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eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘)1.已知a=(1,-1),b=(2,3),則a·b= ().A.5 B.4C.-2 D.-1解析a·b=1×2+(-1)×3=-1.答案D2.已知向量a=(-2,1),b=(1,x),a⊥b,則x= ().A.-1 B.1C.-2 D.2解析a⊥b?a·b=0?-2+x=0?x=2.答案D3.已知a=(3,-1),b=(1,-2),則a與b的夾角為 ().A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析a·b=3+2=5,|a|=eq\r(10),|b|=eq\r(5),設(shè)夾角為θ,則cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(5,\r(5)×\r(10))=eq\f(\r(2),2).又θ∈[0,π],∴θ=eq\f(π,4).答案B4.已知A(-3,2),B(0,-2),則|eq\o(AB,\s\up12(→))|=________.解析∵eq\o(AB,\s\up12(→))=(3,-4).∴|eq\o(AB,\s\up12(→))|=eq\r(32+-42)=5.答案55.在△ABC中,∠C=90°,eq\o(AB,\s\up12(→))=(k,1),eq\o(AC,\s\up12(→))=(2,3),則k的值為________.解析eq\o(BC,\s\up12(→))=eq\o(AC,\s\up12(→))-eq\o(AB,\s\up12(→))=(2,3)-(k,1)=(2-k,2).∵∠C=90°,即eq\o(AC,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→)),∴2(2-k)+3×2=0,k=5.答案56.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a與b的夾角α為鈍角,求λ的取值范圍.解∵a=(1,-1),b=(λ,1),∴|a|=eq\r(2),|b|=eq\r(1+λ2),a·b=λ-1.∵a,b的夾角α為鈍角.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ-1<0,,1≠-λ,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<1,,λ≠-1.))∴λ<1且λ≠-1,∴λ的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,1).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7.若a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的投影為 ().A.eq\f(\r(65),5) B.eq\r(65)C.eq\f(\r(13),5) D.eq\r(13)解析設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(-4×2+3×7,\r(4+9)×\r(16+49))=eq\f(\r(5),5),∴a在b方向上的投影為|a|cosθ=eq\r(13)×eq\f(\r(5),5)=eq\f(\r(65),5).答案A8.以下選項(xiàng)中,不一定是單位向量的有 ().①a=(cosθ,-sinθ);②b=(eq\r(lg2),eq\r(lg5));③c=(2x,2-x);④d=(1-x,x).A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)解析因?yàn)閨a|=1,|b|=1,|c|=eq\r(2x2+2-x2)≥eq\r(2)≠1,|d|=eq\r(1-x2+x2)=eq\r(2x2-2x+1)=eq\r(2x-\f(1,2)2+\f(1,2))≥eq\f(\r(2),2).故選B.答案B9.已知向量eq\o(OA,\s\up12(→))=(k,12),eq\o(OB,\s\up12(→))=(4,5),eq\o(OC,\s\up12(→))=(-k,10),且A、B、C三點(diǎn)共線,則k=________.答案-eq\f(2,3)10.已知點(diǎn)A(2,3),若把向量eq\o(OA,\s\up12(→))繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到向量eq\o(OB,\s\up12(→)),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)閑q\o(OA,\s\up12(→))⊥eq\o(OB,\s\up12(→)),|eq\o(OA,\s\up12(→))|=|eq\o(OB,\s\up12(→))|,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+3y=0,,x2+y2=13,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-3,y=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,y=-2))(舍去).故B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,2).答案(-3,2)11.已知向量a=(4,3),b=(-1,2).(1)求a與b的夾角θ的余弦值;(2)若向量a-λb與2a+b垂直,求λ解(1)|a|=eq\r(42+32)=5,|b|=eq\r(-12+22)=eq\r(5).a·b=-1×4+3×2=2,∴cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(2,5×\r(5))=eq\f(2\r(5),25).(2)a-λb=(4,3)-(-λ,2λ)=(4+λ,3-2λ).2a+b若(a-λb)⊥(2a+b),則7(4+λ)+8(3-2λ)=0,解得λ=eq\f(52,9).12.(創(chuàng)新拓展)已知點(diǎn)A(1,2)和B(4,-1),問能否在y軸上找到一點(diǎn)C,使∠ACB=90°,若不能,請說明理由;若能,求出C點(diǎn)的坐標(biāo).解假設(shè)存在點(diǎn)C(0,y)使∠ACB=90°,則eq\o(AC,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→)).∵eq\o(AC,\s\up12(→))=(-1,y-2),eq\o(BC,\s\up12(→))=(-4,y+1),eq\o(AC,\s\up
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