《17.2勾股定理的逆定理》課件（4課時(shí)）

X勾股定理的逆定理ABCD

小明想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB,但他隨身只帶了卷尺.

你能幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題嗎?想方設(shè)法古埃及人曾用下面的方法得到直角：如圖所示，他們用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第一個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，其直角在第4個(gè)結(jié)處。148(13)我們大家來(lái)試試

每組同學(xué)取一段12cm長(zhǎng)的線，請(qǐng)同學(xué)量出4cm，用大頭釘固定好,把剩下的線分成5cm和3cm兩段拉緊固定，用量角器量出最大角的度數(shù)。

下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c：5，12，13；6,8,10；8，15，17。（1）這三組數(shù)都滿(mǎn)足嗎？（2）它們都是直角三角形嗎？動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)由此你得到怎樣的結(jié)論?

如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

即如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系

那么這個(gè)三角形是直角三角形..想一想:上述哪條邊所對(duì)的角是直角?活動(dòng)3：驗(yàn)證已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且ABcab證明作?

在△ABC和△

∴?ABC

∠C=∠Cba（如圖）求證：∠C=90°使∠則有中，△=90°≌=90°,勾股定理的逆命題

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足那么這個(gè)三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命題ABCD

小明想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB,但他隨身只帶了卷尺.

小明量得AD長(zhǎng)是30厘米,AB長(zhǎng)是40厘米,

BD長(zhǎng)是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎?學(xué)以致用

下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;

像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù).

請(qǐng)你與你的同伴合作,看看可以找出多少組勾股數(shù)BA、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等邊三角形牛刀小試命題：1、無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的

逆命題是

。無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)2、等腰三角形兩底角相等的逆命題：

。有兩個(gè)相等角的三角形是等腰三角形△ABC三邊a,b,c為邊向外作正方形，正三角形，以三邊為直徑作半圓，若S1+S2=S3成立，則是直角三角形嗎？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3思維激活

已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?ABCD中考鏈接S四邊形ABCD=36思考題“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里。它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里。如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？ENRQSP解:根據(jù)題意畫(huà)圖,如圖所示:PQ=16×1.5=24PR=12×1.5=18QR=30∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2∴∠QPR=900

由”遠(yuǎn)航“號(hào)沿東北方向航行可知,∠QPS=450.所以∠RPS=450,即“海天”號(hào)沿西北方向航行.R’或東南方向分析：先來(lái)判斷a,b,c三邊哪條最長(zhǎng)，可以代m,n為滿(mǎn)足條件的特殊值來(lái)試，m=5,n=4.則a=9,b=40,c=41,c最大?！唷鰽BC是直角三角形觀察下列表格：列舉猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25……13、b、c132=b+c請(qǐng)你結(jié)合該表格及相關(guān)知識(shí)，求出b、c的值.即b=

，c=

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派明確地給出了勾股數(shù)的一組公式：一組勾股數(shù)的正整數(shù)解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特點(diǎn)是斜邊與其中一股的差為1。古希臘學(xué)者柏拉圖（Plato,約前427－前347）也給了另一組公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1，此時(shí)斜邊與其中一股之差為2。

被譽(yù)為“代數(shù)學(xué)鼻祖”的數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus,約330－246）全部解的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2，其中m，n（m>n）是互質(zhì)且一奇一偶的任意正整數(shù)。1945年，人們?cè)趯?duì)古巴比倫人遺留下的一塊數(shù)學(xué)泥板的研究中，驚訝地發(fā)現(xiàn)上面竟然刻有15組勾股數(shù)，其年代遠(yuǎn)在商高和畢達(dá)哥拉斯之前，大約在公元前1900年到公元前l(fā)600年之間。我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,也提出了一組求勾股數(shù)的式子,這組式子相當(dāng)于：任意給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(m＞n)，那么這三個(gè)正整數(shù)就是一個(gè)整勾股數(shù)組。公元3世紀(jì)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家劉徽從幾何上也證明了這一結(jié)論。１、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？

