小學(xué)奧數(shù)幾何體系-折紙問(wèn)題、將軍飲馬_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

,------------圾“知識(shí)剖析/翳I

對(duì)稱指物體或圖形在某種變換條件下,其相同部分間有規(guī)律重復(fù)=的現(xiàn)=象,S也就=是在S一定

變換條件下的不變現(xiàn)象.對(duì)稱是幾何形狀、系統(tǒng)、方程及其他實(shí)際上或概念上之客體的一種

特征.

軸對(duì)稱:如果一個(gè)平面圖形,沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合,那么這

個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線叫做對(duì)稱軸.

軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn):

?對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線;

?對(duì)稱軸左右兩邊的圖形全等(對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角都相等)

例題:下列圖形中對(duì)稱軸最多的是_________.

ΔA□BCODX

解析:圖A是一個(gè)等邊三角形,有三條對(duì)稱軸;圖B是一個(gè)正方形,有四條對(duì)稱軸;

圖C是一個(gè)正五邊形,有五條對(duì)稱軸,圖力有三條對(duì)稱軸.

總結(jié):先觀察圖形中相等的邊,對(duì)稱軸是一條直線.

如圖,將一張正方形紙片經(jīng)兩次對(duì)折,并剪出一個(gè)菱形小洞后展開鋪平,得到的圖形是

().

將一正方形紙片按下列順序折疊,然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去右上方的小三角

形.將紙片展開,得到的圖形是().

一位將軍要從A城堡去B軍營(yíng),但戰(zhàn)馬已經(jīng)很疲憊了,現(xiàn)在需要戰(zhàn)馬先去河邊飲水,飲水

后到達(dá)B軍營(yíng),應(yīng)該怎樣走路程才最短?(兩點(diǎn)之間,線段最短)

a

缸?B

A

小河

iff練一練

如下圖,在直線4、,2上分別求點(diǎn)N,使得APMN的周長(zhǎng)最小.

請(qǐng)用兩種方法分別在下圖方格內(nèi)再涂黑兩個(gè)小正方形,使它們成為軸對(duì)稱圖形.

能練一練

>-I

由16個(gè)相同的小正方形拼成的正方形網(wǎng)格,現(xiàn)將其中的兩個(gè)小正方形涂黑,請(qǐng)你用八種不

同的方法分別在下圖中再將兩個(gè)空白的小正方形涂黑,使它成為軸對(duì)稱圖形.

*4吧

如圖,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,三角形ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上,請(qǐng)

按要求完成下列各題:

(1)先將三角形48C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到三角形AB右

(點(diǎn)A、2、C經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn),平移后的點(diǎn)分別為A、B、O.請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出三角形ARe

(2)若圖中點(diǎn)A的位置記作(3,5),點(diǎn)B的位置記作(1,2),那么點(diǎn)B的位置記作.

(3)連接Afi',AB>求四邊形AfiA'8.的面積.

A

2

f

B1C

的練一練

如圖,將三角形ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

城)[)模塊二折疊問(wèn)題二:■

................中裔急“知識(shí)剖析嗡螃笆

圖形的折疊實(shí)際就是反射變換或者說(shuō)是對(duì)稱變換,或者說(shuō)是翻折.這類問(wèn)題大都聯(lián)系實(shí)

際,內(nèi)容豐富,解法靈活,具有開放性,有利于考查解題者的動(dòng)手能力,空間觀念和幾何變

換的思想.

對(duì)于折疊問(wèn)題,有以下幾點(diǎn):

?折疊問(wèn)題(翻折變換)實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換;

?折疊前后的圖形形狀和大小不變,位置不變,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等;

?在長(zhǎng)方形(紙片)折疊問(wèn)題中,重合部分是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形.

例如:將一張長(zhǎng)5厘米,寬3厘米的長(zhǎng)方形紙沿對(duì)角線對(duì)折后如圖所示的圖形,圖中陰

影部分的周長(zhǎng)是多少?

解析:陰影部分,

CE+EF=BC(折疊前后兩線段重合),

AE+ED^AD,AF=AB;

貝IJ陰影部分的周長(zhǎng)AE+ED+CE+EF+AF+CD

=AD+BC+AB+CD

=2x(5+3)

=16(厘米)

答:陰影部分的周長(zhǎng)是16厘米.

