人教版八年級上冊數(shù)學(xué)競賽、培優(yōu)強(qiáng)化訓(xùn)練試卷及答案

人教版八年級上冊數(shù)學(xué)競賽、培優(yōu)強(qiáng)化訓(xùn)練試卷第十一章三角形11.1與三角形有關(guān)的線段專題一三角形個(gè)數(shù)的確定1．如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)為（）A．2B．18C．19D．202．如圖所示，第1個(gè)圖中有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖中共有5個(gè)三角形，第3個(gè)圖中共有9個(gè)三角形，依此類推，則第6個(gè)圖中共有三角形__________個(gè)．3．閱讀材料，并填表：在△ABC中，有一點(diǎn)P1，當(dāng)P1、A、B、C沒有任何三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，可構(gòu)成三個(gè)不重疊的小三角形（如圖）．當(dāng)△ABC內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加時(shí)，若其他條件不變，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)情況怎樣？完成下表：△ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)123…1007構(gòu)成不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)35…專題二根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系確定未知字母的范圍4．三角形的三邊分別為3，1－2a，8，則aA．－6＜a＜－3B．－5＜a＜－2C．2＜a＜5D．a(chǎn)＜－5或a＞5.在△ABC中，三邊長分別為正整數(shù)a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，則這樣的三角形共有______個(gè)．6．若三角形的三邊長分別是2、x、8，且x是不等式＞的正整數(shù)解，試求第三邊x的長．【知識要點(diǎn)】1．三角形的三邊關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊．2．三角形三條重要線段(1)高：從三角形的頂點(diǎn)向?qū)吽诘闹本€作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫做三角形的高．(2)中線：連接三角形的頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．(3)角平分線：三角形內(nèi)角的平分線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．3．三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性．【溫馨提示】1．以“是否有邊相等”，可以將三角形分為兩類：三邊都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分為三類：三邊都不相等的三角形、等腰三角形、等邊三角形，等邊三角形是等腰三角形的一種．2．三角形的高、中線、角平分線都是線段，而不是直線或射線．【方法技巧】1．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判定三條線段能否組成三角形時(shí)，要看兩條較短邊之和是否大于最長邊．2．三角形的中線將三角形分成兩個(gè)同底等高的三角形，這兩個(gè)三角形面積相等．參考答案:1．D解析：線段AB上有5個(gè)點(diǎn)，線段AB與點(diǎn)C組成5×（5－1）÷2=10個(gè)三角形；同樣，線段DE上也有5個(gè)點(diǎn)，線段DE與點(diǎn)C組成5×（5－1）÷2=10個(gè)三角形，圖中三角形的個(gè)數(shù)為20個(gè)．故選D．2．21解析：根據(jù)前邊的具體數(shù)據(jù)，再結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：后邊的總比前邊多4，若把第一個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)看作是1=4－3，則第n個(gè)圖形中，三角形的個(gè)數(shù)是4n－3．所以當(dāng)n=6時(shí)，原式=21．3．解：填表如下：△ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)123…1007構(gòu)成不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)357…2015解析：當(dāng)△ABC內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，構(gòu)成不重疊的三角形的個(gè)數(shù)是3=1×2＋1；當(dāng)△ABC內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，構(gòu)成不重疊的三角形的個(gè)數(shù)是5=2×2＋1；參考上面數(shù)據(jù)可知，三角形的個(gè)數(shù)與點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是：三角形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)是2n+1，故當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是3×2＋1=7；當(dāng)有1007個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是1007×2＋1=2015．4．B解析：根據(jù)題意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜5．10解析：∵在△ABC中，三邊長分別為正整數(shù)a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，∴a=1，2，3，4．a(chǎn)=1時(shí)，c=4；a=2時(shí)，c=4或5；a=3時(shí)，c=4，5，6；a=4時(shí)，c=4，5，6，7．∴這樣的三角形共有1+2+3+4=10個(gè)．6．解：原不等式可化為3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．∵x是它的正整數(shù)解，∴x可取1，2，3，5，6，7．再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得6＜x＜10，∴x=7．11.2與三角形有關(guān)的角專題一利用三角形的內(nèi)角和求角度1．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于D點(diǎn)，∠A=50°，則∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°2．如圖，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數(shù)．3．已知：如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）在圖2中，若∠D=40°，∠B=30°，試求∠P的度數(shù)；（寫出解答過程）（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試寫出∠P與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論即可）專題二利用三角形外角的性質(zhì)解決問題4．如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=50°，∠D=10°，則∠P的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°5．