上海市楊浦區(qū)2023-2024學(xué)年高三一模數(shù)學(xué)試題含答案解析

楊浦區(qū)2023學(xué)年度第一學(xué)期高三年級模擬質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學(xué)學(xué)科試卷2023.12.

考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙寫上姓名、考號，并將核對后的條形碼貼在指定位置上.

2.本試卷共有21道題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果.

1.已知全集為R,集合A=（2,+8）,則A的補(bǔ)集可用區(qū)間表示為何=.

2.若復(fù)數(shù)z滿足iz=—2+i（其中i為虛數(shù)單位），則|z|=.

3

3.若sina=-,貝！Icos2a=.

5

4.函數(shù)y=|%-3|+|5-%|的最小值為.

5.等差數(shù)列｛%｝中，若。］+g=6,出+%=1°，則｛4｝的前1。項(xiàng)和為.

6.若橢圓j+丁=1（。＞1）長軸長為4,則其離心率為.

a~

7.已知向量a=（3,0），b=（-2,273），則b在a方向上的投影為.

8.甲和乙兩射手射擊同一目標(biāo)，命中的概率分別為0.7和0.8,兩人各射擊一次，假設(shè)事件“甲

命中”與“乙命中”是獨(dú)立的，則至少一人命中目標(biāo)的概率為.

9.9知（1+無戶+（1+勸"=4+4/+。2%2+-一+。?1+?皿+"（加、〃為正整數(shù)）對任意實(shí)

數(shù)X都成立，若q=12,則出的最小值為.

10.函數(shù)/（X）=cos（a）x+0）（pe（0,2/r）在xeR上是單調(diào)增函數(shù)，且圖像關(guān)于原點(diǎn)

對稱，則滿足條件的數(shù)對（。,0）=.

11.已知拋物線y2=2px（0>0）的焦點(diǎn)為尸，第一象限的A、8兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足

\BF\-\AF\^4,\AB\=4yf2.若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則拋物線的方程為

12.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中研究過一種叫“鱉（bie）B（nao）”的幾何體，它指的

是由四個(gè)直角三角形圍成的四面體，那么在一個(gè)長方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)，所組成的

四面體中“鱉膈”的個(gè)數(shù)是.

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16每題5分）每題有且

只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.己知實(shí)數(shù)。力滿足。>兒則下列不等式恒成立的是（）

A.儲(chǔ)〉〃；B.">戶.c.|。|>屹|(zhì)；D.a'>b''.

14.在一次男子10米氣手槍射擊比賽中，甲運(yùn)動(dòng)員的成績（單位：環(huán)）為7.5、7.8...

10.9；乙運(yùn)動(dòng)員的成績?yōu)?3、8.4....10.1,如下莖葉圖所示.從這組數(shù)據(jù)來看，下

列說法正確的是（）

A.甲的平均成績和乙一樣，且甲更穩(wěn)定；中,

甲乙

B.甲的平均成績和乙一樣，但乙更穩(wěn)定；857

97746

甲的平均成績高于乙，且甲更穩(wěn)定;64945

94310

D.乙的平均成績高于甲，且乙更穩(wěn)定.

15.等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)公比為4,數(shù)列仍“｝滿足么=log0,54（〃是正整數(shù)），

64

若當(dāng)且僅當(dāng)“=4時(shí)，｛〃｝的前〃項(xiàng)和B,取得最大值，則9取值范圍是（）

A.(3,2?B.(3,4)；C.(2叵4)；D.(20,30).

16.函數(shù)y=/（x）滿足：對于任意xeR都有/（%）=/（優(yōu)），（常數(shù)a>0,awl）.給出

以下兩個(gè)命題：①無論a取何值，函數(shù)y=/(x)不是(0,+8)上的嚴(yán)格增函數(shù)；②

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，存在無窮多個(gè)開區(qū)間/“八一，&，使得2n…且集

合{yly=/(x),xe/〃}={y|y=/(x),xe/〃+i}對任意正整數(shù)〃都成立，貝I]()

A.①②都正確；B.①正確②不正確；C.①不正確②正確；D.①②都不正確.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必

要的步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，必_1_平面A3CD,底面ABCD是正方形.

(1)求證：平面PBD_L平面K4C；

Q

(2)設(shè)9=2,若四棱錐P-ABCD的體積為2,求點(diǎn)A到平面PBD的距離.

