圓中的計(jì)算與證明的綜合大題訓(xùn)練（50道）-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（浙教版）（解析版）

專題3.9圓中的計(jì)算與證明的綜合大題專項(xiàng)訓(xùn)練(50道)

【浙教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共50題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了圓中的計(jì)算與證明的綜合問(wèn)題的所

有類型！

一.解答題(共50小題)

1.(2022?南關(guān)區(qū)開(kāi)學(xué))已知：.如圖.AABC和△￡>￡(；都是等邊角形.。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AO與

BE相交于點(diǎn)P.AC,BE相交于點(diǎn)M,AD,CE相交于點(diǎn)M

圖①圖②

(1)在圖①中，求證：AD=BE;

(2)當(dāng)aCDE繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖②時(shí)，NAPB=60°.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°,求出NBCE=N

ACD,根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；

(2)證明AACQ絲Z?BCE(&4S),得到4O=2E,NDAC=NEBC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可

解答.

【解答】(1)證明：?.?ZXABC和aCDE為等邊三角形，

AC=8C,CD=CE,/8CA=NoCE=60°,

ZACD=NBCE,

在44CD和48CE中，

AC=8C,ZACD=ZBCE,CD=CE,

：.ΛACD^ΛBCE(SAS),

；.AD=BE;

(2)解：..?Z?ABC和aCOE都是等邊三角形，

：.AC-=BC,CD=CE,NAC8=∕OCE=60°,

：?NACB+/BCD=/DCE+/BCD,

即ZACD=ZBCE,

在AACQ和aBCE中，

AC=BC

乙ACD=乙BCE,

CD=CE

:?XACDQl?BCE(5A5),

：.ZDAC=ZEBC,

??ZAMP=NBMC,

：.ZAPB=ZACB=GOQ.

故答案為：60。.

2.(2022秋?柯橋區(qū)月考)如圖，。是。。弦BC的中點(diǎn)，A是。。上的一點(diǎn)，OA與BC交于點(diǎn)E,已知

AO=8,BC=12.

(1)求線段OD的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)EO=√∑BE時(shí)，求。E的長(zhǎng).

【分析】⑴連接08,先根據(jù)垂徑定理得出ODMC,BD=：BC,在RIZ?80力中，根據(jù)勾股定理即可

得出結(jié)論；

(2)在RlZ?EOO中，設(shè)BE=X,則OE=√∑r,DE=6-x,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)連接08.

過(guò)圓心，且。是弦BC中點(diǎn)，

J.ODVBC,BD=^BC,

在RtABOQ中，OZ)2+8Q2=B^.

VBO=AO=8,BD=6.

Λ(9D=2√7;

(2)在Rt△EOD中，OD2+ED1=EO2.

設(shè)BE=x,則OE=√2Λ,DE=6-x.

(2>∕7)2+(6-%)^-(√2x)21

解得Xl=-16(舍)，X2=4.

則DE=I.

3.(2022?市中區(qū)校級(jí)一模)如圖，AB是。O的直徑，C是防的中點(diǎn)，CE_LAB于點(diǎn)E,BD交CE于點(diǎn)、F.

(1)求證：CF=BF;

【分析】(1)要證明CF=BF,可以證明NECB=N08C；AB是。。的直徑，則NAeB=90°,又知

CELAB,則NCEB=90°,貝∣J∕QBC=90°-ZACE=ZA,NECB=NA,則NECB=NO8C；

(2)在直角三角形ACB中，AB2^AC2+BC2,乂知，BC=CD,所以可以求得A8的長(zhǎng)，即可求得圓的半

徑；再利用面積法求得CE的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：YAB是。。的直徑，

ΛZACfi=90°,

.?.∕4=90°-ZΛBC.

'：CELAB,

ΛZCEB=90o,

；.NECB=9Q°-ZABC,

.'.ZECB=ZA.

又：C是前的中點(diǎn),

：.CD=CB,

：.ZDBC=ZA9

,/ECB=NDBC,

.?CF=BF;

(2)解：VBC=CDf

，BC=C￡)=6,

VZACB=90o，

.,.AB=y∕BC2^-AC2=√62÷82=10,

???。0的半徑為5,

'-USAABC=-B?CE=?C?AC,

.廠LBCAC6x824

??CΔ=------=—=——.

AB105

4.（2022秋?岱岳區(qū)期末）已知。。的直徑為10,點(diǎn)4、點(diǎn)B、點(diǎn)C在。。上，/CAB的平分線交。。于

點(diǎn)D

（1）如圖①，若BC為。。的直徑，AB=6,求AC、BD、CO的長(zhǎng);

【分析】（1）利用圓周角定理可以判定ACAB和ADCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的

長(zhǎng)度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知AQCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BO=CQ=

5√2:

（2）如圖②，連接。8,OD.由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知4OB/）是等

邊三角形，則B￡>=08=00=5.

【解答】解:(1)如圖①，是OO的直徑,

.*.ZCAB=ZfiDC=90°.