經(jīng)歷了從實(shí)際問(wèn)題引入數(shù)學(xué)問(wèn)題然后發(fā)現(xiàn)定理，再到探索定理，最后學(xué)會(huì)驗(yàn)證定理及應(yīng)用定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。２、本節(jié)課我們學(xué)到了什么？

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道了著名的勾股定理的逆定理，還知道從特殊到一般的探索方法,觀察—猜想—?dú)w納—推理的數(shù)學(xué)思想３、學(xué)了本節(jié)課后我們有什么感想？

很多的數(shù)學(xué)結(jié)論存在于平常的生活中，需要我們用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、思考、發(fā)現(xiàn)，這節(jié)課我們還受到了數(shù)學(xué)文化輝煌歷史的教育。

17.2勾股定理的逆定理（2）

勾股定理:直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則有

a2+b2=c2逆定理:三角形的三邊a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,則這個(gè)三角形是直角三角形;較大邊c所對(duì)的角是直角.知識(shí)回顧互逆命題:

兩個(gè)命題中,如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論,而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè),那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.

如果把其中一個(gè)叫做原命題,那么另一個(gè)叫做它的逆命題.

互逆定理:

如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它也是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理叫做互逆定理,其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理.1.長(zhǎng)度分別為3,4,5,12,13的五根木棒能搭成(首尾連接)直角三角形的個(gè)數(shù)為()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的對(duì)邊分別是a.b.c,且c+a=2b,c–a=b,則三角形ABC的形狀是()A直角三角形B等邊三角形C等腰三角形D等腰直角三角形──21BA復(fù)習(xí)與鞏固3.如果一個(gè)三角形的三邊為a,b,c滿(mǎn)足a2+c2=b2,那么這個(gè)三角形是＿＿＿＿三角形,其中b邊是＿＿＿邊,b邊所對(duì)的角是＿＿＿角.直角斜直4.工人師傅想要檢測(cè)一扇小門(mén)兩邊AB.CD是否垂直于底邊BC,但他只帶了一把卷尺,你能替工人師傅想辦法完成任務(wù)嗎?ABCD解∵a2c2-b2c2=a4–b4(1)∴c2(a2–b2)=(a2+b2)(a2-b2)(2)∴c2=a2+b2(3)∴△ABC是直角三角形問(wèn):(1)上述解題過(guò)程,從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào)＿＿＿(2)錯(cuò)誤原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿(3)本題正確的結(jié)論是＿＿＿＿＿＿＿＿3a2-b2可能是0直角三角形或等腰三角形5.已知a.b.c為△ABC的三邊,滿(mǎn)足,試判斷△ABC的形狀.6、如圖，有一塊地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求這塊地的面積。ABC341312D24平方米例1：

