廣西河池市八校2023-2024學(xué)年高二年級上冊第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（解析版）

2023年秋季學(xué)期高二年級八校第二次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答

題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束，將本試題和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分.共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.拋物線》=丁的準(zhǔn)線方程是（）

1111

A.x=——B.y=——C.x=——D.y=——

4422

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線方程求出°即可得到準(zhǔn)線方程.

1

【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為V=x,所以2P=1?

P3'

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-與=-!，

24

故選：A

2.已知空間向量&=（/〃—1,相2）,Z?=（1,1,3）,且。工匕，則m的值為（）

7710

A.——B.—C.6D.—

223

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.

_7

【詳解】因?yàn)閍,則加一1+7”一6=0,解得機(jī)=,.

故選：B.

3.已知雙曲線必―22=1上一點(diǎn)尸到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于5,那么點(diǎn)尸到另一個(gè)焦點(diǎn)尸的距離等于

24

()

A.3B.3或7C.5D.7

【答案】D

【解析】

【分析】利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，求解到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離.

【詳解】由題意可知，a=l,c=5,

則耳卜5卜2,

所以歸耳|=3或歸耳|=7,

又因?yàn)閏—Q=5—1=4>3,

所以忸國=7,

故選：D.

4.兩圓必+y?-2x-6y+9=0和X?+9+12》+6y-19=0的位置關(guān)系是()

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【答案】A

【解析】

【分析】分別求出兩圓圓心和半徑，兩圓心的距離與4+々比較即可得出答案.

【詳解】圓Y+V—2x—6y+9=0可化為：(x—+(y—3丫=1,

設(shè)圓心為。1(1,3)/=1,

圓/+/+12%+6丁—19=0可化為：(x+6『+(y+3)2=64,

設(shè)圓心為G(~6,-3),弓=8,

|。?=41+6)2+(3+3『=庖,785>1+8=9.

故兩圓外離.

故選：A.

22

5."m〃>0,m+n>0”是“方程--乙=1表示的曲線為雙曲線”的()

mn

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線方程及充分條件、必要條件求解即可.

【詳解】由根〃>0,〃2+〃>0可得爪>0且〃>0,

22

則方程土-2-=1表示的曲線為雙曲線；

mn

22

而加=—1,"=—1時(shí)，滿足方程土—匕=1表示的曲線為雙曲線，

mn

但加+〃=—2v0,不滿足根+〃>0,

22

所以“m”>0,加+">0”是“方程乙—乙=1表示的曲線為雙曲線”的充分不必要條件.

mn

故選：A

6.以下命題正確的是()

A.直線/的方向向量為d=(1,-1,2),直線機(jī)的方向向量匕=(1,2,1),貝I]/與機(jī)垂直

B.直線/的方向向量a=(0,L—1),平面。的法向量〃=(1,T,T),貝”_La

C.兩個(gè)不同平面名尸的法向量分別為％=(2,-1,0),%=(T,2,0),則a〃尸

D.平面a經(jīng)過三點(diǎn)4(1,0,-1),6(0,1,0),。(—1,2,0),向量人=(1,凡。是平面a的法向量，則f=l

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求解即可判斷A、B；由已知推得巧=-24,即可根據(jù)法向

ABb=O

量的關(guān)系，得出平面位置關(guān)系；根據(jù)已知得出〈，求出向量的坐標(biāo)代入求解，得出方，即可判

AC-b=O

斷D.

【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?。?1—2+2=170，

所以a力不垂直，所以/與根不垂直，故A錯(cuò)誤；

對于B項(xiàng),因?yàn)閍.“=一1+i=o,

所以所以〃/a或/ua不垂直，故B錯(cuò)誤；

bc—J

所以，點(diǎn)p到直線法-沖=o的距離,ab(c-b),

d=

x^cr+b2

be+a,—

點(diǎn)P到直線bx+ay^0的距離ab(c+b)

d=>4

2Ja2+H

Z?(c+。)

4crc+b

由己知可得，-y=3,即/°、=--=3,

4b^c-b)c-b

整理可得c=2Z?，a=[c1-b2=y/3b9

2b_273

所以，e=-

a6廠3

故選：D.

