山東省菏澤市2023屆高三下學(xué)期一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023年高三一模考試

數(shù)學(xué)試題

2023.2

注意事項：

L本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號等個人信息填寫在答題卡指定位置.

3.考生作答時，請將K答案H答在答題卡上.選擇題每小題選出《答案X后，用2B鉛筆把答

題卡上對應(yīng)題目的II答案Il標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡

上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的K答案Il無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,已知集合"={幻,-x-2<θ},則金A=()

A.{%∣-l<x<2}B.{x∣-l<x≤2}

C.{x∣X<—1或%>2}D.{x∣x≤-l或x≥2}

K答案HD

K解析H

K祥解11根據(jù)不等式的解法，求得A={x∣τ<x<2},結(jié)合補集的運算，即可求解.

K詳析D由不等式ΛJ-X-2=(X-2)(X+1)<0,解得一1<X<2,即A={x∣T<x<2},

根據(jù)補集的概念及運算，可得。A={x∣X≤-1或x≥2}.

故選：D.

2.設(shè)i虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i(2-D,則I=()

A.1+2zB.1一2iC.-1+2zD.—1—2i

R答案UB

K解析》

K祥解》先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共就復(fù)數(shù)概念得結(jié)果.

K詳析DQz=z(2-z)=l+2z.?.z=l-2z

故選：B

Kr點石成金D本題考查共輾復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.2020年12月17日凌晨1時59分，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品成功著陸，這是我國首次實現(xiàn)了地外天

體采樣返回，標(biāo)志著中國航天向前又邁出了一大步.月球距離地球約38萬千米，有人說：在理想狀態(tài)下，

若將一張厚度約為01毫米的紙對折幾次其厚度就可以超過到達(dá)月球的距離,那么至少對折的次數(shù)“是()

(Ig2≈0.3,lg3.8≈0.6)

A.40B.41C.42D.43

K答案』C

K解析H

K祥解H

設(shè)對折〃次時，紙的厚度為則｛4｝是以q=0.1x2為首項，公比為2的等比數(shù)列，

求出｛%｝的通項，解不等式4,=().lx2"≥38xl()4χl()6即可求解

R詳析》設(shè)對折〃次時，紙的厚度為％,每次對折厚度變?yōu)樵瓉淼?倍，

由題意知｛4｝是以q=0?lx2為首項，公比為2的等比數(shù)列，

所以a,,=0.1×2×2π^l=0.1×2n,

令α,,=0.1×2,,≥38X104×106,

即2"≥3.8X10∣2,所以Ig2"≥lg3.8+12,即篦lg2≥0.6+12,

解得：?>—=42,

0.3

所以至少對折的次數(shù)〃是42,

故選：C

H點石成金D關(guān)鍵點『點石成金J：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意抽象出等比數(shù)列的模型，求出數(shù)列的通項，

轉(zhuǎn)化為解不等式即可.

4.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且A8,C,。四個頂點在同一平面內(nèi)，下列結(jié)論：①AE//平

面CDF；②平面AM//平面CPF;③A④平面ACE_L平面BZ印，正確命題的個數(shù)為()

E

A.1B.2C.3D.4

K答案UD

R解析』

R祥解2根據(jù)題意，以正八面體的中心。為原點，08,0CoE分別為％χz軸，建立如圖所示空間直角

坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運算以及法向量，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

以正八面體的中心。為原點，08,0CoE分別為X,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正八面體的邊長為2,則A儀,-夜,0)閭0,0,夜),。(0,0,0),力(—&,0,0),40,0,-夜)

所以，AE=(θ,√2,√2),CD=(-√2,-√2,θ),CF=(θ,-√2,-√2),

..fCD-n=-y/lx-V∑v=O?x=z

設(shè)面CDF的法向量為〃=(工,丁*),則〈LL,解得＜,取X=I,即〃=(LTl)

[CF?n=-√2y-√2z=01%=一＞

又AE?/=-JΣ+我=O，所以AEj_〃，AEa面Cf＞尸，即AE//面CDE，①正確；

因為AE=-CF,所以AE//CT,

又ABHCD,ABU面CDE,Cr)U面CDb,則AB//面CoF,

由ABnAE=A,4￡,48<=平面4?￡,所以平面AEB//平面，②正確；

因為8(夜,O,θ),AB=(0,0,θ),AD=(-0,JΣ,θ),則.花=0，所以/1B_LA￡),③正確;