;在直角aCAB中，BC=IO,AB=6,

由勾股定理得到：AC=√BC2-AB2=√102-62=8.

；A。平分NCA8,

：.CD=BD,

：.CD=BD.

在直角aBOC中，8C=10,CD2+BI)2=BC2,

易求80=CO=5√Σ:

(2)如圖②，連接。8,OD,

。平分NCAB,且NCAB=60°,

.?.∕D48=Z∕C48=30°,

2

：?/DoB=2∕DAB=60°.

XVOB=ODf

:BD是等邊三角形，

IBD=OB=OD.

???。。的直徑為10,則05=5,

：.BD=5.

5.(2022?濟(jì)寧)如圖，AQ為AABC外接圓的直徑，ADLBC,垂足為點(diǎn)F,NABC的平分線交A。于點(diǎn)E

連接BQ,CD.

(1)求證：BD=CD;

(2)請(qǐng)判斷&E,C三點(diǎn)是否在以。為圓心，以DB為半徑的圓上？并說(shuō)明理由.

【分析】（I）利用等弧對(duì)等弦即可證明.

（2）利用等弧所對(duì)的圓周角相等，NBAO=NC8。再等量代換得出NQBE=從而證明。B=OE

=DC,所以B,E,C三點(diǎn)在以。為圓心，以DB為半徑的圓上.

【解答】（1）證明：YAO為直徑，ADJLBC,

由垂徑定理得：BD=CD

.?.根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得：BD=CD.

(2)解：B,E,C三點(diǎn)在以。為圓心，以。8為半徑的圓上.

理由：由(1)知：=CD,

.?.N1=∕2,

又:/2=/3,

ΛZ1=Z3,

：.ZDBE=Z3+Z4,NDEB=N1+N5,

是NABe的平分線，

ΛZ4=Z5,

：.NDBE=NDEB,

：.DB=DE.

由(1)知：BD=CD

,DB=DE=DC.

:?B,E,C三點(diǎn)在以。為圓心，以DB為半徑的圓上.

6.(2022秋?辛集市期末)如圖1,在AABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作C

(2)如圖2,當(dāng)CO為直徑，半徑為1時(shí)，求弧8。，線段BF,線段。尸所圍成圖形的面積.

【分析】⑴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得NADe=NDca進(jìn)而可以解決問(wèn)題；

(2)連接OA,OB,由(1)得NACB=NBCO=NADC,所以衣=屈=皿，可得4A0C??AOB

是等邊三角形，可以求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得S根a和S扇形os。，即可解決問(wèn)題.

【解答】(1)證明：VAB=AC,

???ZABC=ZACB,

?ΛCD∕∕AB,

：?/ABC=NDCB,

：.NACB=NDCB,

Β

.?ZABC=ZADC9

：.ZADC=ZDCB,

'：BF=BC

INF=NBCD,

：.ZF=ZADC,

：.BF//AD；

(2)解：連接。A,OB,

B

圖2

；CO為直徑，半徑為1,

：.CD=2,OD=OB=OA=OC=X,

由（1）知：4ACB=NBCD=NADC,

：.AC=AB=BD,

：.ZAOC=ZAOB=NBoD=60°,

.?.aAOC和AAOB是等邊三角形，

ΛZACD=60°,

：.ZADC=30°,

.?.∕F=30°,

ΛZFβ(9=90°,OB=I,

LBF=√3,

弧3D,線段5F,線段OF所圍成圖形的面積為：

CCICnnL60π×l2√3π

SdoBF-SWOBD=τ×OB?BF----——=---.

Z□oUZo

7.(2022秋?儀征市校級(jí)月考)如圖，。。是正方形ABCD與正六邊形AEFCG”的外接圓.

(1)正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的邊長(zhǎng)之比為√Σ:1；

(2)連接BE,BE是否為。。的內(nèi)接正〃邊形的一邊？如果是，求出”的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)計(jì)算出在半徑為7?的圓中，內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)即可求出：

(2)首先求得/EOB的度數(shù)，然后利用360°除以/E08度數(shù)，若所得的結(jié)果是整數(shù)的即可.

【解答】解：(1)設(shè)此圓的半徑為/?,

則它的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為√∑R,

它的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為R,

內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)比為√∑R:Λ=√2:I.

故答案為：√2:I；

(2)BE是。。的內(nèi)接正十二邊形的?邊,

理由：連接OA,OB,OE,

在正方形ABCQ中，NAoB=90°,

在正六邊形AEFCGH中，ZAOE=GOo,

/.ZBOf=30°,

,.360°

.H=------=12,

30°

.?.8E是正卜二邊形的邊.

8.(2022?高唐縣二模)如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,NBAo=30°,AC=8.過(guò)點(diǎn)

。作OHLAB于點(diǎn)H,以點(diǎn)。為圓心，。”為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M.

(I)求圖中陰影部分的面積;

(2)點(diǎn)尸是BQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,。重合)，當(dāng)P4+PM的值最小時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度.

