四川省2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題（教師版）

四川省高中畢業(yè)班診斷性檢測理科數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，僅將答題卡交回．一、選擇題：本題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)i為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的意義、復(fù)數(shù)乘法計算即得.【詳解】復(fù)數(shù)，則.故選：A2.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】改寫集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，因為與的最小公倍數(shù)為，故.故選：C.3.下圖是2023年11月中國的10個城市地鐵運(yùn)營里程（單位：公里）及運(yùn)營線路條數(shù)的統(tǒng)計圖，下列判斷正確的是（）A.這10個城市中北京的地鐵運(yùn)營里程最長且運(yùn)營線路條數(shù)最多B.這10個城市地鐵運(yùn)營里程的中位數(shù)是516公里C.這10個城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的平均數(shù)為15.4D.這10城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的極差是12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條形圖，逐項分析判斷即得.【詳解】對于A，北京的地鐵運(yùn)營線路條數(shù)最多，而運(yùn)營里程最長的是上海，A錯誤；于是B，地鐵運(yùn)營里程的中位數(shù)是公里，B錯誤；對于C，地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的平均數(shù)為，C正確；對于D，地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的極差是，D錯誤.故選：C4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的y是（）A.3 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的程序框圖，依次代入計算判斷得解.【詳解】當(dāng)時，不成立，執(zhí)行否，則，不成立，執(zhí)行否，則，不成立，執(zhí)行否，則，成立，執(zhí)行是，輸出，結(jié)束程序.故選：A5.已知向量、、滿足，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因為，，且，則，可得，所以，，故.故選：B.6.雙曲線的左，右焦點分別是，，已知到雙曲線H的一條漸近線的距離為，則為（）A.4 B. C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，再利用點到直線的距離公式求解即得.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，令，，于是，，所以故選：D7.已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，則（）A.6 B.12 C.24 D.48【答案】D【解析】【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，由給定等式列出方程組求解.【詳解】設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為，由，得，整理得，解得，所以.故選：D8.設(shè)，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即得.【詳解】顯然，又，則，即，，所以.故選：B9.函數(shù)的圖象為曲線C，斜率為k的直線l經(jīng)過點，則“”是“l(fā)是C的切線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線C過點的切線的斜率，再利用充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】設(shè)直線l與曲線C相切的切點為，由，求導(dǎo)得，則，直線l方程為，而直線l經(jīng)過點，因此，解得或，則或，顯然點在曲線C上，曲線C在點處切線的斜率，切線方程為，因此經(jīng)過點且斜率的直線l是曲線C的一條切線，所以“”是“l(fā)是C的切線”的充分不必要條件.故選：A10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，直線平面，是的中點，是線段上的動點，則直線與側(cè)面的交點的軌跡長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，保證四點共面，從而得到向量與平面的法向量垂直，進(jìn)而分析得出的方程表示的軌跡是什么，求解即可.【詳解】分別以所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系；其中點，，由于直線平面，設(shè)，如圖所示：在矩形中，易得，可得：，可得點滿足，從而，設(shè)平面的法向量為，且，，可得，即，不妨取，由于直線與側(cè)面的交點，設(shè)點，可得四點共面，且，顯然，得方程，顯然方程在平面內(nèi)表示一條直線，當(dāng)時，點，此時兩點重合，當(dāng)時，，點，設(shè)線段的中點為，此時兩點重合，從而可得直線與側(cè)面的交點的軌跡為線段，且，故選：A.11.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上恰好有一個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)圖象、性質(zhì)求解即得.【詳解】依題意，，由，得，則函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是，顯然，于且，解得，當(dāng)時，，由在區(qū)間上恰好有一個零點，得，解得，所以的取值范圍是.故選：D12.已知O為坐標(biāo)原點，A，B是拋物線上的兩個動點，過A，B分別向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，．若直線，的斜率之積為，則的面積的最小值為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合已知求出直線所過定點，再求出三角形面積最小值.【詳解】顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，，由消去x得：，則，，而拋物線的準(zhǔn)線方程為，，依題意，，因此，解得，即直線：恒過定點，，于是的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的面積的最小值為2.故選：C【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以斜率或點的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過二次函數(shù)或基本不等式或?qū)?shù)等求得.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中常數(shù)項為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用二項展開式的通項公式分析求解.【詳解】展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中常數(shù)項為．故答案為：.14.若數(shù)列的前n項和為，，，則數(shù)列的通項公式為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合變形等式，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項.【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時，，兩式相減得，即，則有，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：15.已知，則滿足的實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因為，該函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為奇函數(shù)，因為對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，由可得，所以，，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知正三棱柱的側(cè)面積為．