6.2.16.2.26.2.3向量的加法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算（6大題型）（原卷版）

6.2.1&6.2.2&6.2.3空向量的加法運(yùn)算、向量的減法運(yùn)算、向量的數(shù)乘運(yùn)算1、借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的加法運(yùn)算及運(yùn)算法則，并理解向量加法的幾何意義；理解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性；2、借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，理解相反向量的含義、理解減法的幾何意義；掌握平面向量的減法運(yùn)算及運(yùn)算法則；3、了解向量數(shù)乘的概念；理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算；理解并掌握向量共線定理及其判定方法；一、向量的加法運(yùn)算1、定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。2、三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC3、平行四邊形法則：已知不共線的兩個(gè)向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作?OACB，對(duì)角線OC就是a與b的和【規(guī)定】零向量與任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】（1）在使用向量加法的三角形法則時(shí)，要注意“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)重合，則以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即兩向量的和；（2）平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點(diǎn)”，即兩個(gè)向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量．4、向量加法的運(yùn)算律結(jié)合律：a＋b＝b＋a交換律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)二、向量的減法1、相反向量：與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.（1）規(guī)定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；（2）－(－a)＝a；（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；（4）若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量與相等向量一樣，從“長(zhǎng)度”和“方向”兩方面定義，相反向量必為平行向量．2、向量的減法（1）定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.（2）幾何意義：以O(shè)為起點(diǎn)，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量．【注意】在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可．三、向量的數(shù)乘運(yùn)算1、定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．2、運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.3、線性運(yùn)算:向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.四、向量共線1、向量共線的條件（1）當(dāng)向量時(shí)，與任一向量共線．（2）當(dāng)向量時(shí)，對(duì)于向量．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的倍，即，那么當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．2、向量共線的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理：若向量與非零向量共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使．【注意】（1）兩個(gè)向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時(shí)，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使．（4）是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.題型一向量的加法運(yùn)算【例1】（2023·廣東佛山·高二南海執(zhí)信中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，已知，求作.（1）；（2）【變式11】（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）（）A．B．C．D．【變式12】（2023·黑龍江大慶·高一?？茧A段練習(xí)）向量（）A．B．C．D．【變式13】（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)P為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則①；②；③中成立的序號(hào)為．題型二向量的減法運(yùn)算【例2】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知向量，，求作．【變式21】（2022·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)校考一模）在平行四邊形中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【變式22】（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）在中，為的中點(diǎn)，記，，則（）A．B．C．D．【變式23】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)式子不能化簡(jiǎn)成的是（）A．B．C．D．題型三向量的數(shù)乘運(yùn)算【例3】（2023·重慶綦江·高一?？计谥校┗?jiǎn)為（）A．B．C．D．【變式31】（2023·海南儋州·高一?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）.【變式32】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求下列未知向量．（1）；（2）．【變式33】（2023·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則（）A．B．C．D．題型四已知向量表示其他向量【例4】（2023·江西贛州·高一校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)滿足，則（）A．B．C．D．【變式41】（2023·山東聊城·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，已知，，，則（）A．B．C．D．【變式42】（2023·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，，若，，則（）A．B．C．D．【變式43】（2023·河南周口·高一太康縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示平行四邊形中，設(shè)向量，，又，，用，表示??.題型五向量運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用【例5】（2023·天津河西·高一統(tǒng)考期中）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（）A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形【變式51】（2023·廣東汕頭·高一?？计谥校┰谒倪呅沃?，，，，則四邊形的形狀是（）A．梯形B．菱形C．平行四邊形D．矩形【變式52】（2023·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在中，，則是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形【變式53】（2023·山東泰安·高一校考階段練習(xí)）若在△ABC中，，，且，，則△ABC的形狀是（）A．正三角形B．銳角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形題型六向量共線證明三點(diǎn)共線【例6】（2023·貴州遵義·高一校考階段練習(xí)）已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【變式61】（2023·山東東營(yíng)·高一東營(yíng)市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則共線的三點(diǎn)是.【變式62】（2023·安徽合肥·高一統(tǒng)考期中）設(shè)是不共線的兩個(gè)向量，.若三點(diǎn)共線，則k的值為.【變式63】（2023·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）已知平面向量，不共線，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則.題型七根據(jù)向量共線求參數(shù)【例7】（2023·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┰O(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)（）．A．B．C．D．【變式71】（2023·安徽淮南·高一淮南第三中學(xué)?？计谀┮阎蛄坎还簿€，且向量與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或B．或1C．或2D．1或2【變式72】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）已知向量，不共線，，，，則（）A．B．C．6D．【變式73】（2023·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期中）已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1B．C．1或D．1或題型八向量共線定理推論【例8】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在中，D為CB上一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若，則．【變式81】（2022·陜西渭南·高三校考期末）如圖所示，中為重心，過點(diǎn)，，，則．【變式82】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則（）A．B．