二項式定理-2023年高考數(shù)學一輪復習（全國通用）（解析版）

考向40二項式定理

『經(jīng)典其由

1.(2022年北京卷T8)若(2x-1)"=%χ4+%丁+W-+α∣x+%，則/+%+%=

(A)40(B)41(C)-4()(D)-41

【答案】B

【解析】當X=I時，I=4+%+生+q+旬①；當時，X=T時，81=4-%+%-0+αo②；Φ+②得原

式=41

2.(2022?新高考1卷Tl3)(1-^)(χ+y)8的展開式中/,6的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

X

【答案】-28

【解析】原式等于(x+y)8—f(x+y)8,由二項式定理，其展開式中χ2y6的系數(shù)為C；-C；=-28

X

3.(2022?天津卷TIl)(?+之)5展開式中的常數(shù)項為

X

【答案】15

[解析】TM=G'(4尸3'(尸ynI-1=O,r=1,%=c；X3=15

4.(2022?浙江卷T12)己知多項式(x+2)(x-l)4=%+α∕+02χ2+為/+%/+生工5,則％=

4+。2+。3+。4+。5=.

【答案】8,-2

【解析】由題α2=lxC>(-l)+2xC](-l)2=8.

令X=1,則/+q+&+/+g+%=O.

又4=2,所以α∣+&+%+%+%=-2.

Wi------------------------------------------

J方法技巧)

1.求二項展開式中的特定項的方法:

①求通項，利用(α+6)"的展開式的通項公式「+I=CJJ〃7∕(r=0,1,2,…，〃)求通項.

②列方程(組)或不等式(組)，利用二項展開式的通項及特定項的特征，列出方程(組)或不等式(組).

③求特定項，先由方程(組)或不等式(組)求得相關(guān)參數(shù)，再根據(jù)要求寫出特定項.

2.求解形如(α+力"(c+。"的展開式問題的思路

(1)若"，加中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(α+8)2(c+J)w=(α2+2c?+?2)(c+6∕y",然后展開分

別求解.

(2)觀察(α+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)"l—?χ)7=Kl+x)(l—x)]5(l—?χ)2=(]—/)5(]—x)2.

(3)分別得到3+與"，(c+√r的通項公式，綜合考慮.

3.求三項展開式中某些特定項的系數(shù)的方法

(1)通過變形先把三項式轉(zhuǎn)化為二項式，再用二項式定理求解.

(2)兩次利用二項式定理的通項公式求解.

(3)由二項式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項式看作幾個因式之積，要得到

特定項看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量.

4.系數(shù)和問題常用“賦值法”求解

賦值法是指對二項式中的未知元素賦值，從而求得二項展開式的各項系數(shù)和的方法.求解有關(guān)系數(shù)和題的

關(guān)鍵點如下：

①賦值，觀察已知等式與所求式子的結(jié)構(gòu)特征，確定所賦的值，常賦的值有：等.

②求參數(shù)，通過賦值，建立參數(shù)的相關(guān)方程，解方程，可得參數(shù)值.

③求值，根據(jù)題意，得出指定項的系數(shù)和.

5.二項式系數(shù)和：5+份"的展開式中二項式系數(shù)的和為C9+α+…+C；；=2".

6.二項展開式系數(shù)最大項的求法

如求3+法)"3,6右!1)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設展開式各項系數(shù)分別為4,44..,

Af>Ak-1,

A-ι,且第4項系數(shù)最大，應用從而解出人來，即得.

nlIA2At+1，

用結(jié)雪)

(α+*)^'的展開式形式上的特點

(1)項數(shù)為〃+1.

(2)各項的次數(shù)都等于二項式的基指數(shù)n,即。與方的指數(shù)的和為n.

(3)字母”按降暴排列，從第一項開始，次數(shù)由〃逐項減1直到零；字母。按升暴排列，從第一項起，次數(shù)

由零逐項增1直到

(4)二項式系數(shù)從C9,Cl,,一直到C廠,C；；.

