘樓地處長江與嘉陵江交匯處，建筑通過歐式風(fēng)格將巴渝文化和開埠

文化結(jié)合，展示了重慶的悠久歷史.如圖所示，可以將南濱路鐘樓看作一個長方體，四

個側(cè)面各有一個大鐘，則從8：00到10：00這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針所成角為60°

的次數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

~—?/?.—?—

4.（5分）若O為坐標原點，Oa=（〃，m）,OB=（一，p）,F（4,0）,MFl=〃?+1,?BF?

n

=p+l,則/M+P的最小值是（）

A.1B.2C.3D.6

5.（5分）為幫助某貧困山區(qū)的基層村鎮(zhèn)完成脫貧任務(wù)，某單位要從5名領(lǐng)導(dǎo)和6名科員中

選出4名人員去某基層村鎮(zhèn)做幫扶工作，要求選出人員中至少要有2名領(lǐng)導(dǎo)，且必須有

科員參加，則不同的選法種數(shù)是（）

A.210B.360C.420D.720

6.（5分）某鐘表的秒針端點A到表盤中心O的距離為5cm,秒針繞點O勻速旋轉(zhuǎn)，當時

間f=0時，點A與表盤上標“12”處的點B重合.在秒針正常旋轉(zhuǎn)過程中，A,8兩點

的距離d（單位：Cm）關(guān)于時間，（單位：s）的函數(shù)解析式為（）

A.d=10sin^t(t≥O)

B.d=10cos^t(t≥0)

flθsin?t,12O∕c≤t≤60+120∕c,k&N

C?d=60

l-lθsin?t,60+120fc<t<120(fc+1),fce/V

(IOCoS卷3120?≤t<30+120∕c,k∈N

bυ

D.d=〈π

l-lθeos?t,30+120∕c<t<90+120fc,/c∈/V

7.(5分)已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為6，底面邊長為2K，則以P為球心，2為半

徑的球面與正三棱錐表面的交線長為（）

A.（1+等）兀B.（1+TTC.（1+D.（1+-^}τt

（?log2x?，0<x<4

8.（5分）函數(shù)f（x）=2,70,若“，從c,d互不相同，且/（"）=/（b）

（4X2—Qχ——,%>4

=/（C）=f（J）,則HcM的取值范圍是（）

A.（32,34）B.（32,34］C.（32,35）D.（32,36）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。

（多選）9.（5分）已知函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（0）=0

B.若/（x）在［0,+∞）上有最小值-1,則/（x）在（-8,0］上有最大值1

C.若x>0時，f（x）=x2-2x,則x<0時，f（x）--Xt,-Ix

D.若/（x）在［1,+∞）上為增函數(shù)，則/（X）在（-8,-1］上為減函數(shù)

（多選）10.（5分）已知。為坐標原點，點/為拋物線C：V=4χ的焦點，點尸（4,4）,

直線/：X=Wty+1交拋物線C于A,B兩點（不與P點重合），則以下說法正確的是（）

A.∣M∣?1

B.存在實數(shù)加，使得乙4。BV芻

C.若11=2∕?,則nι=士?

D.若直線∕?與PB的傾斜角互補，則m=-2

（多選）11.（5分）如圖，在平行六面體ABC。-AIBICIDI中，以頂點A為端點的三條棱

長都為1,且∕D4B=∕D44=NBAAi=60°,則下列說法中正確的有（）

A.AC↑.LBD

B.∕1C1=√6

C.BDI=2

√6

D.直線助力與AC所成角的余弦值為丁

6

（多選）12.（5分）已知-2<α+8<4,2<2a-h<S,則下列不等式不正確的是（）

A.0<a<4B.Q<b<2C.-6<a+2b<6D.O<a+2b<8

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知隨機變量X~N（3,σ2）,且P（XWa）=P（X24）,則（αχ2+］）6的展開

式中常數(shù)項為.

14.（5分）函數(shù)y=√/+4,一5的單調(diào)減區(qū)間為.