“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里。它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里。如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？PEQRN遠(yuǎn)航海天例2.如圖,點(diǎn)A是一個(gè)半徑為400m的圓形森林公園的中心,在森林公園附近有B.C兩個(gè)村莊,現(xiàn)要在B.C兩村莊之間修一條長(zhǎng)為1000m的筆直公路將兩村連通,經(jīng)測(cè)得AB=600m,AC=800m,問(wèn)此公路是否會(huì)穿過(guò)該森林公園?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.ABC4001000D應(yīng)用拓展：如圖：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，且CE=BC，則AF⊥EF，試說(shuō)明理由解：連接AE∵ABCD是正方形，邊長(zhǎng)是4，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，EC=1/4BC∴根據(jù)勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，F(xiàn)C=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EFA勾股定理的逆定理(三)知識(shí)回顧勾股定理:直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則有a2+b2=c2逆定理:三角形的三邊a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,則這個(gè)三角形是直角三角形;較大邊c所對(duì)的角是直角.如果一個(gè)三角形的三邊為a,b,c滿(mǎn)足a2+c2=b2,那么這個(gè)三角形是＿＿＿＿三角形,其中b邊是＿＿＿邊,b邊所對(duì)的角是＿＿＿角.直角斜直一.選擇題1.三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足(a+b)2=c2+2ab,則這個(gè)三角形是()A等邊三角形B鈍角三角形C直角三角形D銳角三角形C2.長(zhǎng)度分別為3,4,5,12,13的五根木棒能搭成(首尾連接)直角三角形的個(gè)數(shù)為()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)3.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的對(duì)邊分別是a.b.c,且c+a=2b,c–a=b,則三角形ABC的形狀是()A直角三角形B等邊三角形C等腰三角形D等腰直角三角形──21BA二.閱讀題已知a.b.c為△ABC的三邊,且滿(mǎn)足a2c2–b2c2=a4–b4,試判斷△ABC的形狀.解∵a2c2-b2c2=a4–b4(1)∴c2(a2–b2)=(a2+b2)(a2-b2)(2)∴c2=a2+b2(3)∴△ABC是直角三角形問(wèn):(1)上述解題過(guò)程,從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào)＿＿＿(2)錯(cuò)誤原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿(3)本題正確的結(jié)論是＿＿＿＿＿＿＿＿3a2-b2可能是0直角三角形或等腰三角形三.填空題1.已知三角形的三邊長(zhǎng)為9,12,15,則這個(gè)三角形的最大角是＿＿＿＿度;2.△ABC的三邊長(zhǎng)為9,40,41,則△ABC的面積為＿＿＿＿;90°1803.三角形的三邊長(zhǎng)為8,15,17,那么最短邊上的高為＿＿＿＿;4.若△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,則AC邊上的高長(zhǎng)為＿＿＿＿;1560/135.在Rt△ABC中,斜邊AB=1,則AB2+BC2+CA2=＿＿＿＿;6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,則2CD2+AD2+BD2=＿＿＿＿;7.等腰三角形ABC中,若AB=AC=10,BC=6,則△ABC的面積為＿＿＿＿;8.三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形為＿＿＿＿＿三角形.四.解答題1,一個(gè)零件的形狀如圖,工人師傅量得一個(gè)零件的尺寸如下:AB=3,AD=4,BC=13,CD=12且∠DAB=90°,你能求這個(gè)零件的面積嗎?ABCD34131252.有一塊菜地,形狀如下,試求它的面積.ABC341312D3.工人師傅想要檢測(cè)一扇小門(mén)兩邊AB.CD是否垂直于底邊BC,但他只帶了一把卷尺,你能替工人師傅想辦法完成任務(wù)嗎?ABCD4.如圖,點(diǎn)A是一個(gè)半徑為400m的圓形森林公園的中心,在森林公園附近有B.C兩個(gè)村莊,現(xiàn)要在B.C兩村莊之間修一條長(zhǎng)為1000m的筆直公路將兩村連通,經(jīng)測(cè)得∠B=60°,∠C=30°,問(wèn)此公路是否會(huì)穿過(guò)該森林公園?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.ABC400100060°30°DX勾股定理的逆定理

下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;例1：

“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里。它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里。如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？PEQRN遠(yuǎn)航海天3如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù)）則△ABC是直角三角形嗎？

解：∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù)）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形。5、如圖，在正方形ABDC中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD上一點(diǎn)，且BF=3FD，求證：∠AEF=90o.AFECBD例2、如圖,點(diǎn)A是一個(gè)半徑為400m的圓形森林公園的中心,在森林公園附近有B.C兩個(gè)村莊,現(xiàn)要在B.C兩村莊之間修一條長(zhǎng)為1000m的筆直公路將兩村連通,經(jīng)測(cè)得∠B=60°,∠C=30°,問(wèn)此公路是否會(huì)穿過(guò)該森林公園?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.ABC400100060°30°D例題教學(xué)

例1如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile．它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