排列與組合-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）（解析版）

考向40排列與組合

「經(jīng)典真費(fèi)）

I.（2022?新高考2卷T5）有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰

的不同排列方式有多少種

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】先利用捆綁法排乙丙丁戊四人，再用插空法選甲的位置，則有A；A；C；=24種.故選B.

2.（2021年甲卷理TlO）將4個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為

1r2c2-4

A.—B.—C.—D.—

3535

【答案】C

【解析】由將4個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行共有C；利I,先將4個(gè)1全排列，再將2個(gè)0用插空發(fā)共有C；種,

則題目所求的概率為P=M=I.故選：c.

3.（2021?乙卷理T6）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),

每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【解析】先分組有=10種，再排序有10A：=240種.

4.（2021?上海卷TlO）花博會(huì)有四個(gè)不同的展館，甲、乙各選2個(gè)去參觀，問兩人選擇中恰有一個(gè)館相同

的概率為.

【答案】-

3

【解析】P==|

C-?C^C>C：3

5.（2022年甲卷理科T8）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一平面上的概率為

【答案】—

35

【解析】^T=-.

C；35

L組合個(gè)數(shù)的求解策略

(1)枚舉法：書寫時(shí)常以首字母為切入點(diǎn)，相同元素的不必重復(fù)列舉，如本例中，先枚舉以字

母A開頭的組合，再枚舉以字母B開頭的組合，直到全部枚舉完畢.

⑵公式法：利用排列數(shù)Ag組合數(shù)C#之間的關(guān)系C#=誓求解.

2.有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類

(1)”含，，與”不含，，問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉

再取，分步計(jì)數(shù).

(2)”至多，，”至少，，問題，其解法常有兩種解決【解析】一是直接分類法，但要注意分類要不重不

漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對(duì)立面，確保不重不漏.

3.“分組”與“分配”問題的解法

⑴分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：

①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等，均勻分成〃組，最后必須除以〃??；

②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有〃組均勻，最后必須除以〃！；

③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.

⑵分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配.

1.解決排列、組合問題的五大技巧

(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問題要先選后排.

(4)相鄰問題捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.

2.三個(gè)常用公式

(l)A；5'=nA；ri';(2)(rt+l)!一〃！=〃?〃??；(3)&C￡=〃CQI.

1.排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決

排列組合問題的前提.

2.在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí)，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的

是組合.

3.在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

4.在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯(cuò)。

5.在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏解.

一、單選題

1.某校甲、乙、丙三位同學(xué)報(bào)名參加A,B,C,O四所高校的強(qiáng)基計(jì)劃考試，每所高校報(bào)名人數(shù)不限，因?yàn)?/p>

四所高校的考試時(shí)間相同，所以甲、乙、丙只能隨機(jī)各自報(bào)考其中一所高校，則恰有兩人報(bào)考同一所高校的

概率為（）

19

A.—B.—C.

432

【答案】D

【解析】基本事件的總數(shù)為4'=64,

恰有兩人報(bào)考同一所高校的事件數(shù)為C；X&=36,

故所求的概一率為3谷6=白9

6416

故選：D

2.一個(gè)電路中含有（1）（2）兩個(gè)零件，零件（1）含有A,8兩個(gè)元件，零件（2）含有C,D,E三個(gè)元

件，每個(gè)零件中有一個(gè)元件能正常工作則該零件就能正常工作，則該電路能正常工作的線路條數(shù)為（）

【答案】C

【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理易得，該電路能正常工作的線路條數(shù)為2*3=6條.

故選：C.

3.2021年全運(yùn)會(huì)的吉祥物以四個(gè)國寶級(jí)動(dòng)物“朱鵑、大熊貓、羚牛、金絲猴”為創(chuàng)意原型，分別取名“朱朱”“熊

熊，，“羚羚，，“金金，,某同學(xué)共有5個(gè)吉祥物娃娃，其中2個(gè)“朱朱”，“熊熊”“羚羚”“金金”各1個(gè)，從中隨機(jī)抽

取兩個(gè)送給同學(xué)，則抽取的吉祥物中含“朱朱”的概率為（）

1374

A.—B.—C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】?jī)蓚€(gè)都是“朱朱”，有1種方法，若有1個(gè)“朱朱”，則有c；Ci=6種方法，

77

所以抽取的吉祥物含“朱朱”的概率P=^Γ=-.

