第三章 時(shí)變電磁場

第三章

時(shí)變電磁場

時(shí)變電磁場:隨時(shí)間變化的電場與與磁場。時(shí)變電磁場的特點(diǎn)：

電場和磁場不再獨(dú)立,而是互相依存、互相轉(zhuǎn)化。即變化的磁場會(huì)產(chǎn)生電場；變化的電場也能產(chǎn)生磁場。電場和磁場不可分割地成為統(tǒng)一的電磁現(xiàn)象。時(shí)變電磁場的核心理論是麥克斯韋方程組。3/12/202413.1.1法拉第電磁感應(yīng)定律一、法拉第電磁感應(yīng)定律(實(shí)驗(yàn)):1、數(shù)學(xué)表示式:

物理意義:通過任意閉合導(dǎo)線回路的磁通發(fā)生變化,回路中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流。感應(yīng)電流的產(chǎn)生可以認(rèn)為是產(chǎn)生了感應(yīng)電動(dòng)勢,其大小等于回路中磁通對(duì)時(shí)間的變化率,方向?yàn)楦袘?yīng)電流的磁通總是阻止與回路相交鏈的原來的磁通的變化.3.1麥克斯韋方程組3/12/202422、感應(yīng)電場：環(huán)路積分為感應(yīng)電動(dòng)勢.上式說明:感應(yīng)電場的環(huán)路線積分值不恒為零.即感應(yīng)電場為有旋場。感應(yīng)電場是由于磁場隨時(shí)間改變而產(chǎn)生的。推論:閉合回路不是導(dǎo)體回路行不行呢？任意的閉合回路那又行不行呢？3/12/20243３、法拉第電磁感應(yīng)定律：據(jù)斯托克斯定理:則(3.5)上式說明:變化的磁場能產(chǎn)生電場,且電場不再是無旋場.那么變化的電場產(chǎn)生磁場嗎？同理:當(dāng)時(shí),則說明:恒定磁場是獨(dú)立的,若其中存在電場,也必是庫侖場或恒定電場,為無旋場。3/12/202443.1.２位移電流1、安培環(huán)路定律：對(duì)上式兩邊取散度,則:右邊電流連續(xù)性方程時(shí)變情況下,等式兩邊取散度后,時(shí)變情況,左邊不等于右邊.缺陷左邊3/12/202452、位移電流：而電流連續(xù)性方程為即定義：位移電流密度3/12/202463、安培環(huán)路定律的修正：于是安培環(huán)路定律被修正為:安培環(huán)路定律的微分形式3/12/20247 全電流定律（時(shí)變場的安培定律）：1、全電流：含傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流、位移電流。其中傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流稱真實(shí)電流。2、全電流定律：由斯托克斯定理：則上式說明：變化的電場也能產(chǎn)生磁場。對(duì)任意曲面S積分3/12/20248例：海水的電導(dǎo)率，相對(duì)介電常數(shù)，若設(shè)海水中的電場是按余弦變化的，求當(dāng)和時(shí)，位移電流同傳導(dǎo)電流幅值的比值。解：位移電流密度為：其幅值為：傳導(dǎo)電流密度為：其幅值為：3/12/20249則位移電流與傳導(dǎo)電流幅值之比為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，比較運(yùn)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)頻率越高時(shí)，位移電流越大，即變化的電場產(chǎn)生的磁場也越大。這就是為什么，時(shí)變電磁場在實(shí)際應(yīng)用中往往使用較高頻率的緣故。3/12/202410

某種媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流與位移電流的比值的大小是衡量該媒質(zhì)導(dǎo)電性的分界線。當(dāng)該值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于１時(shí)，媒質(zhì)為良導(dǎo)體，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于１時(shí)為良介質(zhì)。由于該比值與頻率成反比，則媒質(zhì)是良導(dǎo)體還是良介質(zhì)不是絕對(duì)的。在低頻下為良導(dǎo)體的媒質(zhì)在高頻時(shí)可能為良介質(zhì)。3/12/2024113.1.3麥克斯韋方程一、麥克斯韋方程組麥克斯韋將電場與磁場的環(huán)量及通量方程，推廣至?xí)r變電磁場中，就成為其方程組。1、微分形式：有旋有旋無散有散時(shí)變電場有散有旋，即電力線可以是閉合的（有旋），也可以是不閉合的（有散）；時(shí)變磁場則是有旋無散的，故磁力線永遠(yuǎn)是閉合的。343/12/2024122、積分形式：全電流定律法拉第電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理高斯通量定理上面兩個(gè)方程組適用于所有媒質(zhì)，包括各向同性及各向異性媒質(zhì)。但對(duì)于不同的媒質(zhì)，其本構(gòu)關(guān)系是不同的。本構(gòu)關(guān)系即與、與及與之間的關(guān)系。3/12/202413若媒質(zhì)是線性、各向同性的，有

