四川省成都市2023屆高三第一次診斷性檢測數(shù)學（理科）試題（解析版）

成都市2020級高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測

數(shù)學（理科）

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第I卷（選擇題）1至2頁，第II卷（非選擇題）3至4頁，

共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

L答題前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的［［答案』標號涂黑，如需改動，用橡

皮擦擦干凈后，再選涂其它K答案》標號.

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將K答案》書寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.

5.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

L設(shè)集合A={x∣-1<X42},3={RX2-4x+3≤θ},則An8=（）

A.{x∣-l<x≤3}B.{x∣-l<x≤l}

C.{R14X≤2}D.{Λ∣1≤X<3}

R答案XC

K解析D

K樣解Il解不等式，得到B={x∣l≤x≤3},進而求出交集.

K詳析D8={x∣χ2-4χ+3≤θ}={x∣l≤x≤3},

故ACB=何1≤X≤2}.

故選：C

2.滿足（l+i）z=3+i（i為虛數(shù)單位）的復數(shù)Z=（）

A.2-iB.2+i

C.l+2iD.l-2i

K答案UA

K解析D

"羊解Il利用復數(shù)的除法化簡可得復數(shù)Z.

3+i-(3+i)(l-i)4-2i_

K詳析Il由復數(shù)的除法可得Z

1+i(l+i)(l-i)2

故選：A.

3.拋物線V=2y的焦點坐標為()

A(0,1)B.(θ,jC.g,θ)

K答案DB

K解析H

K樣解》根據(jù)拋物線無2=2PX的焦點為(0,日)求解.

K詳析D因為拋物線∕=2y,

所以〃=1,所以焦點坐標為(o,?^)=[o,g]

故選：B

4.下圖為2012年—2021年我國電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤總額增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列

結(jié)論正確的是()

A.2012年一2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增

B.2012年一2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增

C.2012年—2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額均較上一年實現(xiàn)增長，且其增速均快于當年工業(yè)企業(yè)利潤

總額增速

D.2012年—2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值大于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值

K答案DC

R解析』

K祥解2根據(jù)折線圖給出的數(shù)據(jù)進行計算可判斷出K答案H.

K詳析Il對于A,2018年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負數(shù)，從2017到2018利潤總額下降，故A

不正確；

對于B,2015年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負數(shù)，從2014到2015利潤總額下降，2019年工業(yè)企業(yè)利潤總額

增速為負數(shù)，從2018到2019利潤總額下降，故B不正確；

對于C,2012年—2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速均為正數(shù)，所以利潤總額均較上一年實現(xiàn)增長，

且其增速均大于當年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速，故C正確；

對于D,2012年—2021年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值為

5.3+12.2+3.3-2.3+8.5+21+10.3—3.3+4.1+34.3

=9.34,2012年—2021年電子信息制造業(yè)企業(yè)利

10

7.9+19.7+17.1+5.9+12.8+22.9—3.1+3.1+17.2+38.9

潤總額增速的均值為=14.24,9.34<14.24,

10

故D不正確.

故選：C

尤+y-4≤0,

5.若實數(shù)x,y滿足約束條件（y≥0,則Z=x+2y的最大值是（）

x-y≥0.

A.2B.4C.6D.8

R答案XC

R解析D

K祥解D畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解.

x+γ-4<0,

R詳析員畫出約束條件<y≥0,所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

x-γ>0.

1Z

目標函數(shù)Z=X+2y,可化為直線y=-]X+/,

當直線y=-'x+三過點A時在>上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值,

-22

x+y-4=0

又由《，解得A(2,2),

X-y=0

所以目標函數(shù)Z=x+2y的最大值為ZmaX=2+2x2=6.

故選：C.

6.下列命題中錯誤的是（）

A.在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)『的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強

B.對分類變量X與y,它們的隨機變量K2的觀測值我越小，說明“x與y有關(guān)系”的把握越大

c.線性回歸直線勺=%+d恒過樣本中心（元》）

D.在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

R答案UB

K解析D

K祥解》相關(guān)系數(shù)，來說，M越接近1,相關(guān)程度越大，說明擬合效果更好可判斷A；由隨機變量κ2的觀

測值Z可判斷B；由線性回歸直線一定恒過樣本中心可判斷C；由殘差平方和越小，模型的擬合效果越好,

可判斷D.