15.（5分）如果光線每通過一塊玻璃其強度要減少10%,至少需要塊這樣的玻璃

重疊起來，才能使通過它們的光線強度為原來的強度的得以下.（∕g3=0.477）

16.（5分）已知尸1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且NQPa=I，

13

橢圓的離心率為e”雙曲線的離心率e2，則前+浮=-

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）若一個數(shù)列的奇項為公差為正的等差數(shù)列，偶項為公比為正的等比數(shù)列，且公

差公比相同，則稱數(shù)列為“搖擺數(shù)列”,其表示為αrι=Fl+（：-1）乙nE2k+l,k&N

IaIqnτ,ne2k,k€N*

若數(shù)列｛αn｝（九EN*）為“搖擺數(shù)列"且αι=L0+α2=α3,。2。3=20.則：

（1）求｛斯｝的通項公式;

（2）若a=如,“求數(shù)列｛為｝的前2〃項和乃〃.（注：∑之1儼=以業(yè)42吐Q）

18.（12分）己知AABC,。為邊AC上一點，AD=I,CD=2.

(1)若贏-BD=l，BC-BD=Q,求SΔΛBC:

(2)若直線8。平分N48C,求AABO與aCBD內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍.

19.(12分)治療慢性乙肝在醫(yī)學(xué)上一直都是一個難題，因為基本不能治愈，只是可以讓肝

功能正常，不可以清除病毒，而且發(fā)展嚴重后還具有傳染性，所以在各種體檢中肝功能

的檢查是必不可少的.在對某學(xué)校初中一個班上64名學(xué)生進行體檢后，不小心將2份攜

帶乙肝的血液樣本和62份正常樣本(都用試管獨立裝好的)混在了一起，現(xiàn)在要將它們

找出來，試管上都有標簽，采用將共64份樣品采用混檢的方式，先將其平均分成兩組,

每組32份，將每組的32份進行混檢，若攜帶病毒的在同一組，則將這一組繼續(xù)取兩份

平均分組的混合樣本進行檢驗，若攜帶病毒的樣本不在同一組，則將兩組都繼續(xù)平均分

組混檢下去，直到最后將兩份攜帶病毒的樣本找出為止(樣品檢驗時可以很快出結(jié)果，

1

每次含病毒的那一組進行平均分組時，每個含病毒的樣本被分到任意一組的概率都是5,

且互不影響)，設(shè)共需檢驗的次數(shù)為X.

(1)求隨機變量X的分布列和期望；

9

(2)若5歲以上的乙肝患者急性和慢性的比例約為9：1,急性乙肝炎癥治愈率可達一，

10

沒有治愈的會轉(zhuǎn)為慢性乙肝，慢性乙肝炎癥治愈率只有名，在找出兩個乙肝樣本后通知

100

其進行治療，求兩人最后至少有一人痊愈的概率外.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

20.(12分)如圖，在四棱錐S-ABCo中，∕SA8=NSAO≤*,底面A3C。為正方形.記

直線SA與平面ABCD所成的角為θ.

(1)求證：平面SAC_L平面SBD；

2TT

(2)若二面角B-SA-D的大小為三求cosθ的值.

S

BNC

21.(12分)拋物線G：∕=4y,雙曲線Q：裝一記=1且離心率e=遮，過。2曲線下支

上的一點相，m)作CI的切線，其斜率為一米

(1)求C2的標準方程；

(2)直線/與C2交于不同的兩點P,。，以P。為直徑的圓過點N(0,i),過點N作直

線/的垂線，垂足為“，則平面內(nèi)是否存在定點。，使得DH為定值,若存在，求出定值

和定點。得坐標；若不存在，請說明理由.

22.(12分)己知/(X)=竽.

(1)求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，并證明：函數(shù)y=∕(x)在［e,+∞)上是嚴格減函數(shù)(常

數(shù)e為自然對數(shù)的底)：

(2)根據(jù)(1),判斷并證明8999與9989的大小關(guān)系，并請推廣至一般的結(jié)論(無須證

明)；

(3)已知〃、A是正整數(shù)，a<b,ab=ba,求證：a=2,8=4是滿足條件的唯---'組值.