1.混淆通項公式刀”一°"“b與展開式中的第r項

2.混淆二項式展開式中a,b排列順序設置陷阱

3.混淆二項式系數(shù)和項的系數(shù)

4.混淆二項式最大項與展開式系數(shù)最大項

一、單選題

1.。-2x)5的展開式中，/的系數(shù)為()

A.-160B.-80C.80D.160

【答案】B

【解析】(1-2x)5的展開式的通項是C；尸(-2x)*=(-2)*Cw,*=O,l,2,3,4,5.)

由題意，k=3,因此，V的系數(shù)是(_2)七；=-80.

故選：B.

2.已知(x+2)"的二項展開式中，第三項與第〃-2項的二項式系數(shù)和為84,則第四項的系數(shù)為(

A.280B.448C.692D.960

【答案】B

kkk

【解析】由題，T^=Cπ×?-×2,

因為第三項與第"-2項的二項式系數(shù)和為84,所以C"Cr=84,即C"C=84,

所以&ΞD+"("7)("2)=84,解得〃=8,

23x2

所以第四項的系數(shù)為Cjxl"3χ23=448,

故選：B

3.-4J的展開式中，/的系數(shù)等于（）

A.-45B.-10C.10D.45

【答案】D

【解析】L-G的通項為τ;M=Gfl（與r-√7）'?=（-I）COXL”,

?X）X

令;-10=2,解得r=8,所以一項的系數(shù)為：（-1）8喘,=45.

故選：D

4"已知"-點）

（。為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常

數(shù)項為（）

A.-90B.-10C.10D.90

【答案】A

“4一京）（”為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，

【解析】因為

5

所以（4-1）、=2>,得。=3,所以ayfx—

則其展開式的通項公式為J=圖34廣'(_玄］=Ci?35-r?(-l)rx^,

令*15-5r=°,得r=3,

6

所以該展開式中的常數(shù)項為C；?3?J?(T>=_90,

故選：A

526

5.^(l+2x)(l-2x)=an+alx+a2x++a6x,x∈R,則％的值為()

A.-20B.20C.40D.60

【答案】B

【解析】Y(1+2x)(1—2x)5=(1—2x)5+2x(1-2x)5,

故展開式中F的系數(shù)%=C(-2)2+2xC(-2)∣=40-20=20.

故選：B.

6.+的展開式中，一次項的系數(shù)與常數(shù)項之和為()

A.33B.34C.35D.36

【答案】D

【解析】因為a+D5的通項公式為&尸q√-rιr=cy-r,

所以(X+1)5(：+1)的展開式中，一次項的系數(shù)為2C；+C^=25,

常數(shù)項為C；+2C；=11,

所以一次項的系數(shù)與常數(shù)項之和為25+11=36,

故選：D

7.在(1-VJ的展開式中，常數(shù)項為()

A.-60B.60C.-240D.240

【答案】D

【解析】由題知，展開式中第r+1項a=C仔尸(-J)，=(-1),26飛彳-6,

X

令3—6=0,得r=2,所以展開式中常數(shù)項為(=2*C=240.

故選：D

6

8.若(2—x)6=%+α∣(l+x)+4(l+x)~H---FΛ6(1+X),∣i∣ljα4=()

A.270B.135C.-135D.~270

【答案】B

66

【解析】(2—x)=α0+α∣(l+x)+α2(l+x)^H----F&(1+x),

h

以X-1代替X,得(3—X)'=4+”∣x+a2x^H----1-aβx,

所以其通項公式為4M=c[36--(-xy=c/j(-ιy/,

令r=4,所以q=C*i(T)4=i35,

故選：B

9.卜一卜一的展開式中的常數(shù)項為，)

A.40B.60C.80D.120

【答案】A

【解析】U:的展開式的通項公式為7；M=(TyGx=(_2)'禺產(chǎn)2’,

(X√VX)(X)X?X)

令5-2r+3=0,得r=4,令5—2廠一1=0,得廠=2,

所以卜-lJχ-∣Y的展開式中的常數(shù)項為(—2)4C；-(-2)2C∕=40.

