第七章-離散控制系統(tǒng)

第一節(jié)

概述第二節(jié)

連續(xù)信號的采樣和復(fù)現(xiàn)第三節(jié)離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第四節(jié)離散控制系統(tǒng)的性能分析第五節(jié)離散控制系統(tǒng)的設(shè)計第七章離散控制系統(tǒng)

第一節(jié)概述離散的含義：離散相對于時間、相對于信號、相對于系統(tǒng)中的一個測點而言。連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)中任一點上的信號在時間上連續(xù)。離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一點信號在時間上不連續(xù)。采樣（數(shù)據(jù)）連續(xù)信號數(shù)字信號

離散控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)計算機控制系統(tǒng)y(t)A/D計算機e(t)e(kT)r(t)u(kT)u(t)傳感器受控對象D/A計算機控制系統(tǒng)簡單分析離散控制系統(tǒng)的分析Z變換、Z平面零極點分布、脈沖傳遞函數(shù)、數(shù)字控制器設(shè)計。離散控制與連續(xù)控制的系統(tǒng)分析之間的比較離散控制 連續(xù)控制Z變換 S變換脈沖傳遞函數(shù)G(z) 傳遞函數(shù)G(s)Z平面零極點分布 S平面零極點分布Z平面根軌跡 S平面根軌跡差分方程 微分方程朱里判據(jù) 勞斯判據(jù)

第二節(jié)連續(xù)信號的采樣和復(fù)現(xiàn)采樣：數(shù)學(xué)抽象分析A/Dx(t)x(kT)x(t)

x*(t)采樣器x(t)t

T(t)0T2T-T-2Tt

傅立葉級數(shù)表示：其中，為角頻率

一串脈沖表示與的關(guān)系據(jù)遲延定理：復(fù)平移定理：

表示與的關(guān)系

頻譜分析:

采樣信號的頻率特性為原信號的無限項諧頻特性之和。當(dāng)k=0時，

，稱為X*(j

)的主頻，其幅頻特性如圖(a)。

若

s≥2max

則各頻譜不重合，如圖(b)。

若s<2max則各頻譜重合，如圖(c),頻率特性將發(fā)生變異。

圖a圖b圖c

max復(fù)現(xiàn)：由x*(t)復(fù)現(xiàn)出x(t)

當(dāng)

s≥2

max用低通濾波器濾出主頻即可

低通濾波x*(t)x(t)Shannon采樣定理：

若

s≥2

max

，T≤

/

max則采樣信號包含原信號的全部信息，有可能復(fù)現(xiàn)原信號。

為什么要考慮采樣定理？為什么要考慮采樣信號的復(fù)原可能性？因為現(xiàn)實世界是時間連續(xù)的，離散控制面對連續(xù)對象。

零階保持器：最常用。用在所有的D/A中。還有一階、三角保持器Gh(s)Xh(t)x(t)X*(t)xh(t)x(t)傳遞函數(shù)：

頻率特性：

據(jù)歐拉公式：幅頻特性：相頻特性：零階保持器是低通濾波器，但不理想，用于信號復(fù)現(xiàn),有信號畸變，相位滯后。|Gh(j

)|Gh(j

)1T-0第三節(jié)離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 差分方程 脈沖傳遞函數(shù) 離散狀態(tài)方程一、差分方程直接表明輸入x(k)與輸出y(k)的關(guān)系，易于計算機實現(xiàn)?；颌?/p>

級數(shù)和式或③

計算機算式1、表達式

①

展開式2、與脈沖傳遞函數(shù)的關(guān)系對②兩邊Z變換：系數(shù)為差分方程和脈沖傳遞函數(shù)共用?；貞洠何⒎址匠膛c傳遞函數(shù)的關(guān)系3、差分與微分的關(guān)系

差分的極限是微分

微分的近似是差分（數(shù)值差分）例求慣性環(huán)節(jié)的離散化模型及其階躍響應(yīng)解:設(shè)慣性環(huán)節(jié)可表示為令，取Z變換：二、脈沖傳遞函數(shù)（Z傳遞函數(shù)，離散傳遞函數(shù)）定義:

