專題10空間角與空間距離的綜合（原卷版）

專題10空間角與空間距離的綜合知識(shí)點(diǎn)1線線角的定義與求解線線角主要是求異面直線所成角。1、線線角的定義：①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，，把與所成的銳角或直角叫做異面直線所成的角(或夾角)②范圍：2、求異面直線所成角一般步驟：（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角．（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．3、三種平移產(chǎn)生①平行四邊形平移法；②中位線平移法；③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線)．知識(shí)點(diǎn)2線面角的定義與求解1、線面角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，取值范圍：[0°，90°]2、垂線法求線面角（也稱直接法）：（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；（3）把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求線面角（也稱等體積法）：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。公式為：sinθ=hl，其中θ是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，知識(shí)點(diǎn)3二面角1、二面角的概念從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

2、二面角的平面角的概念平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。3、二面角的大小范圍：[0°，180°]知識(shí)點(diǎn)4確定二面角的平面角的方法：1、定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律（1）方法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線．（2）具體演示：如圖所示，以二面角的棱a上的任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為此二面角的平面角2、三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）最常用（1）方法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角（2）具體演示：在平面α內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面β作垂線AB，垂足為B，再過點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）（1）方法：過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。（2）具體演示：過二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角。4、射影面積法求二面角（1）方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對于無棱二面角的求解很簡便。（2）以多邊形為三角形為例證明，其它情形可自證。ABDC證明：如圖，平面內(nèi)的△ABC在平面的射影為△，作于D，連結(jié)AD.ABDC于，，在內(nèi)的射影為.又，（三垂線定理的逆定理）.為二面角—BC—的平面角.設(shè)△ABC和△的面積分別為S和，，則..考點(diǎn)1求直線與直線所成角【例1】（2021秋·陜西渭南·高一?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，兩兩互相垂直，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為__________.【變式11】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在中，，斜邊AB=4，D是AB的中點(diǎn)；現(xiàn)將以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，且；（1）求該圓錐的全面積和體積；（2）求異面直線AO與CD所成角的正切值；【變式12】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在三棱錐A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，則AC與BD所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式13】（2021秋·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是弧的中點(diǎn)，設(shè)是弧上的一點(diǎn)，且，則與所成角的大小為（）A．B．C．D．【變式14】（2023·高一單元測試）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考點(diǎn)2求直線與平面所成角【例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為（）A．30°B．45°C．60°D．90°【變式21】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，二面角的大小是，線段，，與所成的角為，則AB與平面β所成的角的正弦值是（）A．B．C．D．【變式22】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2．（1）求直線和平面ABCD所成角的大??；（2）求直線和平面ABCD所成角的正切值．【變式23】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，．在平面內(nèi)，是的斜線，．求與平面所成的角．【變式24】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直角中，，斜邊，是中點(diǎn)，現(xiàn)將直角以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐.點(diǎn)為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，且.（1）求圓錐的體積與側(cè)面積；（2）求直線與平面所成的角的正切值.考點(diǎn)3求平面與平面所成角【例3】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知如圖邊長為的正方形外有一點(diǎn)且平面，，二面角的大小的正切值______．【變式31】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）正方體中，為棱的中點(diǎn)，求平面和平面夾角的余弦值.【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，截面?zhèn)让?（1）求證：；（2）若，求平面與平面所成二面角（銳角）的度數(shù).【變式33】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的大小．【變式34】（2022春·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M為AD的中點(diǎn)且.（1）證明：；（2）若，求二面角的平面角的正切值.考點(diǎn)4求點(diǎn)到直線的距離【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）等于90°的二面角內(nèi)有一點(diǎn)，過有于點(diǎn)，于，如果，則到的距離為（）A．B．C．D．【變式41】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到PB的距離為（）A．B．C．D．【變式42】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)A到直線BD1距離是（）A．B．