故選：C

4.“慶冬奧，樹新風(fēng)，向未來”，某中學(xué)將開展自由式滑雪表演.自由式滑雪表演設(shè)有空中技巧、雪上技巧和

雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目，參演選手每人展示其中一個(gè)項(xiàng)目，且要求相鄰出場(chǎng)選手展示不同項(xiàng)目.現(xiàn)安排甲、乙兩

名男生和A,8兩名女生共四位同學(xué)參演，若四位同學(xué)的出場(chǎng)順序?yàn)榧?、A、乙、B,則兩位女生中至少一人

展示雪上芭蕾且三個(gè)項(xiàng)目均有同學(xué)展示的概率為（）

2575

A.~B.—C.—D.—

391112

【答案】D

【解析】依據(jù)出場(chǎng)順序甲、A、乙、B,四位同學(xué)展示的基本事件的總數(shù)為3x2x2x2=24個(gè).

在三個(gè)項(xiàng)目均有同學(xué)展示的情況下，共有24-C；χ2=18個(gè)基本事件，

若兩位女生均選空中技巧（或雪上技巧）展示，則共有A；+A；=4個(gè)基本事件，

若兩位女生分別在空中技巧和雪上技巧中各選一個(gè)，則共有=4個(gè)基本事件，

故兩位女生中至少一人展示雪上芭蕾且三個(gè)項(xiàng)目均有同學(xué)展示的概率為"W=

2412

故選：D

5.某校A、氏C、Q、E五名學(xué)生分別上臺(tái)演講，若A須在B前面出場(chǎng)，且都不能在第3號(hào)位置，則不同的出

場(chǎng)次序有（）種.

A.18B.36C.60D.72

【答案】B

【解析】因?yàn)锳在B的前面出場(chǎng)，且A,8都不在3號(hào)位置，則情況如下：

①A在1號(hào)位置，B又2、4、5三種位置選擇，有3A；=18種次序；

②A在2號(hào)位置，B有4,5號(hào)兩種選擇，有2A；=12種次序；

③A在4號(hào)位置，B有5號(hào)一種選擇，有用=6種；

故共有18+12+6=36種.

故選：B.

6.2010年世界杯足球賽預(yù)計(jì)共有24個(gè)球隊(duì)參加比賽，第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽（在同一組的每?jī)?/p>

個(gè)隊(duì)都要比賽），決出每個(gè)組的一、二名，然后又在剩下的12個(gè)隊(duì)中按積分取4個(gè)隊(duì)（不比賽），共計(jì)16

個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽來確定冠亞軍，則一共需比賽（）場(chǎng)次.

A.53B.52C.51D.50

【答案】C

【解析】第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽共需要6C：=36場(chǎng)比賽，淘汰賽有如下情況：16進(jìn)8需要8場(chǎng)比

賽，8進(jìn)4需要4場(chǎng)比賽，4進(jìn)2需要2場(chǎng)比賽，確定冠亞軍需要1場(chǎng)比賽，共需要36+8+4+2+1=51場(chǎng)

比賽

故選：C.

7.電視臺(tái)在電視劇開播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣

告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（）.

A.A：A；B.

C.A>A;D.c>α

【答案】A

【解析】先排4個(gè)商業(yè)廣告，則A：,即存在5個(gè)空，再排2個(gè)公益廣告，則A；,故總排法：A：A；,

故選：A.