3

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

設(shè)函數(shù)/(x)=e*,xeR.

(1)求方程(7(x))2=/(x)+2的實(shí)數(shù)解;

(2)若不等式x+b＜/(x)對于一切xeR都成立，求實(shí)數(shù)》的取值范圍.

19.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

某數(shù)學(xué)建模小組研究擋雨棚（圖1），將它抽象為柱體（圖2）,底面ABC與4旦5全等

且所在平面平行，△A3C與4G各邊表示擋雨棚支架，支架巧、BBRCG垂直于平

兀7T

面ABC.雨滴下落方向與外墻（所在平面）所成角為一（即乙408=—）,擋雨棚有效遮擋

66

的區(qū)域?yàn)榫匦蜛41ao（。、。1分別在C4、延長線上）.

（1）擋雨板（曲面33]GC）的面積可以視為曲線段3C與線段34長的乘積.已知。4=1.5

米，AC=0.3米，色=2米，小組成員對曲線段有兩種假設(shè)，分別為：①其為直線

7T

段且/ACB=—；②其為以。為圓心的圓弧.請分別計(jì)算這兩種假設(shè)下?lián)跤臧宓拿娣e（精

3

確到0.1平方米）；

7T

（2）小組擬自制部分的支架用于測試（圖3）,其中AC=0.6米，ZABC=-

2f

/CAB=e,其中二＜8（二，求有效遮擋區(qū)域高Q4的最大值.

62

圖1圖3

圖2

20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

22

己知雙曲線「:土-匕=1,A（2,2）是雙曲線r上一點(diǎn).

312

（1）若橢圓c以雙曲線r的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為4百，求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)p是第一象限中雙曲線r漸近線上一點(diǎn)，。是雙曲線r上一點(diǎn)，且PA=AQ,求

△尸OQ的面積S（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（3）當(dāng)直線=+（常數(shù)meR）與雙曲線「的左支交于M、N兩點(diǎn)時(shí)，分別記

直線AA/、4V的斜率為勺、k2,求證：尤+質(zhì)為定值.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

設(shè)函數(shù)/(x)=x+Asin朋，xeR(其中常數(shù)AeR,A>0),無窮數(shù)列｛4｝滿足：

首項(xiàng)%>0,a“+i=/(%).

(1)判斷函數(shù)>=/(X)的奇偶性，并說明理由；

(2)若數(shù)列｛%,｝是嚴(yán)格增數(shù)列，求證：當(dāng)A<4時(shí)，數(shù)列｛%｝不是等差數(shù)列；

(3)當(dāng)A=8時(shí)，數(shù)列｛4｝是否可能為公比小于0的等比數(shù)列？若可能，求出所有公比的

值；若不可能，請說明理由.

參考答案

一、填空題（本大題共12題，滿分54分）第1?6題每個(gè)空格填對得4分，第7?12題每

個(gè)空格填對得5分，否則一律得零分.

7

1.(f2]2.A/53.4.2

25

6.32

5.1107.(-2,0)(or——a)8.0.94

23

9.30io-11.y2=8x12.24

二、選擇題（大題共4題，滿分18分）第13、14題每題4分，第15、16題每題5分

13.B14.B15.C16.A

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）

17（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

（1）：必，平面ABCD,5D是平面ABCD上的直線，2分

：A3CD是正方形，，對角線AC，班＞.

VPA,AC是平面B4c上的兩條相交直線50,平面B4c2分

?.?平面PBD經(jīng)過直線50,.?.平面平面B4C.2分

1Q

（2）VKABCD=_*SABCDxPA=-：.PA=2.

設(shè)點(diǎn)A到平面PAD的距離為h,

在三棱錐尸—4?。中，VP_ABD^VA_PBD.2分

由ABC。是正方形可知AD=AB=2,BD=272；

由勾股定理有PB=PD=20；從而△PBD是正三角形，

二匕-PBD=-'S&PBD.'=g.￥.(242=-2分

14

,*,^P-ABD~5vp-ABCD=耳,2分

二更〃，即匹捶.2分

333

綜上所述，點(diǎn)P到平面PBD的距離為紐.

