2023年高考數學總復習第1講：集合（附答案解析）

2023年高考數學總復習第1講：集合

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2022春?海淀區(qū)校級月考）已知全集。=凡N={x∣x+l>0},貝IJCU/=（）

A.（-∞,-1）B.（-∞,-1]C.（-8,DD.（-∞,1]

2.（5分）（2022春?深圳期末）己知集合Z={x∣-3<x<2},2={0,1,2,3},則∕∩8

=（）

A.{0,1}B.{0,2}C.{1,2}D.{213}

3.（5分）（2022春?寧波期末）已知全集U={l,2,3,4},集合∕={1,3},8={1,2},

則（CuX）UB=（）

A.{2,4}B.{1,2,4}C.{1,2,3}D.{1,3,4}

4.（5分）（2022春?武漢期末）己知MaR,7V?R,NQQRM,則Λ∕∩（CRN）=（）

A.0B.NC.RD.M

5.（5分）（2022春?深圳期末）已知集合∕={x∈N∣x>l},5={x∣0<x<4},則4CB=（）

A.{x∣l<x<4}B.{x∣x>0}C.{2,3}D.{1,2,3}

6.（5分）（2022春?鹽城期末）ila>b,'的一個充分條件是（）

A.-k<≤AB.ab>b1C.__L<°D.a2>ab

abba

7.（5分）（2022春?吉安期末）設全集U=K,集合4={x∣x>3},5={x∈Z∣l<x<6},則如

圖所示的陰影部分表示的集合為（）

A.{2,3}B.{1,2,3}C.{x∣l<x≤3}D.{x∣3<x<6}

8.（5分）（2022春?喀什市校級月考）設XeR,則“x<l”是“工〉J的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

（多選）9.（5分）（2022春?重慶期末）下列說法正確的是（）

A.任何集合都是它自身的真子集

第1頁（共25頁）

B.集合{4,b}共有4個子集

C.集合{x∣x=3"+l,nGZ}-{x?x-3n-2,n∈Z}

D.集合{x∣x=l+/,α∈N*}={x∣x=q2-4α+5,α∈N*}

（多選）10.（5分）（2022?武漢模擬）己知集合4={1,4,a},8={1,2,3},若

={1,2,3,4},則α的取值可以是（

A.2B.3C.4D.5

（多選）11.（5分）（2022春?保定月考）已知全集U=PUQ,集合P={l,3,4},

Q={x∈Nl?∈N）,貝U（）

A.尸的子集有8個b?-^∈u

C.CυP≠QD.U中的元素個數為5

（多選）12.（5分）（2022?長沙縣校級模擬）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）

A.BC（AUC）B.CuS∩（NUC）

C.β∩Cu（JUC）D.（AΓiβ）U（BCC）

≡.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

13.（5分）集合{α,0}的所有子集是.

14.（5分）（2022?黃浦區(qū)二模）若全集U={l,2,3},集合/={2,3},貝IJCUN=.

15.（5分）（2022春?楊浦區(qū)校級期末）已知集合）={x∣-3VχV0},B={x∣-2≤x≤l,x∈Z},

貝UNCB=.

16.（5分）“X》?！笔恰皒22”的必要不充分條件，則實數”的取值范圍為.

17.（5分）設集合{x∣χ2+bχ+c=o}={2},貝Ij什C=.

四.解答題（共5小題，滿分50分，每小題10分）

18.（10分）（2022春?東城區(qū)期末）設/是非空實數集，且0期.若對于任意的X,y∈∕,

都有Xy∈N,則稱集合力具有性質尸1：若對于任意的X,JR,都有三€&則稱集合/

y

具有性質P2.

（1）寫出一個恰含有兩個元素且具有性質R的集合4

第2頁（共25頁）

（2）若非空實數集/具有性質P2,求證：集合/具有性質P：

（3）設全集U={x∣xWO,x∈R},是否存在具有性質Pl的非空實數集4使得集合CUN

具有性質尸2?若存在，寫出這樣的一個集合出若不存在，說明理由.

2

19.（10分）已知集合Z={-l,2},β={x∣x+jpx+l=O},若4CB=B,求P的取值范圍.

20.（10分）已知集合4={χ-l,x2+l,2X2+5X+1},且-2∈4求實數X的取值范圍.

21.（10分）已知集合N={x∣x=3m-1,"z∈Z},集合B={x>=3"+2,∏∈Z},試證明4=8.