K詳析員對于A,回歸分析中，對于相關(guān)系數(shù)「，

H越接近1，相關(guān)程度越大，說明擬合效果更好，A對；

對于B,對分類變量X與y,它們的隨機變量K2的

觀測值Z越小，說明“x與y有關(guān)系”的可能性越小，B錯：

對于c,由線性回歸直線a=gχ+a,其中V=歹一百r,

所以一定恒過樣本中心（月歹），所以C正確；

對于D,在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的

擬合效果越好，D正確.

故選：B

7.若函數(shù)/（x）=x（x+α）2在X=I處有極大值，則實數(shù)。的值為（）

A.1B.-1或一3C.-1D.-3

K答案』D

R解析】

K祥解』利用函數(shù)的導數(shù)可得/'(1)=0,解出”的值之后驗證函數(shù)在X=I處取得極大值.

K詳析U函數(shù)/(X)=X(X+a)：r(x)=(x+α)2+2x(x+a)=(x+α)(3x+a),

函數(shù)/(x)=x(x+α)2在尤=1處有極大值，可得/'(l)=(l+α)(3+α)=0,解得α=T或α=-3,

當α=T時，/'(X)=(X—l)(3x-l),x∈(g,l[時r(x)<0,%€(1,+00)時/,q>0,

/(x)在上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,/(尤)在X=I處有極小值,不合題意.

當α=-3時，∕,(x)=(%-3)(3x-3),xe(-∞,l)時用χ)>0,x∈(l,3)時∕[x)<0,

/(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在0,3)上單調(diào)遞減，/(x)在X=I處有極大值，符合題意.

綜上可得，a——3.

故選：D

8.已知直線/,相和平面M夕.若aJ_/?,/_!_α,則“/_Lm”是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

K答案，B

K解析，

"羊解》根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系即可判斷.

K詳析》因為aJ?尸,∕?Lα,

若m_L6，則可得/_Lm,必要性成立；

若/_Lm,則加〃α或mua都有可能，但是加，/?不一定成立，充分性不成立.

所以“/，m”是“加，夕’的必要不充分條件.

故選:B.

9.已知數(shù)列｛0,,｝的前〃項和為S”.若4=2,5M=S,,,則Sg=()

A.512B.510C.256D.254

K答案HC

K解析D

K祥解』根據(jù)s,與%的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式進行求解即可.

K詳析U由q,+ι=SnnSn+i-Sn-Sn=>Sn+l-2Sn,

所以數(shù)列｛S,,｝是以2為首項，2為公式的等比數(shù)列，于是?=2?27=256,

故選：C

10.日光射入海水后，一部分被海水吸收（變?yōu)闊崮埽?，同時，另一部分被海水中的有機物和無機物有選擇

性地吸收與散射.因而海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用∕o=∕0e-m表示其總衰減規(guī)律，其中

K是平均消光系數(shù)（也稱衰減系數(shù)），D（單位：米）是海水深度，ID（單位：坎德拉）和/。（單位：坎

德拉）分別表示在深度。處和海面的光強.已知某海區(qū)10米深處的光強是海面光強的30%,則該海區(qū)消光

系數(shù)K的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7,In3≈l.l,ln5≈1.6）

A.0.12B.0.11C.0.07D.（）.01

R答案』A

K解析D

K祥解11根據(jù)題意，列出方程，得到30%=e-∣°κ,兩邊取對數(shù)后，求出K的值.

詳析由題意得：oκ即，

KH3O%∕o=Ioe-',30%=J°κ

兩邊取對數(shù)得：一IOK=In3-lnlO=ln3-ln2-ln5,

.In2+In5—In30.7+1.6—1.1.

故K=-------------------≈------------------=0.12.

1010

故選：A

11.已知側(cè)棱長為的正四棱錐各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為36萬，則該正四棱錐的體積

為（）

168也832

A.—B.*C.-D.—

3333

K答案，D

K解析H

K祥解2作圖，分外接球的球心在錐內(nèi)和錐外2種情況，運用勾股定理分別計算.