ULU

易知平面ACE的一個法向量為“=(1,0,0)，平面3DF的一個法向量為々=(0,1,0),

因為〃∣?n2=0,所以平面AcEJ■平面JBz)F,④正確;

故選：D

5.過拋物線C:y=4/焦點/作傾斜角為30的直線交拋物線于A6,則IAW=()

12

A.-B.-C.1D.16

33

K答案』A

K解析》

K祥解D點斜式設(shè)出直線/的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達(dá)定理來求解.

K詳析》y=4/化為標(biāo)準(zhǔn)形式f=_Ly由此知2〃=]_,〃=_!_；

448

設(shè)直線，的方程沏TYAaM,配M，根據(jù)拋物線定義知圍r+%+P;

將X=Ky一5)，代入f=2py,可得12尸一20py+3∕√=0,

20

乂+%—P~~

123

5881?

由此代入IABl=yi+y2+P=—p+P=-p=-×-

33383

故選：A

6.為了迎接“第32屆荷澤國際牡丹文化旅游節(jié)”，某宣傳團(tuán)體的六名工作人員需要制作宣傳海報，每人承擔(dān)

一項工作，現(xiàn)需要一名總負(fù)責(zé)，兩名美工，三名文案，但甲，乙不參與美工，丙不能書寫文案，則不同的

分工方法種數(shù)為()

A.9種B.11種C.15種D.30種

K答案HC

K解析H

R祥解》利用分類加法計數(shù)原理進(jìn)行分析，考慮丙是否是美工，由此展開分析并計算出不同的分工方法種

數(shù).

K詳析Il解：若丙是美工，則需要從甲、乙、丙之外的三人中再選一名美工，

然后從剩余四人中選三名文案，剩余一人是總負(fù)責(zé)人，共有C；C：=12種分工方法；

若丙不是美工，則丙一定是總負(fù)責(zé)人,

此時需從甲、乙、丙之外的三人中選兩名美工，剩余三人是文案，共有C；種分工方法;

綜上，共有12+3=15種分工方法,

故選：C.

12%

7.設(shè)實數(shù)χ,y滿足χ+>=ι,?>O,x≠o,則廠［+—的最小值為（）

IxIy

A.2√2-lB.2√2+lC.√2-lD.√2+l

K答案】A

K解析》

K祥解Il分為X>O與x<O,去掉絕對值后，根據(jù)“1”的代換，化簡后分別根據(jù)基本不等式，即可求解

得出K答案》.

12Ixlχ+y2xy2xΓy_2x.-

K詳析》當(dāng)χ>O時，∣-r+-----=-----+——=—H------Fl≥2---------F1=2?∣r2+1?

HlyXyXy?χy

當(dāng)且僅當(dāng)上=2x

—,即x=√2-by=2-√Σ時等號成立，此時有最小值20+1；

Xy

二+綱="+2=2+07≥2回凸—1=2艮1.

當(dāng)XVO時,

國y-Xy-XyY-Xy

當(dāng)且僅當(dāng)上即

=2,x=_i_J5,y=2+0時等號成立，此時有最小值2√5-l

Ty

12XL

所以，'的最小值為20—1?

Wy一

故選：A.

8.定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=∕（x）,如果3?∈R,使得〃/）=/，則稱與為函數(shù)“X）的不動點?

給定函數(shù)/(x)=CoSΛ,g(x)=sinr,已知函數(shù)/(x),/(g(x)),g(∕(x))在(0,1)上均存在唯一不

動點，分別記為國,々，七，則（）

A.x3>xi>X2B.x2>X3>XiC.X2>X1>X3D.x3>x2>X1

K答案2c

K解析X

K祥解Il由已知可得CoSXl=X1,貝I]CoSXl-Xl=0,Sin(CoSXI)-Sinχ=O.然后證明x>sinx在(0,1)上

恒成立.令∕7(x)=Sin(COSX)—sinX,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知尸(X)在((U)上單調(diào)遞減，即可得出

芻<玉.令G(X)=CoSX—x,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得G(X)在((U)上單調(diào)遞減，即可推得∕>x∣?