22.（10分）（2022?山西自主招生）我們稱小，A2,-14,為集合/的一個〃分劃，如果

（1）∕4∣UJ2U'"U4,=4;

（2）AiC?Aj≠0,l≤z<7≤π.

求最小正整數"?，使得對∕={1,2,???,〃?}的任意一個13分劃∕ι,42，…，/13，一定

存在某個集合出（l≤i≤13）,在4中有兩個元素。、人滿足b<α≤?‰.

8

第3頁（共25頁）

2023年高考數學總復習第1講：集合

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2022春?海淀區(qū)校級月考）已知全集。=H,Z={x∣x+l>0},則CUZ=（）

A.（-∞,-1）B.（-∞,-1]C.（-8,1）D.（-8,1]

【考點】補集及其運算.

【專題】轉化思想；綜合法；集合.

【分析】先化簡，再運算即可求解.

【解答】解：YU=R,/={x∣x+l>0}=（-1,+8）,

??.Cu∕=（-8,-1],

故選：B.

【點評】本題考查集合基本運算，屬基礎題.

2.（5分）（2022春?深圳期末）已知集合Z={x∣-3<x<2},5={0,1,2,3},則4∏3

=（）

A.{0,1}B.{0,2}C.{1,2}D.{213}

【考點】交集及其運算.

【專題】集合思想；定義法；集合；數學運算.

【分析】利用交集定義直接求解.

【解答】解：：集合4={x∣-3VχV2},8={0,1,2,3},

.?.∕∩8={0,I）.

故選:A.

【點評】本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解

能力，是基礎題.

3.（5分）（2022春?寧波期末）己知全集。={1,2,3,4},集合∕={1,3},B={?,2},

則（CU4）UB=（）

A.{2,4}B.{1,2,4}C.{1,2,3}D.{1,3,4}

【考點】交、并、補集的混合運算.

【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合；數學運算.

第4頁（共25頁）

【分析】先求”的補集，再求并集即可.

【解答】解：：全集。={1,2,3,4},N={l,3},

.".CuA={2,4},

，（Cu/）Uθ={l,2,4},

故選：B.

【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎.

4.（5分）（2022春?武漢期末）已知MUR,NUR,NQQRM,則MC（CRN）=（）

A.0B.NC.RD.M

【考點】交、并、補集的混合運算.

【專題】計算題；集合思想；綜合法：集合；數學運算.

【分析】由NaCRM知MCCRM再求交集即可.

【解答】解：..?NUCRM,

：.MQCRN,

：.MH（CRTV）=Λ∕,

故選：D.

【點評】本題考查了集合的化簡與應用，屬于基礎題.

5.（5分）（2022春?深圳期末）已知集合4={xCN∣x>l},S={JC∣0<X<4},則/C分=（）

A.{x∣l<x<4}B.{x∣x>0}C.{2,3}D.{1,2,3}

【考點】交集及其運算.

【專題】計算題：對應思想；綜合法；集合；數學運算.

【分析】利用交集運算化簡即可.

【解答】解：?.7={x6N∣x>l},8={x∣0<x<4},

.?.∕∩8={x∈N∣lVχV4}={2,3}；

故選：C.

【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.

6.（5分）（2022春?鹽城期末）ua>b,'的一個充分條件是（）

A.-k?≤AB.ab>b1C.__L<°D.a2>ab

abba

【考點】充分條件、必要條件、充要條件；不等關系與不等式.

【專題】計算題；對應思想；綜合法；簡易邏輯；數學運算.

第5頁（共25頁）

【分析】利用舉實例判斷/8。，利用不等式的性質，充要條件的定義判定U

【解答】解：A,當α=-2,b=l時，滿足工〈工，但α<6,...N錯誤，

ab

B,當α=-2,6=-1時，滿足06>房，但α<b,二臺錯誤，

C,V-A<-A<0,ΛA>A>0,.?a>b>O,.?.c正確，

baba

D,當α=-2,/>=-1時，滿足a2>ab,但α<b,。錯誤，

故選：C.

【點評】本題考查了不等式的性質，充要條件的判定，屬于基礎題.

7.（5分）（2022春?吉安期末）設全集U=&,集合4={x∣x>3},8={x∈Z∣l<x<6},則如

圖所示的陰影部分表示的集合為（）

A.{2,3}B.{1,2,3}C.{x∣l≤x≤3}D.{x∣3<x<6}

【考點】Venn圖表達集合的關系及運算.