8.志愿服務(wù)是辦好2022年北京冬奧運(yùn)的重要基礎(chǔ)和保障，現(xiàn)有一冬奧服務(wù)站點(diǎn)需要連續(xù)六天有志愿者參

加志愿服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有6名志愿者計(jì)劃依次安排到該服務(wù)站點(diǎn)參加服務(wù)，要求志愿者

甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（）

A.240種B.408種C.1092種D.1120種

【答案】B

【解析】1、將安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有種，再分兩類討論：

第一類：

2、安排不相鄰的乙丙，相當(dāng)于將2個(gè)球在3個(gè)球所形成的4個(gè)空中任選2個(gè)插入有A；種，

3、安排不在第一天的甲，相當(dāng)于5個(gè)球所成的后5個(gè)空中任選一個(gè)插入，有

第二類：

2、將甲安排在乙丙中間有A；種，

3、把甲乙丙作為整體安排，相當(dāng)于將1個(gè)球插入3個(gè)球所形成的4個(gè)空中有C：種，

所以不同的方案有用（A：C+SC）=408種.

故選：B

9.甲、乙、丙、丁共4名學(xué)生報(bào)名參加夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人報(bào)名1個(gè)項(xiàng)目，目前有100米短跑、3000米長跑、跳

高、跳遠(yuǎn)、鉛球這5個(gè)項(xiàng)目可供選擇，其中100米短跑只剩下一個(gè)參賽名額，若最后這4人共選擇了3個(gè)項(xiàng)

目，則不同的報(bào)名情況共有（）

A.224種B.288種C.314種D.248種

【答案】B

【解析】分兩種情況討論：①不選100米短跑，四名學(xué)生分成2名、1名、1名三組，參加除100米短跑的

四個(gè)項(xiàng)目中的三個(gè),有C：A：=144種；

②1人選100米短跑，剩下三名學(xué)生分成2名、1名兩組，參加剩下四個(gè)項(xiàng)目中的兩個(gè)，有C；C；A：=144種.

故他們報(bào)名的情況總共有144+144=288種.

故選：B.

10.中國習(xí)俗講究“十全十美、紅紅火火”.某次元宵節(jié)游園會(huì)中有這么一個(gè)活動(dòng)：一個(gè)不透明的箱子中裝有15

個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中有5個(gè)紅球，10個(gè)黑球，每次隨機(jī)取出一球（取出后不放回），取出

的第10個(gè)球?yàn)榧t球則獲得小禮品一份，每人只能參與該游戲一次.則小明參與該游戲獲獎(jiǎng)的概率為（）

A.IB.-C.—D.—

331515

【答案】B

【解析】（方法一）從箱子中逐次取出15個(gè)球，一共有種15!取法，

而第10個(gè)球確定為紅球，有5種取法，其余14個(gè)球可以隨機(jī)排列，共有14!種方式，

所以取出的第10個(gè)球?yàn)榧t球的概率為4

（方法二）可以類比為3個(gè)小球，2黑1紅,

共有紅黑黑、黑紅黑、黑黑紅3中取法，

則取出的第二個(gè)小球?yàn)榧t球是黑紅黑1種取法，

所以取出的第二個(gè)小球?yàn)榧t球的概率為g?

故選：B

11.某班準(zhǔn)備從甲、乙等5人中選派3人發(fā)言，要求甲乙兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有（）

A.18種B.36種

C.54種D.60種

【答案】C

【解析】若只有甲乙其中一人參加,有=36種情況；

若甲乙兩人都參加,有C1C；A；=18種情況，則不同的發(fā)言順序種數(shù)36+18=54種，

故選：C.

12.為貫徹落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面深化新時(shí)代教師隊(duì)伍建設(shè)改革的意見》精神，加強(qiáng)義務(wù)教育教

師隊(duì)伍管理，推動(dòng)義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展，安徽省全面實(shí)施中小學(xué)教師“縣管校聘”管理改革，支持建設(shè)城鄉(xiāng)

學(xué)校共同體.2022年暑期某市教體局計(jì)劃安排市區(qū)學(xué)校的6名骨干教師去4所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校工作一年，每所學(xué)校

至少安排1人，則不同安排方案的總數(shù)為（）

A.2640B.1440C.2160D.1560

【答案】D

+c；］A：=1560

【解析】6人分組有2種情況：2211,3111,所以不同安排方案的總數(shù)為1

故選：D.