R詳析11由已知可得，CoSXl=X一則COSXl-X]=0,

且Sin(COSXj=Sin玉，所以Sin(COSXJ—sin玉=0.

又COS(SinX2)=W，Sin(COSΛ3)=x3.

令〃(X)=X—sinx,Xe(0,1),則/2'(X)=I—cosx>0恒成立，

所以，MX)在(0,)上單調(diào)遞增,所以MX)>∕ι(0)=0,所以x>sinχ.

所以，Sin(COSF)=X5>sinx3,即Sin(COSF)—SinF>0.

令∕7(x)=Sin(CoSX)-SinX,x∈(θ,l),

因為函數(shù)y=sinx在(0,1)上單調(diào)遞增，y=cosx在(0,1)上單調(diào)遞減，且O<cosx<l,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=sin(cosx)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以E(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

7

又∕(W)=O,F(X5)>0=F(XI),所以X3<%.

因為V=Cosx在(0,1)上單調(diào)遞減，sinx2<x2,所以CoS(SinW)>COSΛ2.

又COS(SinX2)=W，所以々,cos/,BPCOS%2-Λ2<O.

令G(X)=CoSX—x,x∈(0,l),則G'(x)=-SinX—1<0恒成立，

所以，G(X)在(0,1)上單調(diào)遞減.

又G(XI)=COS玉一百=O,G(X2)=CoSX2_W<0=G(XJ,

所以々>X.

綜上可得，X2>x∣>X3.

故選：C.

Rr點石成金口關(guān)鍵點『點石成金』：證明X>sinx在(0,1)上恒成立.然后即可采用放縮法構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.

二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，有選錯的得O分，部分選對的得2分.

9.為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機抽取了IOO名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學(xué)生的體重數(shù)據(jù)（單位:

千克）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.04

B.這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為20

C.這100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5

D.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為61.25

K答案，ACD

K解析，

分析》利用頻率之和為1可判斷選項A,利用頻率與頻數(shù)的關(guān)系即可判斷選項B,利用頻率分布直方圖中

眾數(shù)的計算方法求解眾數(shù)，即可判斷選項C,由百分位數(shù)的計算方法求解，即可判斷選項D.

K詳析2解：由（0?01+0?07+0?06+α+0.02）χ5=l,解得α=0.（）4,故選項A正確；

體重不低于60千克的頻率為（0.04+0.02）x5=0.3,

所以這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為0.3x100=30人，故選項B錯誤；

100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為空至=52.5,故選項C正確；

因為體重不低于60千克的頻率為0.3,而體重在[60,65）的頻率為0.04x5=0.2,

所以計該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為60+5χ,=61.25,故選項D正確.

4

故選：ACD.

10.已知圓O：f+y2=4,下列說法正確有（）

A.對于VmeR,直線（2m+1）、+（加+1）丫-7"[-4=。與圓0都有兩個公共點

B,圓。與動圓C:(X-女尸+⑶一百幻2=4有四條公切線的充要條件是網(wǎng)>2

C.過直線x+y—4=。上任意一點尸作圓。的兩條切線PAPB(AB為切點)，則四邊形Q4Q3的面積

的最小值為4

D.圓。上存在三點到直線x+y-2=0距離均為1

K答案DBC

K解析》

R祥解11對于選項A,轉(zhuǎn)化為判斷直線恒過的定點與圓的位置關(guān)系即可；對于選項B,轉(zhuǎn)化為兩圓外離，

運用幾何法求解即可；對于選項C,由SPAoB=2S3P=2JlOPI2-4，轉(zhuǎn)化為求IoPl最小值即可；對于

選項D,設(shè)圓心到直線的距離為d,比較r―。與1的關(guān)系即可.