2023年重慶市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

2

I.（5分）已知集合A={l,a}fβ={l,9,a],若AGB,則實數(shù)。組成的集合為（）

A.{-3,-1,0,3}B.{-3,3}

C.{-1,0,3}D.{-3,0,3}

Q2=9'Q2=Q

α≠1或α≠1，解得a=3或α=-3或a=0,

IQ≠9（QH9

實數(shù)α組成的集合為{-3,0,3}.

故選：D.

,?3

2.（5分）復(fù)數(shù)Z=1丹-的虛部為（）

1-I

A.1B.-1C.iD.-/

【解答】解：z=g=巖=*以=i,即其虛部為1.

1—11—1（1—1）（1.十I）

故選：A.

3.（5分）重慶南濱路鐘樓地處長江與嘉陵江交匯處，建筑通過歐式風(fēng)格將巴渝文化和開埠

文化結(jié)合，展示了重慶的悠久歷史.如圖所示，可以將南濱路鐘樓看作一個長方體，四

個側(cè)面各有一個大鐘，則從8：00到10：00這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針所成角為60°

的次數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：在長方體ABCZ）-AIBICIOI中，以點A為坐標原點，AB,AD,AAi所在直

線分別為X軸、），軸、Z軸建立如圖的空間直角坐標系.

設(shè)分針長為a,矩形AAlBIB的對角線的交點為E,矩形AAlOl。的對角線的交點為廠,

考察8：00到9：00這個時間段,

設(shè)f時刻，側(cè)面/L4∣8ι8,AAIO1。內(nèi)的鐘的分針的針點的位置分別為M,N,

設(shè)EM=(asinθ,0,ClCoSe),其中-360o≤θ≤0o,則FN=(0,-asinθ,acosθ),EM-

→TT

FN=a2cos2θ,EM?FN=a2cos2θ,

2

由已知可得ICoS<EM,FN>|=區(qū)M"]=cosθ=1則cos。=±噂，

?EM?-?FN?zz

因為-360°≤θ≤0o,故。的取值為-45°,-135o,-225°,-315°,

即在8：00到9：00這個時間段，相鄰兩面鐘的分針所成角為60°的次數(shù)為4,

因此，從8：00到10：00這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針所成角為60°的次數(shù)為8.

故選：D.

4——>

4.(5分)若O為坐標原點，04=(小m),Oi3=(-,p),F(4,0),?AF?=m+l,?BF?

n

=p+l,則〃z+p的最小值是()

A.1B.2(3D.6

T→4

,F(4,0),AF=m+∣?=p+l,

【解答】解：??Q=(〃，OB=P???9

((4-n)2+m2=(τn+I)2

,,(?-4)2+p2=(p+l)2，

整理得2s+2p=(w2÷if)-8(〃+，)+30,

令r=〃+，，則〃2+^|=於-8,且正(-8,-4JU[4,+8),

；.2(.m+p)=t2-8r+22=(f-4)2+6^6,

/?∣n+p的最小值為3.

故選：C.

5.(5分)為幫助某貧困山區(qū)的基層村鎮(zhèn)完成脫貧任務(wù)，某單位要從5名領(lǐng)導(dǎo)和6名科員中

選出4名人員去某基層村鎮(zhèn)做幫扶工作，要求選出人員中至少要有2名領(lǐng)導(dǎo)，且必須有

科員參加，則不同的選法種數(shù)是（)

A.210B.360C.420D.720

【解答】解：求不同的選法種數(shù)可以有兩類辦法，選出的4人中有2名領(lǐng)導(dǎo)，有量叱種

方法；有3名領(lǐng)導(dǎo)，有牖盤種方法，

由分類加法計數(shù)原理得：熊髭+髭盤=10×15+10×6=210,

所以不同的選法種數(shù)是210,A正確.

故選：A.