【分析】(1)解直角三角形求出4，，OH,根據(jù)S研=SAAoH-S播影OMH，求解即可.

(2)作點(diǎn)M關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)M',連接，Ar交BD于P,連接尸M,連接PM,此時(shí)PH+PM的值最

小，解直角三角形求出OP,。力即可.

【解答】解：（1）???四邊形ABCz）是菱形，

：.ACLBD,OA=OC=4,

,.?OHlAB,

：.ZAHO=90a,

；NOAH=30°,

ΛZAOH=GOo,OH=^OA=2,AH=√3O∕7=2√3,

SW=S?AOH~SHiKOMH=?×2×2V3—=2V3—?π.

Z36U3

(2)作點(diǎn)M關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)M',連接"M'交BD于P,連接PM,此時(shí)P"+PM的值最小.

VOH=OM,,

.?Z0HM,=ZOM,H,

VZAOH=ZOHMf+ZOMfH=60°,

設(shè)OP=m,則PM=2mf

.?.4W2=∕772+22,

?2√3

??〃？=--,

?33+°尸=竽+竽=2叵

9.(2022?黔東南州模擬)如圖，已知AB是。。的直徑，點(diǎn)C、。在。。上，NO=60°且AB=6,過(guò)。

點(diǎn)作OELAC,垂足為E.

(1)求OE的長(zhǎng)；

(2)若OE的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)尸，求弦ARAC和弧CF圍成的圖形(陰影部分)的面積S.

B

【分析】（1）根據(jù)/0=60°,可得出NB=60°,繼而求出BC,判斷出OE是AABC的中位線，就可

得出OE的長(zhǎng)；

（2）連接OC,將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形尸OC的面積.

【解答】解：（1）VZD=60o,

.?.∕8=60°（圓周角定理），

又?.?A8=6,

.?.8C=3,

是ΘO的直徑，

.?.∕AC8=90°,

'：OELAC,

：.OE//BC,

又；點(diǎn)。是AB中點(diǎn)，

.?.0E是△?!BC的中位線，

IOE=3BC=I；

則易得aCOEgZ?AFE,

故陰影部分的面積=扇形FOC的面積,

2

C60TΓ×33

）崩形—?！痞?7π?

FoC=?oθN

即可得陰影部分的面積為∣π?

10.（2022秋?如東縣期末）如圖，Co是。。的直徑，弦A8_LC。于點(diǎn)E,∕D4B=30°,AB=4√3.

（1）求CC的長(zhǎng)；

（2）求陰影部分的面積.

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和題意，可以求得4。和。E的長(zhǎng)，再根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是

等邊三角形即可得到。。的長(zhǎng)，從而可以求得CQ的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)圖形可知AOBE和AOAE全等，陰影部分的面積等于扇形40。的面積，本題得以解決.

【解答】解：（I）連接。A,

：C。是。。的直徑，弦ABJ_C。于點(diǎn)E,ND48=30°,AB=4√3,

.?.AE=2√5,NAED=90°,

：.ED=2,AO=4,/OZM=60°，

■：OA=OD,

J.∕?OAD是等邊三角形，

.?0D=AD=4,

.?.CD=2OO=8;

（2）YC。是。。的直徑，弦LCD于點(diǎn)E,ZDAB=30°,AB=4√3,

:,OA^OB,AE=BE,OE=OE,

...△OEAgZ?OE8,

陰影部分的面積是：器答=務(wù)

3603

11.（2022秋?松滋市期末）如圖，AB是。。的直徑，弦。E垂直平分半徑OA,C為垂足，弦。F與半徑

。8相交于點(diǎn)尸，連接EO、FO,若DE=4√5,No%=45°

（1）求。。的半徑.

（2）若圖中扇形OE尸圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，試求這個(gè)圓錐的底面圓的半徑.

D.

【分析】（1）利用垂徑定理得到CE=DC=∣DE=2√3,OC=TOE,貝IJNoEC=30°,然后利用含30

度的直角三角形三邊的關(guān)系求出OE即可;

（2）利用圓周角定理得到NEoF=2/0=90°,設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為r,利用弧長(zhǎng)公式得到2兀/=

鬻，然后解關(guān)于r的方程即可.

IoO

【解答】解：（I）???弦。E垂直平分半徑0A,

CE=DC=∣DE=2√3,OC=^OE,

ΛZOEC=30°,

OC=關(guān)=2,

,OE=2OC=4,

即。。的半徑為4；

(2)VZD∕?=45o,

ΛZD=45°,

NEOF=2/0=90°,

設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為r,

-S嘿，解得，=1，

即這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為I.

12.（2022?沈陽(yáng)）如圖，。。是aABC的外接圓，AB是。。的直徑，。為Θ。上一點(diǎn)，OQLAC,垂足為

E,連接8。

（1）求證：BO平分乙4BC；

（2）當(dāng)NOCB=30°時(shí)，求證：BC=OD.