R詳析D對于選項A,因為(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0,即：∕n(2x+y-7)+x+y—4=0,

2x+y-7=0CX=3

所以<?,c=><,,所以直線恒過定點(3,1),

x+y-4=0[y=l

又因為32+『>4,所以定點(3,1)在圓。外，

所以直線(2根+l)x+(m+1)丁一7〃2-4=0與圓?？赡芟嘟?、相切、相離，即交點個數(shù)可能為O個、1個、

2個.故選項A錯誤；

對于選項B,因為圓。與動圓C有4條公切線，所以圓。與圓C相離，

又因為圓。的圓心0(0,0),半徑(=2,圓C的圓心C(k,Gk)，半徑弓=2,

所以即：2解得：故選項正確；

∣OC∣>∕5+G,λ∕F+(√3Z:)>4,lZl>2.B

21

對于選項C,SPAOB=2SΔOAP=2×^×?0A?×?PA?=2×^×?0A?×y∣?0P?-?0A[=2y∕[0Pf~A,

號=

又因為。到P的距離的最小值為。到直線x+y-4=O的距離，即:IoPImin=20,

所以四邊形PAOB的面積的最小值為2)(2&)2-4=4?故選項C正確;

2

對于選項D,因為圓O的圓心。(0,0),半徑4=2,則圓心O到直線x+y-2=Q的距離為d正√2,

所以八-d=2-0<l,所以圓。上存在兩點到直線x+y-2=0的距離為L故選項D錯誤.

故選：BC.

11.已知函數(shù)力(X)=Sin"x+cos"x(〃eN)下列命題正確的有()

A.f(2x)在區(qū)間［0,π］上有3個零點

B.要得到工(2x)的圖象，可將函數(shù)y=技o(jì)s2x圖象上的所有點向右平移!個單位長度

O

C.力(X)的周期為T，最大值為1

D.力(力的值域為［-2,2］

K答案HBC

K解析，

R祥解2/；(2x)=J^sin(2x+：),根據(jù)X的范圍得出工(2x)的零點，即可判斷A項；根據(jù)已知得出平

13

移后的函數(shù)K解析Il式，即可判斷B項；由已知化簡可得K(X)=WCoS4x+1,即可判斷C項；由己知

3

可得，^(%)=^cosfx--l-72cosfx--y換元根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求解g(f)=2gf-衣3在卜J］上

的值域，即可判斷D項.

K詳析D對于A項，由已知可得，/(2x)=sin2x+cos2x=0sin(2x+?).

JT7ΓQτr

因為()≤X≤7l,所以一≤2x+-≤-,

444

當(dāng)2%+3=π或2x+?=2π時,即X=型或X=女時，有＜(2x)=0,

所以工(2x)在區(qū)間［(),兀］匕有2個零點，故A項錯誤；

對于B項，將函數(shù)y=√∑cos2x圖象上的所有點向右平移弓個單位長度得到函數(shù)

y-V2cos2^x-^=&cos(2x—：J=V∑sin［2x+?^),故B項正確；

4422222

對于C項，由己知可得，f4(x)=sinx+cosX=(sinx+cosxj-2sinxcosx

1.2c,1l-cos4x,1.3

=——sin2x+ι-——X-----------?-l=—cos4%+-,

22244

?JFJT1Q

所以，Zla)的周期τ='=2,最大值為±+±=1,故C項正確；

4244

對于D項，力(X)=Sin3x+cos?,X=(SinX+cosX)(I-SinXCoSX)

λ13正??

兀ππ

+1H

一

--一--J

47224√4√

令E=COS卜一：，—l≤f≤Lg(f)=孚/一萬3,

則g<。=亭-3√^2=-3√Σ

tf—√η

2J

解g'W=O,可得t=±等

解g'(f)>O,可得—乎<r<#Xf√2√2Λ∣

,所以g(z/?在1—2~''~2~上單調(diào)遞增;

解g'（r）＜O,可得-14f＜一當(dāng)或等＜fWl,所以g（r）在一1,一

上單調(diào)遞減，在,1上單調(diào)

2J

遞減.

口7?3>∕2∕T?^2⑸3√2

且g(-l)=——+√2=，g—×-y∕2×

2

/7

叵I=述X變一后歷1，g（i）=哈血當(dāng)

g

2J222J

當(dāng)『=—孝時，g。）有最小值T；當(dāng)f=孝時,

所以,g（。有最大值1.

所以,力（X）的值域為［-1,1］,故D項錯誤.