二、填空題

13.隨著北京冬奧會(huì)的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內(nèi)外，現(xiàn)有2個(gè)完全相同的“冰墩墩”與甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)

員隨機(jī)站成一排拍照留念，則2個(gè)“冰墩墩”連在一起的概率為；

【答案】4##0.5

【解析】乙兩位運(yùn)動(dòng)員與2個(gè)“冰墩墩”排成一排的所有排法有3A：種，

其中2個(gè)“冰墩墩''連在一起的排法有3A；種,

由古典概型的概率公式可得事件2個(gè)“冰墩墩”連在一起的概率P=二=：,

122

故答案為：?.

14.柜子里有3雙不同的鞋，從中隨機(jī)地取出2只，則取出的鞋子是一只左腳一只右腳，但不是一雙鞋的

概率是.

【答案】I2

【解析】由題意，可以先選出左腳的一只有c；=3種選法，然后從剩下兩雙的右腳中選出一只有c；=2種選

法,所以一共6種取法，

又因?yàn)楣褡永镉?雙不同的鞋，隨機(jī)取出2只，共有C：=15種取法,故P=2=O.4.

故答案為：（）.4.

15.某校為落實(shí)“雙減政策.在課后服務(wù)時(shí)間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三名同

學(xué)擬參加籃球、足球、乒乓球三項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一

項(xiàng)活動(dòng)，則恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為.

【答案】§

【解析】每人有3種選擇，三人共有y種選擇，其中恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)共有c；c；c；種選擇，

所以三人中恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為G?G=2.

333

?

故答案為：I

16.某省示范性高中安排5名教師去A8,C三所鄉(xiāng)村中學(xué)支教，每所中學(xué)至少去1人，因工作需要，其中的

教師中不能去A中學(xué)，則分配方案的種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】100

【解析】①若三所學(xué)校分配人數(shù)分別為1,1,3時(shí)，共有V√?Aj=60種安排方法；

?2

其中甲去A中學(xué)的安排方法有C；A；+C；A；=20種；

則此時(shí)分配方案的種數(shù)為60-20=40種；

②若三所學(xué)校分配人數(shù)分別為1,2,2時(shí)，共有十.A；=90種安排方法；

Λ*?

其中甲去A中學(xué)的安排方法有C；+C：C；A；=30種;

則此時(shí)分配方案的種數(shù)為90-30=60種：

綜上所述：滿足題意的分配方案的種數(shù)為40+60=100種.

故答案為：100.

一、單選題

1.（2022?青海?模擬預(yù)測(cè)（理））某研究室有2男6女共8名教研員，研究室東、西兩區(qū)各有4張辦公桌,

則兩名男教研員不在同一區(qū)的不同坐法種數(shù)為（）

A.A；A；A；B?苧C?苧D.A；-2A；A：

【答案】D

【解析】沒有位置限制的8人的坐法有A；種，其中男教師坐在同一區(qū)的坐法有2A；A：種，

所以兩名男教研員不在同一區(qū)的不同坐法種數(shù)為A；-2A：A；,顯然選項(xiàng)A,B,C都不正確，D正確.

故選：D

2.（2022.全國.模擬預(yù)測(cè)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平

方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)

12=32+l2+l2+l2=22+22+22+02.^.25=a1+b2+c2+d2,其中α,b,c,d均為自然數(shù),則滿足條件的

有序數(shù)組（a,。Cd）的個(gè)數(shù)是（）

A.28B.24C.20D.16

【答案】A

【解析】顯然a,b,c,"均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論.

最大數(shù)為5的情況：

Φ25=52+O2+O2+O2,此時(shí)共有A：=4種情況；

最大數(shù)為4的情況：

②25=4,+32+O?+O?,此時(shí)共有￡=12種情況；

③25=4z+2?+2?+/，此時(shí)共有A：=12種情況.

當(dāng)最大數(shù)為3時(shí),32+32+22+22>25>32+32+22+l2,故沒有滿足題意的情況.

綜上，滿足條件的有序數(shù)組S也Gd）的個(gè)數(shù)是4+12+12=28.