6.（5分）某鐘表的秒針端點A到表盤中心。的距離為5c",秒針繞點。勻速旋轉(zhuǎn)，當時

間/=0時，點A與表盤上標“12”處的點8重合.在秒針正常旋轉(zhuǎn)過程中，A,8兩點

的距離d（單位：Cm）關(guān)于時間f（單位：s）的函數(shù)解析式為（）

TT

A.d=10sin^θt(t≥0)

B.d=IOCoS卷t(t≥0)

lθsin?t,120/c≤t≤60+120fc,k&N

C.d=

-lθsin?t,60+120∕c<t<120(fc+1),k&N

(TT

IOCoSA3120/c≤t≤30÷120fc,k∈N

D.d=60τ

-IOeoS卷上30+12OkVtOO+120匕kwN

【解答】解：由已知函數(shù)d（Z）的定義域為［0,+8）,周期為60s,且，=30（S）時，d

=10(cm),

2Tr

對于A,函數(shù)d=lθsin?t(t≥0)周期為F-=120(s),故A錯誤；

60

2T7

對于8,函數(shù)d=IOcos看t(t≥0)周期為F-=I20(s),故8錯誤；

60

對于C,d(t)=2×51Sin?t∣=IolSin卷t∣,

flθsin?t,120/c≤t≤60+120fc,/c∈N

所以函數(shù)d=<60,故C正確;

l-lθsm?t,60+120fc<t<120(fc+1),k€N

對于。，當1=30時，d=0,故。錯誤.

故選：C.

7.（5分）已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為傷，底面邊長為28，則以P為球心，2為半

徑的球面與正三棱錐表面的交線長為（）

A.（1+等）兀B.（1+C.（1+~^）τtD.（1+孝）兀

【解答】解：由已知得PA=遍，PB=GAB=2√3,

所以PB2+PC2=BC2,所以NBPA=?,

其中，以P為球心，2為半徑的球面與正三棱錐的面RW的交線如圖,

為弧。E與弧FG,可求得P∕∕=√5,PD=2,故/QPH=30°,故/APD=/BPP=I5°,

故歷=戶6=￡X4兀=看，

同理，球面與正三棱錐的面RtC和面PBC所交的弧長一致，故以P為球心，2為半徑的

Tl

球面與正三棱錐的面PAB,面PAC,面P3C的交線的總長度為：-X6=兀.

6

而球面與正三棱錐的面ABC的交線如圖，

取其中一部分，三部分弧長長度一樣,

因為4B4C為直角三角形，且PA=PC=旄，AC=2√3,

根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，Q為三角形4BC的外接圓圓心，故H為AC中點,

則PH=VPC2-CH2=遮，且QH=1,

22

所以PQ=yJPH-QH=√2,

22

取尸T=2,則RtZ?PQT中，QT=yjPT-PQ=√2,

△Q7C中Qr=√Σ,CQ=2,NACQ=30°,故利用余弦定理，可得Cr=√Σ,

所以弧長定=^x2兀X夜=暮τr,而這樣的弧長，球面與正三棱錐的面ABC的交線

總共有三部分，

故交線長為：兀+￥小

故選：D.

?log2x?f0<x≤4

8.(5分)函數(shù)f(X)=270，若小b,c,d互不相同，且f(α)=fQb)

可入29—8%H—?-,%〉4

=f(c)=f(J),則Hcd的取值范圍是()

A.(32,34)B.(32,34]C.(32,35)D.(32,36)

?log2x?f0<x≤4

【解答】解：畫出函數(shù)"%)=270的圖象，

?o—8xH—?-,X>4

Va,b,c,〃互不相同，不妨設(shè)αVbVCyd.

且/(4)=/(〃)=/(C)=F(d),4<c<5,7<r∕<8.

-Iog2fl=log2?,c+d=12,

EPab=1,c+d=12,

故Hcd=C(12-c)=-C2+12C,由圖象可知：4<c<5,

由二次函數(shù)的知識可知：-4?+12X4<-C2+12C<-52+12×5,

即32<-C2+12C<35,

.?.4cd的范圍為(32,35).

故選：C.