故選:BC.

/、

3√2π3π.令/=x

K『點石成金』X思路『點石成金』：求出力（外=---------COSX—-?∣2cos%——cos(~~

24J

-l≤r≤l,g⑺=差√一.然后借助導(dǎo)函數(shù)求出g⑺=差√_√2r3在［-1,1］上的最值，即可得出

函數(shù)的值域.

12.已知雙曲線￡；:爐一21=1的左、右焦點分別為耳、￡,過點C（l,立）的直線/與雙曲線E的左、右兩支

32

分別交于P、。兩點，下列命題正確的有（）

A.當(dāng)點C為線段P。的中點時，直線/的斜率為G

B.若A（-1,O）,則NQgA=2NQAK

C.?PFl?↑PF2?>?Pθf

D.若直線/的斜率為手,且3（0,√i）,K∣J∣P^∣+∣Qξ∣=∣PB∣+∣QB∣

K答案DBCD

R解析H

R祥解》對于八選項，設(shè)「（司,門,。（々，當(dāng)），代入雙曲線，用點差法即可判斷；對于B選項，設(shè)Q（Xo,片），

表示出tanZQFA=一一三)'o

1^lltan2ZQAF2--得出tanNQgA=tan2NQA鳥，再結(jié)合

?-2XO-2

NQ瑪A,NQA瑪∈（0,兀）即可得出結(jié)論；對于C選項，設(shè)P（XP,%），其中％≤T,由雙曲線方程，得出

療=3（片-1）,利用兩點之間距離公式，分別表示出|以訃歸圖和IPOl2,通過做差即可得出結(jié)論；對于

D選項，根據(jù)雙曲線的定義，得出IWI+∣Q6∣=∣P周+依周，再證出點B與點K關(guān)于直線/對稱，則

即可得出結(jié)論.

?PB?+?QB?^?PF2?+?QF2?,

K詳析》選項A：

設(shè)Pa,y）,Q（χ2,%）,代入雙曲線得，

2

2>3=1

2

,兩式相減得，

.y一2

3=1

(Xl-%2)(%l+?)-∣(y,-y2)(yl+y2)=0.

???點C為線段P。的中點，

.?r∣+x2_iy+%M

??—i,=,

222

即玉+%=2,y+%=?/?，

.,.(xl—Λ2)?2-?(JI-y2)?>∕3=O,

.?.k=入二&=26，故A錯誤:

尤1一元2

選項B：

設(shè)Q（Xo,y（）），

tanZQFA=-%tanZQAF=

2/一22

2人

+)'o

.?.tan2ZQAF2=——???-

]_(_2Q_)2?-2

?+l

.?.tanZQF2A=tan2ZQAF2,

又?.?NQ每A,N0A瑪∈(0,π),

.?.ZQF2A^2ΛQAF2,故B正確：

選項C：

設(shè)P(XP,%>),其中Xp≤-l,

則君—牛=1,即H=3(君—1),

IP用=J(∕+2)2+H=J(XP+2)2+3(")=?2xp+1|，

IPKl=J(XP-2>+其=J(XP-2)2+3(H-I)=∣2XP—小

??.IPKHPEI=?(2xp+1)?(2xr-l)∣=4x^-1,

.|P0『=?p+y；=Xp÷3(Xp—1)=4xp—3,

.?.∣PO∣2-∣P^∣?∣P∕ζ∣=4x^-3-(4xp-l)=-2<(),

：.\pof<?PFl?-?PF2?,故C正確；

選項D：

?PF2?-?PF↑=2a,?QFl?-?QF2?=2a,

.?.?PFi?=?PF2?-2a,?QF?=2a+?QF↑,

???∣P制+∣Q制=IP圖—2α+2α+∣Q鳥I=IP用+∣Q閭,

?；直線/的斜率為氈即幻。=迪，且過點C(L

3PO3

.?.直線/的方程為：2x-6y-g=0,

又，：B(O#)，月(2,0),

.k一一3

??%EF2—?

