數(shù)字信號處理報告

數(shù)字信號處理實驗報告實驗目的一、加深對離散傅立葉變換〔DFT〕和快速傅立葉變換〔FFT〕的理解，掌握通過兩種變換求卷積的編程方法；二、掌握設計巴特沃斯低通雙線性IIR數(shù)字濾波器的原理和方法，以及從低通轉(zhuǎn)換到高通的技術(shù)；三、掌握用窗函數(shù)設計FIR數(shù)字濾波器的原理及方法，了解各種不同窗函數(shù)對濾波器性能的影響；四、提高綜合應用和分析的能力，Matlab編程能力等。實驗內(nèi)容實驗一一、實驗名稱快速傅立葉變換二、實驗要求編程利用FFT進行卷積計算，通過實驗比擬出快速卷積優(yōu)越性。三、實驗原理利用FFT進行離散卷積的步驟歸納如下：(1)、設x(n)的列長為N1，h(n)的列長為N2，要求y(n)=x(n)*h(n)=x(k)h((n-k))NRN(n)= [1](2)、為使兩有限長序列的線性卷積可用其圓周卷積來代替而不產(chǎn)生混淆，必須選擇N≥N1+N2-1。為使用基-2FFT來完成卷積計算，故要求N=2v(v是整數(shù))。用補零的方法使x(n)，h(n)具有列長N，即x(n)=h(n)=(3)為用圓周卷積定理計算線性卷積，先用FFT計算x(n)，h(n)的N點離散傅立葉變換x(n)X(k)[2]h(n)H(k) [3](4)組成卷積Y(k)=X(k)H(k)[4](5)利用IFFT計算Y(k)的離散傅立葉逆變換得到線性卷積y(n)。由于y(n)=WN-nk=[WNnk]*[5]可見，y(n)可由求(1/N)Y*(k)的FFT再取共軛得到。四、實驗題目兩個正弦序列的卷積〔均為兩個周期，256點〕輸入序列：卷積輸出： 〔2〕正弦序列與三角序列的卷積〔正弦序列為兩個周期，256點；三角序列為一個周期，256個點〕輸入序列：

卷積輸出：〔3〕兩個矩形序列的卷積〔均為兩個周期，256個點，占空比0.5〕輸入序列： 卷積輸出：

〔4〕單位沖擊與正弦波〔單位沖擊序列為256個點，正弦序列為1.7個周期，256個點〕

輸入序列：卷積輸出：EMBEDPBrush任何序列與單位沖擊序列的卷積為原序列，所以結(jié)果正確。(5)正弦序列與矩形序列的卷積〔兩序列均為256個點，正弦序列為兩個周期，矩形序列為兩個周期，占空比為0.2〕輸入序列：

卷積輸出：主要代碼〔只選一個參考，下同〕：%〔1〕的代碼k=1:256;s1=sin(k/64*pi);s2=s1;xk=fft(s1,2*length(k)-1);yk=fft(s2,2*length(k)-1);rm=ifft(xk.*yk);m=(-255):(255);stem(m,rm)xlabel('m');ylabel('·ù?è');實驗二一、實驗名稱IIR數(shù)字濾波器二、實驗要求：設計巴特沃斯低通雙線性IIR數(shù)字濾波器，N=3，ωc=0.2π。輸入信號為以下三種序列〔選擇點數(shù)為128或256〕： 單位取樣三角序列〔兩個周期〕矩形序列〔占空比0.1或0.5〕給出輸出的時域及頻域效果，并進行簡單的分析。三、實驗原理：濾波器的作用是濾除信號中某一局部的頻率分量。信號經(jīng)過濾波器處理，就相當與信號頻譜與濾波器的頻率響應相乘的結(jié)果。在時域里來看，這就是信號與濾波器的沖激響應相卷積?？梢哉f濾波器就是一個卷積器。 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)對應的差分方程為模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的普遍表示式為三階次巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

由Ha(s)的系數(shù)表示經(jīng)雙極性變換后的Y(z)的表達式〔三階〕ωc=0.2πY(Z)=0.018099*X(Z)*Z-3+0.054297*X(Z)*Z-2+0.054297*X(Z)*Z-1+0.018099*X(Z)