【分析】(1)由0。，ACO。為半徑，根據(jù)垂徑定理，即可得詼=松，又由在同圓或等圓中，同弧或

等弧所對(duì)的圓周角相等，即可證得50平分NA2C；

(2)首先由08=。。，易求得/AOQ的度數(shù)，又由OCAC于E,可求得NA的度數(shù)，然后由AB是。0

的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得NAcB=90°,繼而可證得BC=OD.

【解答】證明：⑴：ODLACOD為半徑，

：.CD=AD,

：.NCBD=乙ABD,

。平分NA8C；

（2）VOB=OD,

：.ZOBD=Z0DB=30Q,

.?.NAOO=NOBO+NODB=30°+30°=60°,

XvOnUe于E,

ΛZOEA=90°,

ΛZA=180o-ZOEA-ZAOD=180°-90°-60°=30°,

又：AB為。。的直徑，

ΛZΛCβ=90o,

在RtZXACB中，BC=-AB,

2

"：OD=^AB,

：.BC=OD.

13.（2022?崇左）如圖，正方形ABCf）的邊長(zhǎng)為1,其中弧OE、弧EF、弧FG的圓心依次為點(diǎn)A、B、C.

(1)求點(diǎn)。沿三條弧運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)：

(2)判斷直線GB與。產(chǎn)的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】(I)根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，代入運(yùn)算即可.

(2)先證明絲ZXGCB,得出NG=∕F,從而利用等量代換可得出NG"O=90°,HPGB±DF.

【解答】解：(1)根據(jù)弧長(zhǎng)公式得所求路線長(zhǎng)為：陪1+等+等=3"?

IoOIoOIoO

(2)GBLDF.

理由如下：

在和AGCB中，

CF=CG

VLFCD=ΔGCB,

CD=CB

:.∕?FCDWXGCB(SAS),

.?.ZG=ZF,

?.?ZF+ZFDC=90o,

ΛZG+ZFDC=90°,

.".ZGHD=90°,

：.GBA.DF.

14.(2022?涼山州二模)如圖，AB是半圓的直徑，C、。是半圓上的兩點(diǎn)，且∕B4C=20°,而=前,

求：NBC。的度數(shù).

【分析】連接BC,如圖，根據(jù)圓周角定理得NAC8=90°,則利用互余可計(jì)算出NB=70°,再根據(jù)圓

內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算出/0=180°-ZB=HOo,接著根據(jù)圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理，由弧

AD=弧Cz)得到∕D4C=NZ)CA=35°,然后得到NOCB=Nf>CA+NAC2=125°.

【解答】解：???AB是半圓的直徑，

ΛZΛCB=90o,

VZθAC=20o,

.?.N8=70°,

；四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，

ΛZD=180°-ZB=HOo,

'CAD=CD,

：.ADAC=ZDCA=-(180o-IIOo)=35°,

2

ΛZDCB=ZDCA+ZΛCB=125°.

15.(2022?白云區(qū)一模)如圖，。。的半徑OA_LOC,點(diǎn)力在配上，且詼=2詼，OA=4.

(1)ZCOD=30°；

(2)求弦AO的長(zhǎng)；

(3)P是半徑OC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、PD,請(qǐng)求出AP+尸。的最小值，并說(shuō)明理由.

(解答上面各題時(shí)，請(qǐng)按題意，自行補(bǔ)足圖形)

【分析】(1)根據(jù)垂直的定義得到∕AOC=90°,由已知條件得到NAOz)=2/COO,即可得到結(jié)論；

(2)連接。力、AD,如圖1所示：由(1)知N4OO=2NCOO=2X30°=60°,推出aAOO為等邊三

角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到；

(3)過(guò)點(diǎn)。作OEJ_OC,交OO于點(diǎn)E,連接AE,交OC于點(diǎn)P,則此時(shí)，AP+PO的值最小，延長(zhǎng)40

交。O丁點(diǎn)8,連接8E,得到4P+PD最小值=AP+PE=AE,根據(jù)圓周角定理得到乙4E∕)=INA00=30°,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/。4E=NAEZ)=30°,由于AB為直徑，得到aABE為直角三角形，解直角三

角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)?,OA±OC,

：.ZAOC=90°,

'：AD=2CD,

：.ZAOD=2ZCOD,

.".ZCOD=iZAC>C=30o,

3

故答案為：30；

（2）連接0。、AD,如圖1所示：

由（1）知/A0f>=2NCOO=2X30°=60°,

'：OA=OD,

.?.ZXAOZ）為等邊三角形，

."。=。4=4；

(3)過(guò)點(diǎn)。作￡>￡，OC,交OO于點(diǎn)E,連接AE,交。C于點(diǎn)P,貝IJ此時(shí)，AP+PO的值最小,

延長(zhǎng)Ao交。。于點(diǎn)3,連接3E,如圖2所示：

根據(jù)圓的對(duì)稱性，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)，

OC是OE的垂直平分線，

BPPD=PE,

J.AP+PD最〃、值=AP+PE=AE,

VZAED=-ZAOD=^Q,

2

XVOA±OC,DELOC,

:,OA//DE,

.?.NOAE=∕AEO=30°，

'."AB為直徑,

.,.△ABE為直角三角形，由些=CoSNBAE,AE=ΛB?cos30o=2×4×-=4√3,

AB2

即AP+PD=4√3,

16.(2022?西湖區(qū)校級(jí)一模)如圖，AB是。。的直徑，C是前的中點(diǎn)，CE,AB于E,BD交CE于F.