【專題】集合思想；定義法；集合；數學運算.

【分析】求出集合8,陰影部分表示的集合為{x∣x68,xC∕},由此能求出結果.

【解答】解：全集U=K,集合∕={x∣x>3},

8={xeZ∣lVχV6}={2,3,4,5},

圖中陰影部分表示的集合為{xKe8,xRl}={2,3}.

故選：A.

【點評】本題考查集合的運算，考查韋恩圖、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能

力，是基礎題.

8.（5分）（2022春?喀什市校級月考）設XeR,則“x<l”是“工〉［’的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】計算題；對應思想；綜合法；簡易邏輯；數學運算.

【分析】先求出分式不等式的解集，再利用充要條件的定義判定即可.

第6頁（共25頁）

【解答】解：］=1x>0=χ（χ-l）<0,

XXX

Λ0<x<l,

?.?（0,1）ɑ（-8,1）,

.?.X<1是工>1的必要不充分條件，

X

故選:B.

【點評】本題考查了分式不等式的解法、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

（多選）9.（5分）（2022春?重慶期末）下列說法正確的是（〉

A.任何集合都是它自身的真子集

B.集合{a,6}共有4個子集

C.集合{x∣x=3"+l,neZ}-{x∣x-3n-2,n∈Z}

D.集合{x∣x=l+/,a∈N*}={φ=ɑ2-4a+5,α∈N*}

【考點】集合的含義：子集與真子集.

【專題】集合思想；定義法；集合；數學抽象；數學運算.

【分析】根據集合的相關定義分別判斷即可.

【解答】解：任何集合都是它自身的子集，故/錯誤，

集合{0,6}共有0,{α},{6},{α,6}4個子集,故8正確，

集合{x∣x=3"+l,n∈Z}={x∣x=3n-2,∏∈Z},故C正確，

集合{x∣x=l+J,“€N*}的最小值為2,

{x∣x=a2-4a+5=（a-2）2+l,“eN*}的最小值為1,故。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查了集合的表示，集合的相關定義問題，是基礎題.

（多選）10.（5分）（2022?武漢模擬）已知集合N={l,4,a},B={1,2,3},若/UB

={1,2,3,4},則α的取值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

【考點】并集及其運算.

【專題】集合思想；定義法；集合；數學運算.

【分析】利用并集的定義能求出。的取值.

第7頁（共25頁）

【解答】解：集合Z={l,4,a},B={?,2,3},

/U8={l,2,3,4},

??.α的取值可以是2或3.

故選：AB.

【點評】本題考查集合的運算，考查并集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎

題.

（多選）11.（5分）（2022春?保定月考）已知全集U=PUQ,集合P={l,3,4）,

Q={x∈Nl?∈N）,則（）

A.尸的子集有8個B.±∈τι

2u

C.CUP≠QD.C/中的元素個數為5

【考點】元素與集合關系的判斷；子集與真子集；補集及其運算.

【專題】集合思想；定義法；集合；數學運算.

【分析】求出集合。，全集U=PUQ,由此能求出結果.

【解答】解：全集U=PUQ,集合尸={1,3,4},Q=（X∈N∣A∈NJ={1,2,3,6},

X

因為尸中的元素個數為3,所以尸的子集有23=8個，故4正確.

因為全集U=尸UQ={1,2,3,4,6},所以。中元素個數為5,故。正確；

因為。={1,2,3,6},所以∕wU={l,2,3,4,6}，故8錯誤；

CuP≠0,故C正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查并集、子集、全集、補集的定義等基礎知識，

考查運算求解能力，是基礎題.

（多選）12.（5分）（2022?長沙縣校級模擬）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）

A.BC(AUC)B.CuS∩(AUC)

C.BClCu(AUC)D.(A∩B)U(BCiC)

第8頁（共25頁）

【考點】Venn圖表達集合的關系及運算.

【專題】計算題；數形結合；數形結合法；集合；數學運算.

【分析】在陰影部分區(qū)域內任取一個元素X,分析X與集合/、8、C的關系，即可得出

結論.

【解答】解：在陰影部分區(qū)域內任取一個元素X,則χ∈∕c8或xezmc,

故陰影部分所表示的集合為BC（ZlJC）或（∕∩8）U（S∩C）.