符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。

(多選)9.(5分)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.f(O)=0

B.若f(x)在［0,+8)上有最小值-1,則/Ge)在(-8,0］上有最大值1

C.若x>0時，/(x)=∕-2x,則x<0時，/(x)=-X2-2X

D.若/(x)在［1,+∞)上為增函數(shù)，則/(x)在(-8,-1］上為減函數(shù)

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則有f(0)=-/(0),變形可得/(0)=

0,A正確；

對于2,若/(x)在［0,+8)上有最小值-1,則/(x)在(-8,0］上有最大值1,B

正確；

對于C,當x<0時，-x>0,W∣J∕(-x)=X2+2X,則/(x)=-f(-χ)=-X2-2x,C

正確；

對于。，若/(x)在［1,+8)上為增函數(shù)，則/(x)在(-8,-1］上為增函數(shù)，。錯

誤；

故選：ABC.

(多選)10.(5分)已知。為坐標原點，點F為拋物線C：J=?的焦點，點P(4,4),

直線/：X=Wty+1交拋物線C于A,B兩點(不與P點重合)，則以下說法正確的是()

A.∣M∣

B.存在實數(shù)如使得40BV今

C.若4F=2FB,則nι=±牛

D.若直線必與PB的傾斜角互補，則機=-2

【解答】解：由題意可知，拋物線焦點為尸(1,0),準線方程為X=-

直線X=優(yōu)y+1恒過尸(1,0),如下圖所示:

設(shè)A(X1，yι),B(X2，”)，作AAI垂直于準線X=-1,垂足為Ai,

根據(jù)拋物線定義可知，∣∕?∣=∣AAι∣=xι+l,易知XlN0,所以因II=Xl+121,

但當I次I=I時，此時A與坐標原點重合，直線與拋物線僅有一個交點，因此∣E4∣W1,

所以I網(wǎng)>1,即4錯誤:

聯(lián)立直線X=My+1和拋物線C：y2=4x,得)？-4〃?y-4=0,

所以yi”=-4,無62=牛X券=1，

此時&?OB=?OA??OB?cosZAOB=x?x2+yiy2=-3<0,所以COSNAoB<0,^?A0B>^,

所以不存在實數(shù)如使得〃OBV*,故B錯誤；

若HFl=2∣BF∣,由幾何關(guān)系可得y∣=-2”，結(jié)合yιy2=-4,可得”=√Σ或”=一企，

11

即B(-,&)或B(-,-√2),

22

將B點坐標代入直線方程可得加=±￥，所以C正確；

若直線以與PB的傾斜角互補，則幼I+APB=0,

Vl-4v?-4

即----+-----=0,整理得flmy?yι-(4m+3)(y1+y2)+24=0,

??-4到一4

3

代入yi)2=-4,yι+)'2=4/??,解得機=-2或m=4,

當m=飄，直線過點P(4,4),A與尸點重合，不符合題意，所以m=-2,即O正確.

故選：CD.

(多選)II.(5分)如圖，在平行六面體ABCO-AiBiC0中，以頂點A為端點的三條棱

長都為L且NZ)AB=ND4Aι=NBAA]=60°,則下列說法中正確的有()

A.AC?LBD

B.AC1=√6

C.BD?=2

√6

D.直線BZ)I與AC所成角的余弦值為丁

【解答】解：以｛成，兄>,為空間一組基底,

→→→TTTT

AC1=AB+AD+AA1,BD=AD—AB,

AC1-BD=(AB+AD+AA1XAD-AB)

=AB?AD+AD?ADAA1-AD-AB?AB-AD?AB-AA1^AB

1111

=l×l×2+l+l×l×2-l-l×l×2-1×1×2

=0,

.?AC↑±BD,故A正確；

→2→→→

2

ACl=CAB+AD+AA1)

—>→2→—>TTTTT

22

=AD+AA1+AB+2AD?AA1+2AA1?AB+2AD?AB

=l+l+l+2×1×1×∣+2×1×1×∣÷2×1×1×∣

=6,

ΛAC∣=√6,故8錯誤；

TTTTTT

BDl=AD1—AB=AD+AA1—AB,

→2TT—?