K詳析D設(shè)四棱錐為P-ABCD,底面ABCO的中心為O,

設(shè)外接球的半徑為心底面正方形的邊長為2@,四棱錐的高為Po=〃，則4萬7?2=36萬,7?=3，

BO=?∣2a>

當外接球的球心在錐內(nèi)時為。1,在RtPBO中，BO1+PO2=PB2.

即26/+//=12…①，在RLBoa中，O0；+BO?=B0：,BP(A-3)2+2a2=32

聯(lián)立①②，解得α=2,∕z=2<A（舍）；

22

當外接球的球心在錐外時為。2，在RtUPBo中，BO+PO-=PB，

2

即2/+/?=12…③，在RtBOO2中，BO+00；=BO^,即2后+。一獷=32…④，

132

聯(lián)立③④解得α=2M=2,四棱錐的體積LMCO=3'（2乂2）、92=不；

故選：D.

12.已知平面向量a、〃、C滿足a?0=0,M=W=1,（c-a）?（c-Z?）=;,則卜一a∣的最大值為（）

53

A.√2B.1+乂±C.-D.2

22

K答案，B

R解析2

K祥解》在平面內(nèi)一點0，作OA=a，OB=b，OC=c，取AB的中點E,計算出網(wǎng)、忸C∣的值,

利用向量三角不等式可求得的最大值.

K詳析》在平面內(nèi)一點。，作Q4=a，OB=b，OC=c?,則a?0=04?06=0，則O

Uim

因為M=M=I,則IQ4卜|。@=1故為等腰直角三角形，則AB=J2,

Ii

取AB的中點E,則OE=QA+AE=0A+gAB=0A+g(08—QA)=g(QA+0B)=；(a+bb

/\2.2.2?

所以,ya-?-b?=a+h+2α?b=2,所以,

2

因為卜—〃)?卜-6)=。2_。.(〃+8)=3，

所以，CLC?(α+4+(q)=c~^~Y^=(OC_QE)2=EC?=1，貝"EC∣=I,

所以，［一M=Ioe-Qd=,。卜,七+七。卜卜曰+怛。卜與+1.

當且僅當AE、EC同向時，等號成立，故卜一4的最大值為*+ι.

故選：B.

第II卷（非選擇題，共90分）

二,填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把［［答案』填在答題卡上.

13.在公差為d的等差數(shù)列｛〃〃｝中，已知q+%+/=3,4+4=4,則d=.

R答案，?

3

R解析』

K祥解D根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，將已知等式化簡，兩式相減即可求得口答案》.

K詳析H由題意公差為d的等差數(shù)列｛為｝中，o1+α2+α3=3,fl4+α6=4,

則3q+3d=3,2α∣+8d=4,即4+d=l,4+44=2,

故3d=l,.?.d=L

3

故K答案》為：?

3

14.f?-?l展開式中常數(shù)項為

K答案，240

K解析H

K樣解》先求出二項式的展開式的通項公式,令X的指數(shù)等于0,求出廠的值，即可求得展開

式中的常數(shù)項.

6-3

K詳析XX-展開式的通項公式1句q×(-2)r×%2l

令6-?，=3=>尸=4,所以（工—子）的展開式的常數(shù)項為C：X24=240,故K答案工為240.

八點石成金口本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考

命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的

通項公式（旬=C/"-'":（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項

式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.

22

15.已知雙曲線0—3=1（4>0/>0）與圓％2+丁=2,2（C為雙曲線的半焦距）的四個交點恰為一個

正方形的四個頂點，則雙曲線的離心率為.

R答案X或上1

2

K解析U

K祥解』將雙曲線方程和圓的方程聯(lián)立可求得Y,y2,由曲線對稱性和正方形特征知V=y2,由此構(gòu)造

齊次方程求得離心率.