(1)求證：CF=BF-,

(2)若CC=6,AC=S,求BE、CF的長(zhǎng).

【分析】（1）首先延長(zhǎng)CE交OO于點(diǎn)P,由垂徑定理可證得NBCP=NBCC,又由C是防的中點(diǎn)，易

證得/8。C=NC8。，繼而可證得CF=8尸；

根據(jù)勾股定理得到,根據(jù)射影定理得到

（2）AB=IoBE=咚AB=3.6,根據(jù)三角形的面積公式得到CE=

然=4.8,設(shè)CF=X,則FE=4.8-x,BF=x,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

AB

【解答】（1）證明：延長(zhǎng)CE交。。于點(diǎn)P,

VCElAB,

：.BC=BP,

：.ZBCP=ZBDC,

TC是反&的中點(diǎn)，

：.CD=CB,

：?/BDC=NCBD,

.?ZCBD=ZBCP,

JCF=BR

（2）VCD=6,AC=8,

.?.AB=10,

：.BE=-=3.6,

AB

.?.CE=^≤=4.8,設(shè)C尸=x,則FE=4.8-X,BF=x,

AB

（4.8-x）2÷3.62=X2,

17.(2022?武昌區(qū)校級(jí)自主招生)如圖，已知。。的直徑為10,點(diǎn)A、B、C在。。上，NcAB的平分線

交。。于點(diǎn)D

(1)圖①，當(dāng)BC為。。的直徑時(shí)，求8。的長(zhǎng).

(2)圖②，當(dāng)8。=5時(shí)，求NCQB的度數(shù).

(2)首先證明AOBC是等邊三角形，推出/300=60°,由前=朝，推出/CAf>=/BAZ)=30°,

推出N8AC=60°,再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題：

【解答】解：(1)如圖1中，連接CD

為。O直徑，

ΛZCDB=90°,

ΛZCΛβ=90o,

是/CA3的角平分線，

,

..?DAB=-2Z.CAB=45°,

：.NDCB=NDAB=45°

...△CD8為等腰直角三角形，

VBC=IO,

：.BD=5√2.

(2)連接OD、OB,

；。。直徑為10,

:.0B=OD=5,

.?.8C=5,

：.OB=OD=BD,

...△08。是等邊三角形，

2800=60°,

VCD=DB,

：.ZCAD=ZBAD=30o,

：.ZBAC=GOo,

：四邊形CABO是圓內(nèi)接四邊形,

：.ZCDB+ZBAC=ISOa,

18.(2022?東莞市校級(jí)模擬)如圖，。。的內(nèi)接四邊形ABC。兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F.

(1)當(dāng)NE=N產(chǎn)時(shí)，則>ADC=90°；

(2)當(dāng)NA=55°,ZE=30°時(shí);求NF的度數(shù);

(3)若NE=α,ZF=β,且a#。.請(qǐng)你用含有a、B的代數(shù)式表示NA的大小.

【分析】(1)由NE=N尸，易得NAQC=NA8C,又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得答案;

(2)由乙4=55°,∕E=30°,首先可求得/ABC的度數(shù)，繼而利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得/

ADC的度數(shù)，則可求得答案；

(3)由三角形的內(nèi)角和定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得180o-ZA-ZF+180o-ZA-ZE

=∣80o,繼而求得答案.

【解答】解：(1)VZE=ZF,ZDCE=ZBCF,NADC=NE+NDCE,ZABC=ZBCF-^-ZFf

：.ZADC=ZABC,

???四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，

ΛZADC+ZABC=?S0°,

JNAOC=90°.

故答案為：90°；

(2)Y在AABE中，ZA=55o,ZE=30°,

ΛZABE=180°-ZA-ZE=95o,

ΛZADF=ISOo-NABE=85°，

J在△4￡)/中，ZF=180o-ZADF-ZA=40o；

(3)VZADC=?SOo-NA-N凡ZABC=180o-ZA-ZE,

VZADC+ZABC=180°,

Λ180o-ZA-ZF+180o-NA-NE=I80°,

Λ2ZA+ZE+ZF=180o,

ΛZA=90°一仝把=90°一絲

22

19.(2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)如圖，圖1、圖2、圖3、…、圖"分別是。。的內(nèi)接正三角形A8C,正四邊

ABCD,正五邊形ABCDE、…、正”邊形ABCQ…，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開(kāi)始以相同的速度在。。

上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng).

(I)求圖1中/APN的度數(shù)是60°；圖2中，NAZW的度數(shù)是90°,圖3中/APN的度數(shù)

是108°.