故選：AD.

【點評】本題主要考查陀〃〃圖的應用，利用圖象先確定集合關系是解決本題的關鍵，比

較基礎.

三.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

13.（5分）集合{a,0}的所有子集是0,10〉”，彳0,0%..

【考點】子集與真子集.

【專題】集合思想；綜合法；高考數學專題；邏輯推理.

【分析】根據子集的概念直接求解.

【解答】解:集合{α,0}的所有子集是：0，{0},{α},{a,0}.

【點評】本題考查子集的概念，及空集的意義，是基礎題.

14.（5分）（2022?黃浦區(qū)二模）若全集。={1,2,3},集合/={2,3},則Cu/=⑴.

【考點】補集及其運算.

【專題】集合思想；定義法；集合；數學運算.

【分析】利用補集定義直接求解.

【解答】解：全集U={l,2,3},集合/={2,3},

貝IJCU∕={1}?

故答案為：{1}.

【點評】本題考查集合的運算，考查補集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎

題.

15.（5分）（2022春?楊浦區(qū)校級期末）已知集合∕={x∣-3<x<0},B={x∣-2<x≤l,x∈Z},

則4∩8=彳-n.

【考點】交集及其運算.

【專題】集合思想；定義法；集合；數學運算.

【分析】求出集合8,利用交集定義能求出力∩8?

第9頁（共25頁）

【解答】解：集合∕={x∣-3<x<0},β={x∣-2≤x≤l,x∈Z}={-1,0,1},

則NnB={-1}.

故答案為：{-1}.

【點評】本題考查集合的運算，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎

題.

16.（5分）是“x22”的必要不充分條件，則實數。的取值范圍為（-8,2）.

【考點】充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】計算題；對應思想；定義法；簡易邏輯；數學運算.

【分析】由充要條件的定義，得到[2,+8）c[a）+8）,求解即可.

【解答】解：?.?χ2α是的必要不充分條件，

[2,+8）c[a>+o°）,

：.a<2,

??.實數α的取值范圍為（-8,2）,

故答案為：（-8,2）.

【點評】本題考查了充要條件的應用，屬于基礎題.

17.（5分）設集合{小2+反+c=0}={2},則b+c=0.

【考點】集合的相等.

【專題】計算題：轉化思想；綜合法；集合；數學運算.

【分析】由題意可得方程x2+6x+c=0有兩個相等的根都是2,再利用韋達定理求解即可.

【解答】解：Y集合{X∣X2+Z>X+C=0}={2},

即方程χ2+fcv+c=0有兩個相等的根都是2,

利用韋達定理可得[2+2=-b,解得％=-%c=4,

l2×2=c

所以b+c—O.

故答案為：0.

【點評】本題考查了集合的含義，是基礎題.

四.解答題（共5小題，滿分50分，每小題10分）

18.（10分）（2022春?東城區(qū)期末）設/是非空實數集，且0C4若對于任意的x,y&A,

都有Xye/,則稱集合/具有性質P；若對于任意的X,y?4,都有三￡正則稱集合力

y

具有性質P2.

第10頁（共25頁）

（I）寫出一個恰含有兩個元素且具有性質乃的集合小

（2）若非空實數集N具有性質尸2,求證：集合Z具有性質P；

（3）設全集U={x∣x≠O,x∈R},是否存在具有性質Pl的非空實數集使得集合Cu/

具有性質P2?若存在，寫出這樣的一個集合4若不存在，說明理由.

【考點】元素與集合關系的判斷.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；集合；數學運算.

【分析】（1）根據題意直接寫出即可.

（2）根據性質尸2可知1E4,分別說明集合Z中元素為1個、2個、大于2個時，集合

中元素滿足性質Pi即可.

（3）由題意可知IeCUZ，且Cu/不是單元素集{1},令α∈∕,6eCu∕,c∈CuZ,且CW1,

則可分別說明當α∈Cu∕與當acEA時矛盾.

【解答】解：（1）由題意可得恰含有兩個元素且具有性質Pl的集合4={-1，1},

（2）若集合4具有性質尸2,不妨設

由非空數集/具有性質。2,有包=IEk

a

①若4={1},易知此時集合Z具有性質a.

②若實數集力只含有兩個元素，不妨設4={1,。1},

由-l-=a∕且。1#1，解得0=-1,此時集合Z具有性質尸I.

al?

