第三章 平衡方程及應(yīng)用

TheoreticalMechanics主講教師黃璟第一篇靜力學(xué)第四章平面任意力系返回總目錄§3-1平面任意力系的簡(jiǎn)化§3-2平面任意力系的平衡§3-3物體系統(tǒng)的平衡§3-4平面靜定桁架第三章平面任意力系目錄M+M力的平移定理3.1平面任意力系的簡(jiǎn)化M=r×F=MO(F)3.1平面任意力系的簡(jiǎn)化3.1.1力的平移定理力的平移定理：作用于剛體上的力可以從其作用點(diǎn)平行移至剛體內(nèi)任一指定點(diǎn)，欲不改變?cè)摿?duì)剛體的作用，則必須在該力與指定點(diǎn)所決定的平面內(nèi)附加一力偶（稱(chēng)為附加力偶），其力偶矩等于原力對(duì)指定點(diǎn)的矩。逆過(guò)程：

用力的平移定理的逆步驟，亦可把一個(gè)力和一個(gè)力偶合成一個(gè)力。設(shè)剛體上作用一平面任意力系F1、F2、…、Fn。任選一點(diǎn)O稱(chēng)為力系的簡(jiǎn)化中心。依據(jù)力的平移定理，將力系中諸力向O點(diǎn)平移，得到作用于O點(diǎn)的一平面匯交力系F

1、F

2、…、F

n和一平面力偶系M1、M2、…、Mn

。3.1.2力系簡(jiǎn)化結(jié)果3.1平面任意力系的簡(jiǎn)化將平面匯交力系與平面力偶系合成，得到作用于簡(jiǎn)化中心O的力矢F'R與力偶矩MO

稱(chēng)為該力系的主矢MO稱(chēng)為該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩。

3.1.2力系簡(jiǎn)化結(jié)果3.1平面任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)論平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果為作用于該點(diǎn)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，這個(gè)力偶是力系的主矩，等于各力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。

主矢的大小、方向與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。主矩的大小、方向與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。

4.1.2力系簡(jiǎn)化結(jié)果3.1平面任意力系的簡(jiǎn)化1、主矢和主矩都等于零此時(shí)平面力系平衡。2、主矢等于零，主矩不等于零3、主矢不等于零，主矩等于零

此時(shí)平面力系簡(jiǎn)化為一力偶。其力偶矩M等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，即且此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。

此時(shí)平面力系簡(jiǎn)化為一合力，作用在簡(jiǎn)化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即且此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。3.1.3簡(jiǎn)化結(jié)果分析3.1平面任意力系的簡(jiǎn)化4、主矢和主矩均不等于零于是由主矩的定義知：所以：結(jié)論：平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即為平面任意力系的合力矩定理。4.1.3簡(jiǎn)化結(jié)果分析3.1平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系平衡充要條件：結(jié)論：平面力系各力在任意兩正交軸上投影的代數(shù)和等于零，對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩MO均等于零3.2.1平面任意力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡即為平面任意力系平衡方程，亦稱(chēng)為一矩式平衡方程。二矩式的平衡方程條件：連線(xiàn)AB不垂直投影軸x

3.2.1平面任意力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡三矩式的平衡方程條件：A、B、C是平面內(nèi)不共線(xiàn)的任意三點(diǎn)3.2.1平面任意力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡平面匯交力系中，對(duì)匯交點(diǎn)建立力矩方程恒為零，所以，平面匯交力系平衡的充要條件

平面匯交力系平衡方程：力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和等于零。

解析條件是：力系中各力矢構(gòu)成的力多邊形自行封閉，或各力矢的矢量和等于零。幾何條件：FR=0或

F=0

4.2.2平面特殊力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡平面平行力系平衡方程：充要條件是：力系中所有各力的代數(shù)和等于零，以及各力對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。二矩式成立的條件：A、B兩點(diǎn)連線(xiàn)不與各力的作用線(xiàn)平行。3.2.2平面特殊力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡平面力偶系平衡方程：平衡的充要條件：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。

m=0例4-1

試求圖示兩外伸梁的約束力FRA、FRB，其中FP=10kN，F(xiàn)P1=20kN，q=20kN/m，d=0.8m。解：1.選擇研究對(duì)象以解除約束后的ABC梁為研究對(duì)象2.根據(jù)約束性質(zhì)分析約束力