故選：A

3.（2022.全國.模擬預(yù)測(cè)（理））2022年2月4日，北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式于當(dāng)晚20點(diǎn)整在國家

體育場(chǎng)隆重舉行.在開幕式入場(chǎng)環(huán)節(jié)，91個(gè)國家（地區(qū)）按順序入場(chǎng).入場(chǎng)順序除奧林匹克發(fā)祥地希臘（首先

入場(chǎng)）、東道主中國（最后入場(chǎng)）、下屆2026年冬季奧運(yùn)會(huì)主辦國意大利（倒數(shù)第二位入場(chǎng)）外，其余

代表團(tuán)根據(jù)簡(jiǎn)體中文的筆劃順序入場(chǎng)，詮釋了中文之美.現(xiàn)若以抽簽的方式?jīng)Q定入場(chǎng)順序（希臘、中國、

意大利按照傳統(tǒng)出場(chǎng)順序，不參與抽簽），已知前83位出場(chǎng)的國家（地區(qū)）均已確定，僅剩烏茲別克斯坦、

北馬其頓、圣馬力諾、安道爾、阿根廷、泰國末抽簽，求烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場(chǎng)的概率（）

A.-B.-C.-D.-

5364

【答案】B

【解析】由題意得，烏茲別克斯坦、北馬其頓、圣馬力諾、安道爾、阿根廷、泰國所有可能的出場(chǎng)順序有A：

種，

其中烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場(chǎng)的順序有A；A；種，

故烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場(chǎng)的概率為第i=:，

A：3

故選：B

4.（2022?山東煙臺(tái)?三模）屈原是中國歷史上第一位偉大的愛國詩人，中國浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”

的創(chuàng)立者和代表作者，其主要作品有《離騷》、《九歌》、《九章》、《天問》等.某校于2022年6月第一

周舉辦“國學(xué)經(jīng)典誦讀”活動(dòng)，計(jì)劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦讀一部作品，則周一

不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為（）

A.?B.-C.—D.-

24126

【答案】C

【解析】該校周一至周四誦讀屈原的四部作品方法總數(shù)為A：=24

周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的方法總數(shù)為A：-A；-A；+A；=14

則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為分=E

故選：C

5.（2022?遼寧?大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）英文單詞“sentence”由8個(gè)字母構(gòu)成，將這8個(gè)字母重新組合

排列，一共可以得到英文單詞的個(gè)數(shù)為（）（可以認(rèn)為每個(gè)組合都是一個(gè)有意義的單詞）

A.3360B.3390C.4200D.4530

【答案】A

【解析】英文單詞“sentence”中字母e有3個(gè)，字母n有2個(gè)，字母s、t、C各有一個(gè)，

將這8個(gè)字母重新組合排列，則可看作有8個(gè)位置需要排字母的問題，

先從8個(gè)位置里面選出2個(gè)排字母n,有C；種方法，

再從剩下的6個(gè)位置選3個(gè)位置排字母3,有C：種方法，

最后再將字母s、t、C排在剩下的3個(gè)位上，有A；中方法，

故一共可以得到英文單詞的個(gè)數(shù)為CjC：A；=3360.

故選：A.

6.（2022.遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某國計(jì)劃采購疫苗，現(xiàn)在成熟的疫苗中，三種來自中國，一種來自美國，

一種來自英國，一種由美國和德國共同研發(fā)，從這6種疫苗中隨機(jī)采購三種，若采購每種疫苗都是等可能

的，則買到中國疫苗的概率為（）

A.?B,1C.?D.”

621020

【答案】D

【解析】沒有買到中國疫苗的概率為6=*=/,

19

所以買到中國疫苗的概率為尸=1-4=益.

故選：D.

7.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)（理））為幫助用人單位培養(yǎng)和招聘更多實(shí)用型、復(fù)合型和緊缺型人才，促進(jìn)高

校畢業(yè)生更高質(zhì)量就業(yè)，教育部于2021年首次實(shí)施供需對(duì)接就業(yè)育人項(xiàng)目.某市今年計(jì)劃安排甲、乙、丙3

所高校與5家用人單位開展供需對(duì)接，每家用人單位只能對(duì)接1所高校，且必有高校與用人單位對(duì)接.若甲

高校對(duì)接1家用人單位，乙、丙兩所高校分別至少對(duì)接1家用人單位，則不同的對(duì)接方案共有（）

A.50種B.60種C.70種D.80種

【答案】C

【解析】若乙、丙高校各對(duì)接2家用人單位，則對(duì)接方案有CC：=30種；

若乙、丙高校其中一所對(duì)接1家用人單位，另一所對(duì)接3家用人單位，則對(duì)接方案有C；C；C；=40種;

綜上所述：不同的對(duì)接方案共有30+40=70種.