如圖，△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，CE是AB邊上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度數(shù)；（2）試寫出∠DCE與∠A、∠B的之間的關(guān)系式．（不必證明）6．如圖：（1）求證：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果點(diǎn)D與點(diǎn)A分別在線段BC的兩側(cè)，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD這4個(gè)角之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【知識要點(diǎn)】1．三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°．2．直角三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性質(zhì)外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【溫馨提示】1．三角形的外角是一邊與另一邊的延長線組成的角，而不是兩邊延長線組成的角．2．三角形的外角的性質(zhì)中的內(nèi)角一定是與外角不相鄰的內(nèi)角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一個(gè)銳角求另一個(gè)銳角時(shí)，可直接使用“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”．2．由三角形的外角的性質(zhì)可得出：三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．參考答案:1．C解析：∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，∴∠1=∠ACE，∠2=∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=∠A=25°．故選C．2．解：（法1）因?yàn)椤螩=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以(∠BAC＋∠ABC)=45°.因?yàn)锽D平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ABC，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因?yàn)椤螩=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以(∠BAC＋∠ABC)=45°，因?yàn)锽D平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=∠ABC，∠PAC=∠BAC，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD=∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C=45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分別平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B解析：延長DC，與AB交于點(diǎn)E．根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．設(shè)AC與BP相交于點(diǎn)O，則∠AOB=∠POC，∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD，即∠P=50°－（∠ACD－∠ABD）=20°．故選B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠ACB=34°．∵CE是AB邊上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．（2）∠DCE=（∠B－∠A）．6．（1）證明：延長BD交AC于點(diǎn)E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．證明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．11.3多邊形及其內(nèi)角和專題一根據(jù)正多邊形的內(nèi)角或外角求值1．若一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為150°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．12B．11C．102．一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則該多邊形的內(nèi)角和等于________°．3．已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．專題二求多個(gè)角的和4．如圖為某公司的產(chǎn)品標(biāo)志圖案，圖中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720°5．如圖，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如圖，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【知識要點(diǎn)】1．多邊形及相關(guān)概念多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線．2．多邊形的內(nèi)角和與外角和內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°．外角和：多邊形的外角和等于360°．【溫馨提示】1．從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以做(n－3)條對角線，它們將n邊形分為(n－2)個(gè)三角形．對角線的條數(shù)與分成的三角形的個(gè)數(shù)不要弄錯(cuò)．2．多邊形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．連接多邊形的對角線，將多邊形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形，將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決．2．多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，但外角和不變，都等于360°，可利用多邊形的外角和不變求多邊形的邊數(shù)等．參考答案:2．1440解析：∵多邊形的邊數(shù)為360°÷36°=10，多邊形的內(nèi)角為180°－36°=144°，∴多邊形的內(nèi)角和等于144°×10=1440°．3．解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20．4．B解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故選B．5．360°解析：在四邊形BEFG中，∵∠EBG=∠C+∠D，∠BGF=∠A+∠ABC，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．6．解：∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F．同理：∠BPO=∠D+∠C．∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．第十二章全等三角形12.1全等三角形12.2三角形全等的判定專題一三角形全等的判定1．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F．求證：△ABE≌△CDF．2．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與B，C重合），F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點(diǎn)，CF∥BE.