魯教版初二數(shù)學下冊學案（第七章到第八章）

第1講：二元一次方程組

萬事學習目標

1、通過對實際問題的分析，使學生了解二元一次方程與現(xiàn)實生活息息相關(guān)。

2、了解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。

3、培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，發(fā)展學生觀察、歸納和概括的能力。

今審導入新課

復習導入：

1、(1)什么叫方程？(2)什么叫方程的解？

(3)什么叫解方程？(4)什么叫一元一次方程？

2、判斷下列方程是否是一元一次方程。

(1)2x+3(2)2x-5=l(3)\/

第31s第通

3、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程組？你能舉例說明嗎？

4、二元一次方程及方程組的解，如何檢驗？

百q新知探究生成

1、創(chuàng)設(shè)情境：

雄偉的長城是中華民族的象征。長城東起鴨綠江，西達嘉峪關(guān)，全長7300千米。其中東段從

鴨綠江到山海關(guān)，西段從山海關(guān)到嘉峪關(guān)，西段比東段長6100千米。長城的東、西段各長多

少千米？

(1)那些量是已知量？哪些量是未知量?

(2)有哪些等量關(guān)系？

(3)、如果設(shè)長城的東段的長為x千米，西段的長為y千米，那么長城的全長為

西段比東段長o

2、觀察總結(jié)：

(1)觀察上面所列的兩個方程的特征與一元一次方程有什么區(qū)別和聯(lián)系？

區(qū)別：______________________________________________________________

聯(lián)系：______________________________________________________________

(2)你能總結(jié)出二元一次方程的定義嗎？

3、概念形成：

x+y=22x=12

2%+y=40y-x=16

上面的四個方程是二元一次方程，如果我們把它寫成如下形式：

x+y=22fx=12

<V

2%+y=40[y-x=16

像這樣把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

4、牛刀小試：

a.下列哪些是二元一次方程？為什么？

(l)x2+y=2Q(2)2x+5=10(3)2tz+3Z?=l

x+3_

⑷12+24+1=。⑸2x+y+z=l3(7)3-lx

b.哪些是二元一次方程組？為什么？

3x-2y=9x-3y+9z=8x=2xy+j=5

(1)⑶(4)

y+5x=0y+3z=5x+y=1y=4

鞏固新知

（二）合作交流:

1、做一做：*=2,y=20適合二兀一次方程x+y=22嗎？x=3,y=19呢？x=4,y=18呢？你

還能找出其他x、y的值適合二元一次方程x+y=22嗎？

結(jié)論：（1）能使方程左右兩邊相等的一對的值叫二元一次方程的解。

（2）二元一次方程的解有個。

2、觀察并總結(jié)：

（1）滿足方程x+y=22且是整數(shù)的x、y的值有哪些？把它們填入下表中

X01231819

y

⑵滿足方程2x+y=40且是整數(shù)的x、y的值有哪些？把它們填入下表中

X0i231819

y

不難發(fā)現(xiàn)x=18,y=4既是x+y=22的解，也是2x+y=40的解，也就是說是這兩個

x—

<

方程的,我們把它們叫做方程組的解。記作：〔、=

課堂小練：

1、方程2x+3y=8的解（)

A、只有一個B、只有兩個C、只有三個D、有無數(shù)個

x=0—=15fx=5

（）⑶4

1<(2)J=4V=1

2、下列三對數(shù)值J-

（1）哪幾對數(shù)值是方程x-3y=3的解？哪幾對數(shù)值是方程3x-10y=5的解？（用序號表示）

x—3y=3

（2）哪一對數(shù)值是方程組［3%—10y=5的解？

3、你能寫出二元一次方程x+y=6的所有正整數(shù)解嗎？

回顧總結(jié)

通過這節(jié)課的學習，你學到了什么？

達標測評

1、下列方程是二元一次方程的是（）

1c

—Fy=3

A、x+y-2B、x+y+z=OC、x+6y=0D、x

2y=2

2、下列各對數(shù)值中，是方程組=—2的解的是（）

x=2

y=0

3、若x""+8y"3=°是關(guān)于X、y的二元一次方程，則m+n=

Jx=2

4、已知-1是二元一次方程mx+2y=2的解，則m=

5、已知二元一次方程x-5y=30用含y的代數(shù)式表示x,得

實戰(zhàn)演練

1、下列屬于二元一次方程組的是()