8.在正三棱柱ABC-4與G中，M=2AB=4'D,E分別為棱AA，A耳的中點(diǎn)，尸是線段BG上的

一點(diǎn)，且FG=2BF,則點(diǎn)C到平面。EF的距離為（）

2^/268753

A.2A/3

13532

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出平面的法向量與C。，再利用空間

向量法即可求得點(diǎn)C到平面DEF的距離.

【詳解】

記AC的中點(diǎn)為。，連結(jié)80,過。作。G〃A4,如圖,

根據(jù)題意，易知O5OCOG兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，0民0。,。7分別為乂丁*軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

則網(wǎng)點(diǎn)0,0）,4（6,0,4）,c（o,i,o）,G（0,1,4）,A（0,-l,0）,4（0,-1,4）,

故。（。，―1,2）,E-^-,——,4,DE--^-,—,2,DA—（0,0,—2）,

122J122J

AB=（73,1,0）,BQ=（-73,1,4）,

因?yàn)镕C]=2BF,

所以0尸=9+45+"=（0,0,—2）+（6,1,0）+；卜后1,4）=

設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為n=(%,y,z),

n-DE=x+—v+2z=0

22

則令x=—3A/3，則y=5,z=1,

CL2642c

n-DF=---x+—yz=0

333

故“=（一3石,5,1）,

又C￡>=（0,-2,2）,

1。+2|_8庖

所以點(diǎn)C到平面DEF

'|n|A/27+25+153

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分.共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對的得2分.

9.圓必+/+2V—3=0被直線x+y—左=0分成兩段圓弧，且較短弧長與較長弧長之比為1:3,則女

的值可以是()

A.72-1B.1C.-3D.V2

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題意知，圓心(0,-1)到直線x+y—左=0的距離為正廠=血，列出方程，即可求解.

2

【詳解】由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為V+(y+l)2=4,較短弧所對圓心角是90。,

因?yàn)檩^短弧長與較長弧長之比為1:3,

所以圓心(。，-1)到直線x+y—左二。的距離為巫r=&,即匕0=血，

2V2

解得％=1或左=—3.

故選：BC.

10.點(diǎn)M(4,l)為拋物線=2py(“>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為C上一

點(diǎn)，且|A尸|=8,則()

A.p=8B./(0,4)

C.直線AF的斜率為土且D.。/的面積為16

20

【答案】ABD

【解析】

【分析】首先求拋物線方程，再根據(jù)焦半徑公式求點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】由題意可知，42=2pxl,則p=8,則必=16>,焦點(diǎn)—0,4),故AB正確；

設(shè)點(diǎn)4(%,%),則|”|=%+勺%+4=8,則%=4,

%；=16x4=64,則4二±8,

即A(8,4)或(-8,4),所以直線"的斜率為0,故C錯(cuò)誤；

_40尸的面積為gx|O司x|x0|=g><4><8=16,故D正確.

故選：ABD

11.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知曲線。：必+2移+2：/=1,點(diǎn)夕(入0，九)為曲線c上一點(diǎn)，貝U

()

A.曲線C關(guān)于x軸對稱B.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱

C.點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為的取值范圍為[-1,1]D.直線y=x+l與曲線C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)條件，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】對于選項(xiàng)A,設(shè)曲線。：/+2孫+2丁=1上任一點(diǎn)為P?,%),貝u有需+2%%+2尤=1,

點(diǎn)尸(%,%)關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)為尸代入d+2盯+2y2=1,得到/一2/%+2尤=1,不一

定成立，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,設(shè)曲線。：9+2呼+2V=1上任一點(diǎn)為尸(為,為)，則有%+2/%+2y；=1,

點(diǎn)尸(%,為)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為「(一/，一為)，代入必+2孫+2：/=1,得到焉+2%%+2尤=1，成

立，所以選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,由V+2孫+2/=1,得至Jjf+2肛+2/—i=o,看成關(guān)于x的方程，

則有A=4y2—4(2y2—1)20,整理得到解得—所以選項(xiàng)C正確；

x2+2xy+2y2=11

對于選項(xiàng)D,由＜7消〉得到5f+6x+l=0,解得x=——或x=—1,

y=x+l5

14

當(dāng)x=-g時(shí)，,當(dāng)％=—1時(shí)，y=0,

所以直線y=x+l與曲線C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)［-d］或(―1,0),所以選項(xiàng)D正確，

故選：BCD.