+0.27806*Y(Z)*Z-3-1.18289*Y(Z)*Z-2+1.76004*Y(Z)*Z-1即y(n)=0.018099*x(n-3)+0.054297*x(n-2)+0.054297*x(n-1)+0.018099*x(n)+0.27806*y(n-3)-1.18289*y(n-2)+1.76004*y(n-1)由低通數(shù)字濾波器原形變換為高通數(shù)字濾波器由截止頻率ωc=0.2π三階低通變換為截止頻率ωc=0.6π三階高通，經(jīng)計算，其表達式為：y(n)=-0.098531x(n-3)+0.295594x(n-2)-0.295594x(n-1)+0.098531x(n)

-0.056297y(n-3)-0.42179y(n-2)-0.57724y(n-1)計算過程：由給定的條件可計算出巴特沃斯系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)，相應可知摸擬系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)，經(jīng)雙極性變換法求出數(shù)字濾波器的系數(shù)，最后由差分方程實現(xiàn)低通濾波效果。經(jīng)相應的Z平面映射，由映射公式變換得出數(shù)字高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)，從而由差分方程實現(xiàn)高通效果。四、實驗結(jié)果及分析：A.低通濾波：(1).單位取樣〔256個點〕輸入序列：低通濾波后的傅立葉變換和輸出序列： (2).三角序列〔256個點，兩個周期〕輸入序列：低通濾波后的頻譜和輸出序列：(3).矩形序列〔兩個周期，256個點，占空比0.5〕輸入序列：低通濾波后的頻譜和輸出序列：主要代碼：%y=[ones(1,64)-ones(1,64)ones(1,64)-ones(1,64)];%y=[1zeros(1,255)];y=[1:3231:-1:-32-31:3231:-1:-32-31:0]./32;k=2*length(y);[B,A]=butter(3,0.2*pi);[num1,den1]=impinvar(B,A);[h1,w]=freqz(num1,den1);[HH,TT]=impz(B,A);YY1=conv(HH,y);%YY=filter(B,A,y);f=fft(y,k);FF1=fft(YY1,k);subplot(2,2,2);stem(YY1(1:length(y)),'.');title('TheresultofFilter');subplot(2,2,1);stem(y,'.');title('Thesignalofy');subplot(2,2,3);plot(w,abs(f));subplot(2,2,4);plot(w,abs(FF1));B.高通濾波：〔1〕矩形序列〔256個點，兩個周期，占空比0.5〕輸入序列：高通濾波輸出的頻譜：高通濾波輸出：〔2〕矩形序列〔256個點，兩個周期，占空比0.1〕輸入序列：高通濾波輸出的頻譜和高通濾波輸出：主要代碼：y=[ones(1,13)-ones(1,115)ones(1,13)-ones(1,115)];k=2*length(y);[B,A]=butter(3,0.2*pi,'high');[num1,den1]=impinvar(B,A);[h1,w]=freqz(num1,den1);[HH,TT]=impz(B,A,'high');YY1=conv(HH,y);%YY=filter(B,A,y);f=fft(y,k);FF1=fft(YY1,k);subplot(2,2,2);stem(YY1(1:length(y)),'.');title('TheresultofFilter');subplot(2,2,1);stem(y,'.');title('Thesignalofy');subplot(2,2,3);plot(w,abs(f));subplot(2,2,4);plot(w,abs(FF1));實驗三一、實驗名稱FIR數(shù)字濾波器二、實驗要求：設計一個截止頻率為ωc=0.2π的線性相位低通數(shù)字濾波器，ω1=0.3π，ω2=0.3π的線性相位帶通濾波器，分別用矩形窗和海明窗對其進行截斷，N為61。輸入序列64-128點，輸出128-256點。輸入單位取樣及矩形序列〔占空比0.1〕，畫出輸出序列及其頻譜。三、實驗原理：