在零初始條件下，線性定常離散控制系統(tǒng)的輸出序列的Z變換和輸入序列的Z變換之比為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。表達式：常見式：1、串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣器x*(t)G1(s)G2(s)x(t)Ty*(t)y(t)T(a)(b)x*(t)G1(s)x(t)TG2(s)y*(t)y(t)T

*(t)T

(t)三、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)結(jié)論:

環(huán)節(jié)串聯(lián)后的G(z)計算依據(jù)于環(huán)節(jié)間有無采樣器，無時則先將Gi(s)相乘，再求G(z)；有時則先求各Gi(z)，再求G(z)。2、環(huán)節(jié)間有采樣器四、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關(guān)在系統(tǒng)中的位置相關(guān)，甚至有求不出閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況，如以下情況。推導(dǎo)時，注意串聯(lián)環(huán)節(jié)中有無采樣開關(guān)F(s)G1(s)G2(s)Y(s)TU(s)R(s)-+數(shù)值微積分法替換法根匹配法保持器等價法五、連續(xù)系統(tǒng)的離散化

為什么要離散化？便于離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計。G(z)x(kT)=x*(t)y(kT)=y*(t)x(t)G(s)y(t)y*(t)TTx*(t)離散化的要求G(z)特性等價于G(s)被采樣常用四種離散化方法:1、數(shù)值微積分法：適用于低階的連續(xù)系統(tǒng)。數(shù)值積分:前向矩形后向矩形梯形數(shù)值微分：例7-3

試將PID控制器離散化解：或整理為2、替換法

特點：線性，穩(wěn)定，有一定精度Tustin變換、雙線性變換例7-4

用Tustin法離散化解：代入3、根匹配法設(shè)原系統(tǒng)為構(gòu)造新系統(tǒng)例7-5解：x(t)G(s)y(t)y*(t)TTx*(t)x(t)G(s)y*(t)x*(t)x(kT)G(z)y(kT)H(s)

4、保持器等價法零階保持器第四節(jié)離散控制系統(tǒng)的性能分析穩(wěn)定性穩(wěn)態(tài)性能分析方法與連續(xù)系統(tǒng)相似動態(tài)響應(yīng)一、穩(wěn)定性分析

回憶連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：

閉環(huán)特征根在S左半平面。

離散系統(tǒng)如何？特征根在Z平面單位圓內(nèi)。1、S平面到Z平面的映射映射關(guān)系式0.5s-0.5s[s][z]0.5s-0.5s1.5s-1.5s主帶域次帶域次帶域[s][z]特征線的映射特征面的映射每條帶均映為單位圓內(nèi)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：

系統(tǒng)G(z)的全部極點位于Z平面以原點為圓心的單位圓內(nèi)。2、朱里判據(jù)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：

(1)(2)（p(-1)偶數(shù)時大于零，奇數(shù)時小于零）

(3)朱里陣列中的系數(shù)滿足(n-1)個約束條件為系統(tǒng)特征多項式朱里陣列定義為

其中上行正序下行逆序左列頭至尾，右列尾去i至i。穩(wěn)定看首列，第一組頭小尾大，其余組頭大尾小。例：求穩(wěn)定時的K值范圍。解：①②③朱里陣列滿足一個約束條件綜合例：求是否穩(wěn)定。解：①朱里陣列元素計算：②朱里陣列：行z0z1z2z3z40.0020.080.4-1.36811-1.3680.40.080.002-11.368-0.399-0.082-0.082-0.3991.368-10.993-1.4010.511③判別穩(wěn)定性：