故選：A.

52345

10.?(2x-1)=α0+aλx+a2x+α3x+a4x+a5x,則同+同+㈤+㈤+㈤=()

A.244B.243

C.242D.241

【答案】C

【解析】顯然(2%+i)5=聞+∣q∣x+∣/χ+同d+kX+kM，闖=1，

令X=I得∣α0∣+∣011+?a2?+?a3?+?a4?+?a5?=243,

故同+同+同+EI+同=242.

故選：C.

3x-%)的展開式中各二項式系數(shù)之和為64,則展開式中的常數(shù)項為(

)

A.-540B.135C.18D.1215

【答案】B

9)展開式的通項

【解析】由題意得2"=64,所以〃6,所以3x-

心=晨(3X)6[-%)=(-ι)r?q?36-r?∕÷,

3

令6-y=0,得廠=4,

所以展開式中的常數(shù)項為(-I)，?C>32=135.

故選：B.

12.卜-1+1)的展開式中常數(shù)項為()

A.-61B.-59C.-57D.-55

【答案】B

【解析】將原式看成6個相同的因子相乘，按X的選取個數(shù)分類，

得展開式中常數(shù)項為Cθ+CjCjt(-2)+C：C；(-2)2=-59.

故選：B.

二、填空題

13.意+3)+勺展開式中/丁的系數(shù)為__________(用數(shù)字作答).

2x~

【答案】7

【解析】二項式(x+六)"的通項公式為：T=Cixs-r=y,

r+tΞ7

令r=2,所以的系數(shù)為c>[gj=7,

故答案為：7

14.已知二項式1+5)(n∈N*)展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值為

【答案】6

【解析】二項式(x+Jj("wN?)展開式的通項為:

加="∈N,)

二項式卜+}](〃eN*)展開式中含有常數(shù)項，

.?."-6A=θ("?&eN*)有解，

.?.n=6k(n,壯葉)則當我=1時，〃最小，且最小值為6.

故答案為：6.

15.(l-x)(l+2x)6展開式中/的系數(shù)為.

【答案】48

【解析】因為(I-X)(I+2x)6=(1+2X)6-X(1+2X)2

且(1+2x)6展開式的通項公式為&=C：(2x)'=2P彳

故犬的系數(shù)為2y-2g=48

故答案為:48.

232345

16.(x+1)(2x-3)=aa+axx+a1x+a3x+a4x+a5x,則氏=.

【答案】-20

【解析】由(X+1)2(2X-3)3=(∕+2X+1)(2X-3)3,要得貝IJ

de；(-3)'(2x)2+2xC↑(-3)°(2x)3=-36√+16x4=-20x4,所以%=-20,

故答案為：-20

J提開菊

一、單選題

1.(2021?浙江省杭州第二中學模擬預測)小貓在一個物理問題計算過程中遇到了對數(shù)據(jù)1.002∣2的處理，經(jīng)

過思考，小貓決定采用精確到0.001的近似值，則這個近似值是()

A.1.000B.1.024C.1.025D.1.023

【答案】B

12212

【解析】Loo產(chǎn)=(1+0.002)=C；+C1'2X0.002+C-2×0.002+...+C；］X0.002≈1+12×0.002≈1.024

故選：B.

2.(2022.山東?德州市教育科學研究院三模)d-2y)(2x-y)5的展開式中/寸的系數(shù)為()

X

A.80B.24C.-12D.-48

【答案】A

【解析】依題意，d-2y)(2x-y)5=L(2x-y)5-2y(2x-y)5,顯然,(2x-"展開式中沒有項，

XXX

-2y(2x-y)5展開式的χ2y"項為-2)V(2"?=80χ2y*,

所以(1-2y)(2x-y)5的展開式中x2/的系數(shù)為80.

