上海市普陀區(qū)曹楊第二中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

上海市曹楊二中第一學(xué)期高三年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷班級(jí)________姓名________學(xué)號(hào)________一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1已知，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)求解即可.【詳解】，，解得.故答案為：.2.復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，可得，解得，則z的虛部.故答案為：.3.已知，，則在上的數(shù)量投影為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】直接利用投影公式計(jì)算即可.【詳解】，，則在上的數(shù)量投影為.故答案為：.4.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)，若，，，的方差為，則，，的方差為，計(jì)算即得答案.【詳解】根據(jù)題意，一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差，則數(shù)據(jù)，，，的方差為；故答案為：.5.不等式的解集是__________.【答案】或}【解析】【分析】分式不等式變式成，等價(jià)于，求解即可【詳解】，所以，解得或，所以不等式的解集是或}.故答案為：或}6.已知（且，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】【解析】分析】令即可求出定點(diǎn).【詳解】令得，此時(shí)，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，即點(diǎn).故答案：.7.在平面直角坐標(biāo)系中，，把向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)定角得到，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)記為，，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件的變化，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得答案.【詳解】把向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)定角得到，得，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)記為，則，即把向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)定角得到，得，即關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)記為，則，以此類推可得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故的坐標(biāo)為.故答案為：8.已知，則_______（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用賦值法分別將和代入已知式子中，得到兩個(gè)方程，由這兩個(gè)方程化簡(jiǎn)整理，即可求出答案．【詳解】由，令得，，①令得，，②①②得，，.故答案為：.9.某公司員工小明上班選擇自駕、坐公交車、騎共享單車的概率分別為、、，而他自駕、坐公交車、騎共享單車遲到的概率分別為、、，結(jié)果今天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)小明遲到為事件，小明自駕為事件，求出，，利用條件概率公式計(jì)算即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)小明遲到為事件，小明自駕為事件，則，，所以在小明遲到的條件下，他自駕去上班的概率為.故答案為：.10.已知記函數(shù)的最大值為，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象，然后根據(jù)圖象分，，討論求解即可.【詳解】設(shè)，則，即函數(shù)在上為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故設(shè)，則，令，解得同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于分段函數(shù)，其中每一段對(duì)應(yīng)的變量范圍在沒(méi)有確定的情況下，需要在一個(gè)坐標(biāo)系中畫出每一段的完整圖象，對(duì)變量的取值變化情況分析，從而得到分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論.11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)左焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)（B在第一象限），若線段的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得，再由勾股定理列出方程即可得到關(guān)系，代入離心率計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c，，，根據(jù)題意得，又，，設(shè)的中點(diǎn)為，在中，，，，則，，根據(jù)，可知，.故答案為：.12.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，且，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)遞推式先推出，然后分組求和可得，結(jié)合條件，通過(guò)基本不等式，二次函數(shù)的性質(zhì)求的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，將代入得，所以，又，所以，所以又因?yàn)?，所以，又由，，得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，所以當(dāng)時(shí)，最大，且最大為故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件中的遞推式求出數(shù)列中隱藏的等比數(shù)列，然后利用分組求和的方法進(jìn)行求和.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別求得與的等價(jià)條件，從而利用充分必要條件的定義即可得解.【詳解】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14.在中，，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.若，則是銳角三角形 B.若，則是鈍角三角形C.若，則是銳角三角形 D.若，則是鈍角三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中條件利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得，分情況考查的正負(fù)情況，轉(zhuǎn)化為的正負(fù)情況，進(jìn)一步分析即可.【詳解】因?yàn)椋?又時(shí)，三角形一定不是直角三角形，則有，，若，則，為銳角，但是不能判斷的大小，故A,B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，中必有一個(gè)鈍角，故此時(shí)是鈍角三角形，C錯(cuò)誤，D正確，故選：D15.若干個(gè)能確定一個(gè)立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”.已知長(zhǎng)方體，下列四組量中，不能作為該長(zhǎng)方體的“基本量”的是（）A.的長(zhǎng)度 B.的長(zhǎng)度C.的長(zhǎng)度 D.的長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)定義，結(jié)合長(zhǎng)方體的體積公式、已知量判斷長(zhǎng)方體的體積是否可以確定即可.【詳解】如下圖，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式，只需確定共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)即可，已知的長(zhǎng)度，則體積可定，A滿足；由，即可求出，則體積可定，B滿足；由勾股定理及可求，由勾股定理及可求，故體積可定，C滿足；已知無(wú)法求出，體積不能確定，D不滿足.故選：D16.設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)A、B：不妨設(shè)，可得，根據(jù)集合的定義可得Y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)，則集合S中至少有7個(gè)元素，排除選項(xiàng)A，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，所以，排除選項(xiàng)B；對(duì)C：對(duì)，則與一定成對(duì)出現(xiàn)，根據(jù)集合的定義可判斷選項(xiàng)C；對(duì)D：取，則，根據(jù)集合的定義可判斷選項(xiàng)D.