xy.35〃

-----1-----=4—H——=4

A35*y

X—y=Ox—y—0

1C

%+y=5y=-x—2

C2

x2+y2=lxy=1

3x—2.y=5

V

+=1的解是(

2、方程組)

x=21

X=一

x=1X=1

A4cv1D?3

b=l7=2J=一2

JC2,

1

3、如果是方程kx-y=3的解，則卜=

JV=12x—y=a

=x+2b的一個解，則

4、已知,—5是方程組y=

,b=

5、某超市有兩種飲料，小剛買了A種飲料4瓶，B種飲料3瓶，一共花了16元，其中B種

飲料比A種飲料貴0.5元，設(shè)A種飲料為x元/瓶,B種飲料y元/瓶，則列方程組為

X+J=7300(1)

<

b-*=6100(2),你能把Q)用含x的代數(shù)式表示y

6、本節(jié)導航中我們列了二元一次方程組

嗎？把變式方程代入（1）中會有什么結(jié)果呢？你會繼續(xù)做嗎?

二元一次方程組的解法——代入消元

學習目標

1、經(jīng)歷探索二元一次方程組的解的過程，發(fā)現(xiàn)解方程組的基本思想是“消元”化二元為一元。

2、會用“代入消元法”解二元一次方程組。

3、通過代入消元，初步理解把“未知”化“已知”的數(shù)學思想。

導入新課

一、復習引入

1、什么叫做二元一次方程？

2、什么叫做二元一次方程組？

3、什么叫做二元一次方程組的解？

4、對x+2y=4進行變形，用含有x的代數(shù)式表示，y=

用含有y的代數(shù)式表示，x=o

新知探究生成

問題（一）：甲，乙兩數(shù)之和為9,且乙數(shù)是甲數(shù)的2倍，甲，乙兩數(shù)各是多少？

1、如果設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y,根據(jù)題意可列方程1x+y=—。

y=_____

2、怎樣解這個方程組呢？

小明觀察分析后，這樣想：

方程①和②中的未知數(shù)x都表示甲數(shù)，y都表示乙數(shù)。因此，方程①中的y可以

用方程②中的2x（它就等于y）來代替。這樣，就得到了一個關(guān)于x的一元一次

方程，從中可以解出x的值。根據(jù)x的值再去求y的值，便可以得到這個方程的解。

3、用2x代替方程①中的y以后，得到了什么樣的方程？

總結(jié)：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法是消元思想;

4、從所得方程中解出x的值后，應(yīng)怎樣去求y的值呢？

5、寫出解題過程。

y=2x-3,

練習一：解方程組

3x+2y=8

鞏野知

1

X+J；=7300(1)

<

問題(二)：在上節(jié)課，我們得到二元一次方程組5一%=6100(2)

1、這一方程組與我們前面解得兩個方程組一樣嗎？我們能用同樣的方法解這個方程組嗎？

2、寫出解題過程。

3、請你談?wù)劷舛淮畏匠探M的基本思路。

將方程組中一個方程的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，代入另一個方

程，消去一個未知數(shù)，得到一元一次方程，最后求得方程組的解。這種解方程組的方法叫

做,簡稱0

練習二：用代入消元法解方程組

2m+3〃=11,

(1)

4m-n=-27.

達標測評

1、在方程4x-2y=7中，如果用含有x的式子表示y,則y=；如果用含有y

的式子表示x,則乂=；

2、在二元一次方程2(x+y)+l=5x-y中，當y=3時，x=。

3、學校的籃球比排球的2倍少3個，籃球數(shù)與排球數(shù)的比是3:2,求這兩種各有多少個？若設(shè)

籃球有x個，排球有y個，則依題意得到的方程組是o

4、解下列方程組：

x+y=312%一3y=16j2s+3，=-l

2x-3y=lx-4y=134s-9t=S

2x+y=5

4x+3y=7

實戰(zhàn)演練

列方程組解答：

將若干只雞放入若干籠中，若每個籠中放4只，則有一只雞無籠可放；若每個籠里放5只，則

有一籠無雞可放，問有多少只雞，多少個籠？

二元一次方程組的解法加減消元

學習目標

1.會用加減法求未知數(shù)系數(shù)相等或互為相反數(shù)的二元一次方程組的解。

2.通過探求二元一次方程組的解法，經(jīng)歷用加減法把“二元”化為“一元”的過程。

3.體會消元的思想，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題。

一導入新課

復習導入：

1、解二元一次方程組的基本思想是,要把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為________解決.

2、完成下面填空

(1)x+y+(x-y)=,(2)x+y-(x-y)=.