2

.'.BD1=CAD+AA1-AB^

→→2→TTTTTT

22

=AD+AA1+AB+2AD-AA1-2AAi-AB-2AD-AB

Ill

=1+1+1÷xlxlx?-2xlxl×2~2×1×1×2

=2,

ΛBD1=√2,故C錯誤；

設(shè)直線8。1與AC所成角為O,O≤0≤J,

TTTTTTT

AC=AB+ADfBDl=AD+AA1—AB9

AC2=(AB+AD)2=AB2+2AB-AD+AD2=l+2×1×1×∣+1=3,

AC=√3,

ACBD1=CAB+ADXAD+AA1-AB)

=AB-AD+AB-AA1-AB-AB+AD-AD+AD-AA1-AD-AB

=1×1×∣+1×1×∣-1+1+1×1×∣-1×1×∣

∣

?,cosθ=??L=1邛，故。正確?

IACHBDll-

故選：ABD.

（多選）12.（5分）已知-2<α+6<4,2<2α-?<8,則下列不等式不正確的是（）

A.0<?<4B.0<?<2C.-6<a+2b<6D.O<a+2?<8

【解答】解：對于選項A,V-2<a+b<4,2<2a-b<S,：.-2+2<a+b+2a-?<4+8,

Λ0<3α<12,Λ0<a<4,故A正確；

對于選項B,V2<2α-b<8,.,.-8<?-2a<-2,：-2<a+b<4,：.-4<2α+2?<8,

—8V?-2QV-2,,__....

，Λ-12<3?<6,Λ-4<?<2,故3不正確;

-4<2α+26<8

對于選項C。，設(shè)4+2b=m(a+b)+n(2α-6),則α+28=(m+2n)〃+(m-幾)b,

.(l=m+2n.(m=3

?^t2=τn-n,??)?1'

ln=-3

51

?*?U+2b=?(Q+b)—W(2Q—b),

:一2Va+bV4,，-V，(α+b)V^^?,

'?'2<2<7~?<8>一.V—寺（2?！猙）V-.

-6Va+2b——?（ɑ+b）—可（2（1—b）V6,故C正確、D錯誤；

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）己知隨機變量X~N（3,。2）,且P（X≤α）=P（X>4）,則（ax?+]7的展開

式中常數(shù)項為60.

【解答】解：由正態(tài)分布易得a=2,

26kk6k123k

設(shè)二項展開式的第k+?項T∕c+ι=?（2x）-φ=C^2~x~,

則常數(shù)項為當力=4時，值為60.

故答案為：60.

14.（5分）函數(shù)v=√∕+4x-5的單調(diào)減區(qū)間為（-8,-5].

【解答】解：由/+4χ-520,得x≤-5或

：），=77為增函數(shù)，，=/+4工-5在區(qū)間（-8,-5]上是減函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得：函數(shù)y=√∕+4x-5的單調(diào)減區(qū)間為（-8,-5J,

故答案為：（-8,-5].

15.（5分）如果光線每通過一塊玻璃其強度要減少10%,至少需要7塊這樣的玻璃重

疊起來，才能使通過它們的光線強度為原來的強度的[以下.（∕g3=0?477）

【解答】解：設(shè)光線未通過玻璃時的強度為“，至少需要X塊這樣的玻璃重疊起來，才能

1

使通過它們的光線強度為原來的強度的5以下，

則Q，扁尸≤QX即扁尸≤.

所以X（2∕g3-1）W-∕g2,解得x≥ιτ黑?TT≈6?572,

由x21,且xWN,可得X=7.

故答案為：7.

16.（5分）已知Q,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且NQPF2=熱

13

橢圓的離心率為臼，雙曲線的離心率62，則"3+—g=4.

【解答】解：如圖所示,

_x2y2x2y2

-=

設(shè)橢圓與雙曲線的標準方程分別為：w+T7=l,7—77?(即少>0,a↑>b?1i

ɑlelb2

=1,2),

研一*=堵+&2=2,C>0.