X

故選：A

3.(2022,山東聊城?三模)(x+2y)S(x-3y)的展開式中χ?R項的系數(shù)為()

A.-120B.MOC.80D.200

【答案】B

【解析】(x+2y)S的展開式通項為小=C-√-*?(2j)*=C*?2<√V,

Sj?(Λ+2γ)5(x-3γ)=x(x+2γ)r,-3y(x+2γ)5,

在MM=G2?產(chǎn)y中，令6-r=3可得r=3,

在MM=C?2"?x5't∕+'中，令5-4=3可得Z=2,

因此，展開式中/V項的系數(shù)為c；.2'-3C；?2?=-40.

故選：B.

4.(2022?黑龍江?大慶實驗中學模擬預測(理))已知(2x-3)7=α°+4(x-1)+生(*-1)2++Ω7(X-1)?

則％=()

A.280B.35C.-35D.-280

【答案】A

727

［解析］(2x-3)=Λ0+αl(Λ-l)+α2(x-l)+?+Λ7(Λ-1),

令x—1=，，則4f+1

??(2/—1)=CIQ+6f∣Z+出廠++，

(2—1)7展開式的通項為：T小=C；⑵產(chǎn)(T)Q

令r=4,可得C；(2f)3=280p,所以%=280.

故選：A.

5.(2022.江蘇.常州高級中學模擬預測)(Y-χ+l)(χ-l)5的展開式中/的系數(shù)為()

A.-25B.25C.-5D.5

【答案】A

【解析】V(x2-x+l)(x-D5=x2(x-l)5-Xx-I)5+(x-l)5

(X-I)5的展開式為幾I=C>5-*(-1/=(-1/C√^*,1=0,1,2,...,5,

令k=3,得(一1)七江2=—I。/,則χ2(-10χ2)=-l()χ4,

令Z=2,得(-IyGx3=IOY,貝IJ-X(IOX3)=-I。/,

令k=l,得(T)C*4=-5d,

.?.(√-X+1)(X-D5的展開式中一的系數(shù)為㈠O)+(TO)+(-5)=-25.

故選：A.

6.(2022.安徽?合肥市第五中學模擬預測(理))楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家.他在《詳解

九章算法》一書中，畫了一個由二項式(α+b)"5=l,2,3,…)展開式的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作

法本源”，這就是著名的“楊輝三角在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數(shù)值都是它

上面的兩個數(shù)值之和，每一行第MA≤"MWN*)個數(shù)組成的數(shù)列稱為第k斜列.該三角形數(shù)陣前5行如圖所

示，則該三角形數(shù)陣前2022行第左斜列與第左+1斜列各項之和最大時，k的值為()

第1行I1

第2行12I

第3行1331

第4行1464

第5行15IO105

A.1009B.1010C.IOllD.1012

【答案】C

【解析】當上≥2時，第4斜列各項之和為c3+cr+C+???+C媒=C+Cr+C3+?→C鼠=CN,

同理，第Jt+1斜列各項之和為C姬,所以C；023+C溫=C姬，

所以第％斜列與第&+1斜列各項之和最大時，?+l=1012,wu=lθll.

故選：C.

7.(2022.福建省福州格致中學模擬預測)已知。"=2"+1,則關(guān)于"-4)(》-%)(“%)(》-4)(萬一“5)(萬一4)

的展開式，以下命題錯誤的是()

A.展開式中系數(shù)為負數(shù)的項共有3項

B.展開式中系數(shù)為正數(shù)的項共有4項

C.含/的項的系數(shù)是726

D.各項的系數(shù)之和為221

【答案】C

【解析】原式=(X-3)(X-5)(X-9)(X-17)(A33)(X-65),所以析的系數(shù)為1,是正數(shù)；」的系數(shù)為

-3-5-9-17-33-65=-132<0,χ4的系數(shù)為3χ5+3χ9+3χl7+3χ33+3χ65+5χ9++33×65>O,V的系數(shù)

?(-3)(-5)(-9)+(-3)(-5)(-17)++(-17)(-33)(-65)<0,/的系數(shù)為3x5x9x17++9×17×33×65>O,X

的系數(shù)為(-3)(-5)(-9)(-17)(-33)++(-5)(-9)(-17)(-33)(-65)<0,常數(shù)項為3X5X9X17X33X65>0,所以

展開式中系數(shù)為負數(shù)的項共有3項，展開式中系數(shù)為負數(shù)的項共有4項，所以選項AB正確，選項C錯誤.