(3)(3x+2y)+(5x-2y)=,(4)(3x+y)-(3x-4y)=.

(5)2(5u+2v)+(3u—4v)=.

觀察原式與結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)：

每小題中的式子中都含有個字母，而結(jié)果中含有個字母.

3、用代入法解方程組

3x+5y=5

并檢驗.

[3x-4y=23

上面的方程組中，我們用代入法消去了一個未知數(shù)，將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，從而得到了

方程組的解.對于二元一次方程組，是否存在其它方法，也可以消去一個未知數(shù)，達到化“二元

為“一元”的目的呢？這就是我們這節(jié)課將要學習的內(nèi)容.

新知探究生成

（一）同一個未知數(shù)的系數(shù)相同（或互為相反數(shù)）的二元一次方程組的解法

x+y=7300,①

1、觀察方程組＜并思考:

y-x=6100.(2)

（1）方程①中x的系數(shù)是______，方程②中x的系數(shù)是,這兩個數(shù)，

方程①中y的系數(shù)是,方程②中y的系數(shù)是,這兩個數(shù).

（2）若把方程①、方程②的左右兩邊分別相加，可得方程,得到的這個方程是

二元一次方程還是一元一次方程？答：

若把方程①、方程②的左右兩邊分別相減，可得方程,得到的這個方程是二

元一次方程還是一元一次方程？答：.

（3）通過上面的思考，通過方程兩邊相加（或相減）的方法，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一

元一次方程嗎？

因此，如果未知數(shù)的系數(shù)則兩個方程左右兩邊分別_______也可消去一個未知數(shù).

如果未知數(shù)的系數(shù)互為則兩個方程左右兩邊分別可以消去一個未知數(shù).

歸納：兩個二元一次方程組中，同一個未知數(shù)的系數(shù)—或時，把這兩個方程的兩邊分

別或，就能消去這個未知數(shù)，得到一個方程，這種方法就叫做加減消元

法。

2、典型例題

解方程組：

觀察方程組：方程組中方程①、②未知數(shù)—

J3x+2y=5①

（x或y）的系數(shù)是相反的，可通過（加或減）

5x-2y=3②

的方法消去6或丫）。

練習:

x+y=1

2x-y=5

⑵2=i①提示：觀察方程組：方程組中方程①、②未

3x-4y=-4(2)

知數(shù)—6或丫）的系數(shù)是相同的，可通過—

（加或減）的方法消去6或丫）。

練習：

f2x+3y=7

y=3

規(guī)律總結(jié)：在方程組的兩個方程中，

（1）若同一個未知數(shù)的系數(shù)相同，可直接把這兩個方程相（加或減），消去系數(shù)相同的

這個未知數(shù)；

（2）若同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可直接把這兩個方程相（加或減），消去系數(shù)

相同的這個未知數(shù)；

鞏更新知

（二）不具備系數(shù)相同（或互為相反數(shù)）的二元一次方程組的解法

1、能不能由方程5〃+2v=T得至U10v+4V=—8?怎么得到的？

2、知識探究

5u+2v=—4,(J)

已知方程組＜.思考

3u-4v=-18.(2)

（1）在上面的這個方程組中，兩個方程中的未知數(shù)“和v的系數(shù)相同嗎？互為相反數(shù)嗎？

（2）能不能直接把這兩個方程相加（或相減）消去一個未知數(shù)？

（3）能利用等式的性質(zhì)使這兩個方程的某一個未知數(shù)的系數(shù)變?yōu)橄嗤蚧橄喾磾?shù)嗎？如何

變化？

（4）嘗試求出這個方程組的解.

（5）反思

在上面給出的方程中，能通過變形消去未知數(shù)M嗎？需怎樣變化？嘗試寫出解答過程.

2、典型例題

2x-3y=-5,①

解方程組

3x+2y=12.②

-\1回顧總刈

**"*^^<

加減消元法解方程組基本思路：加減消元--二元一一元

主要步驟有：變形--同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)

加減--消去一個元

求解--分別求出兩個未知數(shù)的值

寫解一-寫出方程組的解

達標測評

1、方程組）:由②—①，得正確的方程是（）

2x+y=10②

A.3x=10B.x=5C.3x=—5D.x=—5

2、已知二元一次方程組F.8x+O7y=3,用加減法解該方程組時，將方程①兩邊同時乘以

—8x—2y=7

,再將得到的方程與方程②兩邊相,即可消去_____.