請你添加一個(gè)條件，使△BDE≌△CDF(不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母)，并給出證明．（1）你添加的條件是：__________；（2）證明：3．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，還需添加一個(gè)條件．（1）給出下列四個(gè)條件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；請你從中選出一個(gè)能使△ADB≌△CEB的條件，并給出證明；（2）在（1）中所給出的條件中，能使△ADB≌△CEB的還有哪些？直接在題后橫線上寫出滿足題意的條件序號．__________________．專題二全等三角形的判定與性質(zhì)4．如圖，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交點(diǎn)，則線段BH的長度為（）A． B．4 C． D．55．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AC與AB重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，AE的延長線交CB的延長線于點(diǎn)M，EB的延長線交AD的延長線于點(diǎn)N.求證：AM＝AN.6．如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上一點(diǎn)，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點(diǎn)E、A在直線DC的同側(cè)，連接AE．求證：AE∥BC．專題三全等三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用7．如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則這兩個(gè)滑梯與地面夾角∠ABC與∠DFE的度數(shù)和是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．有一座小山，現(xiàn)要在小山A、B的兩端開一條隧道，施工隊(duì)要知道A、B兩端的距離，于是先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長到D，使CD=CA，連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE，那么量出DE的長，就是A、B兩端的距離，你能說說其中的道理嗎？9．已知如圖，要測量水池的寬AB，可過點(diǎn)A作直線AC⊥AB，再由點(diǎn)C觀測，在BA延長線上找一點(diǎn)B′，使∠ACB′=∠ACB，這時(shí)只要量出AB′的長，就知道AB的長，對嗎？為什么？【知識要點(diǎn)】1．全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成“邊邊邊”或“SSS”)．(2)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成“邊角邊”或“SAS”)．(3)兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”)．(4)兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成“角角邊”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)．【溫馨提示】1．兩個(gè)三角形全等的條件中必須有一條邊分別相等，只有角分別相等不能證明兩個(gè)三角形全等．2．有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜邊和一條直角邊分別相等，而不是斜邊和直角分別相等．【方法技巧】1．應(yīng)用全等三角形性質(zhì)解決問題的前提是準(zhǔn)確地確定全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，其規(guī)律主要有以下幾點(diǎn)：（1）以對應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對應(yīng)角；（2）對應(yīng)頂點(diǎn)所對應(yīng)的邊是對應(yīng)邊；（3）公共邊（角）是對應(yīng)邊（角）；（4）對頂角是對應(yīng)角；（5）最大邊（角）是對應(yīng)邊（角），最小邊（角）是對應(yīng)邊（角）．全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角可以依據(jù)字母的對應(yīng)位置來確定，如若△ABC≌△DEF，說明A與D，B與E，C與F是對應(yīng)點(diǎn)，則∠ABC與∠DEF是對應(yīng)角，邊AC與邊DF是對應(yīng)邊．2．判定兩個(gè)三角形全等的解題思路：參考答案:1．證明：平行四邊形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB，∴∠ABE=∠CDF．在△ABE與△CDF中，∴△ABE≌△CDF．2．解：（1）(或點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn))，，中任選一個(gè)即可﹒（2）以為例進(jìn)行證明：∵CF∥BE，∴∠FCD﹦∠EBD．又∵，∠FDC=∠EDB，∴△BDE≌△CDF．3．解：（1）添加條件②，③，④中任一個(gè)即可，以添加②為例說明．證明：∵AE=CD，BE=BD，∴AB=CB．又∠ABD=∠CBE，BE=BD，∴△ADB≌△CEB．（2）③④．4．B解析：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，∠AHE=∠BHD=∠C．∴△ADC≌△BDH．∴BH=AC=4．故選B．5．證明：如圖所示，∵△AEB由△ADC旋轉(zhuǎn)而得，∴△AEB≌△ADC.∴∠3＝∠1，∠6＝∠C．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠2＝∠1，∠7＝∠C.∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．∵∠4＝∠5，∴∠ABM＝∠ABN．又∵AB＝AB，∴△AMB≌△ANB．∴AM＝AN．6．證明：∵△ABC和△EDC是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°．∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC（SAS）．∴∠DBC＝∠EAC．又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠EAC．∴AE∥BC．7．B解析：∵滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，又∵BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．∴∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°．故選B．8．解：在△ABC和△CED中，AC=CD，∠ACB=∠ECD，EC=BC，∴△ABC≌△CED．∴AB=ED．即量出DE的長，就是A、B兩端的距離．9．解：對．理由：∵AC⊥AB,∴∠CAB=∠CAB′=90°.在△ABC和△AB′C中，∴△ABC≌△AB′C（ASA）．∴AB′=AB．12.3角的平分線的性質(zhì)專題一利用角的平分線的性質(zhì)解題1．如圖，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足為F，DG⊥AC，垂足為G，且DF=DG．求證：AD⊥BC.2．如圖，已知CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE，CD交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC．求證：OB=OC．