12.在正方體ABC?！?，E、F、G分別為BC,CC］,3月的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是

()

A.BD±AF

B.直線AG與跖所成角的余弦值為半

C.三棱錐G—AEF與正方體ABC。—的體積之比為工

6

D.存在實(shí)數(shù)使得AG=；L4尸+〃AE

【答案】AD

【解析】

【分析】若正方體棱長為2,構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系。-盯z,應(yīng)用向量法判斷直線位置關(guān)系、求

夾角余弦值、求點(diǎn)面距，結(jié)合棱錐、棱柱體積公式以及向量共面的坐標(biāo)表示判斷各項(xiàng)正誤.

【詳解】若正方體棱長為2,構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則A(2,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A(2,0,2),4(2,2,2),￡(0,2,2),R(0,0,2),

E(l,2,0),F(0,2,l),G(2,2,l),

BD—(—2,—2,0),AF~(—2,2,1),則BD,AF=4—4+0=0，故BDJ_AF，A對；

AG=(02—D,E/=(—1,0,1)‘貝

故直線A|G與所所成角的余弦值為畫,B錯(cuò)；

10

EA=(l,-2,0),EF=(-1,0,1),設(shè)冽=(x,y,z)為平面AEF的一個(gè)法向量，

m-EA=x-2y=0

則彳，取y=l,有加=(2/,2),而AG=(0,2,l),

m?EF=一x+z=0

所以G到面AEF的距離d=|AG'm|=-,又|cos(E4,EF\|=|EAEF-1=叵,

\m\3、/\EA\\EF\75x7210

所以△鉆尸中sin(EA,Eb)=^^，則SAFF=-￡A-EF-sinZ4EF=-xV5xV2x^^=-,

\/10-AEF22102

1342

所以匕-AEF=§乂5*§=1,而匕BCD-ABiGQ=8,

所以三棱錐G—A爐與正方體ABC。-44。］。］的體積之比為《，c錯(cuò)；

由AF=(-2,2,1),AE=(-1,2,0),4G=(0,2,—1),則&G=-AF+2AE,

故存在實(shí)數(shù)使得AG=；L4F+〃AE,D對.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.平面上任意一點(diǎn)（羽y）滿足J/+（y+4）2+J/+（y—4）2=10,則該點(diǎn)的軌跡是

【答案】橢圓

【解析】

【分析】由兩點(diǎn)距離公式與橢圓定義即可得解.

【詳解】由（羽y）滿足+（-+旬2++（丁-4）2=io知,

點(diǎn)到定點(diǎn)（0,-4）與（0,4）的距離之和為10,

又（0,-4）與（0,4）之間距離為8<10,

根據(jù)橢圓定義可知，該點(diǎn)的軌跡為橢圓.

故答案為：橢圓.

.己知直線與。：孫—相互平行則兩直線\與之間的距離為

144:3x—y+1=02x+73=0（meR），12

I答案】嚶

【解析】

【分析】先借助直線平行算出加，再根據(jù)平行線間的距離公式即可求得.

2

【詳解】由/J%,則加。0,有3=——,

m

22

解得m=—,即:2%—y—3=0,

33

化簡得6x_2y_9=0,

4可化為6x—2y+2=0,

,_|2-(-9)|11710

則k與I，之間的距離d=!2==”

一#+(-2)220

故答案為：嚶

2

15.過點(diǎn)M(3,2)的直線/與雙曲線必―2L=i交于A、8兩點(diǎn)，若M恰好是線段A8的中點(diǎn)，則直線/的

4

斜率為

【答案】6

【解析】

【分析】設(shè)△(xpyJ,Blw，%)，根據(jù)題意利用點(diǎn)差法運(yùn)算求解?

