河北省張家口市張垣聯(lián)盟2023-2024學年高三年級上冊12月階段測試數學試題

2023-2024學年第一學期12月高三階段測試卷

數學

考試說明：

1.本試卷共150分.考試時間120分鐘.

2.請將各題答案填在答題卡上.

一、選擇愿：本題共8小題，誨小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知集合A={H|H'—3H—10<0},B={-5,-2,1,2,3,5）,則ADB等于

A.{-2,1}B.{-5,-2,1,2}

C.{-2,1,2,3,5}D.{1,2,3）

2.已知復數2=能，則z在復平面內所對應的點位于

3十41

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

3.已知數列1,V3,V5,V7,3,yn,則/直是這個數列的

A.第21項B.第22項C.第23項D.第24項

4.已知正四棱錐S—ABCD的底面邊長是2成'，體積是蜉，那么這個四棱錐的側棱長為

A.V3B.2C.41D.展

S.等差數列儲.八{&.}中的前“項和分別為S.、T.,?'=舟3,則黃=

A"R竺CiZ32

A-93R87C,42Dn-81

6-已知直三棱柱的所有棱長都為2,頂點都在同一個球面上，則該球的表面積與該球體積

的比為

A3歷Q28n285

兒~T-B.9mC.-,D,f—1t

7.在△ABC中，角A、B,C所對的邊分別是a,b,c,且a為6、c的等差中項，則角A

最大值是

A,—2B-—3°C，—3D—6

8.已知數列{6.}滿足d+Z-4+I=4+L4，n€N',且仇=手，若函數g（H）=cosxsinx

+cos2y,記%=g（4）,則數列{a,}的前9項和為

A.0B.一"I"C.D-y

高三數學第1頁共4頁

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分。

9.已知a?夕是兩個不同平面，m,〃是兩條不同直線，則下述正確的是

A.若，〃Ua.nUR,a〃夕，則〃〃mB.若g〃a,〃_La,則〃_Lf

C.若用〃a、〃Ua,則m〃舞或小，〃異面D.若陽_。，mUa,nU^,則

10.已知數列｛瓦｝為等比數列，｛2｝的前〃項和為5.，則

A.數列仇，A，仇成等比數列

B.數列Sz.S4-S2,S6-S4成等比數列

C.數列S3,S6-S3,S9—S6成等比數列

D.數列8?8，仇?仇，仇?仇成等比數列

11.已知g（x）=cos2aKr+V3sinaArcosaKr—^（卬＞。）的最小正周期為2兀，則下列說法正確的有

A.3=1

B.函數g⑺在［李，上單調遞減―二

C.直線工=件是函數千gtr）圖象的一條對稱軸

D.點（號，0）是函數y=g（H）圖象的一個對稱中心

12.正方體ABCD-AIiGD,的棱長為4,M,E,F,G分別為B】G,BC,CG,BB,

的中點，點C到平面AEF的距離為h則'__________c,

A.平面AEF截正方體所得的截面面積為18Zj---------

B.直線AF與平面A|GM平行

C.直線BD與平面ACM垂直J_一二

D.點M到平面AEF的距離為2h----］/E

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。,B

13.已知a=（十，1）,6=（-2,8）,若實數人滿足（a-M）_Lb，則入=

14.設等比數列｛6力的公比為q,其前〃項和為S.,若仇=點6—2），64=J（S4-2）,

則q=.

11Q

15.若向量0=（1,-2,一〃），b=（2，2'1），。=（0，1，一彳）共面，則〃=____.

16.設函數fGr）=ze%則函數/（z）的最小值為i若對任意△￡（（），+8）,

存在?e（o,+8）不等式烏2?華24空日工/+1］恒成立，則正數4的取值范

圍是,

高三數學第2頁共4頁

而

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本題滿分10分)

已知一圓錐的母線長為5cm,底面半徑為3cm.

(1)求圓錐的高及體積；

(2)若圓錐內有一球，球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切，求球的半徑.

18.(本題滿分12分)

△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(sinB-sinC)S-c)=asinA-bsinC

(1)求A；

(2)若c=3,求AB邊上的高.