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC=3cm，求BE專題二角平分線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用4．如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在（）A．在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處B．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處C．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處D．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處5．如圖，要在河流的南邊，公路的左側(cè)M區(qū)處建一個(gè)工廠，位置選在到河流和公路的距離相等，并且到河流與公路交叉A處的距離為1cm（指圖上距離），則圖中工廠的位置應(yīng)在__________，理由是__________．6．已知：有一塊三角形空地，若想在空地中找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離相等，試找出該點(diǎn)．（保留作圖痕跡）【知識要點(diǎn)】1．角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．2．角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【溫馨提示】1．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，不是其他線段的交點(diǎn)．2．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)不僅有內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，還有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，這樣的點(diǎn)共有4個(gè)．【方法技巧】1．利用角的平分線的性質(zhì)解決問題的關(guān)鍵是：挖掘角的平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的垂線段．若已知條件存在兩條垂線段——直接考慮垂線段相等，若已知條件存在一條垂線段——考慮通過作輔助線補(bǔ)出另一條垂線段，若已知條件不存在垂線段——考慮通過作輔助線補(bǔ)出兩條垂線段．2．利用角平分線的判定解決問題的策略是：挖掘已知圖形中一點(diǎn)到角兩邊的垂線段．若已知條件存在兩條垂線段——先證明兩條垂線段相等，然后說明角平分線或角的關(guān)系；若已知條件存在一條垂線段——考慮通過作輔助線補(bǔ)出另一條垂線段，再證明兩條垂線段相等；若已知條件不存在垂線段——考慮通過作輔助線補(bǔ)出兩條垂線段后，證明兩條垂線段相等．參考答案:1．證明：∵，∴AD是的平分線，∴．在和中，∴．∴．又∵，∴，∴．2．證明：∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE，在Rt△BDO和Rt△CEO中，∴．∴OB=OC．3．解：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠B=90°，又DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，又，∴∠A=60°，∠B=30°，又∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，∴cm．在Rt△DAE和Rt△DBE中，∴△DAE≌△DBE（AAS），∴cm．4．C解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．故選C．5．∠A的角平分線上，且距A1cm處角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等6．解：作兩個(gè)角的平分線，交點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)．第十三章軸對稱13.1軸對稱13.2畫軸對稱圖形專題一軸對稱圖形1．下列圖案是軸對稱圖形的是（）2．眾所周知，幾何圖形中有許多軸對稱圖形，寫出一個(gè)你最喜歡的軸對稱圖形是：______________________．（答案不唯一）3．如圖，陰影部分是由5個(gè)小正方形組成的一個(gè)直角圖形，請用兩種方法分別在下圖方格內(nèi)涂黑兩個(gè)小正方形，使它們成為軸對稱圖形．專題二軸對稱的性質(zhì)4．如圖，△ABC和△ADE關(guān)于直線l對稱，下列結(jié)論：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC與DE的延長線的交點(diǎn)一定落在直線l上．其中錯(cuò)誤的有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)5．如圖，∠A=90°，E為BC上一點(diǎn)，A點(diǎn)和E點(diǎn)關(guān)于BD對稱，B點(diǎn)、C點(diǎn)關(guān)于DE對稱，求∠ABC和∠C的度數(shù)．6．如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線m對稱．（1）結(jié)合圖形指出對稱點(diǎn)．（2）連接A、A′，直線m與線段AA′有什么關(guān)系？（3）延長線段AC與A′C′，它們的交點(diǎn)與直線m有怎樣的關(guān)系？其他對應(yīng)線段（或其延長線）的交點(diǎn)呢？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，請敘述出來與同伴交流．專題三靈活運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決問題7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交于BC的延長線于F，若∠F=30°，DE=1，則EF的長是（）A．3B．2C．D．18．如圖，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長等于________．9．如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，那么線段AB、BD、DE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并加以證明．專題四利用關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)求字母的取值范圍10．已知點(diǎn)P（－2，3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為Q（a，b），則a+b的值是（）A．1B．－1C．5D．11．已知P1點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2（3－2a，2a－5）是第三象限內(nèi)的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)，稱為整點(diǎn)），則P1點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．狀元筆記【知識要點(diǎn)】1．軸對稱圖形與軸對稱軸對稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形．這條直線是它的對稱軸．軸對稱：把一個(gè)平面圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱，這條直線叫做對稱軸．2．軸對稱的性質(zhì)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．3．線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．4．