%+%2=6

【詳解】設(shè)A(%,%),6(%2，%)，則<

?+%=4'

y—y

由題意可知：直線/斜率存在，則上

%1~X2

214

因?yàn)锳、B在雙曲線V—上=1上，貝卜

4考4=1

兩式相減得(X；-x；卜七"=0,則(%+%)(%—x2)

4

心—左)=0,整理得女.=之二三=6,

4

此時(shí)直線/：y-2=6(x-3),即y=6x-16,

y=6x-16

聯(lián)立方程《2y2,消去y得8f—48X+65=0,

x----=1

4

則△=(—48『—4x8x65=224>0,即直線/與雙曲線必—；=1有兩個(gè)交點(diǎn),

符合題意，所以直線/的斜率為6.

故答案為：6.

16.已知拋物線y2=2px(p〉0)的焦點(diǎn)為E準(zhǔn)線為/,過B的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B,與直線/交

【答案】(1)相交，理由見解析；

(2)m=±1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可得直線/恒過定點(diǎn)(1,1),易知點(diǎn)(1』)在圓內(nèi)，所以可得直線與圓相交;

(2)求出圓心到直線距離再利用弦長公式即可求得相=±1.

【小問1詳解】

由題意可得圓C：V+(y-l)2=5的圓心為C(O,1),半徑為丫=5

易知直線/：〃式一y+l-〃z=O恒過定點(diǎn)(1,1),

顯然F+(1—1)2<5,即點(diǎn)(1,1)在圓內(nèi)，

所以直線/與圓C相交；

【小問2詳解】

-m

易知圓心到直線/：方式一丁+1-根=。的距離為2=-^』=,

可得||=24—/=2,5—=372，

解得m=±l.

18.(1)求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

①頂點(diǎn)在X軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8,e=~；

4

②漸近線方程是丫=±2%,虛軸長為4.

(2)求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

①焦點(diǎn)P關(guān)于準(zhǔn)線/的對稱點(diǎn)為加(0,-9)；

②關(guān)于y軸對稱，與直線y=-12相交所得線段的長為12.

r2222丫2

【答案】(1)①上-匕=1；②/一2L=i或2L—工=1；(2)①一=12丫；②d=_3y.

1694164

【解析】

【分析】(1)設(shè)出雙曲線方程，利用待定系數(shù)法求出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

【詳解】(1)①設(shè)雙曲線方程為二-斗=1(。>0/>0),則2。=8,解得。=4,

ab

c5_____

雙曲線半焦距為c,于是e=—=—，解得c=5,b=J2-a2=3?

a4c

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是―-乙=1;

169

%2y2=2

②當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為一r—LuKai〉。)，其漸近線方程為y=±—X,

a-4勾

22

依題意，一=2,解得4=1,雙曲線方程為1_=1；

44

22

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為左=1(。2>。)，其漸近線方程為丁=土告x，

22

依題意，-=2,解得生=4,雙曲線方程為2L—土=1,

2164

222

所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為好-工=1或匕-上=1.

4164

(2)①顯然拋物線焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其方程為f=2pj(p]W0),焦點(diǎn)準(zhǔn)線/：y=—今，

依題意，=-9,解得°]=6,

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為必=12〉；

fy=-12(------

②設(shè)拋物線方程為V=2py(p<0),由2c,得|x|=2j礪,

[x=2py、

于是4戶方=12,解得—2。=3,即2。=—3,

所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-3y.

19.己知過點(diǎn)N(—1,0)的直線I與拋物線y2=-x相交于A,B兩點(diǎn).

(1)求證：OA±OB-,

（2）當(dāng)Q46的面積等于歷時(shí)，求直線/的方程.

【答案】（1）證明見解析

（2）%一6丁+1=0或％+6y+l=0

【解析】

【分析】（1）設(shè)直線/的方程為”=X+1,聯(lián)立y2=—X,消元得y+o—1=0,再利用韋達(dá)定理得到

%+%=一/，％%=-1，進(jìn)而得到七％2=1，從而得到。4?。3=0，即可證明結(jié)果；

（2）由—%|=g|x—%|，再根據(jù)（1）中結(jié)果及條件即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

由題可設(shè)直線/的方程為9=x+l,AG，%）,%%,%），

-2__

由一”,消X得到V+rv—1=0,A=r+4>0,

ty=x+\

由韋達(dá)定理得，%+為=一%，%%=-1，

又再％2-又1-1）（。2-1）=力2yly27（%+%）+1=T?+產(chǎn)+1=1,

因?yàn)椤?=（%,%）。3=（%2，%），所以。=%%+為%=1—1=0，得到Q4_LOB，所以O(shè)A_LQB.

