《線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定》課件（2套）

13．1軸對稱13．1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)(2課時)第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定教學(xué)目標掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題．重點線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題．難點靈活運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題．重點和難點教學(xué)設(shè)計一、問題導(dǎo)入我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸．那么，線段的垂直平分線有什么性質(zhì)呢？這節(jié)課我們就來研究它．二、探究新知(一)線段的垂直平分線的性質(zhì)教師出示教材第61頁探究，讓學(xué)生測量，思考有什么發(fā)現(xiàn)？如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3…是l上的點，分別量一量點P1，P2，P3…到點A與點B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生回答，教師小結(jié)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．性質(zhì)的證明：教師講解題意并在黑板上繪出圖形：上述問題用數(shù)學(xué)語言可以這樣表示：如圖，設(shè)直線MN是線段AB的垂直平分線，點C是垂足，點P是直線MN上任意一點，連接PA，PB，我們要證明的是PA＝PB.教師分析證明思路：圖中有兩個直角三角形，△APC和△BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PA＝PB.教師要求學(xué)生自己寫已知，求證，自己證明．學(xué)生證明完后教師板書證明過程供學(xué)生對照．已知：MN⊥AB，垂足為點C，AC＝BC，點P是直線MN上任意一點．求證：PA＝PB.證明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共邊)，∠PCB＝∠PCA(垂直定義)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．因為點P是線段的垂直平分線上一點，于是就有：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．(二)線段的垂直平分線的判定你能寫出上面這個命題的逆命題嗎？它是真命題嗎？這個命題不是“如果…那么…”的形狀，要寫出它的逆命題，需分析命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果…那么…”的形式，逆命題就容易寫出．鼓勵學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論．原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”，結(jié)論是“這個點與這條線段兩個端點的距離相等”．此時，逆命題就很容易寫出來．“如果有一個點與線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上．”寫出逆命題后，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．請同學(xué)們自行在練習冊上完成．學(xué)生給出了如下的四種證法．已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點，且PA＝PB.求證：P點在AB的垂直平分線上．證法一過點P作已知線段AB的垂線PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P點在AB的垂直平分線上．證法二取AB的中點C，過P，C作直線．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P點在AB的垂直平分線上．證法三過P點作∠APB的平分線．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P點在AB的垂直平分線上．證法四過P作線段AB的垂直平分線PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分線上．四種證法由學(xué)生表述后，有學(xué)生提問：“前三個同學(xué)的證明是正確的，而第四個同學(xué)的證明我有點弄不懂．”師生共析：如圖(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如圖(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.這說明一般情況下，“過P作AB的垂直平分線”是不可能實現(xiàn)的，所以第四個同學(xué)的證法是錯誤的．從同學(xué)們的推理證明過程可知線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆命題是真命題，我們把它稱為線段的垂直平分線的判定．要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個與線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據(jù)．例1尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線．已知：直線AB和AB外一點C.(如下圖)求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.師：根據(jù)上面作法中的步驟，想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？請與同伴進行交流．生：從作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF，∴C，F(xiàn)都在AB的垂直平分線上(線段的垂直平分線的判定)．∴CF就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)．師：我們曾用刻度尺找線段的中點，當我們學(xué)習了線段的垂直平分線的作法時，一旦垂直平分線作出，線段與線段的垂直平分線的交點就是線段AB的中點，所以我們也用這種方法找線段的中點．三、課堂練習教材第62頁練習第1，2題．四、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習了線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，并學(xué)會了用尺規(guī)作線段的垂直平分線．五、布置作業(yè)1．教材習題13.1第6題．2．補充題：(1)下圖是某跨河大橋的斜拉索，圖中PA＝PB，PO⊥AB，則必有AO＝BO，為什么？(2)如左下圖，△ABC中，AC＝16cm，DE為AB的垂直平分線，△BCE的周長為26cm.求BC的長．(3)有A，B，C三個村莊(如右上圖)，現(xiàn)準備建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個村莊的距離相等，請你確定學(xué)校的位置．本節(jié)證明了線段的中垂線的性質(zhì)定理及判定定理、用尺規(guī)作線段的中垂線．在課堂中，學(xué)生證明過程、作圖方法原理的理解及掌握都比較好，但要強調(diào)作業(yè)中不用三角板等工具而要用尺規(guī)來作圖，解決實際問題時可以直接用定理而不是借助于全等．教學(xué)反思知識點1：線段的垂直平分線的性質(zhì)1．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上一點，已知線段PA＝5，則線段PB的長度為()A．6B．5C．4D．3B2．如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，邊AB的垂直平分線交AC于點D，則△BDC的周長是()A．8B．9C．10D．11C3．(習題6變式)如圖，△ABC的周長為30cm，把△ABC的邊AC對折，使頂點C和點A重合，折痕交BC邊于點D，交AC邊于點E，若△ABD的周長是22cm，則AE的長為()A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．5cmC4．如圖，線段AB的垂直平分線與BC的垂直平分線的交點M恰好在AC上，且AC＝16cm，則點B到點M的距離為_______．8cm5．如圖，AD⊥BC，BD＝CD，點C在AE的垂直平分線上．若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的長．解：∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝6cm，又∵AD⊥BC，∴AB＝AC＝5cm.∵點C在AE的垂直平分線上，∴CE＝AC＝5cm，∴BE＝BC＋CE＝11cm知識點2：線段的垂直平分線的判定6．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB7．在銳角△ABC內(nèi)有一點P，滿足PA＝PB＝PC，則點P是△ABC()A．三邊垂直平分線的交點B．三條角平分線的交點C．三條高的交點D．三邊中線的交點AA8．如圖，點D在三角形ABC的BC邊上，且BC＝BD＋AD，則點D在____的垂直平分線上．AC9．如圖，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延長線上的一點，BE是否與CE相等？試說明理由．解：連接BC，∵AB＝AC，DB＝DC，∴A，D都在線段BC的垂直平分線上，即AD垂直平分BC，∴BE＝CE10．如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是()A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECC11．如圖，∠MON內(nèi)有一點P，PP1，PP2分別被OM，ON垂直平分，P1P2與OM，ON分別交于點A，B.若P1P2＝10cm，則△PAB的周長為()A．6cm