關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，－y)；點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－x，y)；【溫馨提示】1．軸對稱圖形是針對一個(gè)圖形而言，是指一個(gè)具有對稱的性質(zhì)的圖形；軸對稱是針對兩個(gè)圖形而言，它描述的是兩個(gè)圖形的一種位置關(guān)系．2．在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對稱的兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同．參考答案:1．D解析：∵將D圖形上下或左右折疊，圖形都能重合，∴D圖形是軸對稱圖形，故選D．2．圓、正三角形、菱形、長方形、正方形、線段等3．如圖所示：4．A解析：根據(jù)軸對稱的定義可得，如果△ABC和△ADE關(guān)于直線l對稱，則△ABC≌△ADE，即①正確；因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，故l垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正確；因?yàn)槌奢S對稱的兩個(gè)圖形對應(yīng)線段或延長線如果相交，那么，交點(diǎn)一定在對稱軸上，故BC與DE的延長線的交點(diǎn)一定落在直線l上，即④正確．綜上所述，①②③④都是正確的，故選A．5．解：根據(jù)題意A點(diǎn)和E點(diǎn)關(guān)于BD對稱，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．B點(diǎn)、C點(diǎn)關(guān)于DE對稱，有∠DBE=∠BCD，∠ABC=2∠BCD．且已知∠A=90°，故∠ABC+∠BCD=90°．故∠ABC=60°，∠C=30°．6．解：（1）對稱點(diǎn)有A和A'，B和B'，C和C'．（2）連接A、A′，直線m是線段AA′的垂直平分線．（3）延長線段AC與A′C′，它們的交點(diǎn)在直線m上，其他對應(yīng)線段（或其延長線）的交點(diǎn)也在直線m上，即若兩線段關(guān)于直線m對稱，且不平行，則它們的交點(diǎn)或它們的延長線的交點(diǎn)在對稱軸上．7．B解析：在Rt△FDB中，∵∠F＝30°，∴∠B＝60°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°．在Rt△AED中，∵∠A＝30°，DE＝1，∴AE＝2．連接EB.∵DE是AB的垂直平分線，∴EB＝AE＝2.∴∠EBD＝∠A＝30°．∵∠ABC＝60°，∴∠EBC＝30°．∵∠F＝30°，∴EF＝EB＝2．故選B．8．8解析：∵DF是AB的垂直平分線，∴DB=DA．∵EG是AC的垂直平分線，∴EC=EA．∵BC=8，∴△ADE的周長=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8．9．解：AB+BD=DE．證明：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC．∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE．∴AB=CE．∴AB+BD=CE+DC=DE．10．C解析：關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5．解得1.5＜a＜2.5，又因?yàn)閍必須為整數(shù)，∴a=2．∴點(diǎn)P2（－1，－1）．∴P1點(diǎn)的坐標(biāo)是（－1，1）．13.3等腰三角形13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題專題一等腰三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用1．如圖在△ABC中，BF、CF是角平分線，DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，DE經(jīng)過點(diǎn)F．結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長=AB+AC；④BF=CF．其中正確的是___________．(填序號)2．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)；（3）△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？（4）請你猜想：當(dāng)∠A為多少度時(shí)，∠EDF+∠EFD=120°，并請說明理由．3．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D．（1）請你寫出圖中所有的等腰三角形；（2）請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的長．專題二等邊三角形的性質(zhì)和判定4．如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)為圓心，OP長為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，連接PD，如果PO=PD，那么AP的長是__________．5．如圖．在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）線段BD、DE、EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程．6．如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．專題三最短路徑問題7．如圖，A、B兩點(diǎn)分別表示兩幢大樓所在的位置，直線a表示輸水總管道，直線b表示輸煤氣總管道．現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設(shè)一個(gè)連接點(diǎn)，安裝分管道將水和煤氣輸送到A、B兩幢大樓，要求使鋪設(shè)至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最短．圖中，點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線b的對稱點(diǎn)，A′B分別交b、a于點(diǎn)C、D；點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)，B′A分別交b、a于點(diǎn)E、F．則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點(diǎn)依次是（）A．F和CB．F和EC．D和CD．D和E8．如圖，現(xiàn)準(zhǔn)備在一條公路旁修建一個(gè)倉儲基地，分別給、兩個(gè)超市配貨，那么這個(gè)基地建在什么位置，能使它到兩個(gè)超市的距離之和最小?(保留作圖痕跡及簡要說明)【知識要點(diǎn)】1．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成“等邊對等角”)；性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)．3．等邊三角形的性質(zhì)和判定方法性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．判定方法1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．判定方法2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．4．直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．【溫馨提示】1．“等邊對等角”和“等角對等邊”只限于在同一個(gè)三角形中，在兩個(gè)三角形中時(shí)，上述結(jié)論不一定成立．2．在應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)必須是在直角三角形中；(2)必須有一個(gè)銳角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性質(zhì)是證明兩個(gè)角相等的重要方法，當(dāng)要證明同一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，可嘗試用“等邊對等角”．