③若實數集/含有兩個以上的元素，不妨設不為1的元素41，a2eA,

則有L∈&由于集合X具有性質P2,

aI

所以有÷L=€&這說明集合Z具有性質尸1；

乙a?

（3）不存在具有性質PI的非空實數集4,使得集合CuX具有性質P2,

由于非空實數集/具有性質P,令集合8=Cu4

依題意不妨設b∈8,aEA1

因為集合5具有性質尸2,所以旦=IEB，

b

若8={1},則工WA，否則這與8={1}矛盾，

a

故集合8不是單元素集{1},

令cWB,且c≠l,

第11頁（共25頁）

①若αc∈8,可得咨即。學，這與B=CUZ矛盾；

②若QC∈4由于a∈a所以J?{B,因此c÷L=acEB,這與QCE4矛盾，

aa

綜上可得：不存在具有性質P的非空實數集4使得集合CUN具有性質尸2.

【點評】本題考查了集合的基本性質，屬于中檔題.

19.（10分）己知集合∕={-l,2},5={x∣x?+l=0},若4CB=B,求P的取值范圍.

【考點】集合的包含關系判斷及應用；交集及其運算.

【專題】集合思想；分析法；集合；數據分析.

【分析】先根據ZCB=B確定集合8的幾種可能，再分情況討論求P的值即可.

【解答】解：?.?∕C8=8,.?.8U4

①當8=0時，只需△<（）,即p2-4<0,解得-2<p<2.

（?=Q

②當5={7}時，只需1,解得p=2.

、（-1）-p+l=0

△

③當B={2}時，只需I:0,無解.

z

k2+2p+l=0

④當B={-l,2}時，只需.I）"+I=。,無解.

.22+2p+l=0

綜上：Pe（-2,2].

【點評】本題主要考查集合的子集運算，一定要注意分情況討論，屬于基礎題.

20.（10分）已知集合Z={χ-1,x2+↑,2X2+5X+?},且-2∈4求實數X的取值范圍.

【考點】元素與集合關系的判斷.

【專題】集合思想；分類法；集合；數據分析.

【分析】根據-2∈N分別令X-1,/+1,2√+5x+l等于-2,求X的值，最后再驗證元素

的互異性即可.

【解答】解：?；-2GA.

①當X-1=-2時，解得X=-L

當X=-I時，A={-2,2,-2}不滿足元素的互異性，故舍去.

②當χ2+ι=-2時無解，故舍去.

③當2x2+5x+l=-2時，解得x=-/或-1.

由①知X=-1時不滿足元素的互異性，故舍去.

第12頁（共25頁）

綜上，x∈{-3}.

2

【點評】本題主要考查利用元素和集合之間的關系求參數的取值范圍，屬于基礎題.

21.(10分)已知集合N={x∣x=3W-1,"7∈Z},集合8={x∣x=3"+2,M∈Z},試證明/=￡

【考點】集合的相等.

【專題】轉化思想；轉化法；集合；數學運算.

【分析】根據已知條件，分別求證ZU8,B4,即可求證.

【解答】證明：設xe4,

則存在meZ,

有x=3m-I=3(m-I)+2,

VmGZ,

:?m-1∈Z,

?'?x=3(加-1)+2∈B,

故

設x∈4,

則存在∕7∈Z,

有X=3"+2=3(77+I)=1,

V∕7∈Z,

ΛH+1∈Z,

??x=3(H+1)-1∈Z,

故8G4,

綜上所述，A=B.

【點評】本題主要考查集合的相等，屬于基礎題.

22.(10分)(2022?山西自主招生)我們稱4,山，…，4為集合4的一個，分劃,如果

(1)A?UA2^-UAn=A;

(2)4∩4∕≠0,1≤Z<7≤Λ.

求最小正整數〃?，使得對Z={1,2,…，〃?}的任意一個13分劃4],小，…，小3，一定

存在某個集合4(IWiW13),在4中有兩個元素。、6滿足b<αW區(qū).

8

【考點】元素與集合關系的判斷.

【專題】對應思想；分析法；集合；數據分析.

第13頁(共25頁)

【分析】先證明機2117,再證明機=117時滿足條件，由抽屜原理能求出最小的機.