19.(本題滿分12分)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA_L平面ABCD,PA=AD=4.

(1)求證：平面PBDJ_平面PAC：

(2)求平面PCD與平面BCD夾角的正弦值.

高三數學第3頁共4頁

20.（本題滿分12分）

已知數列｛%｝滿足（%一%）'=I.+I-y)"⑸y)(n>2,且

q=1?4=語?求

<1）數列｛a.｝的通項公式

⑵數列｛a.+2”｝的前“項和S..

21.（本題滿分12分）

已知正項數列｛%｝的前”項和為S.,且a='15.+1（"€!<?）?數列（仇｝的前八項和

為數列化.）的前"項和為A.,數列4=2巾1.一（（"6叱），c-+a（”；i）=W，

（n￡N-）.

（1）求數列儲.｝的通項公式及T.;

（2）若對任意”￡N,.存在工。6[—1，1]使得A.42H。一帆成立，求實數m的取值

范圍.

22.（本題滿分】2分）

已知函數g（x）=（x*+l）?eSx€R

（1）求函數y=gG）在（0,g（0））處的切線方程.

（2）對任意工1，46（0,+oo）,當勾〉工，時，不等式淺二黯恒

成立，求實數m的取值范圍.

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2023-2024學年第一學期12月高三階段測試卷

數學參考答案

1.D【解析】由A中不等式變形得：（%+2）（久一5）<0,解得一2<x<5,即4=｛x|-2<x<5｝,

：.AB=｛1,2,3｝.故選D.

2.A【解析】z===所以z在復平面內所對應的點（方―已位于第四象限.

故選A.

3.B【解析】由題意可得數列的通項公式為an=哲二I，又d=，2n-1,解得n=22,所以d

是這個數列的第22項.故選B.

4a解析】設四棱錐的高為八,根據已知條件可得殍="22、八，所以九=口哈=守=2,

所以這個四棱錐的側棱長為</+22=/7故選C.

5.B【解析】?.?等差數列｛%,｝、｛“｝中的前n項和分別為S-T,M

n1vt>11"i3

.駟_2aio_?。ā?+。19）_￡ig__4x19=里故選g

?"10_2b10—軟比+/>19）_"_9X19+3—87'乂心,

6.A【解析】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，棱長

為2.如圖，P為三棱柱上底面的中心，。為球心，易知AP=己義型x2=也，

323

OP=1,所以球的半徑R=。4滿足R2=（苧）2+（1）2=/R=字，

44rs球47TR233Vn,,A

故4=釬=^=〒.故選A.

球3〃八

7.C【解析】由題意可得2a=b+c,由余弦定理可得

22b+22

力2+C2―Q2b+c—^^^(ft+c)—1-bc^x2bc-bc

cosA=I，當且僅當b=c時，等號成立.

2bc2bc2bc>2bc

又。<力<IT,0<4Wg,即角力的最大值為I故選C.

8.D【解析】）數列｛b"滿足b"+2-bn+1=bn+1-41，九€N*,.,.數列｛入｝是等差數歹!J,

丁bs—p???b1+b9=b2+b8=b3+b7=b4+b6=2b5=n,

q(x)=cosxsinx+cos2-=-sin2x+-cosx+

八,2222

???g(bj+g(bg)=g(sin2bl+cosbr+1+sin2b9+cos/)94-1)=1,

19

同理9(62)+g(%)=g(bg(b)=5(/)4)+gM)=1,1''9(65)=?數列｛a｝的前9項和為亍

。+74nZ

故選D.

第1頁，共6頁

9.BC【解析】若THU%nUB，a"B,則"〃m或m,"異面，故A錯誤；

若6〃a,n1a9則九_1.0,故B正確；

若m〃Q,則m與a內直線沒有公共點，所以m〃幾或m,幾異面，故C正確；

若夕1a,mua,nu0,則m,〃相交或平行或異面，故D錯誤，故選BC.