即BF2±PQ9

0-√3x√3-ir

又?；點B到直線/的距離：,2√7,

4=------1-----------------=—

√4+32

2χ2-0-!r-

點五2到直線/的距離：.2√7,

ɑ?=----/—=

即4=4，

???點8與點工關(guān)于直線/對稱，

.?.?PB?+?QB?^?PF2?+?QF2?,

.?.?PFi?+?QF↑=?PB?+?QB?,故D正確;

故選：BCD.

Kr點石成金口結(jié)論『點石成金］：本題涉及到雙曲線中的有關(guān)結(jié)論：

221元

(I)若點M(XO,為)是雙曲線「一馬?=1上一條弦PQ中點，則直線PQ的斜率M>o==?」;

a~b^a^%

(2)若雙曲線上有兩點p、Q,且位于不同兩支，貝IJIP周+∣QK∣=∣PE∣+∣QK∣.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知夾角為60的非零向量滿足忖=2忖，(2a-tb)1b,則/=.

K答案》2

K解析，

R祥解》由(2?！?_L8得(2。-仍)為=0,化簡代入結(jié)合數(shù)量積的定義即可得出K答案H.

K詳析n因為的夾角為60,且W=2∣q,

而(2a—則(2d-町?l=0,

所以(2之一仍)名=2ab-tb2=2∣tz∣?∣?∣cos60o-∕∣?∣=0,

則2x2.,。；一巾『=0,解得：t=2.

故K答案H為：2.

14.定義在R上的函數(shù)/(x),g(x),滿足/(2x+3)為偶函數(shù)，g(x+5)-l為奇函數(shù),若/(l)+g(l)=3,

則”5)-g(9)=.

K答案D1

R解析H

"羊解力根據(jù)/(2x+3)為偶函數(shù)、g(x+5)-1為奇函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法可得K答案》.

K詳析》若/(2x+3)為偶函數(shù)，g(x+5)-1為奇函數(shù)，

則/(-2x+3)=∕(2x+3),g(τ+5)-1=-g(x+5)+l,

令x=l,則/(—2χl+3)=∕(2xl+3),即/(1)=∕(5),

令x=4,則g(-4+5)-1=-g(4+5)+l,即g(l)—1=—g(9)+l,

又因為F(I)+g(l)=3,所以/(5)-g(9)="l)+g(l)-2=1.

故R答案U為：1.

.ππ

xsιn÷ycos一ɑ

15.設(shè)乂曠均為非零實數(shù)，且滿足——2-------&=tan二，則?=___________.

兀.兀

XCos——ysin—20X

5.5

R答案11

K解析H

πy

tan—I—Q

"羊解H先將原式化簡得到一L?=tan笠，再令2=tan。，

π

1--y-ltαη∏n—20%

X5

(兀、9兀

即可得至IJtane+《=tan而，從而求得結(jié)果.

πy

tan-+-9

K詳析H由題意可得，一1-??tan-,

1—yt皿anJ—20

X5

π八

tan—+tanΘ

9π

令上=tan6,則5tan—,

X1-tan萬tan—兀20

5

9兀

即tan16+彳=tan—,

20

Ti9兀π

所以。+―=E+即6=E+—∕eZ

5204

故2=tan。=tankπ+-=1

XI4)

故R答案Il為：1

16.正三棱錐P-ABC的高為PO,M為尸O中點，過4W作與棱BC平行的平面，將三棱錐分為上下兩部

B

4

K答案』三

21

R解析W

2—.

K祥解》根據(jù)題意，做出截面，然后利用向量的線性表示及共線定理推論可得PF=WP。，進(jìn)而可得

SPGH4V.

不生巨=天，從而可得才的值.

,HGBCZl丫2

K詳析Il連接Ao并延長交BC于。，連接PO,則。為8C的中點，

延長A〃交PZ）于尸，過尸作6”//3。分別交2員/＞。于6,“，連接AG,AH,

因為GH//BC，3"1平面47”，BCZ平面AGH,

所以BC//平面AGH,又A"u平面AG”,故平面AG”即為過ΛM作與棱BC平行的平面,

I2“]—―2/------—1—2----

由題可知Ao=WAD,PO-PA=-IPD-PA],即Po=-PA+—PD,

33'’33

12

設(shè)∕√?=∕IP∕),則Po=-PA+—PF,又M為P。中點，

332

111

所以PM=-P0=±B4+—PF,

2634

所以'+'=1,所以丸=2,即竺=2,

63/t5PD5

S.PGH44

q

QPBC2521

4

所以同匕-FG"

VyA-HGBC21,

4

故K答案』為：—".