【解答】解：先證明加N117,

若不然機<117,令人={α∣α≡i(wodl3),aEA},

則對每一對α,vEAi(/=1,2,???,13),均有Jb<a<"7,

[a-b)13

解得6≤α-13<104,

且=l+a~b^1+至>1+IM

bbb1048

這與矛盾，故機2117.

9

再證明施=117時滿足條件，

;此時最大的14個數104,105,???,117分布在13個集合中，

由抽屜原理得必有兩個數α,b(6<α)屬于同一個集合出(lWi≤13),

Λ104≤?≤a≤117=.θ×104≤-lb,

88

綜上最小的W=117.

故答案為：117.

【點評】本題考查反證法、抽屜原理、元素與集合的關系等基礎知識，考查運算求解能

力，是中檔題.

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考點卡片

1.集合的含義

【知識點的認識】

1、集合的含義：

集合是一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集,

其中各事物叫做集合的元素或簡稱元，是具有某種特定性質的事物的總體.

2、集合的表示方法；列舉法、描述法、圖示法.

（1）列舉法就是把集合中的每一個元素全部寫出來；描述法指的就是用詞匯或者用數學語

言描述出集合中的元素；區(qū)間表示法就是用區(qū)間的形式來表示集合中的元素；圖示法（數軸

表示法，韋恩圖法）用圖的形式來描述表示出集合的每一個元素.

（2）有限集常用列舉法表示，而無限集常用描述法或區(qū)間表示法表示，抽象集常用圖示法

表示.（有限集就是集合中的元素個數是能夠確定的.無限集是集合的元素個數無法精確.抽

象集合就是只給出集合元素滿足的性質，探討集合中的元素屬性，要求有較高的抽象思維和

邏輯推理能力.）

用描述法表示集合時，集合中元素的意義取決于它的“代表”元素的特征.

【典型例題分析】

題型一：判斷能否構成集合

典例1：下列研究對象能否構成一個集合？如果能，采用適當的方式表示它.

（1）小于5的自然數；

（2）某班所有個子高的同學；

（3）不等式2x+l>7的整數解.

分析：根據集合元素的確定性，互異性進行判斷即可.

解答：（1）小于5的自然數為O,1,2,3,4,元素確定，所以能構成集合.為{0,1,2,

3,4}.

（2）個子高的標準不確定，所以集合元素無法確定，所以不能構成集合.

（3）由2x+l>7得x>3,因為X為整數，集合元素確定，但集合元素個數為無限個，所以

用描述法表示為{x∣x>3,且x∈Z}.

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點評：本題主要考查集合的含義和表示，利用元素的確定性，互異性是判斷元素能否構成集

合的條件，比較基礎.

典例2：下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)}N={3,2}B.M={(x,?)∣x+y=l}N=W∣x+y=l}

C.Λf={(4,5)}N={(5,4)}D.Λ∕={2,1}N={1,2}

分析：利用集合的三個性質及其定義，對/、B、C、Z)四個選項進行一一判斷.

解答：/、M={(3,2)},M集合的元素表示點的集合，N={3,2},N表示數集，故不是

同一集合，故4錯誤；

B、M—{(x,?)?x+y-?},Λ/集合的元素表示點的集合，N-{y?x+y-1}.N表示直線x+y

=1的縱坐標，是數集，故不是同一集合，故8錯誤；

C、M={(4,5)}集合〃的元素是點(4,5),N={(5,4)},集合N的元素是點(5,

4),故C錯誤;

D、M={2,1},N={l,2}根據集合的無序性，集合Λ/,N表示同一集合，故。正確；

故選D

點評：此題主要考查集合的定義及其判斷，注意集合的三個性質：確定性，互異性，無序性，

此題是一道基礎題.

題型二：集合表示的含義

典例3：下面三個集合：A={x?y=x2+?},B={y?y=x1+?},C={(.x,V)?y=x2+?],請說說

它們各自代表的含義.

分析：根據集合的代表元素，確定集合元素的性質，4為數集，5為數集，C為點集.

解答：/是數集，是以函數的定義域構成集合，且X=R

8是數集，是由函數的值域構成，且8=(ytF'l}；

C為點集，是由拋物線y=χ2+l上的點構成.

點評：本題的考點用描正確理解用描述法表示集合的含義，要通過代表元素的特點正確理解

集合元素的構成.

【解題方法點撥】

研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當集合用描述法表

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示時，注意弄清楚其元素表示的意義是什么.