2．等腰三角形的判定是證明線段相等的一個(gè)重要方法，當(dāng)要證明位于同一個(gè)三角形的兩條線段相等時(shí)，可嘗試用“等角對等邊”．3．利用軸對稱可以解決幾何中的最值問題，本方法的實(shí)質(zhì)是依據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短和三角形兩邊之和大于第三邊．參考答案:1．①②③解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，F(xiàn)E=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周長=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．綜上所述，命題①②③正確．2．解：(1)證明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BE=CF，∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=(180°－∠A)=(180°－40°)=70°．∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：當(dāng)∠A=60°時(shí)，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．（2）AD與BE垂直．證明：∵BE為∠ABC的平分線，∴∠ABE=∠DBE.又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合．∴A、D是對稱點(diǎn)．∴AD⊥BE．（3）∵BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE=DE．在Rt△ABE和Rt△DBE中，∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．∴AB=BD．又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵ED⊥BC，∴△DCE為等腰直角三角形．∴DE=DC．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6解析：連接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等邊三角∵∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等邊三角形，其理由是：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等邊三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△AMN．（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN=AM．∴∠AMN=∠ANM．∴∠AMC=∠ANB．∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形．∴∠C=∠B．在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN．∴CM=BN．設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．y－12=36－2y，解得：y=16．故假設(shè)成立．∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．7．A解析：由軸對稱－－最短路線的要求可知：輸水分管道的連接點(diǎn)是點(diǎn)B關(guān)于a的對稱點(diǎn)B′與A的連線的交點(diǎn)F，煤氣分管道的連接點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于b的對稱點(diǎn)A′與B的連線的交點(diǎn)C．故選A．8．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于公路的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，交公路于點(diǎn)C，則這個(gè)基地建在C處，才能使它到這兩個(gè)超市的距離之和最小.第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法專題一冪的性質(zhì)1．下列運(yùn)算中，正確的是（）A．3a2－a2＝2B．(a2)3＝a9C．a(chǎn)3?a6＝a9D．(2a2)22．下列計(jì)算正確的是（）A．·B．·C．D．3．下列計(jì)算正確的是（）A．2a2＋a2＝3a4 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．a(chǎn)6·a2＝a12 D．(－a6)2＝專題二冪的性質(zhì)的逆用4．若2a=3，2b=4，則23a+2b等于（A．7B．12C．4325．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．6．計(jì)算：(1)(－0.125)2014×(－2)2014×(－4)2015；(2)(－)2015×811007．專題三整式的乘法7．下列運(yùn)算中正確的是（）A．B．C．D．8．若（3x2－2x+1）（x+b）中不含x2項(xiàng)，求b的值，并求（3x2－2x+1）（x+b）的值．9．先閱讀，再填空解題：（x+5）（x+6）=x2+11x+30；（x－5）（x－6）=x2－11x+30；（x－5）（x+6）=x2+x－30；（x+5）（x－6）=x2－x－30．（1）觀察積中的一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)與兩因式中的常數(shù)項(xiàng)有何關(guān)系？答：________．（2）根據(jù)以上的規(guī)律，用公式表示出來：________．（3）根據(jù)規(guī)律，直接寫出下列各式的結(jié)果：（a+99）（a－100）=________；（y－80）（y－81）=________．專題四整式的除法10．計(jì)算：（3x3y－18x2y2+x2y）÷（－6x2y）=________．11．計(jì)算：．12．計(jì)算：（a－b）3÷（b－a）2+（－a－b）5÷（a+b）4．【知識要點(diǎn)】1．冪的性質(zhì)(1)同底數(shù)冪的乘法：(m，n都是正整數(shù))，即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．(2)冪的乘方：(m，n都是正整數(shù))，即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．(3)積的乘方：(n都是正整數(shù))，即積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．2．整式的乘法(1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：就是用單項(xiàng)式去乘單項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．(3)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．3．整式的除法(1)同底數(shù)冪相除：(m，n都是正整數(shù)，并且m＞n)，即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．(2)(a≠0)，即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1．(3)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．(4)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．【溫馨提示】1．同底數(shù)冪乘法法則與合并同類項(xiàng)法則相混淆．