C．D．【變式43】（2022春·河北張家口·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知菱形邊長為，對角線與交于點(diǎn)，將菱形沿對角線折成平面角為的二面角，若，則折后點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A．B．C．D．考點(diǎn)5求異面直線間的距離【例5】（2022秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，異面直線與所成角的余弦值為，則直線與直線的距離為（）A．2B．1C．D．【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到直線的距離為（）A．B．C．D．【變式52】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知S是矩形所在平面外一點(diǎn)，，，與所成角大小為，與所成角大小為，，分別求直線與的距離及與的距離．【變式53】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）空間四邊形中，，，，，，求異面直線和的距離．【變式54】（2022春·北京延慶·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知直三棱柱中，，則線段上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A．B．C．D．考點(diǎn)6求點(diǎn)到平面的距離【例6】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）棱長為1正方體中，E為的中點(diǎn)，則E到面的距離（）A．B．C．D．【變式61】（2022春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？计谀┤鐖D，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為（）．A．B．C．3D．【變式62】（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┤鐖D，四棱錐PABCD的底面ABCD為直角梯形，，，，，，則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為（）A．B．C．2D．【變式63】（2023春·浙江臺(tái)州·高一臺(tái)州一中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面四邊形的邊長均為2，且，棱的中點(diǎn)為.（1）求證：平面；（2）若的面積是，求點(diǎn)到平面的距離.【變式64】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.考點(diǎn)7求直線到平面的距離【例7】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在長方體中，..則直線與平面的距離為（）A．B．C．D．【變式71】（2022春·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)校考期末）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為（）A．2B．C．D．1【變式72】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正四棱柱的底面邊長為2，，E為的中點(diǎn)，則到平面EAC的距離為________．【變式73】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中點(diǎn)為F.（1）求證：平面；（2）求直線到面的距離.考點(diǎn)8求平面到平面的距離【例8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖（1）平行六面體容器盛有高度為的水，，.固定容器底而一邊于地面上，將容器傾斜到圖（2）時(shí)，水面恰好過，，，四點(diǎn)，則的值為（）A．B．C．D．【變式81】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，對棱長為3的正方體木塊進(jìn)行加工.如圖，學(xué)生需要分別過頂點(diǎn)A和對角線BD對正方體木塊進(jìn)行平面切割，兩個(gè)切割面與棱，，，分別交于點(diǎn)M，F(xiàn)，E，N，要求兩次切割所得到的截面平行，且，則兩個(gè)截面間的距離為_____________.【變式82】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面之間的距離．【變式83】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，直角梯形與梯形全等，其中，，且平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的距離．1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，若，，，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A．B．C．D．2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=A1A=2,M?N分別是BB1和B1C1的中點(diǎn),則直線AM與CN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．3．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在長方體中，，，則與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）直三棱柱中，若，，，是棱上的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A．1B．C．D．5．（2022春·北京大興·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn).令直線與所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A．B．C．D．6．（2022春·江蘇淮安·高一馬壩高中校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在二面角的棱上，分別在內(nèi)引射線，截得.若，則二面角的平面角的大小為（）A．B．C．D．7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）如圖，平面，正方形邊長為1，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則（）A．B．C．若PA=1，則異面直線PE與BC所成角的余弦值為D．若PA=1，則直線PE與平面所成角為8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鰲臑.”其中，陽馬是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.如圖，在陽馬中底面是邊長為1的正方形，，側(cè)棱垂直于底面，則（）A．直線與所成的角為60°B．直線與所成的角為60°C．直線與平面所成的角為30°D．直線與平面所成的角為30°9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）（多選）如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，BC邊上的高為AD，沿AD把三角形ABC折起來，則（）A．在折起的過程中始終有AD⊥平面DB′CB．三棱錐A－DB′C的體積無最大值C．當(dāng)∠B′DC＝60°時(shí)，點(diǎn)A到B′C的距離為D．當(dāng)∠B′DC＝90°時(shí)，點(diǎn)C到平面ADB′的距離為10．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是________．11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）邊長為1的兩個(gè)正方形和構(gòu)成大小為的二面角，則異面直線和之間的距