B．8cm

C．10cm

D．12cmC12．如圖，BD垂直平分線段AC，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點，PE＝3cm，則P點到直線AB的距離是____cm.313．如圖，已知AB比AC長2cm，BC的垂直平分線交AB于D，交BC于E，△ACD的周長是14cm，求AB和AC的長．解：∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∴△ACD的周長＝AD＋AC＋CD＝AB＋AC＝14cm，又∵AB－AC＝2cm，可得AB＝8cm，AC＝6cm14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD為∠BAC的平分線．求證：點D在線段AB的垂直平分線上．證明：過D作DE⊥AB于E，由AAS可證△ACD≌△AED，∴AC＝AE.∵AB＝2AC＝BE＋AE，∴BE＝AE＝AC，∴DE是線段AB的垂直平分線，即點D在線段AB的垂直平分線上15．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點P，過點P分別作PN⊥AB于點N，PM⊥AC于點M.求證：BN＝CM.證明：連接PB，PC，由角平分線的性質(zhì)證PN＝PM，由線段垂直平分線的性質(zhì)證PB＝PC，從而由HL證Rt△PNB≌Rt△PMC，∴BN＝CM16．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點D，E，F(xiàn)分別在三邊上，且BE＝CD，BD＝CF，G為EF的中點．求證：DG垂直平分EF.證明：連接DE，DF，由SAS證△BED≌△CDF，∴DE＝DF，又∵GE＝GF，GD＝GD，∴△GED≌△GFD(SSS)，∴∠EGD＝∠FGD＝90°，即DG⊥EF，∴DG垂直平分EF方法技能：1．利用線段垂直平分線的性質(zhì)可證明兩線段相等，應(yīng)用時要注意：一是點必須在垂直平分線上，二是距離指的是點到線段兩端點的距離．2．利用線段垂直平分線的判定可證明垂直關(guān)系和線段相等關(guān)系．易錯提示：對線段垂直平分線的判定理解不透而出錯．13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)ABL活動一

在106國道某段的同側(cè)，有兩個工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠到醫(yī)院的距離相等，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？AB線段的垂直平分線PA=PBP1P1A=P1B……命題：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。PMNC動手操作：作線段AB的中垂線MN，垂足為C；在MN上任取一點P，連結(jié)PA、PB；量一量：PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得到什么規(guī)律？命題：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。線段的垂直平分線ABPlCPA=PB直線l⊥AB,垂足為C,

且AC=CB.已知：如圖，點P在l上.求證：證明：∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90o.

在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC.∴PA=PB.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB點P在線段AB的垂直平分線上線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等例1：如圖，在△ABC中，已知AC=27，DE垂直平分AB，交AB于點D，交AC于點E，△BCE的周長等于50，求BC的長.解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE．∵BE+EC+BC=50，∴AE+EC+BC=50，即AC+BC=50．又AC=27，∴BC=23．ABPC性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上?逆命題：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。二、逆定理：與線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上與線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等問任何圖形都是由點組成的。因此我們可以把圖形看成點的集合。由上述定理和逆定理，線段的垂直平分線可以看作符合什么條件的點組成的圖形？三、

線段的垂直平分線的集合定義：