21

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，在平面四邊形ABc。中，ABC=θφ<θ<π),AB=BC^CD=1,AC±CD.

(1)試用。表示BC)的長;

(2)求AC?+BI)?的最大值.

K答案U(I)ββ=2cos-

4

25

(2)——

4

K解析U

K祥解』(1)根據(jù)已知條件將N5CD用。表示,再在ABCD中利用余弦定理求解即可;

(2)在一ABC中先用余弦定理將AC2用。表示,再結(jié)合(D的結(jié)論,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.

K小問1詳析F

ZABC-θ(O<e<τι),AB=BC=CD=1,AC?CD,

λNBCA檸4則的""+/B"A(K)=舊,

在∕?BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD=2+2cos^=2∣1+2cos2^-1U4cos2*

0<^<π,

∩n

CoS->0,則BD=2cos-.

44

K小問2詳析D

在_ABC中，AC?=從夕+BC2-2AB-BCcosZABC=2-2COSa

0QnC/91A25

?,?AC2÷BD2=2-2cos^÷2+2cos-=-4cos2—+2cos-+6=-4cos------+—,

222I24)4

0<6vπ,?*?O<cos-<1,

2

∩125

則當(dāng)CoSt=L時,取到最大值一.

244

25

故AC2+3Z)2的最大值是一?

4

18.為了促進(jìn)學(xué)生德、智、體、美、勞全面發(fā)展，某校成立了生物科技小組，在同一塊試驗田內(nèi)交替種植人民

C三種農(nóng)作物(該試驗田每次只能種植一種農(nóng)作物)，為了保持土壤肥度，每種農(nóng)作物都不連續(xù)種植，共種

12

植三次.在每次種植A后會有一的可能性種植8,—的可能性種植C；在每次種植B的前提下再種植A的概

33

1323

率為一，種植C的概率為一，在每次種植。的前提下再種植A的概率為一，種植8的概率為二.

4455

(1)在第一次種植B的前提下，求第三次種植A的概率；

(2)在第一次種植A的前提下，求種植A作物次數(shù)X的分布列及期望.

3

K答案》(1)—

10

27

(2)分布列見K解析為E(X)=—

20

R解析》

K祥解II(I)設(shè)A∣,Bi,G表示第i次種植作物A,B,。的事件，其中i=l,2,3,由全概率公式可

得P(A3)=P(G∣4)P(A3∣G),代入即可得出K答案L

(2)求出X的可能取值及每個變量X對應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式求出X的期望.

K小問1詳析工

設(shè)A,,Bi,G表示第i次種植作物A,B,。的事件，其中i=l,2,3.

在第一次種植B的情況下，第三次種植A的概率為：

323

P(A)=P(GIM)P(AjIG)=1X；=W；

4510

R小問2詳析)

113

由己知條件，在第1次種植A的前提下：P(BD=M尸(414)=“P(C3IB2)=^,

223

P(C2)=-.P(AiIC2)=--P(B3IC2)=-,

因為第一次必種植A,則隨機變量X可能取值為1,2,-

323113

P(X=D=P(CB3)+AB2C3)=P(B3∣C2)?P(C2)+P(C3∣β2)?P(β2)=-×-+≈×-=-J-,

22117

P(X=2)=P(C2A0+P(B2A3)=P(AJC2)?P(C2)+P(AdB2).P(B2)=-×-+-×-=--,

JJIJN√l∕

所以X的分布列為:

X12

137

P

2020

19.如圖，直四棱柱ABCD-A4GA中，ADVCD,ADHBC,AD=CD=2,BCAG與SQ交

于EG為棱BBl上一點,且ββl=3BG,點C到平面A1BD的距離為生叵.

(1)判斷AG是否在平面AEA內(nèi)，并說明理由；

(2)求平面A。E與平面A4f2所成角的余弦值.

