河南省頂尖名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題

頂尖名校聯(lián)盟2021~2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．本卷命題范圍：必修5，選修21第一章，第二章.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.不等式的解集是（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：由題意可得，所以，解得.故選：A.2.在中，已知，，，則的面積為（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面積公式計(jì)算．【詳解】因?yàn)橹?，已知，，，所以，由余弦定理得，解得?，所以的面積或．故選：B.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則等于（）A.5 B.15 C.30 D.35【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由已知可求得，再由等差數(shù)列性質(zhì)求得．【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，得，所以.故選：D．4.已知方程表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.5.已知、、、為實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.若且，則B.若且，則C.若，，則D.若，，則【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法可判斷AC選項(xiàng)的正誤；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷BD選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則滿足，但此時(shí)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于且，所以，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，成立，但是，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)、中至少有一個(gè)為零時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)且時(shí)，，，有，故D選項(xiàng)正確.故選：D.6.函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】湊配出積為定值，然后由基本不等式得最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A．7.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.10 B.16 C.22 D.8【答案】A【解析】【分析】首先利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和，求公比和首項(xiàng)，再求.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，若，則，由，則，得，解得，又由，則有，解得，所以，有.故選：A8.已知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的上方，若線段的垂直平分線過點(diǎn)，則直線的斜率為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出的線段所在直線的解析式，進(jìn)而求出線段垂直平分線所在直線的解析式，通過線段的垂直平分線過點(diǎn)，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)與的關(guān)系，即可求出直線的斜率.【詳解】解：由題意設(shè)，則，線段的中點(diǎn)為∴線段的垂直平分線為：∵線段的垂直平分線過點(diǎn)∴解得：∴直線的斜率為：故選：A.9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，對(duì)任意的都有，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，數(shù)列為常數(shù)列，令，可得，進(jìn)而可得，利用裂項(xiàng)求和即可求解.【詳解】數(shù)列滿足，對(duì)任意的都有，則有，可得數(shù)列為常數(shù)列，有，得，得，又由，所以．故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.10.在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，角的角平分線交于點(diǎn)，且，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出，結(jié)合可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理可得，可得，由余弦定理可得：，，所以，由，有，得，所以，，，，由余弦定理可得.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.11.已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，若，，則雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率的最大值為（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定理得到，，由余弦定理得到，結(jié)合求出，進(jìn)而得到，得到雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率最大值.【詳解】設(shè)，∴．由題知，∴，故，，∴由余弦定理得．∵，解得，所以，故，∵雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線為，∴雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率的最大值為2．故選：12.已知，為橢圓上關(guān)于短軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，、分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，設(shè)，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，并表示出兩個(gè)斜率、，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的代數(shù)式，再與橢圓有公共點(diǎn)解決即可.【詳解】橢圓中：，設(shè)則，則，，令，則它對(duì)應(yīng)直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題“，”的否定是___________.【答案】，.【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定形式書寫即可.【詳解】命題“，”為特稱命題，則其否定為：，.為全稱命題.故答案為：，.14.若滿足約束條件，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，由得，由得，是直線的縱截距的相反數(shù)，向上平移時(shí)，減小，∴向上平移直線，減小，當(dāng)過時(shí)，．故答案為：．15.已知拋物線準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到準(zhǔn)線和直線的距離之和的最小值為__________，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義把點(diǎn)到的距離轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，就是求點(diǎn)到直線的距離，從而能求出直線，與拋物線聯(lián)立可求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)過點(diǎn)分別向和作垂線，垂足分別為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，由拋物線的定義得：，所以只需要求最小即可.當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值為點(diǎn)到直線的距離，即.此時(shí)直線與垂直，所以，所以直線為：直線與拋物線聯(lián)立得，即，且所以，故點(diǎn)答案為：16.數(shù)列滿足，則的最大值為___________.【答案】17【解析】【分析】根據(jù)可得，，再由，可得，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由，得有，有；又由，有；再由，有，得，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，由和，可得，此時(shí)，，故的最大值為.故答案為：17【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，得出，，求出，同時(shí)考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，如圖，為線段上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將化為，結(jié)合，化簡(jiǎn)整理可得，從而可求出，進(jìn)而可求出角的值；（2）在中利用余弦定理可求出，從而可得，則有，而，所以【詳解】解：（1）根據(jù)正弦定理得，整理得因?yàn)?，所以，又，可得?）在中，由余弦定理得：將（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即在中，可知，有，因?yàn)?，所?18.已知：方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，：函數(shù)的定義域?yàn)镽．（1）若為真，求取值范圍；（2）若和有且只有一個(gè)為真，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，得到不等式組，求出為真時(shí)，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽求出，求出均為假命題時(shí)的取值范圍，進(jìn)而得到為真的取值范圍；（2）考慮真假和假真兩種情況下的的取值范圍，進(jìn)而得到答案.【小問1詳解】若為真，則，解得：，若為真，則恒成立，則，解得：，先考慮均為假命題時(shí)，與取交集得：，則若為真，則和至少有一個(gè)為真，則；【小問2詳解】真假：與或取交集得：，假真：，綜上：．19.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且.（1）求值；（2）若以線段為直徑的圓與直線相切，求直線的方程.【答案】（1）2（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，已知，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和韋達(dá)定理，即可求出的值；（2）利用韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，已知以線段為直徑的圓與直線相切，求出半徑列得方程求解即可算出參數(shù)m的值，進(jìn)而得到直線方程.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去后整理得，所以，，.又由，解得.所以的值為2.【小問2詳解】由，可得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，.若以線段為直徑的圓與直線相切，有，解得所以直線的方程為，即或.20.設(shè)數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，與已知條件兩式相減可得，再令，計(jì)算即可求解；（2）由（1）得，所以，再利用乘公比錯(cuò)位相見即可求和.詳解】（1）數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，兩式作差有，所以當(dāng)時(shí)，，上式也成立所以（2）則，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.21.已知雙曲線的一條漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過定點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，與其兩條漸近線分別交于（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）兩點(diǎn)，證明：線段與線段的長(zhǎng)度始終相等.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程，并分別與雙曲線的漸近線方程、雙曲線方程聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷出線段和共中點(diǎn)，從而證得線段與線段的長(zhǎng)度始終相等.【小問1詳解】由雙曲線可得漸近線方程為，由漸近線方程的斜率為，有，可得.將點(diǎn)代入雙曲線的方程，有.聯(lián)立方程，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，得；聯(lián)立方程，得.所以可得.聯(lián)立方程，消去后整理得，由解得，且，由于直線與雙曲線左右兩支分別相交，所以.所以，可得，所以，所以線段和共中點(diǎn)，故有.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：，橢圓：，點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)A，C為橢圓上關(guān)