理想低通數(shù)字濾波器，其頻率特性為Hd(ejω)，現(xiàn)假設其幅頻特性|Hd(ejω)|=1，相頻特性φ(ω)=0，那么，該濾波器的單位抽樣響應hd(n)是以為hd(0)為對稱的sinc函數(shù)，hd(0)=ωc/π。我們將hd(n)截短，例如僅取hd(-M/2)，…，hd(0)，…，hd(M/2)，并將截短后的hd(n)移位，得

h(n)=hd(n-M/2)

n=0,1,…,M

那么h(n)是因果的，且為有限長，長度為M+1，令

H(z)=∑h(n)Z-n

n=0,1,…,M即得到所設計濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)。H(z)的頻率響應將近似Hd(ejω)，且是線形相位的。

窗函數(shù)設計法是一種逼近，用其頻響H(ejw)去逼近所要求的理想濾波器頻響Hd(ejw),用其有限長單位沖擊響應h(n)去逼近理想濾波器的無限長單位沖擊響應hd(n)，即：

設計FIRDF的關(guān)鍵是求出h(n),它應該是一個有限長因果序列。有限性可通過對hd(n)截取一段，即與某一窗函數(shù)相乘獲得；因果性可通過在時域上進行的時延來獲得，這不影響幅頻特性，只影響相頻。常用的窗函數(shù)有矩形窗、海明窗等。

設計時，先根據(jù)

算出hd(n)，再根據(jù)指定的窗函數(shù)點數(shù)以及窗的類型得出h(n)，對輸入的待濾波序列和h(n)做卷積，即可到達濾波效果。具體實現(xiàn)時可根據(jù)線形卷積和圓周卷積的關(guān)系，通過補點把線形卷積化為圓周卷積，再根據(jù)離散時域的卷積定理，借助FFT求出兩序列的頻譜，對其頻域的乘積做IFFT,即得到時域的圓周卷積。理想低通濾波器幅頻特性

可知：

同理：

帶通濾波器的單位沖擊響應為：

h(n)=(Sinω2n-Sinω1n)/(πn)

所以：

四、實驗結(jié)果及分析：以下各圖輸入序列均為128個點，輸出序列均為256個點，濾波器窗函數(shù)取樣點的數(shù)目N均為61。低通濾波單位沖擊序列輸入：主要代碼：n=0:127;N=30;x(1)=1;x(2:128)=0;h=sin(0.2*pi*(n-30))./(pi*(n-30+eps));y=conv(x,h);Y=abs(fft(y));subplot(3,1,1);stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('輸入序列');subplot(3,1,2);stem(0:254,Y);xlabel('n');ylabel('幅度/dB');title('加矩形窗低通濾波后頻譜');subplot(3,1,3);stem(0:254,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('加矩形窗低通濾波后輸出序列');hd=sin(0.2*pi*(n-30))./(pi*(n-30+eps));w=0.5-0.5*cos(2*pi*n/128);h=hd.*w;y=conv(x,h);Y=abs(fft(y));subplot(3,1,1);stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('輸入序列');subplot(3,1,2);stem(0:254,Y);xlabel('n');ylabel('幅度/dB');title('加海明窗低通濾波后頻譜');subplot(3,1,3);stem(0:254,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('加海明窗低通濾波后輸出序列');n=0:127;h=sin(0.2*pi*(n-30))./(pi*(n-30+eps));[h1,w1]=freqz(h,1);subplot(2,1,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));xlabel('歸一化頻率/');ylabel('幅度/dB');title('加矩形窗后響應')d=sin(0.2*pi*(n-30))./(pi*(n-30+eps));w=0.5-0.5*cos(2*pi*n/128);h=d.*w;[h1,w1]=freqz(h,1);subplot(2,1,2);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));xlabel('歸一化頻率/');ylabel('幅度/dB');title('加海明窗后響應');矩形序列輸入〔占空比0.5〕：主要代碼：n=0:127;N=30;x=[ones(1,32)-ones(1,32),ones(1,32)-ones(1,32)];h=sin(0.2*pi*(n-N))./(pi*(n-N+eps));y=conv(x,h);Y=abs(fft(y));subplot(3,1,1);stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('輸入序列');subplot(3,1,2);stem(0:254,Y);xlabel('n');ylabel('幅度/dB');title('加矩形窗低通濾波后頻譜');subplot(3,1,3);stem(0:254,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');title(