∣χ2J

222

K詳析》由/一乒=1得：x=2fl+?,∕=2?-?,

CC

X2+y2=r2c2

兩曲線交點恰為一個正方形四個頂點，,Y=:/,即2/+咚=2∕√一咚，

整理可得:c4-3a2c2÷^4=0，Λe4—3^2+1=0?

z,x3±石τ7.23+行6+2Λ∕5(6+1]l?/?+1

解4i得a：2=———,又e>l,.?.e=--------=----------=|--------，則Ime=?2i-------

e22412J2

故R答案》為：避土L

2

16.已知函數(shù)/(%)=Sin2χ-sin%+匕x∈[θ,π].有下列結(jié)論：

①若函數(shù)/(X)有零點，則左的范圍是18,；；

②函數(shù)/(x)的零點個數(shù)可能為0,2,3,4；

③若函數(shù)/(x)有四個零點%,々，七，％4，則Ae(θ,;),且芯+/+七+/=2兀；

④若函數(shù)/(X)有四個零點石,々,七,工4(3<?r2<F<%)，且XI，%2，工3，》4成等差數(shù)列，則々為定值，且

其中所有正確結(jié)論的編號為.

K答案，②③④

K解析H

K祥解(令SinX=t,因x∈[0,7ι],則f∈[(),l].

對于①，/(x)=sin2x-sinx+A:=O=≠>Zc=r-/2,則函數(shù)/(x)有零點相當于函數(shù)

g(f)=/-r"e[0,1]的圖像與直線y=左有交點，做出相關(guān)圖像可得K答案也

對于②，由圖可得K答案兒

對于③,由圖可得Ze(O時，g(r)=r-r2,r∈[θ,1]的圖像與直線y=%有2個點，即/一.+女=0

有兩個根4，t2,得sinx=f∣,SinX=J.方程SinX=4,SinX=L在[(),兀!上均有兩個根，設(shè)為

Ux4,x2,七?即可得K答案』；

31

對于④，由③可知，SinX]+sin尤2=1，々+W=，設(shè)數(shù)列公差為d，則d=n~2x2,

一n）+SinX=1,說明方程Sin（3&-π）+sinx=1在[）上有唯一解即可.

sin2

K詳析Il令SinX=r,因xe[0,π],則te[(),l].

對于①，/(X)=SinZx-Sinx+左=O=左=，一一，

則函數(shù)/(x)有零點相當于函數(shù)g(f)=t-t2,te[(),1]圖像與直線y=k有交點，

做出g(t)=t-r,te[θ,1]的圖像，

由圖可得若函數(shù)/(χ)有零點，則攵的范圍是θ,?,故①錯誤；

對于②，由圖，當Z∈(-8,0)U-,+∞時，g(∕)=f-∈[0,1]的圖像與直線y=A:無交點,

14√

得“X)有0個零點；

.[π1

當Z=0,Z=Z-rn∕=0或/=1，得Sin%=0或SinX=1,解得X∈0,—,??>,

即此時/(x)有3個零點；

當ke[θ,;1,由圖可得，此時g(∕)=fe[0,1]的圖像與直線y=左有2個交點，

即方程2=一*有2個解，設(shè)為4，L，

又方程SinX=乙，sinX=右各有兩個解，即此時/(x)有4個零點；

當％=」，k=t-t^=>t=-,得SinX=JnX=三或χ=2,

42266

即此時/(x)有2個零點.綜上函數(shù)/(x)的零點個數(shù)可能為0,2,3,4,故②正確.

對于③，當上由圖可得，此時g(f)t-t2,te[0,1]的圖像與直線y=女有2個交點，即方

程4="尸有2個解，設(shè)為Gt2,

又方程SinX=f∣,sinX=右各有兩個解，即此時/(x)有4個零點.設(shè)方程SinX=t∣兩根為x∣,x4,方

程SinX=與兩根為々，?*

因Sin%=sinx4=r1,sinx2-SinX3-q，

jrχπ

則%+/=，2+?=χ1+χ2+χ3+χ4=2兀，故③正確;

對于④，由③分析知％=一產(chǎn)有2個解，設(shè)為卬t2,則由韋達定理有4+L=L

J1

又％]+無4=，X2+X3=兀，xι<X2<x3<X49

,π

則。<玉<X2<—<X3<X4<JT.

又Sinx1=sinx4=r?,sinx2=sinx3=t2,貝!jsinxχ+sinx2=1.

設(shè)數(shù)列公差為d，則一&=%2一%=d,又工2+工3=兀，

ππ

可得d=兀-2X,X=3X-冗,因玉∈lθ,?,則w≡

2I23,2,

代入得冗)

Sinx1+sinx2=1,Sin(3X2-+sinx2=1,

JIπ

令h(x)=sin(3X—兀)+sinX一Lx∈

3,2

JT、

則Ii(x)=3cos-n)+cos工，因3x一?！?,—,則/f(x)>0,

2/

/(ππ?