2.元素與集合關系的判斷

【知識點的認識】

1、元素與集合的關系：

一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集.元素一般

用小寫字母α,b,C表示，集合一般用大寫字母4B,C表示，兩者之間的關系是屬于與

不屬于關系，符號表示如：α∈N或αβ4.

2、集合中元素的特征：

(1)確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的.即一個集合一旦確定，某一個元素

屬于還是不屬于這集合是確定的.要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個

特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構成集合.

(2)互異性：集合中的元素必須是互異的.對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是

不同的.這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素.

(3)無序性：集合于其中元素的排列順序無關.這個特性通常被用來判斷兩個集合的關系.

【命題方向】

題型一：驗證元素是否是集合的元素

2

典例1:已知集合已={x∣X="Γ-〃2,zn∈2,H∈Z}.求證：

(1)3∈4

(2)偶數4%-2(Λ∈Z)不屬于力.

分析：(1)根據集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；

(2)用反證法，假設屬于/,再根據兩偶數的積為4的倍數：兩奇數的積仍為奇數得出矛

盾，從而證明要證的結論.

解答：解：(1)V3=22-I2,3%；

(2)設402E4,則存在掰，"6Z,使402=混-〃2=(,?+n)(m-rt)成立，

1、當加，〃同奇或同偶時，〃?-“，加+”均為偶數，

(加-〃)(∕n+n)為4的倍數，與4%-2不是4的倍數矛盾.

2、當N—奇，一偶時，m-n,均為奇數，

?".(m-n)(m+n)為奇數，與4%-2是偶數矛盾.

綜上4女-2至4

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點評：本題考查元素與集合關系的判斷.分類討論的思想.

題型二：知元素是集合的元素，根據集合的屬性求出相關的參數.

典例2：已知集合∕={α+2,2a1+a},若3曰，求實數4的值.

分析：通過3是集合力的元素，直接利用。+2與2∕+α=3,求出。的值，驗證集合/中元

素不重復即可.

解答：解：因為3∈∕,所以"+2=3或2“2+。=3…（2分）

當4+2=3時，α=l,???（5分）

此時/={3,3},不合條件舍去，…（7分）

當2cr2+q=3時，a—\（舍去）或；,=/■，…（IO分）

2

由a=q,得A={,,3）＞成立…（12分）

故a=—（14分）

2

點評：本題考查集合與元素之間的關系，考查集合中元素的特性，考查計算能力.

【解題方法點撥】

集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意.分類討論的思想方法常用于

解決集合問題.

3.子集與真子集

【知識點的認識】

1、子集定義：一般地，對于兩個集合4B,如果集合Z中任意一個元素都是集合B中的

元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合N為集合8的子集（subset）.

記作：AaB（或8N/）.

2、真子集是對于子集來說的.

真子集定義：如果集合NUB,但存在元素x∈5,且元素X不屬于集合/,我們稱集合4是

集合8的真子集.

也就是說如果集合力的所有元素同時都是集合B的元素，則稱4是8的子集，

若B中有一個元素，而/中沒有，且《是8的子集，則稱4是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

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②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集.

所有的自然數的集合是所有整數的集合的真子集.

{1,3}U{1,2,3,4}

{L2,3,4}?{1,2,3,4}

3、真子集和子集的區(qū)別

子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；

真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；

注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}"，如{1,2},{q,b,g）；

另外，{1,2}的子集有：空集，{1},{2},{1,2}.真子集有：空集，{1},{2}.一般來說,

真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有〃個（〃不等于0）元素的集合而言，它

的子集就有2"個；真子集就有2"-1.但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集.

【解題方法點撥】

注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，AQB,并且5U/1時，有4=8,但是ZuB,

并且8u4,是不能同時成立的；子集個數的求法，空集與自身是不可忽視的.

【命題方向】

本考點要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經考查子集個數問題，常常

與集合的運算，概率，函數的基本性質結合命題.

4.集合的包含關系判斷及應用

【知識點的認識】

概念：

1.如果集合力中的任意一個元素都是集合8的元素，那么集合/叫做集合8的子集；/U以

如果集合Z是集合8的子集，并且B中至少有一個元素不屬于4那么集合/叫做集合8

的真子集，即“U&

2.如果集合力的每一個元素都是集合8的元素，反過來，集合8的每一個元素也都是集合

力的元素，那么我們就說集合N等于集合8,即4=8.

