峰值點偏移1-2-峰值點偏移定理

峰值點偏移1-2---峰值點偏移定理什么是峰值點偏移定理？峰值點偏移定理是指：函數(shù)$$f(x)$$在其定義域$$(a,b)$$內(nèi)，若存在一個點$$x_0$$，使得在$$x_0-\varepsilon$$和$$x_0+\varepsilon$$之間，函數(shù)的值均小于（或均大于）$$f(x_0)$$，那么在$$x_0$$處必有一個極值點。特殊地，如果函數(shù)是單調(diào)的，那么函數(shù)在任何一個點上都沒有極值點。峰值點偏移1-2峰值點偏移1-2是峰值點偏移定理的一個特殊情況，即在$x_0-\varepsilon$和$x_0+\varepsilon$之間，函數(shù)的值均小于$f(x_0)$（或均大于$f(x_0)$）的$\varepsilon$值恰好為函數(shù)極值點的$\frac{1}{2}$。換句話說，當函數(shù)在近鄰$(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$內(nèi)的值雖然小于（或大于）$f(x_0)$但是不是全都小于（或大于）$f(x_0)$。對于函數(shù)$f(x)$，如果在$x_0-\varepsilon$和$x_0+\varepsilon$之間，函數(shù)的值均小于$f(x_0)$（或均大于$f(x_0)$），并且$\epsilon\lneq\frac{1}{2}(x_0-x_1)$（$x_1$為$x_0-\epsilon$和$x_0+\epsilon$之間的點），那么我們就說峰值點偏移1-2存在。峰值點偏移定理的證明峰值點偏移定理的證明比較簡單，主要步驟如下：1.假設不存在函數(shù)$f(x)$在$x_0$處有極值點2.由于$f(x)$在$(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)$之間的值均小于（或大于）$f(x_0)$,因此可以構造兩個單調(diào)函數(shù)$g(x)$和$h(x)$（分別為以$x_0$為端點的上凸函數(shù)和下凸函數(shù)），使得$g(x)<f(x)$并且$h(x)>f(x)$3.由單調(diào)函數(shù)的極限存在定理可得當$x\tox_0$時，$g(x)$逼近某個值$l$（可能為$-\infty$或$\infty$），$h(x)$逼近某個值$m$（可能為$-\infty$或$\infty$）。我們有兩種情況：-$l\lneqm$：由于$g(x)<f(x)<h(x)$，因此當$x<x_0$且$x$足夠接近$x_0$時，有$g(x)<f(x)<h(x)$，但是當$x>x_0$且$x$足夠接近$x_0$時$g(x)>f(x)>h(x)$，這與$g(x)$和$h(x)$是單調(diào)函數(shù)矛盾，因此假設不成立，即存在一個極值點$x_0$-$l=m$:在此情況下，$g(x)$和$h(x)$在$x_0$處有一個公共的切線，即$f(x)$在$x_0$處有一個不可去極限，而不是駐點。因此假設不成立?？偨Y(jié)峰值點偏移