得MX)在W，3上單調(diào)遞增，又

π..Ji7π].兀7兀π

h=sinO+sin----1<O,h=sin——Fsin------1>2Sin-----1=().

53瓦6186

兀7兀

,使得〃(%)=°?得巧為常數(shù)，為方程sin(3%-r)+sin4=1在

則存在唯一實數(shù)尤2∈3,Tδ

τι7兀、

—,γ^^上的唯一解.故④正確.

3Ioj

H點石成金D關(guān)鍵點『點石成金』：本題考查利用圖像和導數(shù)研究函數(shù)的零點，難度較大.

判斷①②③時，利用圖像可較為簡介地解決問題；對于④，常規(guī)思路為求出々的值，但因難以求出，故建

立與巧有關(guān)的方程，說明其解的唯一性并確定范圍.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.成都作為常住人口超2000萬的超大城市，注冊青年志愿者人數(shù)超114萬，志愿服務時長超268萬小時.

2022年6月，成都22個市級部門聯(lián)合啟動了2022年成都市青年志愿服務項目大賽，項目大賽申報期間，

共收到331個主體的416個志愿服務項目,覆蓋文明實踐、社區(qū)治理與鄰里守望、環(huán)境保護等13大領(lǐng)域.已知

某領(lǐng)域共有50支志愿隊伍申報，主管部門組織專家對志愿者申報隊伍進行評審打分，并將專家評分(單位：

(2)從評分不低于80分的隊伍中隨機選取3支隊伍，該3支隊伍中評分不低于90分的隊伍數(shù)為X,求隨

機變量X的分布列和期望.

K答案H(1)/?=0.012

3

(2)分布列見K解析》E(X)=I

K解析U

R祥解Il(I)利用直方圖中各矩形面積和為1列方程求解即可.

(2)先求出評分不低于80分的隊伍數(shù)，以及評分不低于90分的隊伍數(shù)，確定隨機變量X的取值，求出概

率，寫出分布列，求得期望.

K小問1詳析』

由(0.()04X2+0.022+0.030+0.028+m)×10=l,

解得加=OoI2.

R小問2詳析］

由題意知不低于80分的隊伍有50x(0.12+0.04)=8支，

不低于90分的隊伍有50×0.04=2支.

隨機變量X的可能取值為0,1,2.

=",P(X=2)3

v7*

P(X=O)=IP±P(X=I)=罟2828

3

4

18.記_ABC的內(nèi)角48,。所對邊分別為4,仇<?.已知2=sinC+cosC.

a

(1)求A的大??；

(2)若2&sin6=3sinC，再從下列條件①，條件②中任選一個作為已知，求ABC的面積.

條件①：αsinC=2；條件②：ac-2\/10.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

R答案2(I)A=：；

4

(2)3.

K解析H

R祥解Il(I)由正弦定理化邊為角，結(jié)合內(nèi)角和公式，三角函數(shù)恒等變換化簡求A；

(2)若選①，由正弦定理求c,由條件求力，結(jié)合三角形面積公式求面積，

若選②，由條件可設(shè)c=2√Σm,b=3m(m>0),利用余弦定理求加，結(jié)合三角形面積公式求面積.

K小問1詳析H

b._-

—=SinC+cosC,

a

由正弦定理知母—=sinC+cosC,即SirLB=SinASinC+sinACOSC.

SinA

在一ABC中，由3=7I-(A+C),

/.sinB=Sin(A+C)=SinAcosC+CosAsinC=SinAsinC+SinAcosC.

.,.∞sAsinC=sinAsinC.C∈(0,π),.,.sinC≠O.

.*.sinA=cosA.

A∈(0,π),.?A=—.

K小問2詳析』

若選擇條件①，由正弦定理,得αsinC=CSinA=42(?=2.

sιnΛSinC2

.??c=2√2?

又2√^sin6=3sinC,即2√?=3c?

:.b=3.

=

/.Sabc-?bcsinA=?×3×2λ∕2sin??