【小問2詳解】

因?yàn)镾0AB=JONII%—x|=T%—%|，由⑴知X+%=T，M%=T，

所以S°AB=g而HI7二訴T=g爐”=加，解得r=±6，

所以，直線/的方程為尤—6y+l=0或x+6y+l=0.

A22

20.設(shè)耳，鳥分別是橢圓3+==1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)。=25時(shí)，點(diǎn)尸在橢圓上，且

P^±P^,|^|-|PK|=2.

(I)求橢圓c的方程；

Q

(2)直線/：y=x+"2與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，若|AB|=m，求實(shí)數(shù)m的值.

【答案】(1)—+/=1

4-

(2)m—±>/3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)橢圓定義及垂直關(guān)系，結(jié)合片=從+02求解出〃的值，則橢圓方程可求;

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，并注意判別式A,根據(jù)弦長公式列出關(guān)于參數(shù)機(jī)的方程，從而結(jié)果可求.

【小問1詳解】

V2y1

橢圓C的方程為二+-1（6Z>/?>0）

ab2

2

PF]±PF2,.-.\PF^+\PF2f=4c

|P4?朋I=2

+\PF^=2a

、附「+|P8「=4,2

4a2=4c2+4,a"—c2+b2,b'-1,又a=2Z?,所以a?=4,

r2

所以C:二+y2=i.

4-

【小問2詳解】

人2_]

根據(jù)題意可得<4"一’，則5爐+8儂:+4（“-1）=。,

y=x+m,

且八=64m2-4x5x4（根之-lj=-16m2+80>0,則me（-石，6）,

所以1明=百小+%)2-4中2=血［萼-史"=逑'《

IN/JJJJ

即5—療=2,

則加2=3,解得加=土若，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

21.如圖，在三棱柱A3C-4與￡中，A&GC是邊長為4的正方形.平面ABC1平面441clC,

AB=3,BC=5.

(2)求二面角A—BG—用的余弦值;

BD

(3)證明：在線段8G存在點(diǎn)。，使得并求折的值.

【答案】(1)證明見解析;

⑵9

BD_9

(3)證明見解析,Bq-25'

【解析】

【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)得A&J■面ABC,再由線面垂直性質(zhì)證結(jié)論;

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,應(yīng)用向量法求面面角的余弦值;

3

(3)設(shè)。億］(4-/)/)且0W/W4,利用垂直關(guān)系有4>43=0求參數(shù)判斷存在性，進(jìn)而求比值.

小問1詳解】

由A41cle是正方形，則AC,且A&u面A&GC,

面ABC上面A41clC,面ABCc面A&GC=AC，則面ABC，

由5Cu面ABC,所以A&LBC.

【小問2詳解】

由AC=4,AB=3,BC=5,則人。2+筋2=5。2,所以ACAB,且明，面ABC,

如下圖，可構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,則

A(O,O,O)，A(0,0,4),5(0,3,0),Bx(0,3,4),C(4,0,0),Q(4,0,4),

BC】=(4-3,4),BA=(0,-3,4),BB}=(0,0,4)，

m-BCx=4x-3y+4z=0

若/〃=（x,y,z）是面的一個(gè)法向量，貝卜

m-84]=-3y+4z=0

取y=4,則相=(0,4,3)；

n-BQ=4a-3b+4c=0

若〃=（°,b,c）是面315cl的一個(gè)法向量，則

n-BB[=4c=0

取》=4,則〃=(3,4,0)；

m-n1616

故銳二面角A-5G-4的余弦值為Icosm,n1=

|m||n|5x525

【小問3詳解】

33

由題意,可設(shè)?！?4—f)/)且0W/W4,則AD=9一(4—/)/),43=(0,3,—4),又

4