（3.19）式（2.166）稱為媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。

3/12/2024143.2邊界條件切向分量的邊界條件

或

（3.20）切向分量的邊界條件

或

（3.21）法向分量的邊界條件

或

（3.22）法向分量的邊界條件

或

（3.23）163.4(9)3.4(2)3.2.1邊界條件的一般形式3/12/2024153.2.2完純（理想）導(dǎo)體表面上的邊界條件：媒質(zhì)“1”為理想介質(zhì)媒質(zhì)“2”為理想導(dǎo)體在理想導(dǎo)體中:有限不考慮對(duì)時(shí)間為恒定的分量3/12/202416則邊界條件可改寫為:上式說明:對(duì)于時(shí)變場中的理想導(dǎo)體,電場總是與導(dǎo)體表面垂直,磁場總是與導(dǎo)體表面相切。在導(dǎo)體內(nèi)部,電場、磁場均為零。若理想導(dǎo)體表面有自由電荷及面電流時(shí)，面電流的方向與磁場方向相垂直。1214介質(zhì)導(dǎo)體3.4(6)3/12/2024173.2.3兩理想介質(zhì)分界面上的邊界條件：則分界面的邊界條件為：不存在面電流及面電荷理想介質(zhì)：絕緣介質(zhì)，其，且分界面上一般3/12/2024183.3坡印廷定理1、靜態(tài)場中電場、磁場的能量體密度：2、時(shí)變電磁場的能量體密度：在線性各向同性媒質(zhì)中3/12/2024193、坡印亭定理：無外源的線性各向同性媒質(zhì)中：利用恒等式：將其代入恒等式：有3/12/202420而則將上式對(duì)任意體積τ積分，并利用高斯散度定理，則有坡印廷定理（２.１０４）3/12/202421坡印亭定理的物理意義：

單位時(shí)間里，體積內(nèi)時(shí)變電磁場儲(chǔ)能的增加與轉(zhuǎn)換為焦耳熱損耗掉的功率，等于從體積的表面S流進(jìn)來的功率。定義：４、坡印亭矢量：（能流密度矢量）其大小等于單位時(shí)間內(nèi)穿過與波的傳播方向相垂直的單位面積上的能量,故也叫能流密度矢量.電磁場的傳播方向3/12/2024223.4波動(dòng)方程限定形式的麥克斯韋方程組3/12/202423考慮無源區(qū)域的情形：麥克斯韋方程組變?yōu)?/12/202424對(duì)兩邊取旋度，有以及則：電場的波動(dòng)方程同理可得：磁場的波動(dòng)方程利用矢量恒等式：3/12/2024253.5時(shí)諧場的復(fù)數(shù)表示法一、時(shí)諧變電磁場的復(fù)數(shù)表示法：1、時(shí)諧變電磁場：

隨時(shí)間作簡諧變化的電磁場。即電磁場量（場源）是時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)。2、復(fù)數(shù)表示法：設(shè)的每個(gè)分量均是的余弦函數(shù).則3/12/202426故令復(fù)振幅矢量字母上加點(diǎn)表示復(fù)數(shù)3/12/202427同理:則瞬時(shí)值余弦函數(shù)取實(shí)部3/12/202428正弦電場對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)及積分用復(fù)數(shù)表示為：積分二階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)3/12/202429正弦電場散度和旋度用復(fù)數(shù)表示為：3/12/202430例:將下列場量的復(fù)數(shù)和瞬時(shí)值表達(dá)式互換(設(shè)對(duì)t的變化以余弦為基準(zhǔn)).

解:

3/12/202431

3/12/2024323.5.2復(fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠探M和波動(dòng)方程：1、全電流定律的復(fù)數(shù)表示法：同理時(shí)間因子消去.微分符號(hào)也消去了3/12/202433當(dāng)用有效值矢量表示時(shí)，上式變?yōu)椋?、麥?zhǔn)戏匠探M用復(fù)振幅矢量表示時(shí)，為：時(shí)間因子均消去.123/12/2024343、麥?zhǔn)戏匠探M用復(fù)數(shù)有效值矢量表示時(shí)，為：(3.48)7013現(xiàn)在我們寫復(fù)數(shù)時(shí)，上面都打一點(diǎn)，很麻煩，以后“·”省略。3/12/202435所以，復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程為由波動(dòng)方程省略了點(diǎn)“”3/12/2024363.5.3平均能流密度矢量（坡印