故選：C.

8.（2022.安徽.合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））北京冬奧會(huì)期間，比賽項(xiàng)目豐富多彩，為了實(shí)時(shí)報(bào)道精

彩的比賽過程，需要安排5名記者前往國家體育場(chǎng)、國家體育館和首都體育館三個(gè)比賽場(chǎng)地進(jìn)行實(shí)地報(bào)道.

每個(gè)場(chǎng)地至少有一名記者，每名記者只去一個(gè)場(chǎng)地，并且記者甲不去國家體育館，記者乙不去國家體育場(chǎng).

則安排方式共有（）

A.87種B.72種C.96種D.69種

【答案】D

【解析】沒有“記者甲不去國家體育館，記者乙不去國家體育場(chǎng)''附加條件下的情況，

共計(jì)有C；A；+等A；

=60+9()=15()種安排方式;

“記者甲去國家體育館'’的情況有150x；=50利I,

同理“記者乙去國家體育場(chǎng)''的情況有50種，

“記者甲去國家體育館，記者乙去國家體育場(chǎng)”的情況有如下19種:

除甲乙之外的3人都去首都體育館的1種，

除甲乙之外的3人分別去了國家體育場(chǎng)、國家體育館和首都體育館，則有A；=6種,

除甲乙之外的3人至少有一人去了首都體育館的所有可能有C；x4=12.

所以滿足題意的所有安排方式有150-50-50+19=69種.

故選：D.

9.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)（文））2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，冰上項(xiàng)目共有五種：冰壺、冰

球、速度滑冰、短道速滑、花樣滑冰.小王是一個(gè)冰上項(xiàng)目愛好者，他想前往現(xiàn)場(chǎng)觀看，由于賽程的原因，

他只能從五項(xiàng)冰上項(xiàng)目中選擇其中三項(xiàng)進(jìn)行觀看，則小王恰好選中花樣滑冰的概率為（）

-2、7

A.IB??C.-D.—

5IO

【答案】A

C23

【解析】小王恰好選中花樣滑冰的概率為消=三，

C5?

故選：A

10.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)（理））在北京冬奧會(huì)短道速滑混合團(tuán)體2000米接力決賽中，中國隊(duì)成功奪冠,

為中國體育代表團(tuán)奪得本屆冬奧會(huì)首金.短道速滑男女接力賽要求每隊(duì)四名運(yùn)動(dòng)員，兩男兩女，假設(shè)男女隊(duì)

員間隔接力，且每位隊(duì)員只上場(chǎng)一次，則不同的上場(chǎng)次序的種數(shù)為（）

A.8B.16C.18D.24

【答案】A

【解析】把問題分類：（1）以男運(yùn)動(dòng)員排第一位，上場(chǎng)次序的種數(shù)為：C；C；=4；（2）以女運(yùn)動(dòng)員排第一

位，上場(chǎng)次序的種數(shù)為：C；C；=4；總的上場(chǎng)次序種數(shù)合計(jì)為：4+4=8

故選：A

11.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)（理））教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，

某市3所高校的校長計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少

接待1名校長，則不同的安排方法共有（）

A.60種B.64種C.72種D.80種

【答案】A

【解析】3名校長在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況為：C：C：C：=4x4x4=64種

又每家企業(yè)至少接待1名校長，故3名校長選的3家企業(yè)，不全相同，

因?yàn)?名校長選的3家企業(yè)完全相同有C：=4種，

則不同的安排方法共有：64-4=60種.

故選：A.