設/(x)=(x-3)(x-5)(x-9)(x-17)(x-33)(x-65),所以/⑴=2?2?"?24m3=2?，所以各項的系數(shù)之

和為2?1所以選項D正確.

故選：C

8.(2022?吉林市教育學院模擬預測(理))對于J的展開式，下列說法不正確的是()

A.有理項共5項B.二項式系數(shù)和為512

C.二項式系數(shù)最大的項是第4項和第5項D.各項系數(shù)和為7

【答案】C

【解析】11-2?丫的展開式的通項公式為

z［、9—r3r

&=C；；(2√^)r=2rC^?

當r=0,2,4,6,8時，展開式的項為有理項，

所以有理項有5項，A正確；

所有項的二項式系數(shù)和為2,=512,B正確；

因為二項式的展開式共有10項，

所以二項式系數(shù)最大的項為第5項和第6項，C錯誤;

令x=l,所有項的系數(shù)和為(1-2)9=-1,D正確.

故選：C

9.(2022.江西.上高二中模擬預測(理))(丁―的展開式中各項系數(shù)的和為T,則該展開式中

的常數(shù)項為()

A.-32B.32C.-64D.64

【答案】A

【解析】對于(X-2］的展開式通項為7；M=CXT(-2y=(_2)，CJJ,

IX)x

所以原式的常數(shù)項為*?(-2)'C%-2=_32.

故選：A

10.(2022.北京?人大附中模擬預測)［m-x］展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項為()

A.-375B.-15C.15D.375

【答案】D

【解析】2"=64,〃=6,展開式的通項為加=G(5/廠(_4=(TyCQ6?3i2

由3rT2=0得r=4,則展開式的常數(shù)項為(-l)4Cβ2=375

故選：D

11.(2022.全國?模擬預測(理))已知函數(shù)/(x)=C!+C5+2c"3+k*r5++JcH++-C'；,x"(?,

35Kn

〃為正奇數(shù))，r(x)是f(χ)的導函數(shù)，則/'(ι)+"o)=()

A.2"B.2,,^'

C.2"+1D.2π^'+1

【答案】D

s

【解析】因為"x)=C+C%+kk+!c5++-j-cy++-C'?x",

3?κn

所以〃O)=C!=ι,

所以r(x)=C+cχ+cy++cyτ++qχ-?,

則/'⑴=c；+c：+c：++c+,+c：,

其中cj,+c+c++c++a=2一

所以r⑴=2"τ,

所以r⑴+/(o)=2"τ+i;

故選：D

12.(2022?山西呂梁?模擬預測(理))偉大的數(shù)學家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學界近一世紀的“巴賽爾級

?inY

數(shù)''難題.當〃eN*時，-,又根據(jù)泰勒展開式可以得到

Xn2π2)

,2n

(-1)''x^',根據(jù)以上兩式可求得＜+5+*■+

X=X

sin------1------F+(2n-l)!++-τ+=()

3!5!

π1

dC.d

3T?T

【答案】A

√√(TYIX2,1

+

【解析】由sin、*升力÷?1Γ,兩邊同時除以X,

行SinXX2Y(-?r,爐Z

^^7^-1^5T+7Γ++⑵)1!+

又啖卜才

sin?1-l-?

X?n~π

展開式中一的系數(shù)為T1111

÷~÷

F+F+7+YV

所以《1111

+++++

FF7-√,3!

所以:+*+"+1π2

H—y÷=----

n"6

故選：A.