3、用加減法解方程組-x+3y=l時，要使兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相等或相反，有以下

3%-2y=8

四種變形的結(jié)果:

6x+9y=14x+6y=16%+9y=34x+6y=2

6x—4y=8[9x—6y=8[-6x+4y=-16[9x-6y=24

其中變形正確的是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

4、（2008懷化）方程組=5'的解是

5、解下列方程組

x+y=4,①lx-y=6①3m+2n=16

2x-y=5.@x+2y=—2(2)3m-n=l

6、小明和小華同時解方程組F無+，=5，小明看錯了血,解得片萬，小華看錯了小解得

[2…=13「2

你能知道原方程組正確的解嗎？

先讀閱讀材料，然后解方程組

x-y-1①

材料：解方程組

4(x-y)5②

由①得x-y=l③，把③代入②，得4x1-y=5,解得y=-l

Y——Q

把y=—l代入③得％=0,所以一

〔y=T

這種解法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用這種方法解答.

2x-3y-2=0

請用這種方法解方程組2x-3y+5

--------——-k?v=Q

二元一次方程組的應(yīng)用

學習目標

1、能根據(jù)題意列方程組，找出題目中的兩個等量關(guān)系，列出方程組;

2、培養(yǎng)學生列方程組解決現(xiàn)實問題的意識和應(yīng)用能力。

w導入新課

1、什么是二元一次方程及二元一次方程組？

2、解二元一次方程組的基本思想是什么？

3、如何解二元一次方程組？

4、在解方程組的過程中，

（1）若同一個未知數(shù)的系數(shù)相同，可直接把這兩個方程相（加或減），消去系數(shù)相同的

這個未知數(shù)；

（2）若同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可直接把這兩個方程相（加或減），消去系數(shù)

相反的這個未知數(shù)；

新知探究生成

《孫子算經(jīng)》是我國古代一部較為普及的算書，許多問題淺顯有趣，其中下卷第31題“雉兔同

籠”流傳尤為廣泛，漂洋過海流傳到了日本等國。

“雉兔同籠”題為：“今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”

（1）“上有三十五頭”的意思是什么？“下有九十四足”呢？

（2）你能根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系列出方程組嗎？

（3）你能解決這個有趣的問題嗎？

總結(jié)：列方程（組）斛成用我的一般步驟

1、串：有什么，求什么，干什么；

2、德：設(shè)未知數(shù)，并注意單位；

3、找：等量關(guān)系；

4、列：用數(shù)學語言表達出來；

5、解：解方程（組）

6、球：檢驗方程（組）的解是否符合實際題意.

7、答：完整寫出答案（包括單位）.

利方福班恩怨:

找出相等關(guān)系“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”.有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足:

⑴方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值要相等.

鞏固新知

例1:雞兔同籠問題

今有雞兔同籠，數(shù)頭35個，數(shù)腿94條，問雞、兔各有多少只？

分析：兩個相等關(guān)系：①雞頭+兔頭=總頭數(shù)；②雞腿+兔腿=總腿數(shù)。

解：設(shè)雞有x只，兔有y只。

—3SX-

由題意可列方程組-----------解得---------------

+=94[y=

答：雞有只，兔有只。

例2:分配問題

棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)；三只坐一棵，五只沒去處；五只棲一棵，閑了一棵樹；請你列式算,

鴉樹各幾何？

分析：兩個等量關(guān)系：①3x樹的棵數(shù)+5=烏鴉的只數(shù)；②5x（樹的棵數(shù)一1）=烏鴉的只數(shù)。

解：設(shè)烏鴉有x只，樹有y棵。

由題意可列方程組-----------■解得—------

5x（-）=尤=

答:烏鴉有只，樹有棵。

例3:調(diào)配問題

甲乙隔河放牧羊，兩人相互問數(shù)量；甲說得乙羊九只，我羊是你羊二倍；乙說得甲羊八只。兩

人羊數(shù)正相當。請你幫忙算一算，甲乙各放多少羊？

分析：兩個等量關(guān)系：（1）甲羊數(shù)+9=2x（乙羊數(shù)一9）；（2）乙羊數(shù)+8=甲羊數(shù)一8

解：設(shè)甲放羊x只，乙放羊y只。

由題意可列方程組［"+9=2?！敖獾茫骸?------

答：甲放羊只，乙放羊只。

例4:配套問題

某車間有28名工人，加工生產(chǎn)一種螺栓和螺母，每人每天生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個，應(yīng)分