同底數(shù)冪相乘，應(yīng)是“底數(shù)不變，指數(shù)相加”；而合并同類項(xiàng)法則是“系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變”．2．同底數(shù)冪相乘與冪的乘方相混淆．同底數(shù)冪相乘，應(yīng)是“底數(shù)不變，指數(shù)相加”；冪的乘方，應(yīng)是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”．3．運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法(除法)法則時(shí)，必須化成同底數(shù)的冪后才能運(yùn)用上述法則進(jìn)行計(jì)算．4．在單項(xiàng)式(多項(xiàng)式)除以單項(xiàng)式中，系數(shù)都包括前面的符號，多項(xiàng)式各項(xiàng)之間的“加、減”符號也可以看成系數(shù)的符號來參與運(yùn)算．【方法技巧】1．在冪的性質(zhì)中，公式中的字母可以表示任意有理數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．2．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要按照一定的順序進(jìn)行，否則容易造成漏項(xiàng)或增項(xiàng)的錯(cuò)誤．3．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式中，結(jié)果的項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，不要漏項(xiàng)．參考答案:1．C解析：A中，3a2與－a2是同類項(xiàng)，可以合并，3a2―a2＝2a2，故A錯(cuò)誤；B中，(a2)3＝a2×3=a6，故B錯(cuò)誤；C中，a3?a6＝a3+6＝a9，故C正確；D中，(2a2)2＝22（a2）2＝4a2．C解析：·，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；·，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C正確；，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C．3．D解析：A中，，故A錯(cuò)誤；B中，，故B錯(cuò)誤；C中，，故C錯(cuò)誤.故選D．4．C解析：23a+2b=23a×22b=（2a）3×（2b）2=335．解：23ｍ+2ｎ=23ｍ·22ｎ=（2ｍ）3·（2ｎ）2=53·32=1125.6．解：(1)原式=(0.125×2×4)2014×(－4)=12014×(－4)=－4．(2)原式=(－)2015×92014=(×9)2014×(－)=－．7．B解析：A中，由合并同類項(xiàng)的法則可得3a+2a=5a，故A錯(cuò)誤；B中，由多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則可得=，故B正確；C中，由單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則可得=，故C錯(cuò)誤；D中，由多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則可得，故D錯(cuò)誤.綜上所述，選B．8．解：原式=3x3+（3b－2）x2+（－2b+1）x+b，∵不含x2項(xiàng)，∴3b－2=0，得b=．∴（3x2－2x+1）（x+）=3x3－2x2+x+2x2－x+=3x3－x+．9．解：（1）觀察積中的一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)與兩因式中的常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系是：一次項(xiàng)系數(shù)是兩因式中的常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩因式中的常數(shù)項(xiàng)的積；（2）根據(jù)以上的規(guī)律，用公式表示出來：（a+b）（a+c）=a2+（b+c）a+bc；（3）根據(jù)（2）中得出的公式得：（a+99）（a－100）=a2－a－9900；（y－80）（y－81）=y2－161y+6480．10．－x+3y－解析：（3x3y－18x2y2+x2y）÷（－6x2y）=（3x3y）÷（－6x2y）－18x2y2÷（－6x2y）+x2y÷（－6x2y）=－x+3y－．11．解：原式12．解：（a－b）3÷（b－a）2+（－a－b）5÷（a+b）4，=（a－b）3÷（a－b）2－（a+b）5÷（a+b）4，=（a－b）－（a+b），=a－b－a－b，=－2b．14.2乘法公式專題一乘法公式1．下列各式中運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4abC．(a+b)(－a+b)=－a2+b2 D．(a+b)(－a－b)=－a2－b22．代數(shù)式(x+1)(x－1)(x2+1)的計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)3．計(jì)算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．專題二乘法公式的幾何背景4．請你觀察圖形，依據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，不需要連其他的線，便可得到一個(gè)你非常熟悉的公式，這個(gè)公式是（）A．（a+b）（a－b）=a2－b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．（a+b）2=a2+ab+b25．如圖，你能根據(jù)面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．a(chǎn)2－b2=（a+b）（a－b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．a(chǎn)（a+b）=a2+ab6．我們在學(xué)習(xí)完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2時(shí)，了解了一下它的幾何背景，即通過圖來說明上式成立．在習(xí)題中我們又遇到了題目“計(jì)算：（a+b+c）2”，你能將知識進(jìn)行遷移，從幾何背景說明（大致畫出圖形即可）并計(jì)算（a+b+c）2嗎？【知識要點(diǎn)】1．平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．2．完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍．【溫馨提示】1．不要將平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它們項(xiàng)數(shù)和符號的不同．2．完全平方公式中，中間項(xiàng)是左邊兩個(gè)數(shù)的和的2倍，注意系數(shù)的特點(diǎn)．【方法技巧】1．公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式．只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以利用公式．2．有些題目往往不能直接應(yīng)用公式求解，但稍做適當(dāng)?shù)淖冃魏缶涂梢杂贸朔ü角蠼猓纾何恢米兓栕兓?，?shù)字變化，系數(shù)變化，項(xiàng)數(shù)變化等．參考答案:1．D解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正確；B中，由完全平方公式可得(a－b)2=a2－2ab+b2，(a+b)2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正確；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b2－a2=－a2+b2，故C正確；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)2=－a2－2ab－b2，故D錯(cuò)誤．