。

(2)試探索NAPN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)〃的關(guān)系(直接寫答案)(n-2”80

—n-.

BB?<D

圖1圖2圖3圖n

【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系解答即可.

【解答】解：（1）圖1：?.?點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)8、C開(kāi)始以相同的速度在。。上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),

，NBAM=ZCBN,

又；NAPN=NBPM,

ZAPN=ZBPM=NABN+NBAM=NABN+NCBN=NABC=60°；

同理可得：在圖2中，NAPV=90°；在圖3中，ZAPN=108°.

（2）由（1）可知，/APN=所在多邊形的內(nèi)角度數(shù)，故在圖”中，2）18。。.

n

20.（2022?溫州一模）如圖，在。。上依次有A、B、C三點(diǎn)，Bo的延長(zhǎng)線交。。于E,AE=CE,過(guò)點(diǎn)C

作C?！ˋB交BE的延長(zhǎng)線于O,AQ交。。于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形ABS是菱形；

（2）連接。4、OF,若/AO尸=3NFOE,且AQ=3,求劣弧。的長(zhǎng).

【分析】（1）先根據(jù)圓的性質(zhì)得：NCBD=/ABD,由平行線的性質(zhì)得：NABD=NCDB,根據(jù)直徑和

等式的性質(zhì)得：AB=BC,由一組對(duì)邊平行且相等可得四邊形ABC。是平行四邊形，由AB=BC可得結(jié)

論；

（2）先設(shè)∕FOE=x,則∕AOF=3x,根據(jù)∕ABC+∕BAD=I8O°,列方程得：4Λ+2X+∣（180-3X）=

180,求出X的值，接著求胡所對(duì)的圓心角和半徑的長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得結(jié)論.

【解答】（1）證明：?；屈=金，

.?ZCBD-ZABD,

?"CD∕∕AB,

.?.ZABD=ZCDB,

"CBD=NCDB,

：.CB=CD,

：BE是③。的直徑,

：.AB=BC,

：.AB=BC=CD,

YCD〃AB,

???四邊形ABCD是菱形；

(2)VZA0F=3ZF0E,

設(shè)NFOE=x,則NAoF=3x,

ZAOD=NFoE+NAO/=4x,

YOA=OF,

：.Λ0AF=AOFA=-(180-3x)°,

2

YOA=OB,

：.ZOAB=AOBA=Ix,

：.ZABC=4x,

?,BC∕∕AD,

：.ZABC+ZBAD=180°,

Λ4x+2r+i(180-3x)=180,

2

x=20o,

ΛZAOF=3x=60o,ZAOE=SOo,

/.ZCOF=SOo×2-60o=IOOo,

'：OA=OF,

?,.ZVlO尸是等邊三角形，

???0F=AF=3f

J字的長(zhǎng)=%巴=史.

1803

21.(2022?岳麓區(qū)校級(jí)一模)如圖，。。中，直徑C￡>_L弦A3于EAMJL5。于M,交CD于N,連AD

(1)求證：AQ=AN;

(2)若4B=4√Σ,ON=I,求。。的半徑.

B

【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得出NBAO=NBCO,再由直角三角形的性質(zhì)得出NANE=/CNM,故

可得出NBCD=/BAM,由全等三角形的判定定理得出AANE絲4AZ）E,故可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)垂徑定理求出AE的長(zhǎng)，設(shè)NE=x,則OE=X-I,NE=ED=x,r^OD=OE+ED^2x-1

連接A。，則Ao=OO=2x-l,在RtZkAOE中根據(jù)勾股定理可得出X的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：：NBAO與NBC。是同弧所對(duì)?的圓周角，

：.NBAD=NBCD,

"：AE±CD,AMLBC,

：.NAMC=NAEN=90°,

,.?4ANE=NCNM,

.'.ZBCD=ZBAM,

.".ZBAM=BAD,

在△ATVE與AAOE中，

ZBAM=?BAD

"：AE=AE,

ZAEN=^AED

.?ΛANE^ΛADE,

.'.AD=AN;

(2)解：VA8=4√2,AElCD,

ΛΛE≈2√2,

又?.?ON=1,

設(shè)NE=X,則OE=X-1,NE=ED=x,r=0D=0E+ED=2x-1

連接AO,則AO=OZ)=2x-1,

；AiAOE是直角三角形，ΛE=2√2,OE=x-1,AO=Zr-I,

2

(2√2)+(X-D2=(2x-D2,解得χ=2,

Λr=2x-1=3.

22.（2022?普陀區(qū)模擬）如圖，在。。中，AD.BC相交于點(diǎn)E,OE平分NAEC.

（1）求證：AB-CD-,

（2）如果。O的半徑為5,ADLCB,OE=I,求AD的長(zhǎng).

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作OON,8C,從而得出OM=OM根據(jù)垂徑定理可得出而=尻然

后可得福=而，繼而得出結(jié)論.