若選擇條件②，由2λ∕5sinB=3sinC,即2√∑h=3c?

設(shè)C=2y∣2m,b=3m{m>0).

則cr=b1Λ?c1—2。CCOSA=5m2./.a=?∣5m?

河

m2得

〃=

。

Q-"入

-?

√12

12-Aπ

S=X3X2m?-3

A2-4-

Bc

19.如圖①，在等腰直角三角形ABC中，/A=90,AB=3,0,E分別是AC,BC上的點，且滿足

DE//AB.將-CDE沿DE折起，得到如圖②所示的四棱錐P—A6￡Z）

（1）設(shè)平面ABPC平面Z）石P=/,證明：/，平面AoP；

（2）若PA=J5,OE=2,求直線PZ）與平面PEB所成角的正弦值.

K答案，（1）證明見K解析1

(2)B

3

K解析工

K祥解》(1)由OE//45得到線面平行，進而由線面平行的性質(zhì)得到線線平行，得到∕LD4,∕?hOP,

證明出線面垂直，

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角的正弦值.

K小問1詳析》

DE//AB,DEα平面PAB,ABU平面PAB，

.?.。石//平面以8.

DEU平面PDE，平面PDE平面P4B=/,

.?.DE∕∕l.

由圖①得。ELOAOELOP,

:.1±DA,l±DP.

DA,DPU平面ADP,DAoDP=D,

；./_L平面ADP；

K小問2詳析》

由題意，得DE=DP=2,DA=L

,AP=y∕5=yjDP2+DA1,：.DA±DP.

又DELDP,DELDA,以。為坐標原點，D4,OE,OP的方向分別為X軸，，軸，Z軸正方向，建立如

圖所示的空間直角坐標系Dxyz.

則。(0,0,0),E(0,2,0),B。,3,0),P(0,0,2),

PD=(O,O,-2),PE=(0,2,-2),PB=(1,3,-2).

設(shè)平面PBE的一個法向量為〃=(x,y,z).

n?PB=(x,y,z)?(l,3,-2)=x+3y-2z=0

則〃=<

n?PE—(無,y,z).(0,2,-2)=2y-2z=O

令z=l,得y=l,χ=-l,故〃=(一1,1,1).

設(shè)PO與平面尸￡8所成角為夕

∏PD∣(-1,1,l)?(0,0,-2)∣2y∕3

：.sin。=cos(n,PD

rt∣∣PD2×√1+1+1^2×√3^3'

直線PD與平面PEB所成角的正弦值為B

3

22

20.已知橢圓C:*+%=l(a>b>0)的左，右焦點分別為￡,工，上頂點為。，且工為等邊三角

形.經(jīng)過焦點居的直線/與橢圓C相交于A,B兩點，片4?的周長為8.

(1)求橢圓C的方程;

(2)試探究:在X軸上是否存在定點T，使得7??TB為定值？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請

說明理由.

χ~2y2

R答案］(1)—+—=1

43

存在定點τ(9,θ),使得力4?TB為定值

(2)

K解析R

"羊解Il(I)根據(jù)等邊三角形三邊長相等可知α=2c,根據(jù)???GA8周長為44可求得。，結(jié)合橢圓。,仇C關(guān)

系可求得結(jié)果;

(2)假設(shè)存在滿足題意定點T(f,()),設(shè)/:x=my+l,與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論；根據(jù)向量

數(shù)量積的坐標運算表示出力4.73,代入韋達定理的結(jié)論整理可得Σ4?TB=W-")"-2,根

3療+4''

6r-159

據(jù)7??ΓB為定值可構(gòu)造方程-y-=-［求得Z的值，從而得到定點坐標.

K小問1詳析』

/譙為等邊三角形，ISl=If＞國=廬Nr=α,|哂|=2c,.?.α=2c;

FiAB周長為8,.?.∣Ml+1明∣+∣ABl=IMl+忸耳∣+∣M∣+忸q=4a=8,

解得：Cl=2f.?C=?1∕=Q2-￠2=3,

22

橢圓C的方程為：—+?-=1.