2．A解析：原式=(x2－1)(x2+1)=(x2)2－1=x4－1．3．解：原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，當(dāng)x=2，y=3時(shí)，原式=22+4×2×3=4+24=28．4．B解析：這個(gè)圖形的整體面積為(a+b)2；各部分的面積的和為a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故選B．5．C解析：從圖中可知：陰影部分的面積是（a－b）2和b2，剩余的矩形面積是（a－b）b和（a－b）b，即大陰影部分的面積是（a－b）2，∴（a－b）2=a2－2ab+b2，故選C．6．解：（a+b+c）2的幾何背景如圖，整體的面積為：（a+b+c）2，用各部分的面積之和表示為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．14.3因式分解專題一因式分解1．下列分解因式正確的是（）A．3x2－6x=x(x－6)B．－a2+b2=(b+a)(b－a)C．4x2－y2=(4x－y)(4x+y)D．4x2－2xy+y2=(2x－y)22．分解因式：3m3－18m2n+27mn3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．專題二在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式4．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解x4－4=____________．5．把下列各式因式分解（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）（1）3x2－16；（2）x4－10x2+25．6．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x3－2x；（2）x4－6x2+9．專題三因式分解的應(yīng)用7．如果m－n=－5，mn=6，則m2n－mn2的值是（）A．30 B．－30 C．11 D．－8．利用因式分解計(jì)算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．9．在下列三個(gè)不為零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中，（1）請你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解；（2）請你選擇其中兩個(gè)并用不等號連接成不等式，并求其解集．【知識要點(diǎn)】1．因式分解我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．2．因式分解的方法(1)提公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫出公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這樣分解因式的方法叫做提公因式法．(2)將乘法公式的等號兩邊互換位置，得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．(3)平方差公式：a2－b2=(a+b)(a－b)，兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積．(4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方．【溫馨提示】1．分解因式的對象必須是多項(xiàng)式，如把分解成就不是分解因式，因?yàn)椴皇嵌囗?xiàng)式．2．分解因式的結(jié)果必須是積的形式，如就不是分解因式，因?yàn)榻Y(jié)果不是積的形式．【方法技巧】1．若首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，一般要提出“—”號，使括號內(nèi)首項(xiàng)系數(shù)為正，但要注意，此時(shí)括號內(nèi)的各項(xiàng)都應(yīng)變號，如．2．有些多項(xiàng)式的特點(diǎn)與公式相比，只是某些項(xiàng)的符號不符，這時(shí)就需要先對符號進(jìn)行變化，使之符合公式的特點(diǎn)．參考答案:1．B解析：A中，3x2－6x=3x(x－2)，故A錯(cuò)誤；B中，－a2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b－a)，故B正確；C中，4x2－y2=(2x)2－(2y)2=(2x－y)(2x+y)，故C錯(cuò)誤；D中，4x2－2xy+y2的中間項(xiàng)不是2×2x×y，故不能因式分解，故D錯(cuò)誤．綜上所述，選B．2．3m(m－3n)2解析：3m3－18m2n+27mn2=3m(m2－6mn+9n2)=3m(m－3n)3．(2a－b)2解析：(2a+b)2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=(2a－b)2．4．(x2+2)(x+)(x－)解析：x4－4=(x2+2)(x2－2)=(x2+2)(x+)(x－)．5．解：(1)3x2－16=(x+4)(x－4)；(2)x4－10x2+25=(x2－5)2=(x+)2(x－)2．6．解：(1)x3－2x=x(x2－2)=x(x+)(x－)；(2)x4－6x2+9=(x2－3)2=(x+)2(x－)2．7．B解析：∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30，故選B．8．2013解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．9．解：(1)答案不唯一，如：（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．(2)答案不唯一，如：x2－4x＞x2+2x，合并同類項(xiàng)，得－6x＞0，解得x＜0．第十五章分式15.1分式專題一分式有意義的條件、分式的值為0的條件1．使代數(shù)式有意義，那么x的取值范圍是（）A．x≥0B．x≠1C．x＞0D．x≥0且2．如果分式的值為0，則x的值應(yīng)為．3．若分式的值為零，求x的值．專題二約分4．化簡的結(jié)果是（）A．2n2B．C．D．5．約分：=____________．【知識要點(diǎn)】1．分式的概念一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．2．分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．用式子表示為：=，=(其中A，B，C是整式，C≠0)．3．約分與通分約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．【溫馨提示】1．分式的值為0受到分母不等于0的限制，“分式的值為0”包含兩層意思：一是分式有意義，二是分子的值為0，不要誤解為“只要分子的值為0，分式的值就是0”．2．分式的基本性質(zhì)中的A、B、C表示的都是整式，且C≠0．3．分子、分母必須“同時(shí)”乘C(C≠0)，不要只乘分子（或分母）．4．性質(zhì)中“分式的值不變”這句話的實(shí)質(zhì)，是當(dāng)字母取同一值（零除外）時(shí)，變形前后分式的值是相等的．但是變形前后分式中字母的取值范圍是變化的．【方法技巧】1．分式的符號法則可總結(jié)為：一個(gè)負(fù)號隨意跑，兩個(gè)負(fù)號都去掉．就是說，分式中若出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號，則此負(fù)號可“隨”我們的“意”（即根據(jù)題目要求）跑到分子、分母以及分式本身三者中的任何一個(gè)位置上；若分式中出現(xiàn)兩個(gè)負(fù)號，則可以將這兩個(gè)負(fù)號同時(shí)去掉．2．分式的分子、分母系數(shù)化整問題的基本做法是分式的分子、分母都乘同一個(gè)“適當(dāng)”的不為零的數(shù)，這里的“適當(dāng)”的數(shù)又分兩種情況：若分式分子、分母中的系數(shù)都是分?jǐn)?shù)時(shí)，“適當(dāng)”的數(shù)就是分子、分母