K答案1(1)直線AG不在平面AER內(nèi)，理由見R解析H

⑵也

17

K解析D

R祥解Il(I)以A為坐標(biāo)原點，過A作與AO垂直的直線為X軸，AO,A&所在的直線分別為y軸，Z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由Cl到平面A1BO的距離公式求出直四棱錐的高，求出平面A8∣2的一

個法向量〃2，由AG?均HO可證明直線AG不在平面AEDl內(nèi).

(2)求出平面A4。的一個法向量，由二面角的向量公式代入即可得出K答案』.

R小問1詳析H

以A為坐標(biāo)原點，過A作與AO垂直的直線為X軸，A2A41所在的直線分別為，軸，Z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直四棱錐的高為加，則。(0,2,0),3(2,—1,0),

Cl(2,2,∕n),4(0,0,m),AiB=(2,-1,m),AG=(2,2,0),AD=(O，2,一機)，

設(shè)平面AB。的一個法向量為n,=(χ∣,y,zj,

n.`A1B=O12%fr叫=O

則即4

n,-AD=O2y-∕τtz=0

1111

l

所以點C到平面AtBD的距離為d="Cl=J6m+4m∣=」帆,令

?n↑?√9m2+4/??2+16J13M+16

芳仁=㈣7解得加=2

√13m2+16*

設(shè)平面ABlA的一個法向量為%=(%,%，22)，由ABl=(2,T,2),AD1=(0,2,2),

n?Afi=O2X2—y2+2Z2=O

則21取巧=(―3,—2,2),

2y+2Z=O

n2-AD1=Q22

(2\__.一220

而AG=2,-1,—,所以AG?n2=2x(-3)+(-1)x(-2)+—x2=-----≠0,

<3)33

又Aq與AE,AA共面，故直線AG不在平面AE。內(nèi).

K小問2詳析』

依(1)知平面4石。的一個法向量為%=(-3,-2,2),

易知平面4AA的一個法向量為%二(1,0,0),

n?n33√Γ7

設(shè)二面角E-AA-A的平面角為α,則cos。=x2

∣∕ι1∣∣π2∣>∕9+4+4×l17

故二面角E-AD1-Ai的余弦值主叵.

17

20.已知首項不為0的等差數(shù)列｛α,,｝,公差d≠0,%=0（/為給定常數(shù)），S,為數(shù)列｛α,J前〃項和，且

Sml=S也（町<?）,｛2｝為"為一"4所有可能取值由小到大組成的數(shù)歹U?

(1)求4；

2π+l為數(shù)列｛｝的前〃項和，證明：；∣

設(shè)C,=(-l)π9?,7,,≤-.

(2+1+1)(2+ι)'

K答案H(1)bll=2n-]

(2)證明見K解析》

K解析H

K祥解Il（I）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項公式與求和公式得到關(guān)于4，”的方程，即可得到結(jié)果;

根據(jù)題意，得到數(shù)列｛c,,｝的通項公式，再由裂項相消法即可得到其前〃項和.

K小問1詳析》

由題意得，4=4+Q-l)d=0,得4=(l-r)d,①

由S叫=S啊(叫</M),得町％+d=M+入(；1)”,②

2"-l)

由①②，可得町+優(yōu)2=2,-L且2叫<町+/%=2/-1,則l≤m1≤f-l<∕-g,

由∕M2-肛=—2w1+2/—1,當(dāng)叫在l≤∕n,≤f-1范圍內(nèi)取值時tn2—tni的所有取值為：2f—3,2f—5,,5,3,1?

所以a=2"-l(l≤鹿≤f-l).

K小問2詳析》

In+1

q,=(T)"=S'??=(f”;1÷-L

(?÷ι+D(?+i)nn+1

IlllI111I1

所以T----------F----F-----....------------------------------F----------T，

12232n-l2n2n2n+l4k2n+1

由于n“=；^:Γ^τ](l<"≤^_l)是遞減的，所以弓44=；(占_1]=_《

4?2π+lJ412+lJ6

21.已知函數(shù)/(x)=me*-X2-x+2.

(1)若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，求〃?的取值范圍；

(2)若加<0,且/(x)有兩個零點χ∣,當(dāng)，證明：∣x∣-引<3+/.

K答■(I)m>2e4

(2)證明見K解析》

K解析H

K