A處為固定鉸鏈，約束力為鉛垂方向與水平方向的分力FAy和FAx

；B處為輥軸支座，為鉛垂方向的約束力，指向是未知的，可以假設(shè)為向上的FB

。3.應(yīng)用平衡方程確定未知力FAyFBFAx例題3.2平面力系的平衡FB=21kN（↑）FA

y=15kN（↑）計(jì)算結(jié)果的校核FAyFBFAx例題3.2平面力系的平衡例4-2外伸梁ABC上作用有均布載荷q=10kN/m，集中力F=20kN，力偶矩m=10kN

m，求A、B支座的約束力。解：以梁為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程例題3.2平面力系的平衡例4-2外伸梁ABC上作用有均布載荷q=10kN/m，集中力F=20kN，力偶矩m=10kN

m，求A、B支座的約束力。例題4.2平面力系的平衡解：以梁為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程例4-3

起重機(jī)的自重（平衡重除外）G=400kN，平衡重W=250kN。當(dāng)起重機(jī)由于超載即將向右翻倒時(shí)，左輪的反力等與零。因此，為了保證安全工作，必須使一側(cè)輪（A或B）的向上反力不得小于50kN。求最大起吊量P為多少？解：畫(huà)支座反力FNA與FNB。令FNA=50kN。列平衡方程：

P=200kN

如為空載，仍應(yīng)處于平衡狀態(tài)，故

例題3.2平面力系的平衡要注意的問(wèn)題：根據(jù)題意選擇研究對(duì)象。分析研究對(duì)象的受力情況，正確地畫(huà)出其受力圖。研究對(duì)象與其他物體相互連接處的約束，按約束的性質(zhì)表示約束反力；正確地運(yùn)用二力桿的性質(zhì)和三力平衡定理來(lái)確定約束反力的方位；例題3.2平面力系的平衡兩物體之間相互作用的力要符合作用與反作用定律。

用幾何法求解時(shí)，按比例尺作出閉合的力多邊形，未知力的大小可按同一比例尺在圖上量出；用解析法求解時(shí)，應(yīng)適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)軸。為避免解聯(lián)立方程，可選坐標(biāo)軸與未知力垂直。根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)判定假設(shè)未知力的指向是否正確。例題4.2平面力系的平衡物體系統(tǒng)：由若干個(gè)物體通過(guò)適當(dāng)?shù)募s束相互連接而成的系統(tǒng)。靜定問(wèn)題：?jiǎn)蝹€(gè)物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目。超靜定或靜不定：未知量的數(shù)目多于獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目.

3.3物體系統(tǒng)的平衡獨(dú)立的平衡方程數(shù)：

3未知力數(shù)：3獨(dú)立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)：

3未知力數(shù)：4未知力數(shù)>獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題4.3物體系統(tǒng)的平衡獨(dú)立的平衡方程數(shù)：

6未知力數(shù)：6獨(dú)立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)：

6未知力數(shù)：7未知力數(shù)>獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題3.3物體系統(tǒng)的平衡求解過(guò)程中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