總結(jié):折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱.對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線,折

疊前后圖形的大小不,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

Λ?例5

小熊貓最近迷上了圖形的折疊,它將一張面積為42平方厘米的三角形折成了如圖所示的圖

3

形,已知圖中陰影部分的面積是原來(lái)三角形面積的亍,那么四邊形ABC。的面積是多少?

如果原三角形的周長(zhǎng)是45厘米,那么陰影部分的周長(zhǎng)是多少?

的練一練

將如圖所示的三角形沿虛線折疊,得到如圖所示的多邊形,這個(gè)多邊形的面積是原三角形的

已知圖中重疊的面積和為6平方厘米,求原來(lái)三角形的面積.

7

如圖,在7x7的方格中,找到一點(diǎn)C使得三角形ABC成為一個(gè)等腰三角形,滿足條件的

點(diǎn)C有多少個(gè)?請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出各點(diǎn).

B

Λ

iff練一練

如圖,在7x7方格中,找到一點(diǎn)C,使得三角形ABC成為一個(gè)直角三角形,滿足條件的點(diǎn)

C有多少個(gè)?請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出各點(diǎn).

」、例7

'一

將一個(gè)長(zhǎng)為5厘米,寬為2厘米的長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示圖形,重疊部分是一個(gè)三角

形ABC,則這個(gè)三角形ABC面積的最小值是多少?最大值是多少?

伊練一練

將一個(gè)寬為8厘米的長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示圖形,重疊部分是一個(gè)三角形A5G則這

個(gè)三角形ABC面積的最小值是多少?

BA

隨堂練習(xí)

練習(xí)1.農(nóng)民叔叔阿根想用20米長(zhǎng)的金屬網(wǎng)建一個(gè)靠墻的長(zhǎng)方形雞窩(如圖).要使所建的

雞窩面積最大,BC的長(zhǎng)應(yīng)是多少米?

練習(xí)2.將.4BC沿DE、HG、所翻折,三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)。處.若Zl=129°,則Z2

的度數(shù)為().

練習(xí)3.在下列圖中,將三角形A8C繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后,再向右平移4個(gè)格,

請(qǐng)作出最后得到的圖案.

練習(xí)4.將一正方形紙片依次按下圖中前兩幅圖的方式對(duì)折后,再沿第三幅圖中的虛線裁剪,

然后將第四幅圖中的紙片打開鋪平,所得的圖案應(yīng)該是下面圖案中的()

TR一"」

D-I□□

練習(xí)5.小學(xué)五年級(jí)我們學(xué)習(xí)了《軸對(duì)稱》,折疊是研究《軸對(duì)稱》的重要方法之一.請(qǐng)用你

學(xué)過(guò)的知識(shí)幫助小明解決下列問(wèn)題:

(1)如圖1,在長(zhǎng)方形A8C。中,點(diǎn)E是邊BC上任意一點(diǎn),連接AE、DE,若長(zhǎng)

方形ABCQ的面積為8,則三角形AEZ)的面積為.

(2)如圖2,是一張面積為8的三角形紙片ABC,AO是BC邊上的高,。為垂足,

小明將三角形紙片折疊,使得點(diǎn)A與點(diǎn)。重合,折痕為EE將點(diǎn)B與點(diǎn)。重合,

折痕為E”,點(diǎn)C與點(diǎn)。重合,折痕為尸G.如圖3,此時(shí),小明發(fā)現(xiàn)四邊形EFG”

是一個(gè)長(zhǎng)方形,那么圖3中陰影部分的面積為.

(3)如圖4,有一張三角形紙片ABC,小明將這張紙片沿CE折疊,點(diǎn)A落在三角

形ABC的外部A處,折疊后得到多邊形A8G4FCE,它的面積與原來(lái)三角形A3C的

面積之比為2:3,已知陰影部分的面積為5平方厘米,請(qǐng)幫助小明求出原三角形ABC

的面積.

圖4

思維提升

提升1.有一張等腰直角三角形的紙(如圖1),AB=20厘米.把它的兩個(gè)角向斜邊的中點(diǎn)。折

疊,使A、B兩點(diǎn)都與O點(diǎn)重合(如圖2),再以Co為對(duì)稱軸將圖2對(duì)折,得到一個(gè)

梯形(如圖3).求這個(gè)梯形的面積.

提升2.如圖,一張長(zhǎng)方形紙片經(jīng)過(guò)折疊,恰好得到一個(gè)三角形ABC,這個(gè)三角形的面積與

原長(zhǎng)方形紙片面積之比為,ZBAC=

提升3.如圖,直角梯形ABeD中,AD∕∕

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