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【解題方法點撥】

I.按照子集包含元素個數從少到多排列.

2.注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質來判斷兩個集合之間的關系.

4.有時借助數軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數形結合等方法.

【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關系，可以

與函數的定義域，三角函數的解集，子集的個數，簡易邏輯等知識相結合命題.

5.集合的相等

【知識點的認識】

(1)若集合/與集合8的元素相同，則稱集合/等于集合8.

(2)對集合4和集合8,如果集合/的任何一個元素都是集合8的元素，同時集合B的任

何一個元素都是集合N的元素，那么集合”等于集合8,記作/=5.就是如果NUa同時

BQA,那么就說這兩個集合相等，記作A=B.

(3)對于兩個有限數集4=8,則這兩個有限數集48中的元素全部相同，由此可推出如

下性質：

①兩個集合的元素個數相等：

②兩個集合的元素之和相等；

③兩個集合的元素之積相等.由此知，以上敘述實質是一致的，只是表達方式不同而已.上

述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據.

【解題方法點撥】

集合力與集合B相等，是指Z的每一個元素都在8中，而且8中的每一個元素都在/

中.解題時往往只解答一個問題，忽視另一個問題；解題后注意集合滿足元素的互異性.

【命題方向】

通常是判斷兩個集合是不是同一個集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運算相

聯系，也可能與函數的定義域、值域聯系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現，有時

出現在大題的一小問.

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6.并集及其運算

【知識點的認識】

由所有屬于集合A或屬于集合B的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作AUB.

符號語言：ZU8={x∣x∈/或x∈8}.

圖形語言：

/U8實際理解為：①X僅是N中元素；②為僅是8中的元素；③X是Z且是B中的元素.

運算形狀：

(T)AUB=BUA.(2)AU0=A.(3)AUA=A.(A)AUB2A,AUB2B.⑤AUB=BoAJB.(6)

∕U8=0,兩個集合都是空集.⑦ZU(CuJ)=U.⑧CU(∕U8)=(CUA)∩(CUB).

【解題方法點撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解.不能把“或”

與“且”混用；注意并集中元素的互異性.不能重復.

【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，

也可以與函數的定義域，值域聯合命題.

7.交集及其運算

【知識點的認識】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做4與B的交集，記作A∩B.

符號語言：∕∩8={x∣x∈∕,且x∈B}.

/CB實際理解為：X是“且是8中的相同的所有元素.

當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

運算形狀：

①4∩8=8∩4.②∕∩0=0.(3)AΓiA=A.④/Π8U∕,ACBUB.(5)A∩B=A^AQB.(6)

A∏B=0,兩個集合沒有相同元素.⑦/n(CuN)=0.⑧Cu(∕C8)=(CuN)U(CU8).

【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”

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與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數的定義域，值域，函數的單調性、復合函數

的單調性等聯合命題.

8.補集及其運算

【知識點的認識】

一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集，

通常記作U.(通常把給定的集合作為全集).

對于一個集合4由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集

U的補集，簡稱為集合力的補集，記作Cu/,即Cu∕={x∣x6U,且xC∕}.其圖形表示如圖所

示的Venn圖.

【解題方法點撥】

常用數軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法.

【命題方向】

通常情況下以小題出現，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現在簡易邏輯中，也可以與

函數的定義域、值域，不等式的解集相結合命題，也可以在恒成立中出現.

9.交、并、補集的混合運算

【知識點的認識】

集合交換律∕∩8=8∏4,4U8=8U4

集合結合律(Z∩8)∏C=AH(β∩C),(AUB)UC=√1U(BUC).

集合分配律AH(BUC)=CA∏B)U(A∏C),AU(β∩C)=(AUB)∩(JUC).

集合的摩根律CiI(N∩8)=CU4UCuB,Cu(NUB)=Cu4CCuB.

集合吸收律AU(A∏B)=A,AQ(AUB)=A.

集合求補律AUCuA=U,AΓ?CuA=Φ.

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【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質，借助數軸或韋恩圖

直接解答.

【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題

或填空題，屬于基礎題.

10.Venn圖表達集合的關系及運算

【知識點的認識】

用平面上一條封閉曲線的內部來代表集合，這個圖形就叫做陀"〃圖(韋恩圖).集合中圖形

語言具有直觀形象的特點，將集合