小學奧數(shù)幾何體系-折紙問題、將軍飲馬

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對稱指物體或圖形在某種變換條件下，其相同部分間有規(guī)律重復(fù)=的現(xiàn)=象，S也就=是在S一定

變換條件下的不變現(xiàn)象.對稱是幾何形狀、系統(tǒng)、方程及其他實際上或概念上之客體的一種

特征.

軸對稱：如果一個平面圖形，沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這

個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

軸對稱圖形的特點：

?對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線；

?對稱軸左右兩邊的圖形全等（對應(yīng)邊和對應(yīng)角都相等）

例題：下列圖形中對稱軸最多的是_________.

ΔA□BCODX

解析：圖A是一個等邊三角形，有三條對稱軸；圖B是一個正方形，有四條對稱軸；

圖C是一個正五邊形，有五條對稱軸，圖力有三條對稱軸.

總結(jié)：先觀察圖形中相等的邊，對稱軸是一條直線.

如圖，將一張正方形紙片經(jīng)兩次對折，并剪出一個菱形小洞后展開鋪平，得到的圖形是

（）.

將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去右上方的小三角

形.將紙片展開，得到的圖形是（）.

一位將軍要從A城堡去B軍營，但戰(zhàn)馬已經(jīng)很疲憊了，現(xiàn)在需要戰(zhàn)馬先去河邊飲水，飲水

后到達B軍營，應(yīng)該怎樣走路程才最短？（兩點之間，線段最短）

a

缸?B

A

小河

iff練一練

如下圖，在直線4、，2上分別求點N,使得APMN的周長最小.

請用兩種方法分別在下圖方格內(nèi)再涂黑兩個小正方形，使它們成為軸對稱圖形.

能練一練

>-I

由16個相同的小正方形拼成的正方形網(wǎng)格，現(xiàn)將其中的兩個小正方形涂黑，請你用八種不

同的方法分別在下圖中再將兩個空白的小正方形涂黑，使它成為軸對稱圖形.

*4吧

如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形ABC的頂點在格點上，請

按要求完成下列各題：

（1）先將三角形48C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。，再向右平移2個單位長度，得到三角形AB右

（點A、2、C經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，平移后的點分別為A、B、O.請在網(wǎng)格中畫出三角形ARe

（2）若圖中點A的位置記作（3,5）,點B的位置記作（1,2）,那么點B的位置記作.

（3）連接Afi',AB＞求四邊形AfiA'8.的面積.

A

2

f

B1C

的練一練

如圖，將三角形ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

城）［）模塊二折疊問題二:■

................中裔急“知識剖析嗡螃笆

圖形的折疊實際就是反射變換或者說是對稱變換，或者說是翻折.這類問題大都聯(lián)系實

際，內(nèi)容豐富，解法靈活，具有開放性，有利于考查解題者的動手能力，空間觀念和幾何變

換的思想.

對于折疊問題，有以下幾點：

?折疊問題（翻折變換）實質(zhì)上就是軸對稱變換；

?折疊前后的圖形形狀和大小不變，位置不變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；

?在長方形（紙片）折疊問題中，重合部分是一個以折痕為底邊的等腰三角形.

例如：將一張長5厘米，寬3厘米的長方形紙沿對角線對折后如圖所示的圖形，圖中陰

影部分的周長是多少？

解析：陰影部分，

CE+EF=BC（折疊前后兩線段重合），

AE+ED^AD,AF=AB;

貝IJ陰影部分的周長AE+ED+CE+EF+AF+CD

=AD+BC+AB+CD

=2x(5+3)

=16(厘米)

答：陰影部分的周長是16厘米.

總結(jié)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱.對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線，折

疊前后圖形的大小不，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

Λ?例5

小熊貓最近迷上了圖形的折疊，它將一張面積為42平方厘米的三角形折成了如圖所示的圖

3

形，已知圖中陰影部分的面積是原來三角形面積的亍，那么四邊形ABC。的面積是多少？

如果原三角形的周長是45厘米，那么陰影部分的周長是多少？

的練一練

將如圖所示的三角形沿虛線折疊，得到如圖所示的多邊形，這個多邊形的面積是原三角形的

已知圖中重疊的面積和為6平方厘米，求原來三角形的面積.

7

空

如圖，在7x7的方格中，找到一點C使得三角形ABC成為一個等腰三角形，滿足條件的

點C有多少個？請在圖中標出各點.

B

Λ

iff練一練

如圖，在7x7方格中，找到一點C,使得三角形ABC成為一個直角三角形，滿足條件的點

C有多少個？請在圖中標出各點.

」、例7

'一

將一個長為5厘米，寬為2厘米的長方形紙片折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個三角

形ABC,則這個三角形ABC面積的最小值是多少？最大值是多少？

伊練一練

將一個寬為8厘米的長方形紙片折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個三角形A5G則這

個三角形ABC面積的最小值是多少？

BA

隨堂練習

練習1.農(nóng)民叔叔阿根想用20米長的金屬網(wǎng)建一個靠墻的長方形雞窩（如圖）.要使所建的

雞窩面積最大，BC的長應(yīng)是多少米?

練習2.將.4BC沿DE、HG、所翻折，三個頂點均落在點。處.若Zl=129°,則Z2

的度數(shù)為（）.

練習3.在下列圖中，將三角形A8C繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后，再向右平移4個格,

請作出最后得到的圖案.

練習4.將一正方形紙片依次按下圖中前兩幅圖的方式對折后，再沿第三幅圖中的虛線裁剪,

然后將第四幅圖中的紙片打開鋪平，所得的圖案應(yīng)該是下面圖案中的（)

TR一"」

D-I□□

練習5.小學五年級我們學習了《軸對稱》，折疊是研究《軸對稱》的重要方法之一.請用你

學過的知識幫助小明解決下列問題：

(1)如圖1,在長方形A8C。中，點E是邊BC上任意一點，連接AE、DE,若長

方形ABCQ的面積為8,則三角形AEZ)的面積為.

(2)如圖2,是一張面積為8的三角形紙片ABC,AO是BC邊上的高，。為垂足，

小明將三角形紙片折疊，使得點A與點。重合，折痕為EE將點B與點。重合，

折痕為E”，點C與點。重合，折痕為尸G.如圖3,此時，小明發(fā)現(xiàn)四邊形EFG”

是一個長方形，那么圖3中陰影部分的面積為.

(3)如圖4,有一張三角形紙片ABC,小明將這張紙片沿CE折疊，點A落在三角

形ABC的外部A處，折疊后得到多邊形A8G4FCE,它的面積與原來三角形A3C的

面積之比為2:3,已知陰影部分的面積為5平方厘米，請幫助小明求出原三角形ABC

的面積.

圖4

思維提升

提升1.有一張等腰直角三角形的紙（如圖1），AB=20厘米.把它的兩個角向斜邊的中點。折

疊，使A、B兩點都與O點重合（如圖2）,再以Co為對稱軸將圖2對折，得到一個

梯形（如圖3）.求這個梯形的面積.

提升2.如圖，一張長方形紙片經(jīng)過折疊，恰好得到一個三角形ABC,這個三角形的面積與

原長方形紙片面積之比為，ZBAC=

提升3.如圖，直角梯形ABeD中，AD∕∕