綜合判別：系統(tǒng)穩(wěn)定3、Z域根軌跡任意線性離散反饋控制系統(tǒng)，特征方程據(jù)幅角和幅值條件可按連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡法則作Z域根軌跡。例：知求根軌跡及穩(wěn)定時K范圍。解：由得求會合點坐標(biāo)令(*)解出：代入*式驗算知都是會合點，點A為臨界值，利用幅值條件求K*A：為系統(tǒng)穩(wěn)定范圍Ap1p2z1-2.080.648[z]4、w變換定義：可完成Z域向w域的映射映射結(jié)果：勞斯判據(jù)BodeNyquistNichols對w域可用分析[Z][w]例7-9試用勞斯判據(jù)確定離散系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：代入由導(dǎo)出特征方程式列勞斯表得得二、穩(wěn)態(tài)誤差計算(條件:系統(tǒng)穩(wěn)定)G0(z)-E(z)R(z)Y(z)誤差脈沖傳遞函數(shù)推導(dǎo)：定義穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)：穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)：穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)：穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)：在典型輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)類型直接相關(guān),見表7-4系統(tǒng)類型按開環(huán)傳遞函數(shù)中的離散積分環(huán)節(jié)數(shù)的值來定義：v=0時系統(tǒng)為0型系統(tǒng)v=1時系統(tǒng)為1型系統(tǒng)v=2時系統(tǒng)為2型系統(tǒng)三.動態(tài)響應(yīng)分析離散系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)取決于系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(z)在z平面的零極點分布。舉例分析：設(shè)在階躍輸入下,傳遞函數(shù)G(z)無重極點

部分分式展開其中可見系統(tǒng)響應(yīng)為各極點響應(yīng)之和所以設(shè)則⑤①②③⑥④⑦⑧⑨見下頁圖。注：零點也會影響系統(tǒng)動態(tài)性能，但分析困難。收斂序列①

④⑦發(fā)散序列③

⑥⑨等幅序列②⑤⑧單調(diào)過程①②③振蕩過程④

⑤⑥⑦⑧⑨振蕩頻率最高④

⑤⑥⑦②①③⑤④⑥⑧⑨第六節(jié)離散控制系統(tǒng)的設(shè)計一、量化誤差的影響

模擬量量化為數(shù)字量時產(chǎn)生的誤差為量化誤差。因為數(shù)字量的位長有限。常用的A/D變換器的位長是8位、10位、12位或16位。位長值越大，則量化誤差越小。離散系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)：Gc(z)Gh(s)Gp(s)r(t)y(t)e(t)u(kT)TT例7-11：求模擬量10V用8位A/D量化時的最大量化誤差。解：截斷誤差和舍入誤差截斷誤差舍入誤差量化量xq被量化量x量化量xq被量化量x最大舍入誤差為最大截斷誤差的二分之一量化誤差量

被量化量xq(=x-xq)量化誤差量

被量化量x量化誤差對控制系統(tǒng)的影響限制了控制精度的提高引入了非線性特性可能造成極限環(huán)（低幅自激振蕩）可能造成不穩(wěn)定設(shè)A/D變換器的量程為0~500mv,則A/D變換器的位長為

解：K分度熱電偶在500℃的微分熱電動勢為42V/℃。若要使控制器對0.2℃的溫度反應(yīng),則量化單位至少為若用12位A/D,則最小探測的溫度為顯然滿足不了0.5℃的要求。例7-12

假定用K分度熱電偶測量溫度，并要求控制在5000.5℃，試確定A/D變換器的位長。例7-13

輸入時有量化誤差，使求

對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，設(shè)=0.9995解：特征方程可見>0.0005，使+>1失穩(wěn)一般T價格，性能

T價格，性能選擇按最高性能價格比。有關(guān)按性能指標(biāo)選擇T的經(jīng)驗公式：二、采樣周期的選擇1、按跟蹤有效性指標(biāo)——帶寬定義②①或③④按被控物理量，見下表。受控過程類型采樣周期流量壓力液位溫度成分1~23~55~810~1515~20工業(yè)過程控制的采樣周期推薦值2、按調(diào)節(jié)有效性指標(biāo)①——過程擾動信號基頻②加前置濾波器后——轉(zhuǎn)折頻率三、連續(xù)控制的離散化法思路：利用成熟的連續(xù)控制器，只要采樣周期取得足夠小，等效于連續(xù)控制器。例：用替換法將連續(xù)PID離散化。設(shè)連續(xù)PID調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為，將代入上式并整理可得離散PID調(diào)節(jié)器的脈沖傳遞函數(shù)上式中系數(shù)和由下列各式計算若令該控制器的輸出為U(z)，輸入為E(z)，則有對應(yīng)的差分方程可寫為若要求出控制量的增量，則可得---位置算式---速度算式