配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套（1個螺栓要配2個

螺母）。

分析：兩個等量關(guān)系：（1）加工螺栓的人數(shù)十加工螺母的人數(shù)=28；

（2）螺母數(shù)=2倍的螺栓數(shù)。

解：設(shè)加工螺栓的有x人，生產(chǎn)螺母的有y人。

V"-1

由題意可列方程組--------------------解得：—-----

I--------b=--

答:加工螺栓的有人，生產(chǎn)螺母的有人。

例5:年齡問題

學生問老師：“您今年多大？”老師風趣地說：“我像你這樣大時，你才滿周歲；你到我這樣大

時，我已經(jīng)37歲了?！崩蠋熀蛯W生的年齡各是多少？

分析：兩個等量關(guān)系：（1）老師的年齡一兩人的年齡差=1;

（2）學生的年齡十兩人的年齡差=37。

解：設(shè)老師的年齡為x歲，學生的年齡為y歲。

jY*—

由題意可列方程組--------------------解得：■—-----

I---------------------------------------b=-----------

答：老師的年齡為歲,學生的年齡為歲。

例6:銷售問題

某書店向?qū)W校推銷甲、乙兩種素質(zhì)教育用書，如果原價買這兩種書共需1760元，書店推銷時

甲種書打了8折，乙種書打了7.5折，結(jié)果兩種書共少要了400元。問甲、乙兩種書原價各需

多少錢？

分析：兩個等量關(guān)系：（1）甲種書原價+乙種書原價=1760；

（2）甲種書折后價+乙種書折后價=1760—400。

解：設(shè)甲種書原價為x元，乙種書原價為y元。

+=1760?/口X=

由題意可列出方程組＜解得：＜

_______+______=1760-4007=-------

答：甲種書原價為元，乙種書原價為元。

例7:增長率問題

增長率問題公式：

原量x（1+增長率）=增長后的量（新量）

原量x（1-虧損率）=減少后的量（新量）

某校計劃向災(zāi)區(qū)捐贈圖書3500冊，實際共捐了4125冊，其中初中生比原計劃多捐了20%,

高中生捐了原計劃的H5%,問該校初、高中生實際各捐贈圖書多少冊？

解：設(shè)初中生實際捐了尤冊，高中生實際捐了y冊。則有，

初中生捐書（冊）高中生捐書（冊）共捐書（冊）

實際捐書Xy5125

計劃捐書3500

根據(jù)上表可列方程組-----------------------------解得：--------

I-----------------------------b=-------

答:設(shè)初中生實際捐了冊，高中生實際捐了冊。

例8:儲蓄問題

小明以兩種方式儲蓄了壓歲錢2000元，其中一種是年利率為2.25%的教育儲蓄，另一種是年

利率為3.06%的一年期定期存款，一年后共得利息45.99元，求這兩種儲蓄各存了多少錢？

分析：兩個等量關(guān)系：（1）兩種儲蓄共有2000元；

（2）教育儲蓄的利息+定期存款的稅后利息=42.75元。

解：設(shè)存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元。

x+y=2000

由題意可列方程組解得-------

2.25%x+3,06%.(l-20%)y=45.99=-------------

答：存一年教育儲蓄的錢為元，存一年定期存款的錢為元。

例9:數(shù)字問題

一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小1,十位與個位上的數(shù)字之和是這個兩位數(shù)的g

求這個兩位數(shù)。

分析：兩個等量關(guān)系：（1）十位數(shù)字=個位數(shù)字一1;

（2）十位數(shù)字+個位數(shù)字=這個兩位數(shù)的g。

解：設(shè)十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為y。

y=x-1cV"—

由題意可列方程組1/、解得：------

x+y=-{10x+y）[y=

、J

答：這個兩位數(shù)為。

例10:相遇問題

我們經(jīng)常會遇到：甲、乙相向而行，途中相遇的行程問題，這類應(yīng)用題中存在下面的等量關(guān)系:

甲走的路程+乙走的路程=總路程

1甲走的路程小乙走的路程J

AB

總路程

【例】甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍，如果A、B兩地

相距90千米，同時出發(fā)經(jīng)過2小時兩人相遇，求甲、乙兩人的速度。

分析：兩個等量關(guān)系：（1）甲的速度=2x乙的速度（2）甲走的路程十乙走的路程=90千米

解：設(shè)甲的速度為x千米/小時，乙的速度為y千米/小時

V"—

由題意可列方程組----------------------解得―------

I---------------------U=-----

答：甲的速度為千米/小時，乙的速度為千米/小時。

例11:追及問題

我們還會遇到另一類行程應(yīng)用題，即同時不同地的追擊問題，這類問題存在下面的等量關(guān)系：

追擊者走的路程一先行者的路程=兩者原來相距的路程k上、…m5政聲

---------------------------------------------------落者間的距事先仃者走的路程

洎擊者走的腓程

【例】甲、乙兩人相距8km,二人同時出發(fā)，同向而行，甲2.5h可追上乙；相向而行，1h

相遇，二人的速度各是多少？

分析：兩個等量關(guān)系：（1）同向而行時，甲走的路程一乙走的路程=8km

（2）相向而行時，甲走的路程+乙走的路程=8km

解:設(shè)甲的速度為xkm/h,乙的速度為ykm/h。

V*

由題意可列方程組----------------------解得―------

I---------------------U=-----

答：甲的速度為km/h,乙的速度為km/ho

例12:航行問題

順水速度=靜水速度+水速；逆水速度=靜水速度-水速

【例】兩地相距280km,一艘輪船在其間航行，順流用了14h,逆流用了20h。求船在靜水

中的速度和水流的速度。

分析：兩個等量關(guān)系：（1）順水速度x順流用的時間=280km；（2）逆流速度x逆流用的

時間=280km。

解：設(shè)船在靜水中的速度為xkm/h,水流速度為ykm/h。

V,—

由題意可列方程組----------------------解得―------

I-----------------------------U=-------

答：船在靜水中的速度為km/h,水流速度為km/ho

總結(jié)：列方程（敏）罅成用來的一般步驟

1、審：有什么，求什么，干什么；

2、該：設(shè)未知數(shù)，并注意單位；

3、找：等量關(guān)系；

4、列：用數(shù)學語言表達出來；

5、解：解方程（組）

6、卷：檢驗方程（組）的解是否符合實際題意.

7、答：完整寫出答案（包括單位）.

列方程粗思想：

找出相等關(guān)系“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”.有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足：（1）

方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值要相等.

達標測評

1.雞兔同籠問題

①野雞和兔子共有39只，它們的腿共有100條，求野雞和兔子各有多少只。

②已知板凳和木馬共有33個，腿共有101條。板凳和木馬各有多少個？（注：板凳4條腿,

木馬3條腿）

③一隊敵軍一隊狗，兩隊并成一隊走；腦袋共有八十個，數(shù)腿卻有二百條；請君仔細算一算,

多少敵軍多少狗？

④現(xiàn)有大人、幼兒共100人，大人一餐吃4個面包，幼兒4人一餐吃一個面包，一餐剛好吃光

100個面包，問大人、幼兒各有幾人？

2.分酉己問題

①將若干只雞放入若干個籠子中，若每個籠子放4只，則有1只雞無籠可放；若每個籠子放5

只雞，則有1籠無雞可放，試問有多少只雞，多少個籠子?

②用一根繩子測水泥柱一周的尺寸，若繩子繞水泥柱4周，則繩子還多3尺；若繩子繞水泥柱

5周，則繩子還少2尺，求繩子及水泥柱一周的長度。

③有人在林中散步，聽到幾個強盜在商量怎樣分搶來布匹，一名強盜說：“沒人分6匹，但剩

下5匹?！绷硪幻麖姳I說：“每人分7匹，可又少8匹?！眴栍袔讉€強盜幾匹布？

④現(xiàn)有一批物資運往三峽工地，由鐵路裝運，如果每節(jié)車皮裝50噸，則還缺2節(jié)車皮才能把

全部物資運走，如果每節(jié)車皮多裝5噸，則還可再裝200噸其它物資，問原有多少物資，共有

多少節(jié)車皮？

3.調(diào)酉己問題

①甲、乙兩盒中各放著一些球，一共有9個，如果從甲盒中拿出5個放入乙盒，乙盒的球數(shù)是

甲盒的2倍。問甲、乙兩盒中原來各放著多少個球?

②某工廠第一車間人數(shù)比第二車間人數(shù)的［少30人，若從第二車間調(diào)10人到第一車間，則第

一車間的人數(shù)是第二車間人數(shù)上，求各車間的人數(shù)。

③有一大群羊，其中一部分已上山，另一部分還在山下。如果山下的羊中有3只上了山，則山

下的羊是整個羊群的工；如果從山上下來3只羊，則山上、山下的羊就一樣多了。問原來山上、

3

山下各有羊多少只？

4.配套問題

①一個工人一天能生產(chǎn)100值螺栓或150只螺帽，一只螺栓要與2只螺帽配套，若有工人42

名，問怎樣分配，才能使每天生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套?