二、填空題

13.(2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模(理))下面四個命題：

①已知函數(shù)/(x)的定義域為R,若己x+2)為偶函數(shù),/(2x+l)為奇函數(shù)，則/(3)=0；

②存在負數(shù)上使得/(x)=∣lgX-履-2恰有3個零點；

4432

③已知多項式(X-I)3+(X+O=X+alx+a2x+a3x+a4,則4=5；

④設一組樣本數(shù)據(jù)%,馬，，N,的方差為0.(”，則數(shù)據(jù)10410生，10x,,的方差為0」

其中真命題的序號為.

【答案】①③

【解析】對于①：因為“x+2)為偶函數(shù),BP∕(x+2)=∕(-x+2),令χ=l,所以43)="1),

又因為/(2x+l)為奇函數(shù)，所以/(2x+l)=—"-2x+l),令χ=0,

所以八1)=0,所以/⑶=0,故①正確；

對于②：存在負數(shù)3使得/(x)=∣lgx∣-依-2恰有3個零點等價于y=∣∣gx∣和y=履+2,

有三個不同交點，且y=H+2恒過點(0,2),

畫出圖像如下所示：根據(jù)圖像判斷至多有兩個交點，故②不正確;

對于③：(XT)3=Cθ√+C>2+C；x+1=χ3+3f+3x+1,

(x+l)4=Cb4+C>3+C>2+C>+l=x4+4x3+Gx2+4x+l,

所以/的系數(shù)為：5,故③正確；

對于④：設占，々，「，x,,的平均數(shù)為"

22x+

則其方差為：5=?∣^(xl-x)+(?-)^+(x,,-x)[=0?01,

則10x∣,l(h?,,S,,的平均數(shù)為10；，

2222

則其方差為：5=?[(lOxl-1Ox)+(1Ox2-1Ox)++lθ(x,,-lθx)=IOOXo.01=1,

故④不正確.

故答案為：①③.

?湖北湖北?模擬預測)代數(shù)式與的展開式的常數(shù)項是

14.(2021(V+2)(-Ip.(用數(shù)字作答)

廠

【答案】3

【解析】(d+2U-I)=XCl

-?-ij的展開式通項為a3?(-ι)f=q?(-ι),?x2r^l°,

所以，(丁+2)(5-1)的展開式通項為

t2t10rrl28r2r

τk+κr+i=√C<(-l)?x-+2C;?(-l).√-°=C*?(-l∕?x*-+2q?(-l)?x-'°,

2k-8=0上=4

由21。=。'可得

r=5

因此，(丁+2旺一1j的展開式的常數(shù)項為C；?(7)4+2C?(-l)5≈3.

故答案為：3.

15.(2022?安徽?蕪湖一中模擬預測)在的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大，則常數(shù)項為

【答案】1120

【解析】由的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大得〃=8,

(2L=C(T)*2f

所以展開式通項為Tw=C

當&=4時常數(shù)項為為Cl)W=1120.

故答案為：1120

16.(2023?全國?模擬預測)若(χ2+α)[x+l]的展開式中f的系數(shù)為9,則“的值為

【答案】1

【解析】(J+")(x+['=Y卜+J+。｛x+Jj,且卜+Jj展開式的通項。U=G?f&j=C，-”,

當8-2r=6時，r=l,此時-的系數(shù)為C；.

當8-2r=8時，r=0,此時XIt的系數(shù)為C；.

展開式中f的系數(shù)為C；+oC；=8+a=9,?a=l.

故答案為：1

Y真題練）

L（2018全國HI理）（f+2）5的展開式中/的系數(shù)為（）

X

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

2

【解析】（+]=G（f）5τ（W>=G2F°-3"由10-3r=4,得r=2,所以/的系數(shù)為C；x2?=40.故

X

選C.

2

2.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標I））（χ+二）（χ+>）5的展開式中。3的系數(shù)為（）

A.5B.IOC.15D.20

【答案】C

【解析】（χ+y）5展開式的通項公式為（+∣=C*5fy'（reN且r≤5）

所以的各項與（χ+y）5展開式的通項的乘積可表示為:

xJ

2