（2）先判斷OM=ME,然后利用勾股定理得出AM的方程，解出后，根據(jù)AO=2AM,即可得出答案.

【解答】證明：（1）過(guò)點(diǎn)。作。MLAO,ONYBC,

：OEnZAEC,

.?.OM=ON,

：.AD=BC,AD-BD=BC-BD,即而=麗，

,?AB=CD.

（2）'：OM.LAD,

：.AM=DM,

,:ADLCB,OE平分/AEC,

：.ZOEM=45°,

NMOE=45°，

："OEM=NEoM，

OM=ME,

在RtZ?40M中，042=0知2+4例2,即25={AM-I）2+AM2,

解得：AM=4或AM=-3（舍去）

故AO的長(zhǎng)為8.

23.（2022?饒平縣校級(jí)模擬）如圖，。。中，弦CZ）與直徑AB交于點(diǎn)從

（1）當(dāng)N8+∕O=90°時(shí)，求證：H是CZ）的中點(diǎn)：

（2）若"為CZ）的中點(diǎn)，且CO=2√LBD=√3,求48的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N3HD=90°,根據(jù)垂徑定理得出即可；

（2）根據(jù)垂徑定理求出DH,根據(jù)勾股定理求出BH,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于R的方程，求出R即可.

【解答】（I）證明：?.?N8+NO=90°,

ΛZBWD=180°-90°=90°,

即ABLCD,

'：AB過(guò)O,

：.CH=DH,

即H是CO的中點(diǎn)；

(2)解：

連接OD,

為Cn的中點(diǎn)，CD=2√2,AB過(guò)O,

：.DH=CH=-CD=√2,ABLCD,

2

.?ZBHD=Wo,

由勾股定理得：BH=√BD2-DH2=J(√3)2-(√2)2=L

設(shè)OO的半徑為R,則A8=2R,OB=OD=R,

在RtZ?0"Q中，由勾股定理得：OH2+。"?！?

即(R-I)2+(√2)2=∕t2,

解得：R=|，

ΛΛB=2×-=3.

2

24.(2022?蘇州模擬)如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線/上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q,以A。為邊作Rt

AABQ,使/8AQ=90°,AQ：AB=3:4,作aABQ的外接圓。.點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC=4,過(guò)點(diǎn)C

作直線，"_U,過(guò)點(diǎn)。作0力，優(yōu)于點(diǎn)。，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E.在射線CD上取點(diǎn)凡使力尸=IC。，

以DE,力尸為鄰邊作矩形。EGF.設(shè)AQ=3x.

(1)用關(guān)于X的代數(shù)式表示80=5x,DF=3x.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90,求AP的長(zhǎng).

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作直線BG交。O于點(diǎn)N,若BN的弦心距為1,求AP的長(zhǎng).

【分析】(I)由AQ48=3：4,AQ=3x,易得A8=4x,由勾股定理得50,再由中位線的性質(zhì)得AH

^BH=^AB,求得CD,FD；

(2)利用(I)的結(jié)論，易得CQ的長(zhǎng)，作。例J_A。于點(diǎn)M,則0M〃A8,由垂徑定理得。M=AM=Ix,

由矩形性質(zhì)得OD=MC,利用矩形面積，求得X,得出結(jié)論；

(3)連接N0,由點(diǎn)。到BN的弦心距為1,得NQ=2,過(guò)點(diǎn)8作LEG于點(diǎn)例，GM=x,BM=x,

易得NGBM=45°,BM//AQ,易得A∕=AB,求得/Q,由NQ得AP.

【解答】解：(1)在RtZ?48Q中，

'：AQ-.A8=3:4,AQ=3x,

.?AB=4x,

.?.BQ=5x,

VOD.Lmfm_L/,

.,.OD//L

OB=OQ,

.AH=BH=-AB=2x,

?2

.?CD=2x,

3

：.FD=-CD=3x,

2

故答案為:5x,3x；

,

(2)?AP=AQ=3χfPC=4,

：,CQ=6x÷4,

???。。是AABQ的外接圓，NBAQ=90°,

???點(diǎn)。是BQ的中點(diǎn)，

3

：.QM=AM=

9

OD=MC=-x+4,

2

???OE=-BQ=-X,

202

.?.ED=2x÷4,

S矩形DEGF=DF*DE=3x(2x+4)=90,

解得：Xi=-5(舍去)，Q=3,

.?.AP=3∕=9;

(3)連接N。，由點(diǎn)。到8N的弦心距為1,得NQ=2,如圖2,

VGΛ∕=x,BM=X

ΛZGBM=45o,

.?BM∕∕AQ,

.?AI=AB=4x,

.?IQ=χf

JNQ=/=2,

ΛΛ=2√2,

ΛAP=6√2.

25.(2022?福建模擬)如圖1,Z?ABC中，AB=AC,。。是aABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)8作BEdMC,交。O

于點(diǎn)。，垂足為E,連接AO.

