2023年高考數(shù)學(xué)客觀題十二 計(jì)數(shù)原理

專題十二計(jì)數(shù)原理

【考試內(nèi)容】二項(xiàng)式定理;排列;組合

【近7年全國(guó)卷考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)】

試卷類型2016201720182019202020212022

全國(guó)卷（甲第一555555

全國(guó)卷（乙卷）5555

新高考全國(guó)IK55

新高考全國(guó)II著~

重要考點(diǎn)回顧

一、計(jì)數(shù)原理

L分類計(jì)數(shù)原理（力口法原理）：N=%+機(jī)2+???+%r

2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）:N=冽1?帆2二..切^

二、排列與組合

（一）排列

1.排歹U：一般地,從〃個(gè)不同元素中取出制＞勺）個(gè)元素,按照一定的

順序排成一列,叫做從〃個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的一個(gè)排列.

2.排列數(shù)公式

nI

A：=n(n-l)...(n-m+l)=----:——(π,m∈N",?m≤〃).

(π-m)!

n?=π?(n-l)?(π-2)?(n-3)???3×2×1.

注:規(guī)定O!=L

3.排列恒等式I

I)A片;

Yl

(2)A：=——A";

n-m

-A：；

+

(6)1!+2?2!+3?3!+???+儂〃!=(〃+1)!-1.

（二）組合

L組合:一般地,從〃個(gè)不同元素中取出加Oq2）個(gè)元素合成一組,叫

做從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的一個(gè)組合.

2.組合數(shù)公式

C*RXrDK黑（…W

3.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

n-m.

⑴C；二Cn，

（2）C：+Cr=C"

注：規(guī)定C：=1.

4組合恒等式

n-m+11

(1)C：M，(2)C：?——C：_1；

mn-m

1(4)》C；=2〃;

(3)C>-CX1;

mr=0

(5)C+C"+C%+…+C：=C：：；;■

⑹C：+C：+C；+…+c;+...+C：=2〃；

⑺C"C：+C：+…=C：+C；+C：+…=2〃T;

⑻C；+2C；+3C：+…+nC；=n2n-l;

⑼C：C+C7C；+…+CθC；?C%;I

(Iθ)(cθ)2+(CI)2+(C)2+...+(C：)2=c〉］

5.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系

Ai!?C：.

三、二項(xiàng)式定理

nλ22rnrr

L二項(xiàng)式定理:(a+by=Cy+ena-b+eV-/?+...+Ca-b+

...+C?〃.

rnr

2.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：T+1=Cna-b?r=(M,2...,初

考點(diǎn)訓(xùn)練

LG2+g5的展開(kāi)式中/的系數(shù)為（）

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

L解析]，+1=C[χ2）5[§丁=cg2R0-3。由10-3/=4,得〃=2,

所以/的系數(shù)為髭X22二40.故選C.

2.設(shè)i為虛數(shù)單位,則α+i)6的展開(kāi)式中含%4的項(xiàng)為()

A.-15dB.15√C.-20k4D.20k4

【答案】A

【解析】通項(xiàng)加I=C，Jig,1,2,...,6),

令『2,得含爐的項(xiàng)為CiX4i2=-15K

故選A.

3?(1+?

A.15B.20C.30D.35

【答案】C

【解析】（1+妥+*C*=30χ2,

故？的系數(shù)為30.故選C.

4.(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中RjP的系數(shù)為)

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】C

【解析】（2/y）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為4+1=禺（2幻5”-y）r.

當(dāng)片3時(shí),x（2/y）5展開(kāi)式中冗3>3的系數(shù)為C^X22X（-1）3=-4O,

當(dāng)F2時(shí)）（2/?。?展開(kāi)式中冗3〉3的系數(shù)為鬃乂23><（-1）2=80,

所以%3y3的系數(shù)為80-40=40.故選C.

5.二項(xiàng)式(x+l次〃￡N+)的展開(kāi)式中N的系數(shù)為15,則〃=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】由(%+1)〃=(1+%)”=1+*%+鬣%2+...+(^爐,可矢口鬣=15.

由也二9二15解得"=6或〃=-5(舍去).故選C.

2

6.在(1+x)6(1+W的展開(kāi)式中,記九加y〃項(xiàng)的系數(shù)為K∏,n),則

Λ3,0)+/(2,1)+/(1,2)+/(0,3)=()

A.45B.60C.120D.210

【答案】C

由題意知

Λ3,0)=C∣Cθ√(2a)=Ciq√(l,2)=ClCiM3)=CθCt

因此Λ3,0)"2,1)+/(1,2)+赦3)=120.故選C.

7.已知（1+4的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為H

A.212B.211C.2i0D.29

【答案】D

【解析】因?yàn)椋?+幻〃的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相

等,所以由照=Ct解得〃=10.

所以二項(xiàng)式（1+方。的展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

工X2i0=29.故選D.

2

8.若m+x）（l+x）4的展開(kāi)式中元的奇數(shù)次幕項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則

【答案】3

【解析】（l+x）4展開(kāi)式的通項(xiàng)為加I=CW,I

由題意可矢口〃（禺+量）+瑪+鬣+C*32,解得〃=3.

9.若(a/+§)6的展開(kāi)式中χ3項(xiàng)的系數(shù)為20,則〃2+爐的最小值

為.