設(shè)IPQI=m，?PF2?=n.

貝!jm+n=2a↑,n-m=2ct2,

解得m=aι-。2，n=aι+a2f

由/QP&=多在△尸尸上2中,

由余弦定理可得：(2C)2=m2+n2-2mncos^

2z2

4c=(α1—α2)+(ɑi+?2)一(。1-。2)(0+。2)，

化為牝2=研+3α∣,

故答案為：4.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)若一個數(shù)列的奇項為公差為正的等差數(shù)列，偶項為公比為正的等比數(shù)列，且公

差公比相同，則稱數(shù)列為“搖擺數(shù)列”,其表示為a4=Fl+，T)d'n∈2?+l,k∈W

IaIqn-1,ne2k,/c∈N*

若數(shù)列｛即｝(九∈N*)為"搖擺數(shù)列”且41=1,。1+。2=。3，。2。3=20.貝Ij:

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)若尻=因"，求數(shù)列｛劣｝的前2〃項和T2"?(注：∑P=1.=nm+iy+l))

n

【解答】解：⑴設(shè)arι=g+S-Ck+LkeN,

n1

(a1q~,n∈2k,k∈N*

=ɑ?=1

1÷α2ɑi÷2d

由題意得a2(%+2d)=20==。2=2,

d=2.d=q=2

2τι—1/YtG2k+1，kWN

2fn∈2fc,∕c∈N*

/、(2n2—n,τι∈2k+l,kEN

(2)bf=na=〈，

nnIn?2n~1,n∈2k,k∈N*

先求奇數(shù)項的和：

bn=2九2一γιfτι∈2∕c+l,kEN,Sn=2X[12+3?+…+(2π-1)2]一彥,

22

引入/=22+42+???+(2n)2=4("+22+…+層)，∣(Sn+π)+l?l=∑?1i

n(2n+l)(4n+l)

3=

Sn=2(∑?1產(chǎn)一/)一M=2c∏(2n+ψ4n+l)_4XW+%2計均一層，

再求偶數(shù)項的和：

π1,132n12

bn=n-2^,n∈2k,k∈N*,Sn=2×2+4×2+-+2n×2~=1×2+

2×24*+3×26+???+n2zn,

262n+2,2462n

4S'rι=l×2+2×2+???+n2=S'n-4Sn=2+2+2+…+2-

2n+2

n2-3S'n

=4+42+43+???+4n—n4n+1=-n4n+1=-~?=~--n4n+1=

1—4?

,_π4n+14n+1-4_(3n-l)4n+1+4

-

371=-39=9'

Λ.=Sn+.=2(九0+半4計1)_4X呻+】曠+1))_裝+(X)廣】+4

8n3-3n2-2n(3π-l)4n+1+4

3+9'

18.(12分)已知aABC,。為邊AC上一點，AD=I,CD=2.

(1)若晶?訪=*,BCBD=O,求SAABC；

(2)若直線8。平分NABC,求aABO與ACBO內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍.

【解答】解：⑴如圖1,AD=I,CD=2,

：.BA=BD+DA=BD+^CD=BD+^BD-BQ=^BD-^BC,

,：BA-BD=^,BC-BD=Q,

.".BA-BD=(^BD-^BC)-BD=^BD2-^BC-BD=^?BD?2=∣,

.?.∣βb∣2=i,則訪=孝，BRBD=~,

TT_________Jl4

,：BC-BD=0,.,.BC-LBD,：.BC=?∕CD2-BD2=號.

22222

木?fcτ‰∕.o,?λdr∏∣ιAB+BD-AD∏ι+∣-l2m-l

不妨設(shè)NABo=α,AB=fn,則CoSa=*百D=~?~=

".'BA-BD=?BA???BD?cosa=

.y∣22巾2—13日Bm∣ι2×2—13

??w×T×τ‰=4'解得'”=四’則CoSa=諒近=4，

.................√7

*.*0<a<π,Λsina=vl—cos2a=

[11?FΣJ771J2.