【詳解】解：不妨設(shè)，則的值為，顯然，，所以集合Y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)，則顯然，則集合S中至少有7個(gè)元素，所以不可能，故排除A選項(xiàng)；其次，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，則，故排除B項(xiàng)；對(duì)于集合T，取，則，此時(shí)，，故D項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)而言，，則與一定成對(duì)出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.已知在中，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，即，又，，，，即，所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.18.垃圾分類可以提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值．某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校對(duì)高一、高二年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識(shí)測(cè)試，然后從高一、高二各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生成績(jī)（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了整理得相關(guān)信息：高一年級(jí)成績(jī)分布表等級(jí)EDCBA成績(jī)（分?jǐn)?shù)）人數(shù)123410（1）從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個(gè)人成績(jī)都不低于90分的概率是多少？（2）分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取2人，這三人中成績(jī)不低于90分的人數(shù)記為，用頻率估計(jì)概率，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）先分別求出高一，高二中抽取一人，成績(jī)不低于90分的概率，然后利用概率的乘法公式求解即可；（2）可取的值為，分別求出其概率即可得分布列，然后根據(jù)期望公式求期望即可.【小問(wèn)1詳解】由已知得從高一的學(xué)生中抽取一人，成績(jī)不低于90分的概率是，從高二的學(xué)生中抽取一人，成績(jī)不低于90分的概率是，則從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個(gè)人成績(jī)都不低于90分的概率是；【小問(wèn)2詳解】可取的值為，則，，，，則的分布列為所以19.如圖，斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)面為菱形，且．（1）求證：；（2）若，三棱柱的體積為24，求直線與平面所成角的大小．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用棱柱的體積公式，空間向量的夾角公式進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，由題知為正三角形，而也是正三角形，，又面，且，面，又面，；【小問(wèn)2詳解】，，，又，，即，又面，且，，面，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，三棱柱的體積為，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得，設(shè)直線與平面所成角為，則.20.已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)，.（1）已知經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求的方程；（2）證明：直線與直線交于點(diǎn);（3）求線段長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線的截距式方程即可求得答案.（2）設(shè)直線，則，聯(lián)立直線和橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)，可證明直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，同理可證直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可證明結(jié)論.（3）表示出線段的長(zhǎng)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)并采用換元法，可得，利用函數(shù)的單調(diào)性，可求得答案.【小問(wèn)1詳解】的左焦點(diǎn)為，當(dāng)過(guò)左焦點(diǎn)時(shí)，的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由題意知斜率存在，設(shè)直線，則，聯(lián)立，消得，需滿足，即，，又，，，，故點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，同理可證,即點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故直線與直線交于點(diǎn);【小問(wèn)3詳解】由（2）可知令，則，又由得，所以，，設(shè)，時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，，，，，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）證明直線與直線交于點(diǎn)時(shí)，采用證明的方法，從而證明點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，同理可證直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可證明結(jié)論；（2）求解線段長(zhǎng)的取值范圍時(shí)，利用兩點(diǎn)間距離公式可表示其長(zhǎng)，解答時(shí)要結(jié)合換元法以及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答.21.已知為實(shí)數(shù)，．對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對(duì)任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．（1）若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說(shuō)明理由；（2）證明：若為的“正向數(shù)組”，則對(duì)任意，都有；（3）已知對(duì)任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．【答案】21.不是的“正向數(shù)組”；22.證明見(jiàn)解析；23.的取值范圍是.【解析】【分析】（1）代入有，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到的正負(fù)時(shí)不同取值情況即可；（2）假設(shè)存在,使得,通過(guò)正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對(duì)任意恒成立，設(shè)，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立；（3）代入有恒成立或恒成立，設(shè)，求出是的最大值或最小值時(shí)的取值范圍即可.【小問(wèn)1詳解】若，，對(duì)，即，而當(dāng)，時(shí)，，，即，不滿足題意.所以不是的“正向數(shù)組”.【小問(wèn)2詳解】反證法:假設(shè)存在,使得,為的“正向數(shù)組”，對(duì)任意,都有.對(duì)任意恒成立.令，則在上恒成立，，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)，，當(dāng)，，即存在，使在上為正，在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域?yàn)?；若，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，必存在，使在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域?yàn)?由值域可看出，與在上恒成立矛盾.對(duì)任意，都有.【小問(wèn)3詳解】都是的“