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課時(shí)分層作業(yè)(十四)平面與平面垂直的判定(建議用時(shí):45分鐘)一、選擇題1.經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有()A.0個(gè) B.1個(gè)C.無(wú)數(shù)個(gè) D.1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)D[當(dāng)兩點(diǎn)連線與平面α垂直時(shí),可作無(wú)數(shù)個(gè)垂面,否則,只有1個(gè).]2.下列不能確定兩個(gè)平面垂直的是()A.兩個(gè)平面相交,所成二面角是直二面角B.一個(gè)平面垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線C.一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線D.平面α內(nèi)的直線a垂直于平面β內(nèi)的直線bD[如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1CD內(nèi)的直線A1B1垂直于平面ABCD內(nèi)的一條直線BC,但平面A1B1CD與平面ABCD3.如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA=AC,則二面角P-BC-A的大小為()A.60° B.30°C.45° D.15°C[由條件得:PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=C,∴BC⊥平面PAC,∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°,故選C.]4.如圖所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,則圖中互相垂直的平面共有()A.1對(duì) B.2對(duì)C.3對(duì) D.4對(duì)C[因?yàn)锳B⊥平面BCD,且AB?平面ABC和AB?平面ABD,所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.因?yàn)锳B⊥平面BCD,所以AB⊥CD.又因?yàn)锽C⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.因?yàn)镃D?平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD.故圖中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.]5.從空間一點(diǎn)P向二面角α-l-β的兩個(gè)面α,β分別作垂線PE,PF,E,F(xiàn)為垂足,若∠EPF=60°,則二面角α-l-β的平面角的大小是()A.60° B.120°C.60°或120° D.不確定C[若點(diǎn)P在二面角內(nèi),則二面角的平面角為120°;若點(diǎn)P在二面角外,則二面角的平面角為60°.]二、填空題6.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,l是平面α與β之外的直線,給出下列三個(gè)論斷:①l⊥α,②l∥β,③α⊥β.以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:________.(用序號(hào)表示)①②?③[由l∥β可在平面β內(nèi)作l′∥l,又l⊥α,∴l(xiāng)′⊥α,∵l′?β,∴α⊥β,故①②?③.]7.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,將△ABC沿斜線BC上的高AD折疊,使平面ABD⊥平面ACD,則BC=________.1[因?yàn)锳D⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在△BCD中∠BDC=90°又AB=AC=1,所以BD=CD=eq\f(\r(2),2),所以BC=eq\r(BD2+CD2)=1.]8.已知m,n是空間中兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且m?α,n?β.有下列命題:①若α∥β,則m∥n;②若α∥β,則m∥β;③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,則α⊥β;④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,則α⊥β.其中真命題的序號(hào)是________.②[對(duì)于①,直線m,n可能異面;易知②正確;對(duì)于③,直線m,n同時(shí)垂直于公共棱,不能推出兩個(gè)平面垂直;對(duì)于④,當(dāng)直線n∥l時(shí),不能推出兩個(gè)平面垂直.]三、解答題9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求證:平面PDC⊥平面PAD.[證明]因?yàn)镻A⊥平面AC,CD?平面AC,所以PA⊥CD.因?yàn)镃D⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.因?yàn)镃D?平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD.10.如圖所示,平面角為銳角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG?α,∠GAE=45°,若AG與β所成角為30°,求二面角α-EF-β的大?。甗解]作GH⊥β于H,作HB⊥EF于B,連接GB,則GB⊥EF,∠GBH是二面角α-EF-β的平面角.又∠GAH是AG與β所成的角,設(shè)AG=a,則GB=eq\f(\r(2),2)a,GH=eq\f(1,2)a,sin∠GBH=eq\f(GH,GB)=eq\f(\r(2),2).所以∠GBH=45°,二面角α-EF-β的大小為45°.1.一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面,則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系為()A.相等 B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ) D.不確定D[反例:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是CD,C1D1的中點(diǎn),二面角D-AA1-E與二面角B1-AB-D的兩個(gè)半平面就是分別對(duì)應(yīng)垂直的,但是這兩個(gè)二面角既不相等,也不互補(bǔ),故選D.2.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F(xiàn)分別在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,則BF1[由題意
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