(1)求證：ZBAC=2ZCAD;

(2)如圖2,連接CD,點(diǎn)、F在線段BD上，且DF=2DC,G是式的中點(diǎn)，連接FG,若FG=2,CD

【分析】(L)作A//L3C于"，根據(jù)題意易求得N8AC=2NC4H,利用角的關(guān)系和圓周角定理可求得

ZCA∕7=ZCAD,即可求解；

(2)連接GC并延長(zhǎng)交AQ延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，連接。G,BG,AG,根據(jù)圓周角定理可求得AG垂宜平分

8C,再求證四邊形尸為平行四邊形，設(shè)半徑為匕則AH=AG=2八AD=Ir-2,根據(jù)勾股定理即

可求解.

【解答】（1）證明：如圖1,作BC于"，

/.ZAHC=90a,

ΛZ∕7AC+ZC=90o,

u：AB=AC,

.?.N8AC=2Na”，

VBE±AC,

：?NBEC=90°,

ΛZCBE+ZC=90o,

：?NCBE=NCAH,

VCD=CD,

：?NCAD=NCBE,

.'.ZCAH=ZCADf

：.ZBAC=2ZCAD；

(2)解：如圖，連接GC并延長(zhǎng)交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，連接。G,BG,AG,

???G是比的中點(diǎn),

：.GB=GCf

：.GB=GC,NBAG=NCAG,

：.ZCAG=ZDAC,

,:AB=-AC,

.^.AG垂直平分BC,

,AG為直徑，

ΛZADG=ZACG=90Q,

ΛZGDW=ZACW=90°,

：NAGC+/CAG=90°,ZAHC+ZCAH=90°,

/AGC=ZAHC,

AG=AH,

J-CG=CH,

在RtAGOH中，DC=CG=CH,即GH=2OC=f>F,

VZAEB=90o=ZACG,

.".BD//GH,

/.四邊形GHDF為平行四邊形，

：.DH=FG=2,

設(shè)半徑為r,則A"=AG=2r,AD=Ir-2,

在RtAAGO中，DG2=AG2-AD2=(2r)2-(2r-2)2=8r-4,

在RtZXGDH中，GH=DF=2CD=4近,

/.DG2=GH2-DH2=32-4=28,

Λ8r-4=28,解得r=4,

.?.。。的半徑為4.

26.(2022?蘇州模擬)如圖，已知點(diǎn)。是AABC外接圓。。上的一點(diǎn)，于G,連接AO,過(guò)點(diǎn)8

作直線BF〃A。交AC于E,交。。于F,若點(diǎn)尸是弧CQ的中點(diǎn)，連接0G,0D,CD

(1)求證：NDBF=NACB；

(2)若AG=^GE,試探究/G。。與NAOC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

D

【分析】(1)根據(jù)平行線性質(zhì)及圓周角性質(zhì)直接得出結(jié)論.

(2)作OM_LQC于點(diǎn)M,連接。C.先證明NACB=NCBF=NoBF=30°,再根據(jù)AG與GE的關(guān)系

推出Z)G=?！?gt;,然后可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：YB尸〃AO,

ZADB=ZDBF,

"：ZADB^ZACB,

.?.∕DBF=NACB;

(2)/G。。與NAOC之間的數(shù)量關(guān)系為：2∕GOO+∕AOC=240°.

理由如下：

作OM_L￡)C于點(diǎn)M,連接OC

"."AD∕/BF,

.?AB=DF,

二方為CD中點(diǎn),

ICF=DF=AB,

：.ZACB=ZCBF=NDBF,

VACIBDTG,

ΛZBGC=ZAGD=90a,

ΛZDBF+ZCBF+ZACB=90o,

ΛZACB=ZCBF=ZDBF=30o,ZDBC=60o,

ΛZADB=ZACB=30o,ZDOC=2ZDBC=120°,

?/OD=OC

ΛZODΛ∕=30o,

設(shè)GE=M則AG=爭(zhēng),

：.DG=-X,BG=√√3x,GC=3x,DC=—%,DM=—x,OD=-χ

2242f

：.DG=OD,

.?2ZGOD+ZODG=ISOo,

,：ZADB+ZODC=60Q,

.?.2ZGOD+ZODG+ZADB+ZODC-240°,

即2NGOO+∕ADC=240°.

27.(2022春?南川區(qū)期末)如圖，四邊形ABCo是正方形，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，連接EC,EC繞點(diǎn)、E

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF,連接CF、AF,C尸與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G.

(1)若BE=2,求4尸的長(zhǎng)度；

(2)求證：AF+2BG=y12AD.

備用圖

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的額性質(zhì)求得NABC=N￡8C=NFEC=90°,AB=BC,EF=EC,

再利用勾股定理可得Ae2=2BC2,CE2^BE2+BC2,CF2^2BET+2BC2,再證明/初C=90°,結(jié)合勾股定

理可得A尸=28序，進(jìn)而可求解4斤的長(zhǎng)；

(2)通過(guò)證明四邊形ADBH是平行四邊形，可得AD=BH=BC=AB,可