10.CD【解析】因為"手普，故A錯誤；

===

當數列｛bn｝為1?—1,11—1?1..時，S2S4—S2Sg—S40；S2JS4—S2,Sg—S4不成等比數列,

故B錯誤；

數列S3,56—S3,59—S6每項都不為0,且后一項與前一項比值為同一個常數，故C正確；

可知數列以厲，b3b4,b5b6每項都不為0,且后一項與前一項比值為同一個常數，故D正確.

故選CD.

11.BCD【解析】g(x)—cos2a>x+V3sina?xcosx—~|+^cos2(ox+y-sin2a>x—|

=^cos2a)x+/sin23X=cos(2<dx—g).

最小正周期T=葛=2兀，3=5故A錯誤；

5(x)=cos(x-y),當=e[0,f],故函數g(x)在[或會上單調遞減，故B正確；

當*=加，y=g(9=cos0=l,故直線x=混函數y=g(x)圖象的一條對稱軸，故C正確；

當》=?時，y=g華)=cos]=0,故點(手,0)是函數y=g(x)圖象的一個對稱中心，故D正確.

故選BCD.

因為正方體中4D1//BCJ/EF,所以/、E、F、D]四點共面，所以四邊形4EF%為平面4EF截正方

體所得的截面四邊形，且截面四邊形4EF%為梯形，又由勾股定理可得D[F=AE=2低，

4%=4，7,EF=2版,所以梯形4EF分為等腰梯形，高為J(2何)2_(4-;2g7=3版,

第2頁，共6頁

所以S梯形4EFD]=：x(41+2AT)X3AT=18,故A正確；

易知A1M//HE,又占MU平面力EF,AEu平面力EF,故NiM//平面AEF,又GM〃EF,

同理可得GM//平面AEF,又占MCGM=M,&M、GMu平面&GM,故平面力1MG//平面4EF,

又力Fu平面AEF,從而4F〃平面&GM,故B正確；

連接Bi%,若直線與平面力iGM垂直成立，則1又￡?/1&M,所以4平面Bi。內,

所以顯然不成立，所以直線B/與平面力1GM不垂直，故C錯誤；

由于SAM￡T=S^GEF=S梯形BEFG-S^EBG=-(4+2)X2--X2X2=4,而SAE”=-X2X2=2,

則Kzl-MEF=IS4EFM,4B，vA-ECF=]SAECF'4B,所以乙-MEF=A-ECF9^M-AEF=^C-AEF9

點M到平面4EF的距離為點C到平面AEF的距離的二倍，故D正確.故選：ABD.

13【解析】*.*CL=(—,1)jb=(-2,8),.?.Q—46=(；+2尢1—84),(tt-A&)_Lb,

682\2/

-7

所以—1—44+8—644=0，故4=—.

68

14假或一1【解析】???等比數列也｝中，b2=|(S2-2),0=*54—2).g=3厲+2,=3"+2,

22

S4—S2=3(b4—%)，又-$2=%+人4卜3+64=3(64—%)，，,人2(9+Q)=3b2(Q—1)，又H。'

???2q2—q—3=0,:.q=|■或q=-1.故答案為|■或—1.

7112

15.-萬【解析】a=(1,-2,-n),b=;，一萬，1),c=(0,1,-Q共面，二可設。=xb+yc,

(x=2

即(1,一2,—n)=—+(0,y,—|y)=(|■光,y—Tx,%—gy),貝小2y一久=-4,

’°\2x—3y=—2n

rx=2

解得卜故答案為《

b=-?一

16.-p+8)【解析】/'(%)=久砂的導數為/'(x)=eX(x+1),則比＜一1時，

f(x)＜0,f(x)單調遞減;久＞一1時,f(x)＞0,fQ)單調遞增,

可得/co在％=-1處取得極小值，且為最小值一；

令9(%)=：：)2=孑,h(X)=e+5又對任意乂2e(0,+OO),存在巧G(0,+CO),

有巫\?腎w昔[(犯)2+□恒成立，即堂2＜錚恒成立，即螃魯＜嵯容；

(%1)e《幾丁，2k/c+12k,/c+l

久＞0時，h(x)=%+二22[7^=2,當且僅當無=1時取得最小值2,

X\X

第3頁，共6頁

f(x')e%/GX(x—1)

g(%)=HE=q，g(%)=-p—，則0<x<1時，g7(x)<0,g(x)單調遞減；

x>l時，g7(x)>0,g(x)單調遞增，可得g(x)在x=1處取得極小值，且為最小值e；

所以余《占,由k>°，可得人2梟?