12.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））現(xiàn)安排編號(hào)分別為1,2,3,4的四位抗疫志愿者去做

三項(xiàng)不同的工作，若每項(xiàng)工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一項(xiàng)工作，且編號(hào)為相鄰整數(shù)的志愿

者不能被安排做同一項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)為（）

A.36B.24C.18D.12

【答案】C

【解析】先將四位志愿者分為2人、1人、1人共3組，有1號(hào)和3號(hào)一組；2號(hào)和4號(hào)一組；1號(hào)和4號(hào)

一組共3種情況；

再將3組志愿者分配到三項(xiàng)工作有A；=6種；

按照分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3x6=18種.

故選：C.

二、填空題

13.（2022?安徽?蕪湖一中模擬預(yù)測(cè)）安徽省地形具有平原、臺(tái)地（崗地）、丘陵、山地等類型，其中丘陵

地區(qū)占了很大比重，因此山地較多，著名的山也有很多.某校開設(shè)了研學(xué)旅行課程，該校有6個(gè)班級(jí)分別

選擇黃山、九華山、天柱山中的一座山作為研學(xué)旅行的地點(diǎn)，每座山至少有一個(gè)班級(jí)選擇，則恰好有2個(gè)

班級(jí)選擇黃山的方案有種.

【答案】210

【解析】先從6個(gè)班級(jí)中選擇2個(gè)班級(jí)去黃山，則有C；種情況，

接下來4個(gè)班級(jí)可分為兩種情況：

第一種情況，2個(gè)班級(jí)去九華山，2個(gè)班級(jí)選擇取天柱山，則有C；C；種情況，

第二種情況，3個(gè)班級(jí)去九華山或天柱山，剩余的1個(gè)班去另一個(gè)山，則有2C：種情況，

綜上：恰好有2個(gè)班級(jí)選擇黃山的方案有C：（C；C；+2C：）=210.

故答案為：210

14.（2022.上海.模擬預(yù)測(cè)）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)

項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢則，則每一類都被抽到的概率為；

3

【答案】I

【解析】從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，

則每一類都被抽到的方法共有C：CV+CGC種，

而所有的抽取方法共有C：種，

故每一類都被抽到的概率為它生早9生&=I^=I^，

3

故答案為：—.

15.（2022.上海.華師大二附中模擬預(yù)測(cè)）5個(gè)同學(xué)報(bào)名參加志愿者活動(dòng)，每人可從3項(xiàng)活動(dòng)中任選一項(xiàng)參

加.則其中恰有2項(xiàng)活動(dòng)有同學(xué)報(bào)名的概率是.

…10

【答案】石

【解析】全部可能的報(bào)名情況數(shù)為3$=243和I

恰有2項(xiàng)活動(dòng)有人報(bào)名可以看作先從3個(gè)項(xiàng)目中選出2個(gè)，有C；=3種選法，

然后再讓5名同學(xué)參加，則共有25=32種方法，

但必須減去5名同學(xué)都參加其中一個(gè)這種情況，.132-2=30,

故恰有2項(xiàng)活動(dòng)有同學(xué)參加有3x30=90種情況，其概率為黑=M；

故答案為：粵.

27

16.（2022?上海靜安?二模）上海進(jìn)博會(huì)是世界上第一個(gè)以進(jìn)口為主題的國家級(jí)展覽會(huì)，每年舉辦一次.現(xiàn)有

6名志愿者去兩個(gè)進(jìn)博會(huì)場(chǎng)館工作，每個(gè)場(chǎng)館都需要3人，則甲乙兩人被分配到同一個(gè)場(chǎng)館的概率是

【答案】I2

【解析】由題意知：總情況有C；=20種，其中甲乙兩人被分配到同一個(gè)場(chǎng)館的情況有c1A；=8種，故甲乙

Q2

兩人被分配到同一個(gè)場(chǎng)館的概率是

2

故答案為：—.

J真題練

1.（2021年高考全國乙卷理科）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目

進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有

（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中

任選2人，組成一個(gè)小組，有C；種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)兀素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位

置,四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4!種,根據(jù)乘法原理,完成這件事,共有C；x4!=240

種不同的分配方案，

故選：C.

2.（2017新課標(biāo)??）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的

安排方式共有

A.12種B.B種C.24種D.36種

【答案】D

【解析】由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份:

有C：種方法，然后進(jìn)行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有C：XA；=36種.故選D.

3.（2014新課標(biāo)1）4位同