山西省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（教師版）

第二學(xué)期高三開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可得，然后利用交集的概念即得.【詳解】由可得，即，所以．故選：C．2.已知復(fù)數(shù)，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．3.“a=3”是“直線ax－2y－1=0”與“直線6x－4y+c=0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】解：若“a=3”成立，則兩直線的方程分別是3x-2y-1=0與6x-4y+c=0，當(dāng)c=-1時(shí)，兩直線重合，所以兩直線不一定平行；;所以“a=3”是“直線ax-2y-1=0與直線6x-4y+c=0平行”的必要不充分條件，故選B．4.“暢通微循環(huán)，未來(lái)生活更舒適”．我國(guó)開(kāi)展一刻鐘便民生活圈建設(shè)，推進(jìn)生活服務(wù)業(yè)“規(guī)范化、連鎖化、便利化、品牌化、特色化、智能化”發(fā)展，以提質(zhì)便民為核心，高質(zhì)量建設(shè)國(guó)際消費(fèi)中心城市，便民商業(yè)體系向高品質(zhì)發(fā)展．某調(diào)研機(jī)構(gòu)成立5個(gè)調(diào)研小組，就4個(gè)社區(qū)的便民生活圈的建設(shè)情況進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)調(diào)研小組選擇其中1個(gè)社區(qū)，要求調(diào)研活動(dòng)覆蓋被調(diào)研的社區(qū)，共有派出方案種數(shù)為（）A.120 B.240 C.360 D.480【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分組分配的組合問(wèn)題，即可求解.【詳解】將這5個(gè)調(diào)研小組分成2，1，1，1這4個(gè)小組，然后派往4個(gè)社區(qū)，所以派出方案種數(shù)為．故選：B．5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.8 B.9 C.16 D.17【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以仍成等比數(shù)列.易知，所以,故.故選:A6.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意首先求出，再結(jié)合余弦的二倍角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，得，所?故選：D.7.已知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的半徑為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由扇形弧長(zhǎng)公式求出圓錐底面半徑，母線長(zhǎng)為2，由等面積法得，得解.【詳解】側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐底邊半徑r滿足，解得，所以該圓錐軸截面是一個(gè)兩腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為1的等腰三角形，底邊上的高為，設(shè)內(nèi)切球半徑為R，則，.故選：D.8.已知橢圓：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為及離心率可得橢圓方程，結(jié)合三角換元代入計(jì)算即可得.【詳解】由題意知，，所以，，所以，故C的方程為，設(shè)，又，故，，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)7，8，9，11，10，14，18的平均數(shù)為11B.數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為16C.隨機(jī)變量，則標(biāo)準(zhǔn)差為2D.設(shè)隨機(jī)事件和，已知，，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、百分位數(shù)的求法計(jì)算即可判斷AB；根據(jù)正態(tài)分布的概念即可判斷C；根據(jù)條件概率的計(jì)算公式求出，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，即平均數(shù)為11，故A正確；對(duì)于B，該組數(shù)據(jù)共10個(gè)，則，第80百分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，方差為4，則標(biāo)準(zhǔn)差為2，故C正確；對(duì)于D，，故D正確．故選：ACD．10.正方體的棱長(zhǎng)為是正方形的中心，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.直線與直線所成角的余弦值為C.不存在點(diǎn)使得平面D.三棱錐的體積為定值【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)得到，A正確，確定是異面直線與直線所成角，計(jì)算得到B正確，當(dāng)時(shí)，平面，C錯(cuò)誤，根據(jù)等體積法計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：在中，是的中點(diǎn)，故，正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線與直線所成角（或其補(bǔ)角），在中，，所以，正確；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，同理可證得平面，由于平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，所以平面，即存在點(diǎn)使得平面，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，正確.故選：ABD.11.已知為定義在上的偶函數(shù)且不是常函數(shù)，，若是奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱 B.C.是奇函數(shù) D.與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)和函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的周期性可判斷B選項(xiàng)；利用奇函數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用對(duì)稱性定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得2，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以與關(guān)于軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若函數(shù)的部分圖象如圖，則的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為_(kāi)_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)圖象得到，然后用整體代入得方法求對(duì)稱中心即可.【詳解】由題圖可知，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．因?yàn)?，所以，所以．由題圖可知，所以，所以．由題圖可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，解得．又，所以，所以．令，解得，所以圖象的對(duì)稱中心為，當(dāng)時(shí)，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為．故答案為：（答案不唯一）.13.