43

K小問2詳析）

假設(shè)在X軸上存在定點T（f,O）,使得TA-TB為定值;

由（1）知：5（1,0）,直線/斜率不為零，

.?.可設(shè)/:X=Zny+1,A(%,y),S(x2,y2),

X=TTIy+1

222

由,xy得：(3n?+4)/+6∕%y-9=0則Δ=48(3m+3)＞0,

143

6m9

.?.y∣+y=------?—,yy=-----；—,

'23m2+4-1l223∕√+4

.?,TATB=(x,-t)(x2-t)+yly2=(my1+l-∕)(∕τιy2+l-∕)+yly2

療一6m2(1T)

=(w2+l)yγ+w(l-r)(y,+y)+(l-r)2-99

l223m2+43m2+4

肉"+B

..,6f—159.11,,,,135

Z4?TB為定值，.?.------=一一，解得：t=~＞此時定值為一-—;

34864

,存在定點TKo

使得7??Tβ為定值?

H點石成金JII思路］點石成金」：本題考查直線與橢圓綜合應用中定點、定值問題的求解，求解此類問

題的基本思路如下：

①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于X或y的一元二次方程的形式；

②利用Δ＞（）求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；

③利用韋達定理表示出所求量，代入韋達定理可整理消元確定定值或根據(jù)定值求得定點.

21.已知函數(shù)/(x)=ln(or),α>O.

(1)當α=l時，若曲線y=∕(x)在x=l處的切線方程為y=H+b,證明：/(x)≤日+d

(2)若/(x)≤(x-l)e*-",求〃的取值范圍.

R答案2(1)證明見K解析兒

(2)(0,1].

K解析D

K祥解》(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再構(gòu)造函數(shù)并求出最值作答.

(2)由給定不等式構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點存在性定理分類討論求解不等式恒成立的。的范圍作答.

K小問1詳析』

當4=1時，"X)=Inx,

依題意，曲線y=∕(x)在X=I處的切點為(1,0),而尸(X)=有/'(1)=1,

即曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y=χT,記g(x)=/(X)-依-≠=lnx-x+1,

求導得g'(χ)=V≡,當XG((U)時,g'(χ)>O,g(χ)遞增,當％∈(L?KQ)時,g'(χ)<O,g(χ)遞

減，

因此g(x)≤g(l)=O,所以/(x)<區(qū)+人成立.

K小問2詳析)

記〃(X)=(X-I)e*-"-/(x)=(x-l)e?r-"-InX-Ina,x>0,依題意，/z(x"0恒成立,

求導得〃(x)=Xel-LX>0,令y=∕(x)=xei-',y=(x+l)e*-α+e>O,

11L1

則〃'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又2<0,”(a+l)=(α+l)e--\>0,

則切∈(g,α+l],使得“(??)=0,即XOeAi)-"=J成立，

則當Xe(O,X。)，"(X)<°，〃(X)單調(diào)遞減；當XG(Λ),+∞),"(X)>0,MX)單調(diào)遞增,

〃(X)min=〃(%))=(??T)e*~"-lrυ?-lnα,由飛記「"二’,得e`"-"=4,4=%+21!?,

-

于是得MXo)=?----Iax0-In(Λ0+2Inr0),當x∈(l,+<z>)時，令MX)=±」?一Iox,

?X

有f'(x)=-~~λ)('+~)<O,f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

而％+2出%在(1,+0。)上單調(diào)遞增，即有函數(shù)y=Tn(x+21nx)在(l,+∞)上單調(diào)遞減，

于是得函數(shù)9(x)=?^^l^-Inx-In(X+2InX)在(1,+oo)上單調(diào)遞減，

則當/∈(l,+∞)時，〃伉)=夕(AO)<°(l)=0,不合題意;

當Xoe且XO+2IrLXO>O時，由(1)中InX≤X-I知，-Inx0≥1-?,有

一In(JQ)+2InXo)≥1-(％+21r?),

X-[X-]

-jn

從而"(Xo)=?----l?Tn(Xo+21∏x0)≥-?-----lrυ?+1-(x0+21nx0)

??

=閆-31n?f+]≥迎。3(x°fτ0+]=(j0)(2"l)(2x°+l),

??XQ

由知/Z(ΛO)≥0,因此滿足/(x)≤(x-l)ei,

又。=%+21怖,^=%+2111丫