首先判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定問(wèn)題

恰當(dāng)?shù)剡x擇研究對(duì)象在一般情況下，首先以系統(tǒng)的整體為研究對(duì)象，這樣則不出現(xiàn)未知的內(nèi)力，易于解出未知量。當(dāng)不能求出未知量時(shí)應(yīng)立即選取單個(gè)物體或部分物體的組合為研究對(duì)象，一般應(yīng)先選受力簡(jiǎn)單而作用有已知力的物體為研究對(duì)象，求出部分未知量后，再研究其它物體。3.3物體系統(tǒng)的平衡受力分析①首先從二力構(gòu)件入手，可使受力圖比較簡(jiǎn)單，有利于解題。②解除約束時(shí)，要嚴(yán)格地按照約束的性質(zhì)，畫(huà)出相應(yīng)的約束力，切忌憑主觀想象畫(huà)力。對(duì)于一個(gè)銷(xiāo)釘連接三個(gè)或三個(gè)以上物體時(shí)，要明確所選對(duì)象中是否包括該銷(xiāo)釘？解除了哪些約束？然后正確畫(huà)出相應(yīng)的約束反力。③畫(huà)受力圖時(shí)，關(guān)鍵在于正確畫(huà)出鉸鏈約束力，除二力構(gòu)件外，通常用二分力表示鉸鏈反力。④不畫(huà)研究對(duì)象的內(nèi)力。⑤兩物體間的相互作用力應(yīng)該符合作用與反作用定律。3.3物體系統(tǒng)的平衡列平衡方程，求未知量①列出恰當(dāng)?shù)钠胶夥匠蹋M量避免在方程中出現(xiàn)不需要求的未知量。為此可恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用力矩方程，適當(dāng)選擇兩個(gè)未知力的交點(diǎn)為矩心，所選的坐標(biāo)軸應(yīng)與較多的未知力垂直。②判斷清楚每個(gè)研究對(duì)象所受的力系及其獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)及物體系獨(dú)立平衡方程的總數(shù)，避免列出不獨(dú)立的平衡方程。③解題時(shí)應(yīng)從未知力最少的方程入手，避免聯(lián)立解。④校核。求出全部所需的未知量后，可再列一個(gè)不重復(fù)的平衡方程，將計(jì)算結(jié)果代入，若滿(mǎn)足方程，則計(jì)算無(wú)誤。3.3物體系統(tǒng)的平衡例題例4-4圖中AD＝DB＝2m，CD＝DE＝1.5m，Q＝120kN，不計(jì)桿和滑輪的重量。試求支座A和B的約束力和BC桿的內(nèi)力。解：解除約束，畫(huà)整體受力圖列平衡方程3.3物體系統(tǒng)的平衡可用，驗(yàn)算FAy如下：例題3.3物體系統(tǒng)的平衡為求BC桿內(nèi)力F，取CDE桿連滑輪為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。列方程：F=–150kN，說(shuō)明BC桿受壓力。例題3.3物體系統(tǒng)的平衡求BC桿的內(nèi)力，也可以取ADB桿為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。例題4.3物體系統(tǒng)的平衡例4-5

某廠房用三鉸剛架，由于地形限制，鉸A及B位于不同高度，。剛架上的載荷已簡(jiǎn)化為兩個(gè)集中力F1及F2。試求C處的約束力。分別取AC及BC兩部分為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。解：本題是靜定問(wèn)題，但如以整個(gè)剛架作為考察對(duì)象，不論怎樣選取投影軸和矩心，每一平衡方程中至少包含兩個(gè)未數(shù)，而且不可能聯(lián)立求解。例題3.3物體系統(tǒng)的平衡取AC為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。取BC為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。聯(lián)立求解以上兩式，可得例題3.3物體系統(tǒng)的平衡例4-6

結(jié)構(gòu)上作用載荷分布如圖，q1＝3kN/m，q2＝0.5kN/m，力偶矩M＝2kN

m，試求固定端A與支座B的約束反力和鉸鏈C的內(nèi)力。解：先研究BC部分，畫(huà)受力圖。簡(jiǎn)化成合力Fq＝q2×2。列方程如下：例題3.3物體系統(tǒng)的平衡再取AC部分畫(huà)受力圖，列方程：例題3.3物體系統(tǒng)的平衡例4-7

三無(wú)重桿AC、BD、CD如圖鉸接，B處為光滑接觸，ABCD為正方形，在CD桿距C三分之一處作用一垂直力，求鉸鏈E處的反力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解得：例題3.3物體系統(tǒng)的平衡下面用不同的方法求解。解1：先以DC為研究對(duì)象，受力如圖。再以BDC為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

類(lèi)似地，亦可以DC和ACD為研究對(duì)象，進(jìn)行求解。例題3.3物體系統(tǒng)的平衡解2：分別以ACD和AC為研究對(duì)象，受力如圖。聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。

類(lèi)似地，亦可以BDC和BD為研究對(duì)象，進(jìn)行求解。例題3.3物體系統(tǒng)的平衡解3：分別以BD和AC為研究對(duì)象，受力如圖。用、表示的約束反力和用、表示的約束反力本質(zhì)上是同一個(gè)力。例題3.3物體系統(tǒng)的平衡思考：圖示結(jié)構(gòu)，在水平桿AB上作用一鉛垂向下的力，試證明AC桿所受的力與的作用位置無(wú)關(guān)。例題3.3物體系統(tǒng)的平衡例4-8：三根等長(zhǎng)同重均質(zhì)桿（重W）如圖在鉛垂面內(nèi)以鉸鏈和繩EF構(gòu)成正方形。已知：E、F是AB、BC中點(diǎn)，AB水平，求繩EF的張力。解1：先以AB為研究對(duì)象，受力如圖。設(shè)桿長(zhǎng)為。再以整體為研究對(duì)象，受力如圖?！?/p>