3

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

(1)/(x)=e3代入"(x)f=/(x)+2得

(e￥)2-eA-2=0,即(e=2)(e'+l)=0,2分

解得e'=2或e'=-1(舍去)，2分

由e*=2解得x=ln2.2分

(2)%+匕46，對一切％6區(qū)都成立，

即—x對一切xeR都成立.2分

設(shè)g(x)=e*-x,g,(x)=er-l2分

g'(x)=O當(dāng)且僅當(dāng)％=0.

當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)y=g(x)在(—8,0)上是嚴(yán)格減函數(shù);

當(dāng)尤>0時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)y=g(x)在(0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù).2分

因此函數(shù)y=g(x)的最小值為g(0)=1,從而不等式恒成立時(shí),

實(shí)數(shù)》的取值范圍是(—8,1].2分

19.(本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

(1)若選擇①，結(jié)合4405=色，得△OBC是直角三角形，

6

BC=4OC=0.9米，擋雨板材料的面積為L8平方米.2分

2

若選擇②，則COB是一個(gè)圓心角為色的扇形，

6

弧長為工xl.8=里，2分

610

擋雨板材料的面積為羽平方米，約為1.9平方米.2分

5

(2)在直角5c中，由AB=ACcos6；

AB

在△A8O中，由正弦定理,2分

.71

sin—

6

即AO=2ABsinf6-彳）=gsin[61-^-jcos^

2分

-fsin2^--cos26>----

=-sin6>cos^---cos2^--

5122J51222j

3...[7cA兀

一，其中一<。<一.2分

刎1062

71717r3

當(dāng)2。——=—,即。=—時(shí)，A。取得最大值一.2分

62310

綜上所述，有效遮擋區(qū)域高Q4的最大值為0.3米.

20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）

22

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為0+當(dāng)=1（。〉6〉0）,

ab

由題意焦點(diǎn)為（土6,0）,即。=百；

長軸長為,即=a=2A/3,

MZ?2=tz2-c2=12-3=9.2分

22

因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.2分

129

（2）由雙曲線經(jīng)過第一象限的漸近線為y=2尤，設(shè)「（叫）,2/）；

設(shè)。（1%）,由上4=4?？芍?-％,2-2玉））=（%0-2,北一2）,

%=4一尤0，

解得\/g即。（4一玉），4一2不）.

%=4-2%,

再由點(diǎn)。在雙曲線「上，得4（4—/A—（4—2%）2=12,

9997_j_

解得％=—,從而點(diǎn)尸，Q，1加1=半2分

044524，-2

1Q

直線PQ的方程為y=10x-18,原點(diǎn)到直線PQ的距離為前,2分

因此△POQ的面積S=」xY畫x/L=2.

2分

22Vioi2

（3）設(shè)〃（石，%）、N（%2，%），

聯(lián)立直線/與雙曲線「的方程，消去y得12r-8mx+12+m2=0,2分

、2m2

由韋達(dá)定理得玉+九2=耳根，=1+石~,2分

k一二X—2?%―2--4七+--2?4/+加2

2分

Xj—2xz—2再一2%2—2

cm-10m-10°zs、

=-8+--------+--------=-8+(m-l0)%]+“2—4

X]-2—21]尤2-2(%]+尤2)+4

2

=-8+(*10)-=一8+&”一W)見心)=o.

m24機(jī)+5(m-10)(m-6)

12-3m

綜上所述，勺+左2=。，從而%+左2是定值?2分

21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

解（1）任取xeR,

7LX

都有/(-x)=-x+Asin-X-AsinT一/⑴，2分

因此函數(shù)y=/（x）是奇函數(shù).2分

（2）反證法：假設(shè)數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，公差為d,2分

由數(shù)列｛4｝是嚴(yán)格增數(shù)列可知d>0.

因?yàn)橄?a+Asin外,所以Asin0=d,即sin旦=且=非零常數(shù)

,,+1"222A

.7ia.兀（6+d）.兀（6+2d）

因?yàn)閟m—L］=sin—-----L=sin—-------L=.w0,

222

所以d=4左（其中左是正整數(shù)）.2分

因?yàn)閐24,0<A<4,所以4>1.方程sin三=四無解，矛盾.

A2A

假設(shè)不成立，即當(dāng)A<4時(shí)，數(shù)列｛g｝不是等差數(shù)列.2分

（3）若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則其各項(xiàng)均非零，設(shè)其公比為q

,,