第3講 函數(shù)與方程思想在導(dǎo)數(shù)部分的應(yīng)用（原卷版）

第3講函數(shù)與方程思想在導(dǎo)數(shù)部分的應(yīng)用函數(shù)的思想就是運(yùn)用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運(yùn)用函數(shù)的圖像性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，測試問題，獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識?；蚝瘮?shù)觀點(diǎn)觀察分析解決問題。方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來分析數(shù)學(xué)變量問的等量關(guān)系，通過解方程（組），或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。孰練運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問題是高中階段重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是歷年高考的重點(diǎn)。函數(shù)與方程思想，簡單的說，就是學(xué)會用函數(shù)和變量來思考，學(xué)會轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。對函數(shù)和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題？一般情況下，凡是涉及到未知數(shù)，未知數(shù)問題都可以都可能用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)與方程思想方法的考察一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一。在高考數(shù)學(xué)上，與函數(shù)有關(guān)的試題所占的比例實(shí)際上在20%左右，且試題中既有靈活多樣的客觀性試題，又有。一定能力要求的主觀性試題。函數(shù)與方程思想最重要的一種，是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考所占的比重比較大，綜合知識多，題型多。應(yīng)用技巧多?！緫?yīng)用一】函數(shù)與方程思想在研究直線的斜率的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：(1)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)．(2)切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點(diǎn)．(3)曲線y＝f(x)“在”點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與“過”點(diǎn)P(x0，y0)的切線的區(qū)別：曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線是指點(diǎn)P為切點(diǎn)，若切線斜率存在，切線斜率為k＝f′(x0)，是唯一的一條切線；曲線y＝f(x)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條．【例1.1】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．【思維提升】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．【變式1.1】【2022年新高考2卷】曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，【變式1.2】【2020年新課標(biāo)3卷理科】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【變式1.3】【2019年新課標(biāo)3卷理科】已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A． B． C． D．【應(yīng)用二】函數(shù)與方程思想在轉(zhuǎn)化為方程根的關(guān)系函數(shù)與方程（不等式）思想貫穿于高中數(shù)學(xué)的各個模塊，求值問題涉及到方程，求范圍的問題就離不開不等式，在導(dǎo)數(shù)部分中涉及到切點(diǎn)坐標(biāo)，交點(diǎn)坐標(biāo)等問題往往都是轉(zhuǎn)化為方程的跟的問題?！纠?】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【思維提升】與切點(diǎn)坐標(biāo)、交點(diǎn)坐標(biāo)等問題往往轉(zhuǎn)化為方程根的問題，特別是范圍問題要結(jié)合韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，【變式2.1】【2022年新高考1卷】若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是【變式2.2】（2022·廣東揭陽·高三期末）已知函數(shù)，過點(diǎn)可作兩條直線與函數(shù)相切，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為2 D．【變式2.3】（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若不同兩點(diǎn)、均在函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱是函數(shù)的一個“匹配點(diǎn)對”（點(diǎn)對與視為同一個“匹配點(diǎn)對”）.已知恰有兩個“匹配點(diǎn)對”，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【應(yīng)用三】函數(shù)與方程思想在構(gòu)造函數(shù)比較大小比較大小是高考試題中經(jīng)?？疾榈念}型，此類題型主要體現(xiàn)的思想方法就是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的思想，研究函數(shù)的單調(diào)性，通過研究函數(shù)的單調(diào)性得出它們的大小關(guān)系?！纠?】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎?，（其中為自然常數(shù)），則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【思維提升】遇到關(guān)于指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的比較大小最常見的方法就是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小。但是涉及到綜合性的比較大小，往往通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行比較大小。如何構(gòu)造函數(shù)就要求我們觀察所給試的形式，或者把他們化簡具有共同特征的形式，然后根據(jù)形式構(gòu)造函數(shù)。最終通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，比較大小?！咀兪?.1】（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎亲匀粚?shù)的底數(shù)，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【變式3.2】（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知且，，，是自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B．C． D．【變式3.3】（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【應(yīng)用四】函數(shù)與方程思想在導(dǎo)數(shù)中研究零點(diǎn)與極值點(diǎn)的問題1、函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)(或方程根的個數(shù))問題的一般思路：(1)可轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題；(2)涉及兩函數(shù)的交點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合思想方法，通過圖象可清楚地數(shù)出交點(diǎn)的個數(shù)(即零點(diǎn)，根的個數(shù))或者確定參數(shù)的取值范圍．【例4】（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，且，則的值為（）A．3 B．4 C．9 D．16【思維提升】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的參數(shù)的取值范圍．通用解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，確定參數(shù)的取值范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的參數(shù)的取值范圍．通用解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)的取值范圍．【變式4.1】（2022·江蘇海門·高三期末）已知函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．(0，) B．[0，) C．[0，] D．(0，)【變式4.2】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)只有一個極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【變式4.3】（2022年河北承德市高三月考模擬試卷）函數(shù)在上有且僅有一個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.1、（2022年江蘇蘇州八校聯(lián)盟高三月考模擬試卷）設(shè)，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A. B.C. D.2、（2022年江蘇泰州市高三月考模擬試卷）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.必有兩個極值點(diǎn)B.有且僅有3個零點(diǎn)時，的范圍是C.當(dāng)時，點(diǎn)是曲線的對稱中心D.當(dāng)時，過點(diǎn)可以作曲線的3條切線3、（2022年廣東華美實(shí)驗(yàn)高三月考模擬試卷）（多選題）若直線與曲線相切，則（）A. B. C. D.4、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x題）已知,，下列說法正確的是（

）A．存在使得是奇函數(shù)B．任意?的圖象是中心對稱圖形C．若為的兩個極值點(diǎn)，則D．若在上單調(diào)，