上述式中的參數(shù)可用連續(xù)PID的參數(shù)直接代入計算，這些參數(shù)是通過連續(xù)PID參數(shù)整定方法得到的。四、Z域根軌跡設(shè)計法

1、繪制：如同S域根軌跡繪制一樣繪制Z域根軌跡，因為只是s換為z，其它形式不變。

2、最佳性能區(qū)等

n等

等

等

d等

等

等

n等

d3、Z平面性能指標(biāo)換算已知：求：

公式：

當(dāng)時有當(dāng)附近，這些公式與連續(xù)系統(tǒng)(標(biāo)準(zhǔn)二階)的公式相比實質(zhì)一樣，有經(jīng)驗，有變形。4、舉例求用根軌跡法設(shè)計數(shù)字控制器D(z)解：(1)，特征方程畫根軌跡A。可見未落在最佳性能區(qū)當(dāng)a=0.1，T=1，采用零階保持器，有等

等

等

n等

dBA（1）等

等

等

n等

d（2）(2)有根軌跡B，已有改善。得相應(yīng)處，仍偏小。(3)設(shè)得根軌跡如圖。處=1，K=9.5具有較好的性能

(2)用伯德圖法設(shè)計D(w)①未校正Bode圖②定D(w)③校正的Bode圖五、w域頻率特性設(shè)計法通過w變換，Z域映射到w域，于是可視同為S域，連續(xù)系統(tǒng)的頻域法可應(yīng)用。設(shè)計步驟：(1)w變換(3)舉例：采樣周期T=1秒，求Kv=1，PM=50°的D(z)。解：1001010.10.2010.20.5125102050100100021

補償?shù)南辔辉Ａ緽ode圖設(shè)計未經(jīng)校正的系統(tǒng)GM=10o設(shè)校正的系統(tǒng)滿足要求，可看出Kv=1回憶：

1型系統(tǒng)低頻段斜率-20dB/dec,與橫軸交點為KvD(z)G(z)R(z)Y(z)E(z)U(z)-六、數(shù)字控制器的直接設(shè)計法系統(tǒng)框圖閉環(huán)系統(tǒng)直接設(shè)計公式F(z)按性能要求確定1、直接設(shè)計準(zhǔn)則(四類九項)

最佳性能4條準(zhǔn)則四、五、六、七必要性約束2條準(zhǔn)則一、二選擇性約束1條準(zhǔn)則三控制器修正2條準(zhǔn)則八、九[準(zhǔn)則一]閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性約束準(zhǔn)則1-F(z)的零點必須包含G(z)單位圓上和單位圓外的極點，且F(z)的零點必須包含G(z)在單位圓上和單位圓外的零點。解釋：若要閉環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)特征根在單位圓內(nèi)，若G(z)有在單位圓上和圓外的零極點，則要消去。[準(zhǔn)則二]控制器可實現(xiàn)性約束準(zhǔn)則F(z)在∞處的零點數(shù)必須不小于G(z)在∞處的零點數(shù),或F(z-1)在原點的零點數(shù)必須不小于G(z-1)在原點的零點數(shù)。