已知，則的最小值是_______．【答案】14【解析】【分析】把化為，由，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意知，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是14．故答案為：14.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，，，延長(zhǎng)交的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），則直線與的斜率之積__________.【答案】2【解析】【分析】先利用平面向量加法的法則和雙曲線的性質(zhì)求出和的邊長(zhǎng)，再分別利用余弦定理聯(lián)立可得，最后根據(jù)斜率公式求解即可.【詳解】依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，故由得，又因?yàn)?，所以，在中，，在中，，所以，解得，所以，所以雙曲線方程為，則，設(shè)，，，所以，故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，的面積為，且．（1）證明：；（2）求的外接圓的半徑．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形面積公式可求得，則有，進(jìn)而可證結(jié)論；（2）由（1）可求b，c，再由余弦定理求出a，最后利用正弦定理即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，所以，整理得，所以．【小?wèn)2詳解】由（1）知，又，所以，，由余弦定理，得，所以，由正弦定理，得，所以．16.如圖，已知四邊形為菱形，平面，平面，.（1）證明：平面平面；（2）若平面平面，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面平行和面面平行的判定定理證明即可；（2）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)平面平面的向量表示列方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，平面，所以平?因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又平面，平面，所以平?因?yàn)?，平面，所以平面BCF//平面.【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)交于點(diǎn)O，取中點(diǎn)H，連接，所以，底面.以為原點(diǎn)，以，，分別為x軸，y軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，，，，，.所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得；，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，解得，故的長(zhǎng)為1.17.2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開(kāi)幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，.附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）根據(jù)已知條件，填寫(xiě)下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)?了解不了解合計(jì)男生女生合計(jì)（2）現(xiàn)從該校了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，再?gòu)倪@9名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān)（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給條件填寫(xiě)表格，寫(xiě)出零假設(shè)，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出值，與比較，得出結(jié)論即可.（2）根據(jù)題意知其服從超幾何分布，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以?duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解的女生為，了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生為，結(jié)合男生和女生各50名，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表為：了解不了解合計(jì)男生153550女生302050合計(jì)4555100零假設(shè)：該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷成立，即該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān).【小問(wèn)2詳解】由（1）知，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，其中男生人數(shù)為（人）；女生人數(shù)為（人），由題意可得，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3.，，，.隨機(jī)變量的分布列如下：0123則.18.如圖，已知拋物線：與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．（1）若，求切線的方程；（2）若，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）由題意設(shè)切線：，聯(lián)立拋物線方程可得關(guān)于y的一元二次方程，由求出k即可求解；（2）易知直線PA斜率不存在求得直線，恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線PA斜率存在時(shí)，設(shè)，，切線：，聯(lián)立拋物線方程得關(guān)于y的一元二次方程，由求出k，則PA：，同理可得：，結(jié)合題意可得：，根據(jù)直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，即可證明.【小問(wèn)1詳解】顯然切線的斜率存在且不為0，設(shè)切線：，代入，得，由，解得所以直線的方程為，即．【小問(wèn)2詳解】若直線PA斜率存在，設(shè)，，：，代入，得由，解得．所以直線的方程為，即同理直線的方程為因?yàn)樵谥本€和上，所以，可得點(diǎn)，在直線上，所以直線的方程為，因?yàn)椋?，則直線的方程為，由，得，故直線過(guò)定點(diǎn).若直線PA的斜率不存在，則，設(shè)直線，代入，得，由，解得，此時(shí)，解得，得，即，所以，恒過(guò)定點(diǎn)；綜上：直線過(guò)定點(diǎn).19.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)性，（2）將式子變形恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解其單調(diào)性，即可進(jìn)一步將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求解其最值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知的定義域?yàn)椋粼谏虾愠闪?，所以在上單調(diào)遞增；若，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，即為對(duì)任意，恒有．令，則不等式等價(jià)于，且，令，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故在上單調(diào)遞增，由，得對(duì)任意恒成立，兩邊取對(duì)數(shù)，得，所以對(duì)任