②八年級A班同學50人，為參加學校舉辦的迎國慶文藝活動，做一批道具，每人每天平均做

花18朵，面具16個，如果一個面具配兩朵花，應(yīng)分配多少學生做面具，多少學生做花，才能

使面具和花剛好配套？

③某車間有62名工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲零件12個或乙零件23

個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲零件，多少人生產(chǎn)乙零件，才能使每天生產(chǎn)的甲零件和乙零件剛好配

套？（每3個甲零件和2個乙零件配成一套）

5.年齡問題

①甲對乙說：“當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲?！币覍渍f：“當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在

的歲數(shù)時，你將61歲?！眴柤?、乙各多少歲？

②10年前，小蘭媽媽的年齡是小蘭年齡的3倍；10年后，媽媽的年齡是小蘭年齡的2倍，問

小蘭和媽媽現(xiàn)在的年齡各是多少歲？

③已知仙鶴和烏龜是動物中的長壽星，一天鶴父、鶴女與龜祖、龜孫在聊天，它們發(fā)現(xiàn)鶴父的

年齡是鶴女的2倍，龜祖的年齡是龜孫的5倍，它們四位的年齡和的300倍恰好是900歲。十

年后，鶴父和鶴女之和的5倍，加上龜祖、龜孫的年齡也是900歲，試求它們分別是多少歲？

6.銷售問題

①新華書店向某校推銷甲、乙兩種科普書，如以原價買這兩種書共需880元，甲種書書店按8

折銷售，乙種書書店按7.5折銷售，結(jié)果這兩種書共少要了200元，問原來買這兩種書各需要

多少元？

②某商場搞優(yōu)惠促銷，決定由顧客抽獎確定折扣，某顧客購買甲、乙兩種商品，分別抽到七折

和九折，共付款386元，這兩種商品原銷售價之和為500元，問這兩種商品的原銷售價分別為

多少元？

③華聯(lián)商場購進甲、乙兩種商品后，甲商品加價50%,乙商品加價40%作為標價，后適逢元

旦商場搞促銷活動，甲商品打八折銷售，乙商品打八五折銷售。某顧客購買甲、乙商品各一件,

共付款538元，已知商場共盈利88元，求甲、乙兩種商品的進價。

7.增長率問題

①某企業(yè)去年的總收入比總支出多500萬元，今年的總收入比去年增加10%,總支出節(jié)約15%,

因此總收入比總支出多800萬元。求去年的總收入和總支出。

②某工廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機器共480臺，改進生產(chǎn)技術(shù)后，計劃第二季度生產(chǎn)兩種機

器共544臺，其中甲種機器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)10%,乙種機器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)20%o

該廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機器各多少臺？

③革命老區(qū)百色的某個芒果種植基地，去年結(jié)余為500萬元，估計今年可結(jié)余960萬元，并且

今年的收入比去年高15%,支出比去年低10%,求去年的收入和支出各是多少萬元？

8.儲蓄問題

①某儲戶存入銀行甲、乙兩種利息的存款，共計2萬元，甲種存款的年利率是3%,乙種存款

的年利率是1.5%,不計利息稅，該儲戶一年共得利息525元，求甲、乙兩種存款各是多少萬

元？

②王凱以兩種方式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息稅后，可得利息

43.9元，已知這兩種儲蓄年利率的和為3.24%,問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？

9.數(shù)字問題

①一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個位上的數(shù)字的3倍，將個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對調(diào)后

所得的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)小18,求這個兩位數(shù)。

②有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5。如果把兩個數(shù)字的位置對換，那么所得的新

數(shù)與原數(shù)的和是143,求這個兩位數(shù)。

③一個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和為7,如果這個兩位數(shù)加45,那么恰好成為個位數(shù)字

與十位數(shù)字對調(diào)后所成的兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)。

④兩個兩位數(shù)的和是85,在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在

較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)。已知前一個四位數(shù)比后一個四位

數(shù)大1287o求這兩個兩位數(shù)。

10.相遇問題

①甲、乙兩人在一條長400米的環(huán)形跑道上跑步，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒。