當(dāng)這個正三棱柱的所有棱長之和最小時，它的外接球的表面積為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正三棱柱的側(cè)面積可以建立底面邊長和高的數(shù)量關(guān)系，利用基本不等式求出正三棱柱的所有棱長之和最小時的和，再利用正三棱柱的對稱性找到外接球球心，借助于直角三角形即可求得.【詳解】如圖，正三棱柱中，設(shè)底面邊長為，高為，依題意知，即，而正三棱柱的所有棱長之和為，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.由解得：.設(shè)上下底面的中心分別為,則由正三棱柱的對稱性知它的外接球的球心為的中點，設(shè)外接球半徑為R，連接,則易得,在中，,故外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】思路點睛：解決此類問題的思路即是根據(jù)側(cè)面積找到底面邊長與高的關(guān)系，借助于基本不等式使所有棱長之和最小時求得兩個量，再利用正三棱柱的對稱性找到外接球球心計算即得.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某校服生產(chǎn)企業(yè)為了使設(shè)計所用的數(shù)據(jù)更精準(zhǔn)，隨機(jī)地抽取了6位高中男生的身高和臂展的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如下表所示：身高167173174176182184臂展160165173170170182（1）計算相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01）并說明可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系：（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合．）（2）建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并以此估計男裝上裝XL號（加大號，對應(yīng)身高）對應(yīng)的臂展數(shù)據(jù)．（結(jié)果中精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：，．）相關(guān)系數(shù)公式：，回歸方程中，，．【答案】（1），可用線性回歸模型擬合y與x關(guān)系；（2），臂展數(shù)據(jù)為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定表格中數(shù)據(jù)計算，再比較回答.（2）利用最小二乘法公式求出回歸直線方程，并估計臂展數(shù)據(jù).【小問1詳解】依題意，，，，，，所以相關(guān)系數(shù)，顯然，所以線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.【小問2詳解】由（1）知，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程，當(dāng)時，，所以估計男裝上裝XL號對應(yīng)的臂展數(shù)據(jù)為.18.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，面積為，且__________．在①平面向量，，且；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線上，并回答下列問題．（1）求的值；（2）若的外接圓的直徑為，求的周長．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）選擇條件①，利用向量共線的坐標(biāo)表示及正弦定理求出，再利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義計算即得；選擇條件②，利用正弦定理及和角的正弦公式求出，再利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義計算即得；選擇條件③，利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義計算即得.（2）利用（1）的結(jié)論，利用余弦定理求出即可.【小問1詳解】選擇條件①，向量，，且，則，在中，由正弦定理得，則，而，從而，由的面積為，得，解得，所以.選擇條件②，，整理得，由正弦定理得，而，，于是，而，從而，由的面積為，得，解得，所以.選擇條件③，，整理得，由余弦定理得，而，從而，由的面積為，得，解得，所以.【小問2詳解】由的外接圓的直徑為及正弦定理，得，由余弦定理得，即，解得，所以的周長為.19.在邊長為4的菱形中，，E是AD的中點，現(xiàn)將沿EB進(jìn)行翻折至的位置，如圖所示，F(xiàn)是CP的中點．（1）線段CD上是否存在一點H，使得．若存在，指出點H的位置，并證明；若不存在，請說明理由；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求二面角的正弦值．【答案】（1）存在，為的中點；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）由的面積最大時可得，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】連接，在邊長為4的菱形中，，則是正三角形，由E是AD的中點，得，，而，則，即，而平面，于是平面，又平面，則，由于F是CP的中點，則當(dāng)為的中點時，，必有，所以點H為線段CD的中點時，.【小問2詳解】顯然的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此當(dāng)?shù)拿娣e最大時，，由（1）知，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，于是，所以二面角的正弦值為.20.設(shè)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意的，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)解，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）當(dāng)時，求出函數(shù)的值域為，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，對任意的，，此時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，由可得，由可得，由可得，此時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】解：由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.所以，，且當(dāng)時，；當(dāng)時，.此時，函數(shù)的值域為，令，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，所以，對任意的，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，如下圖所示：對任意的，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)解，則，故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.21.已知坐標(biāo)原點為，橢圓的上頂點為，右焦點為，且，．（1）求橢圓的方程；（2）過作互相垂直的兩條直線分別交于、兩點，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件求出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可求出的值，然后利用弦長公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【小問1詳解】解：易知點、，則，，，則，故，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點、，若軸，則、關(guān)于軸對稱，即點，，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，因為，，同理可得，，因為直線不過點，則，整理可得，解得，滿足，所以，，，則，因為，令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，即當(dāng)時，取最大值，且其最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選