課時(shí)直線與平面垂直

數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步13．2基本圖形位置關(guān)系13.2.3直線與平面的位置關(guān)系第2課時(shí)直線與平面垂直01預(yù)習(xí)案自主學(xué)習(xí)02探究案講練互動(dòng)03自測(cè)案當(dāng)堂達(dá)標(biāo)04應(yīng)用案鞏固提升學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性．2．掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關(guān)線面垂直的問(wèn)題．3．了解直線和平面所成的角的含義，并會(huì)求直線與平面所成的角．4．理解點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離的概念．5．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理，能應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問(wèn)題．核心素養(yǎng)1．直觀想象、邏輯推理：直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理．2．直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算：求直線與平面所成的角．1．直線與平面垂直定義如果直線a與平面α內(nèi)的__________直線都垂直，那么稱(chēng)直線a與平面α垂直記法a⊥α有關(guān)概念直線a叫作平面α的______，平面α叫作直線a的______，垂線和平面的交點(diǎn)稱(chēng)為_(kāi)_____任意一條垂線垂面垂足圖示及畫(huà)法畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形．(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)條直線”．2．直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的__________直線垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A?a⊥α兩條相交能將定理中的“兩條相交直線”中的“相交”去掉嗎？提示：不能，判定定理?xiàng)l件中的“兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語(yǔ)，此處強(qiáng)調(diào)“相交”，若兩條直線平行，則直線與平面不一定垂直．3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理平行a∥b(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．4．從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離．5．直線與平面所成的角(1)定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的______，斜線與平面的交點(diǎn)叫作______，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段．如圖所示，過(guò)平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過(guò)斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的______．平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的______，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角．斜線斜足射影銳角(2)規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱(chēng)它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱(chēng)它們所成的角是0°角．(3)范圍：直線與平面所成角θ的范圍是0°≤θ≤90°.1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直．(

)(2)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直．(

)(3)如果直線l與平面α所成的角為60°，且m?α，則直線l與m所成的角也是60°.(

)(4)若直線a∥平面α，直線b⊥平面α，則直線b⊥直線a.(

)(5)若直線a⊥平面α，直線a⊥直線b，則直線b∥平面α.(

)×××√√2．直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線l與平面α的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．垂直C．在平面α內(nèi) D．無(wú)法確定√3．已知直線a∥直線b，b⊥平面α，則(

)A．a(chǎn)∥α B．a(chǎn)?αC．a(chǎn)⊥α D．a(chǎn)是α的斜線√4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中．(1)直線A1B與平面ABCD所成的角是________；(2)直線A1B與平面ABC1D1所成的角是________；(3)直線A1B與平面AB1C1D所成的角是________．解析：(1)由線面角的定義知∠A1BA為A1B與平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(3)因?yàn)锳1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，又因?yàn)锳B1∩B1C1＝B1，且AB1?平面AB1C1D，B1C1?平面AB1C1D，所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B與平面AB1C1D所成的角為90°.答案：(1)45°

(2)30°

(3)90°5．如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中：

(1)與PC垂直的直線有______________________________________；(2)與AP垂直的直線有________________________________________．解析：(1)因?yàn)镻C⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因?yàn)锳P?平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC

(2)BC探究點(diǎn)1直線與平面垂直的定義(1)直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能(

)A．平行

B．相交C．異面

D．垂直√(2)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)________，則能保證該直線與平面垂直，選擇合適的序號(hào)填空(

)①三角形的兩邊

②梯形的兩邊③圓的兩條直徑

④正六邊形的兩條邊A．①③ B．②C．②④ D．①②④√【解析】

(1)因?yàn)橹本€l⊥平面α，所以l與α相交．又因?yàn)閙?α，所以l與m相交或異面．由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．(2)由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③所在的平面；對(duì)于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直．對(duì)線面垂直定義的理解(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義，對(duì)直線的任意性要注意理解．實(shí)際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義．當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直．(2)由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b.

1．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是(

)A．若l⊥m，m?α，則l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m

D．若l∥α，m∥α，則l∥m√解析：對(duì)于A，直線l⊥m，m并不代表平面α內(nèi)任意一條直線，所以不能判定線面垂直；對(duì)于B，因?yàn)閘⊥α，則l垂直于α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對(duì)于C，也有可能是l，m異面；對(duì)于D，l，m還可能相交或異面．2．下列命題中，正確的序號(hào)是________．①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直．解析：當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，所以②不正確，③正確；根據(jù)線面垂直的定義，若l⊥α，則l與α內(nèi)的所有直線都垂直，所以④正確．答案：③④探究點(diǎn)2直線與平面垂直的判定如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D為棱B1B的中點(diǎn)．求證：A1D⊥平面ADC.(1)線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化(2)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．[提醒]

要證明兩條直線垂直(無(wú)論它們是異面還是共面)，通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個(gè)平面．

如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.證明：(1)因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因?yàn)镻A∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.又因?yàn)锳Q⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.探究點(diǎn)3線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖，已知正方體A1C.

(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.【證明】

(1)如圖，連接A1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因?yàn)镃C1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因?yàn)锳1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.(1)若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直，證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．(2)直線與平面垂直的其他性質(zhì)①如果一條直線和一個(gè)平面垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線垂直；②若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，則AP?α；④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；⑤如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另一個(gè)平面．

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點(diǎn)，底面對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.

(1)求證：BD1∥平面ACE；(2)求證：BD1⊥AC.證明：(1)連接OE，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)镺B＝OD，E為棱DD1的中點(diǎn)，所以BD1∥OE，又因?yàn)镺E?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC，又因?yàn)锽D?平面BDD1，DD1?平面BDD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，又由BD1?平面BDD1，所以BD1⊥AC.如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的長(zhǎng)為4，∠MBC＝60°，求直線MC與平面CAB所成的角的正弦值．1．若直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的關(guān)系是(

)A．a(chǎn)⊥b，且a與b相交 B．a(chǎn)⊥b，且a與b不相交C．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b不一定垂直解析：過(guò)直線b作一個(gè)平面β，使得β∩α＝c，則b∥c.因?yàn)橹本€a⊥平面α，c?α，所以a⊥c.因?yàn)閎∥c，所以a⊥b.當(dāng)b與a相交時(shí)為相交垂直，當(dāng)b與a不相交時(shí)為異面垂直．√2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是(

)A．平面DD1C1C

B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1

D．平面A1DB解析：因?yàn)锳D1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.√3．空間四邊形的