全國數(shù)學聯(lián)賽初中數(shù)學試題與答案

./2013全國數(shù)學聯(lián)賽初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題1．設非零實數(shù),,滿足則的值為〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕[答案]A[解答]由已知得,故．于是,所以．2．已知,,是實常數(shù),關于的一元二次方程有兩個非零實根,,則下列關于的一元二次方程中,以,為兩個實根的是〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕[答案]B[解答]由于是關于的一元二次方程,則．因為,,且,所以,且,,于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關系,以,為兩個實根的一元二次方程是,即．〔第3題〕3．如圖,在Rt△ABC中,已知O是斜邊AB的中點,CD⊥AB,垂足為D,DE⊥OC,垂足為E．若AD,DB,CD的長度都是有理數(shù),則線段OD,OE,DE,AC的長度中,不一定是有理數(shù)的為〔〕．〔第3題〕〔A〕OD〔B〕OE〔C〕DE〔D〕AC[答案]D[解答]〔第3題答題〕因AD,DB,CD的長度都是有理數(shù),所以,OA＝OB＝OC＝是有理數(shù)．于是,OD＝OA－AD是有理數(shù)．〔第3題答題〕由Rt△DOE∽Rt△COD,知,都是有理數(shù),而AC＝不一定是有理數(shù)．〔第4題〕4．如圖,已知△ABC的面積為24,點D在線段AC上,點F在線段BC的延長線上,且,DCFE是平行四邊形,則圖中陰影部分的面積為〔〕．〔第4題〕〔A〕3〔B〕4〔C〕6〔D〕8[答案]C[解答]因為DCFE是平行四邊形,所以DE//CF,且EF//DC．〔第4題答題〕連接CE,因為DE//CF,即DE//BF,所以S△DEB=S△DEC,〔第4題答題〕因此原來陰影部分的面積等于△ACE的面積．連接AF,因為EF//CD,即EF//AC,所以S△ACE=S△ACF．因為,所以S△ABC=4S△ACF．故陰影部分的面積為6．5．對于任意實數(shù)x,y,z,定義運算"*"為：,且,則的值為〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕[答案]C[解答]設,則,于是．二、填空題6．設,b是的小數(shù)部分,則的值為．[答案][解答]由于,故,因此．〔第7題〕7．如圖,點D,E分別是△ABC的邊AC,AB上的點,直線BD與CE交于點F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面積分別是3,4,5,則四邊形AEFD的面積是．〔第7題〕[答案][解答]如圖,連接AF,則有：〔第7題答題〕,〔第7題答題〕,解得,．所以,四邊形AEFD的面積是．8．已知正整數(shù)a,b,c滿足,,則的最大值為．[答案][解答]由已知,消去c,并整理得．由a為正整數(shù)與≤66,可得1≤a≤3．若,則,無正整數(shù)解；若,則,無正整數(shù)解；若,則,于是可解得,．〔=1\*romani〕若,則,從而可得；〔=2\*romanii〕若,則,從而可得．綜上知的最大值為．9．實數(shù)a,b,c,d滿足：一元二次方程的兩根為a,b,一元二次方程的兩根為c,d,則所有滿足條件的數(shù)組為．[答案],〔為任意實數(shù)〕[解答]由韋達定理得由上式,可知．若,則,,進而．若,則,有〔為任意實數(shù)〕．經(jīng)檢驗,數(shù)組與〔為任意實數(shù)〕滿足條件．10．小明某天在文具店做志愿者賣筆,鉛筆每支售4元,圓珠筆每支售7元．開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支,當天雖然筆沒有全部賣完,但是他的銷售收入恰好是2013元．則他至少賣出了支圓珠筆．[答案]207[解答]設x,y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù),則所以,于是是整數(shù)．又,所以,故y的最小值為207,此時．三、解答題〔第11題〕11．如圖,拋物線,頂點為E,該拋物線與軸交于A,B兩點,與軸交于點C,且OB＝OC＝3OA．直線與軸交于點D．〔第11題〕求∠DBC∠CBE．[解答]將分別代入,知,D<0,1>,C<0,>,所以B<3,0>,A<,0>．直線過點B．〔第11題答題〕將點C<0,>的坐標代入,得．〔第11題答題〕…………5分拋物線的頂點為<1,>．于是由勾股定理得BC＝,CE＝,BE＝．因為BC2＋CE2＝BE2,所以,△BCE為直角三角形,．…………10分因此tan==．又tan∠DBO=,則∠DBO＝．…………15分所以,．…………20分12．設△的外心,垂心分別為,若共圓,對于所有的△,求所有可能的度數(shù)．[解答]分三種情況討論．〔=1\*romani〕若△為銳角三角形．因為,所以由,可得,于是．…………5分〔第12題答題〔〔第12題答題〔=2\*romanii〕〕〔第12題答題〔〔第12題答題〔=1\*romani〕〕〔=2\*romanii〕若△為鈍角三角形．當時,因為,所以由,可得,于是。…………10分當時,不妨假設,因為,所以由,可得,于是．…………15分〔=3\*romaniii〕若△為直角三角形．當時,因為為邊的中點,不可能共圓,所以不可能等于；當時,不妨假設,此時點B與H重合,于是總有共圓,因此可以是滿足的所有角．綜上可得,所有可能取到的度數(shù)為所有銳角與．…………20分13．設,,是素數(shù),記,當時,,,能否構成三角形的三邊長？證明你的結論．[解答]不能．依題意,得．因為,所以．又由于為整數(shù),為素數(shù),所以或,．…………10分當時,．進而,,,與,是素數(shù)矛盾；…………15分當時,,所以,,不能構成三角形的三邊長．…………20分14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側,所得到的新數(shù)可被7整除,那么稱M為m的"魔術數(shù)"〔例如,把86放在415的左側,得到的數(shù)86415能被7整除,所以稱86為415的魔術數(shù)〕．求正整數(shù)n的最小值,使得存在互不相同的正整數(shù),滿足對任意一個正整數(shù)m,在中都至少有一個為m的魔術數(shù)．[解答]若n≤6,取1,2,…,7,根據(jù)抽屜原理知,必有中的一個正整數(shù)M是≤＜≤7的公共的魔術數(shù),即7|<>,7|<>．則有7|<>,但0＜≤6,矛盾．故n≥7．…………10分又當