兩人同時同地反向跑步，經(jīng)過后兩人第一次相遇。

②甲的速度是5km/h,乙的速度是6km/h,甲、乙兩人同時出發(fā)相向而行，7h后相遇，則兩

地的距離為km。

③甲、乙兩人騎自行車同時從相距65千米的兩地相向而行，2小時后相遇，若甲比乙每小時

多騎2.5千米，求甲、乙兩人的速度。

11.追及問題

①小明每秒跑6米，小彬每秒跑5米，小彬站在小明前10米處,兩人同時起跑，小明秒

能追上小彬。

②甲以5千米/小時的速度先走16分鐘，乙以13千米/小時的速度追甲，則乙追到甲需要

小時。

③甲、乙兩人在一條長400nl的環(huán)形跑道上跑步，若同向跑步，則每隔200s相遇一次；若反

向跑步，則每隔40s相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙兩人的速度。

④甲、乙兩人同時繞400米的環(huán)形跑道行走，如果他們同時從同一起點背向而行，2.5分鐘相

遇；如果他們同時從同一起點同向而行，12.5分鐘甲能追上乙。求甲、乙每分鐘各走多少米？

12.航行問題

①一艘船航行于甲、乙兩地之間‘順水需3h‘逆水要比順水多走gh‘若水流速度為2km/h,

求船在靜水中的速度和甲、乙兩地間的路程?

②一艘船航行于A、B兩個碼頭之間，順水航行需要3小時，逆水航行需要5小時，已知水流

速度是4千米/小時，求這兩個碼頭間的距離和船在靜水中的速度？

③輪船順水行駛36千米，用了3小時；逆水行24千米，也用了3小時。求船在靜水中的速度

和水流的速度？

甯實戰(zhàn)演練

今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

關(guān)于《雞兔同籠》，還有哪些有趣的解題方法，給同學分享一下吧。

第一章小結(jié)測試卷

一.選擇題：（每題3分）

1、下列方程是二元一次方程的是（)

A、x+y—2B、x+y+z=0C、x+6y=0D、—+y—3

"x

x+2y=2的解的是(

2、下列各對數(shù)值中，是方程組)

2%+y=-2

x=2x——2x=0%=2

ABD\

y=3y=2〔y=2y=0

3.下列屬于二元一次方程組的是（)

Xy35)1c

——F=4—l----=4y=-x—2

A4~5%+y=5D<

3xyC〈2

22

x—y=二0x—y=0x+y=lxy=l

3x-2y=5

4.方程組的解是（)

5x+4y=1

x=21

X=1x=lx

A43

b=l[y=一i

尸5U=-2

x+y=5二①由②-①,

5.方程組得正確的方程是（)

2x+y=10②

A.3x=10B.x=5C.3x=-5

2x+3y=l時,

6、用加減法解方程組要使兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相等或相反，有以下

3x-2y=S

四種變形的結(jié)果:

6x+9y=l②尸日=1③尸9y=34%+6y=2

①④1

6x-4y=S9x-6y=8-6%+4y=—169x—6y=24

其中變形正確的是()

A.①②B.③④C.①③D.②④

二、填空題(每空3分)

1、若+8y3=。是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m+n=

Jx=2

2、已知I、=—1是二元一次方程mx+2y=2的解則m=

1i2x-y=a

3、已知'，=一$是方程組1尤+2、="的一個解，則a=?b=

4、某超市有兩種飲料，小剛買了A種飲料4瓶，B種飲料3瓶，一共花了16元，其中B種

飲料比A種飲料貴0.5元，設(shè)A種飲料為x元/瓶,B種飲料y元/瓶，則列方程組為

5^在方程4x-2y=7中，如果用含有x的式子表示y,貝Uy=；如果用含有y

的式子表示x,則*=；

6^在二元一次方程2(x+y)+l=5x-y中，當y=3時，x=。

7、已知二元一次方程組=用加減法解該方程組時，將方程①兩邊同時乘以

-8x-2y=7

,再將得到的方程與方程②兩邊相,即可消去____.

三、計算題；(每題6分)

1、代入消元法解下列方程組：

/、2x-3y=16,、f2x+3y=12

(1)4(2)i7

%—4y=1313x+4y=17

2、解下列方程組

⑴|x+y=4,①2x-y=6①

(2)[

2x-y=5.@x+2y=-2(2)

四、解答題：

1、（8分）某校買了甲、乙兩種型號的彩電共7臺，花去人民幣15900元。已知這兩種型號

的彩電的價格分別是3000元和1300元，問該校兩種彩電各買了多少臺？

2、（8分）某校150名學生參加數(shù)學考試，平均每人55分，其中及格的學生人均7