17.【解析】(1)由題意知，圓錐的圖九二152-3?=4(cm)....................2分

18.V=^-n32,4=12Tl(cm?)....................5分

(2)由(1)知，圓錐的高為4cm,設圓錐內切球的半徑為rem,則

(5-3)2+r2=(4-r)2,...................8分

解得「=去.........10分

18.【解析】(1)???△48C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

因為(sinB-sinC)(b—c)=asin4—bsinC..,?由正弦定理得：

(b—c)(b—c)=a-a—b-b....................1分

EPb2+c2—a2=be,...................2分

/?2+c2-a2_be_1

???cosA...................4分

2bc2bc2

v0<X<7T,???i4=1.......................6分

(2),由余弦定理/=b2+c2—2bccosZ及已知可得：b2—3b—4=0,...................8分

b=-1或b=4,又b>0所以b=4.....................10分

設ZB邊上的高為無,所以h=bsinA=4T=2b....................12分

19.【解析】(1)證明：建立如圖所示的直角坐標系，1

則力(0,0,0)、￡>(0,4,0)、P(0,0,4)、B(4,0,0)、C(4,4,0),ZP=(0,0,4)>

就=(4,4,0),RD=(-4,4,0)BD-AP=0.JD-AC=0,即BD_L力P,/;\

BD1AC,...................4分f二:V

又因為APnAC=A,AP,力Cu平面PAC,；.8。_L平面PHC.................5分

又BDu平面PBD,所以平面PBD1平面PAC....................6分

(2)由(1)得巨萬=(0,4,-4),CD=(-4,0,0).設平面PCD的法向量為n7=(%,y,z),即｛：［；2彳=°

故平面PCD的法向量可取為近=(0,1,1)...................8分

第4頁，共6頁

PA1平面4BCD,AP=(0,0,4)為平面48。。的法向量............9分

設平面PCD與平面BCD夾角大小為8,所以cos。=|吾魯|=*=%.........11分

\rii\'\AP\V2-42

所以sin。=J1-(cos。/=畀?.平面PCD與平面BCD夾角的正弦值為亨..........12分

20?【解析】(1)數列｛an｝滿足(an-[)2=S+i-^)?3-—5),%=1,。4=5

ZZL1O

所以的—同為等比數列，.........1分

_￡

設公比為q,則q3=寫=5，.........3分

al-28

所以q=g.........4分

所以即―土=(%—1)《尸T=弓廣，.........5分

故時=(1)n+1............6分

(2)Sn=(即+2)+(即+4)+...+(an+2n)

=[(i)1+|+2]+0)2+1+4]+...+[(1r+1+2n]..........7分

|x[l-(1)n],1,n(2n+2),，八

=-----r----\--n+—..............11分

1-122

2

_2.、+3九+2_(2)九]2分

21?【解析】(1)由%=|sn+l(nGN*),可得5n=2an-2(nGN*),九=1時，劭=S[=2al-2,

得%=2；M22時，an=Sn一Sn-i=2un-2—2c1n-i+2,

即時二？時一,可得｛冊｝是以叼=2為首項，2為公比的等比數列，所以%=2%neN*；.…3分

n

bn=2nan—an=(2n—l)an=(2n—1)-2,........4.分

前n項和7\=1-2+3?22+5-23+...+(2n-1)-2n,

234n+1

2Tn=1-2+3?2+5-2+...+(2n-1)-2,

3n?l+1n+1

相減可得一Tn=2+2(22+2+...+2)-(2n-1)-2=2+2.軌―)一.n_i),2,

1—2

所以=6+(2n—3)?2計1；........6分

⑶由冊+-=~(neN*)得cn=會一(：言)，........7分

11

111ill1)=知-給HA-

f.,_1_1AC4-