【答案】2

【解析】4+[=墨32)6《滬成源”2一3「，

令12-3r=3,得廠=3,故CEa3。3=20,

/.〃。=1,〃2+/之2〃6=2,當(dāng)且僅當(dāng)〃=。=1或4=。=-1日寸等號(hào)成立.

2

10.若將函?∕(x)=χ5表不為成X)=&+6Z1(1+x)+?(l+x)+...+%(1+x)5,

其中劭,〃2,…，。5為實(shí)數(shù)，貝IJa3-?

【答案】10

【解析】方法一:由等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等.

O

方法二:對(duì)等式:/(x)=X5=&+〃1(1+x)+?(l+x)2+…+%(1+x)5

2

兩邊連續(xù)對(duì)X求導(dǎo)三次得60/=6%+24tz4(l+X)+60Β5(1+X),

再運(yùn)用賦值法,令X=-I得60=6%,即%=1

方法三式X)=X5=(?1+1+X)5,則為=C貫-1)2=10.

11.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人

完成,則不同的安排方式共有（）mu

A.12種B.18種C.24種D.36種

【答案】D

【解析】由題意可得,一人完成兩項(xiàng)工作,其余兩人每人完成一項(xiàng)

工作.

據(jù)此可得,只要把工作分成三份,有出種方法，

然后進(jìn)行全排列.

由乘法原理,不同的安排方式共有C%Ag=36（種）.故選D.

12用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)

為（）

A.24B.48C.60D.72

【答案】D

【解析】由題意,要組成沒(méi)有重復(fù)的五位奇數(shù),則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為

1,3,5中任選一個(gè),有Aa種方法，

其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個(gè)數(shù)字中任選,進(jìn)行全排列,有A1

種方法，?m∣

所以其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為A^A%72.故選D.

13用0,1,?「9十個(gè)數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)

I

A.243B.252C.261D.279

【答案】B

【解析】能夠組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)是9X10X10=900,

能夠組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是9X9X8=648.M

故能夠組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900-648=252.H

故選B.

14用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大

A.144個(gè)B.120個(gè)C.96個(gè)D.72個(gè)

【答案】B

【解析】據(jù)題意,萬(wàn)位上只能排4,5,

若萬(wàn)位上排4,則有2XA發(fā)個(gè)）；

若萬(wàn)位上排5,則有3XA發(fā)個(gè)）.

所以共有2XA∕3×A：5X24=120（個(gè)）.故選B.

15.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則

周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為（）

【答案】D

【解析】尸=。］.故選D.

16.將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加

社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方

案共有

A.12種B.10種C.9種D.8種

【解析】先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地，

再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，

共有最鬣=12（種）.故選A.

17.若從1,2,3,…,9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)淇和為偶數(shù),

則不同的取法共有（）n

A.60種B.63種C.65種D.66種

【答案】D

【解析】和為偶數(shù),則4個(gè)數(shù)都是偶數(shù),都是奇數(shù)或者兩個(gè)奇數(shù)兩

個(gè)偶數(shù),

則有第+禺+CfC卜1+5+60=66（種）取法.故選D.

18.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4

張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,并且紅色卡

片至多1張,則不同取法的種數(shù)是（

A.232B.252C.472D.484

【答案】C

【解析】若沒(méi)有紅色卡片,則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，

若都不同色則有禺?C%*64（種）；

若2張同色,則有髭??《?禺=144（種）；

若紅色1張淇余2張不同色,則有禺得?禺?禺=192（種）;其余2張同

色則有瑪?shù)肣=72（種）.所以共有64+144+192+72=472（種）.故選C

19.某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成演出順序有如下要求:節(jié)目甲必

須排在前兩位,節(jié)目乙不能排在第一位,節(jié)目丙必須排在最后一位,

則該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有H（）

A.36種B.42種C.48種D.54種

【答案】B

【解析】分兩類:一類為甲排在第一位共有A%24（種），

另一類甲排在第二位共有AaAll8（種），

故編排方案共有24+18=42（種）.故選B.

20.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會(huì)志愿者

服務(wù)活動(dòng),每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一,每項(xiàng)

工作至少有一人參加。甲、乙不會(huì)開(kāi)車(chē)但能從事其他三項(xiàng)工作,

丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作,則不同安排方案的種數(shù)是（I）

A.152B.126C.90D.54

【答案】B

【解析】由于五個(gè)人從事四項(xiàng)工作,而每項(xiàng)工作至少一人,那么每

項(xiàng)工作至多兩人,因?yàn)榧?、乙不?huì)開(kāi)車(chē),所以只能先安排司機(jī),分

兩類：

⑴先從丙、丁、戊三人中任選一人開(kāi)車(chē);再?gòu)钠溆嗨娜酥腥芜x兩

人作為一個(gè)元素同其他兩人從事其他三項(xiàng)工作,共有最第A發(fā)種）;

（2）先從丙、丁、戊三人中任選兩人開(kāi)車(chē):其余三人從事其他三項(xiàng)

工作,共有C必氯種）.

所以不同安排方案的種數(shù)是最鬣A＞髭Ag=126（種）.故選B.

21.從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人

組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有種

不同的選法（用數(shù)字作答）.

【答案】660

分兩步:

第一步,