注：保證D(z)為有理函數(shù)才具有可物理實現(xiàn)性。[準(zhǔn)則三]控制平穩(wěn)性約束準(zhǔn)則(無波紋準(zhǔn)則)F(z)必須為有限多項式，并且F(z)的零點必須包含G(z)的全部零點。注:①控制平穩(wěn)指控制器的輸出在擾動后迅速達到穩(wěn)態(tài)而不是長時間振蕩。②有限多項式相對于無窮級數(shù)而言，一個信號與有限多項式相乘，則動態(tài)過程很快結(jié)束。比較[準(zhǔn)則四]穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)計準(zhǔn)則若設(shè)控制系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，則須使若設(shè)控制系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，則須使若設(shè)控制系統(tǒng)為2型系統(tǒng)，則須使式中F‘為F的一階導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)“為F的二階導(dǎo)數(shù)。注:由穩(wěn)態(tài)誤差公式反推而來。例余此類推可得余證

[準(zhǔn)則五]最小拍設(shè)計準(zhǔn)則

若使控制系統(tǒng)在最小拍達到零穩(wěn)態(tài)誤差對于典型輸入信號須使或證：——不含令，則的因式這時，其階數(shù)為從擾動至穩(wěn)定的拍數(shù)。如，則

2拍結(jié)束。若要最少拍，可設(shè)［準(zhǔn)則六］無超調(diào)系統(tǒng)設(shè)計準(zhǔn)則為使閉環(huán)控制系統(tǒng)無超調(diào)，使注：這是由式中加零階保持器導(dǎo)出來的。慣性環(huán)節(jié)無超調(diào)[準(zhǔn)則七］衰減振蕩系統(tǒng)設(shè)計準(zhǔn)則為得衰減振蕩特性,設(shè)式中注：這是由連續(xù)二階系統(tǒng)用根匹配法導(dǎo)出的。［準(zhǔn)則八］控制器平穩(wěn)性修正準(zhǔn)則為了保證控制的平穩(wěn)性，必須除去D(z)中等于-1或接近-1的極點，做法是令，。若這樣消除一個極點后，將使有限零點數(shù)大于極點數(shù)，則可令接近于1的一個零點因式。注：接近于1的極點會造成持續(xù)振蕩。[準(zhǔn)則九]控制器穩(wěn)定性修正準(zhǔn)則為了保證控制的穩(wěn)定性，必須除去D(z)中的不穩(wěn)定極點?？闪顔挝粓A上或外的極點因式。若消去一個極點后，將使有限零點數(shù)大于極點數(shù)，可令接近于1的一個零點因式。2、數(shù)字控制系統(tǒng)的直接設(shè)計步驟1）按一個最佳性能準(zhǔn)則設(shè)計F1(z)；

2）按必要性約束準(zhǔn)則和選擇性約束準(zhǔn)則修正F1(z)為F2(z)；

3）按直接設(shè)計公式D1(z)；

4）按需要修正D1(z)為D2(z)。

3、最佳性能準(zhǔn)則的應(yīng)用已給出四個最佳性能準(zhǔn)則。任選最少拍，無超調(diào)和衰減振蕩準(zhǔn)則之一就可確定F(z)。若選穩(wěn)態(tài)誤差準(zhǔn)則,只能確定F(z)的一部分，還要根據(jù)動態(tài)性能要求確定其余部分，如根據(jù)主導(dǎo)極點。4、必要性約束準(zhǔn)則和選擇性約束準(zhǔn)則的應(yīng)用

應(yīng)用方法：每次必須使用必要性約束準(zhǔn)則，按需選用選擇性約束準(zhǔn)則1）公式推導(dǎo)

設(shè)：為用因子積形式整理成圓內(nèi)外零極點分開形式零極點在圓內(nèi)的因子積零極點在圓上或外的因子積應(yīng)用兩類3個約束準(zhǔn)則：設(shè)(F2)n

表示的F2分子多項式注：(1)項是控制器可實現(xiàn)性約束準(zhǔn)則應(yīng)用的結(jié)果，對應(yīng)于G(z)在原點的零點數(shù)(準(zhǔn)則2)。

(2)應(yīng)用穩(wěn)定性約束的結(jié)果，對應(yīng)于G(z)在圓內(nèi)和圓外的零極點(準(zhǔn)則1)。

(3)項是控制器平穩(wěn)性準(zhǔn)則的應(yīng)用結(jié)果，(準(zhǔn)則3)