?*?SΔABC—S△ABD+S△BCD=]?AB-BDSina+?^BD-BC=IX√2X?X?+,義?×

√143√7

~=~8~-

(2)如圖2,設(shè)aAB力與ACBD內(nèi)切圓的半徑分別為r與R,

：直線B。平分NABC,

???由角平分線性質(zhì)定理得黃=”=今

記A8=c,則Be=2c,記NABC=β,

AB2+BC2-AC2C2+4C2-95C2-9

則cosβ=

IrABBC2×c×2c4c2

"：BD=BA+AD=BA+^AC=BA+^(BC-BA)=^BA+^BC,

T4TlT4TTA-ι4cr2_n

ΛBD2=1BA2÷?FC2+5∣F√l∣?BCCoSS=?C2+?×4C2÷5C×2C×=2c2-

yyy,???VVV4cz

2,

?9AB+BC>AC,即c+2c>3,則c>l,

Λ?BD?=√2c2-2,即BD=√2c2-2,

SAΛon~AD'h1

??'12=i——=-(A為頂點B到AC的距離)，

S"CD-CD√l2

11______

又SAABD=2(A3+3。+AZ))r=々(c÷V2c2—2÷1)r,

1-1_______

SABCD=/("+BD+CD)R=*(2c+√2c2-2+2)R,

(c+√2c2-2+l)r1,r12c+√2c2-2+21c+1

.?.-----z,二----=—,貝”-=—×-----.∑—=—(1+------/.----),

(2c+√2c2-2+2)R2R2c+√2c2-2+l2c+√2c2-2+l

令f=c+l,則C=LL/>2,

.c+1______________t_____________1

C÷yJ2c2-2÷1t÷?/z(t-1)2—2?+]2一公

V∕>2,ΛO<i<1,則0V，2—2<√Σ,Λl<l+2-^<l+√2,

LZYC?C

.?.△48。與ACBO內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍（一，1）.

2

19.（12分）治療慢性乙肝在醫(yī)學(xué)上一直都是一個難題，因為基本不能治愈，只是可以讓肝

功能正常，不可以清除病毒，而且發(fā)展嚴重后還具有傳染性，所以在各種體檢中肝功能

的檢查是必不可少的.在對某學(xué)校初中一個班上64名學(xué)生進行體檢后，不小心將2份攜

帶乙肝的血液樣本和62份正常樣本（都用試管獨立裝好的）混在了一起，現(xiàn)在要將它們

找出來，試管上都有標簽，采用將共64份樣品采用混檢的方式，先將其平均分成兩組,

每組32份，將每組的32份進行混檢，若攜帶病毒的在同一組，則將這一組繼續(xù)取兩份

平均分組的混合樣本進行檢驗，若攜帶病毒的樣本不在同一組，則將兩組都繼續(xù)平均分

組混檢下去，直到最后將兩份攜帶病毒的樣本找出為止（樣品檢驗時可以很快出結(jié)果，

每次含病毒的那一組進行平均分組時，每個含病毒的樣本被分到任意一組的概率都是今

且互不影響），設(shè)共需檢驗的次數(shù)為X?

(1)求隨機變量X的分布列和期望;

9

(2)若5歲以上的乙肝患者急性和慢性的比例約為9：1,急性乙肝炎癥治愈率可達一，

10

3

沒有治愈的會轉(zhuǎn)為慢性乙肝，慢性乙肝炎癥治愈率只有、，在找出兩個乙肝樣本后通知

100

其進行治療，求兩人最后至少有一人痊愈的概率Po.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

111

【解答】解：(1)病毒被分在同一組的概率為ZXTX2=-,不被分在同一組的概率為

27272

111

_X_X2=一；

222

若病毒被分在同一組，則下次需要進行2次檢驗，若病毒不被分在同一組，則下次需要

進行4次檢驗，

若每次病毒均在同一組，則需要進行5次分組，最后一次每組有2份樣品，即進行10次

檢驗,P(X=IO)=(1)5=?,

若前4次病毒均在同一組，第5次病毒不在同一組，此時每組有2份樣品，還需要再進

行