2013年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)?。?/h1>

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IP屬地：云南 上傳時(shí)間：2024-03-13 格式：DOC 頁(yè)數(shù)：12 大小：356KB 積分：12 舉報(bào) 版權(quán)申訴

2013年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，則（）A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A D．A?B 2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，則z的虛部為（）A．﹣4 B． C．4 D． 3．（5分）為了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）A．簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣 4．（5分）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，則C的漸近線方程為（）A．y= B．y= C．y=±x D．y= 5．（5分）執(zhí)行程序框圖，如果輸入的t∈[﹣1，3]，則輸出的s屬于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5] 6．（5分）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（）A． B． C． D．7．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，則m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π 9．（5分）設(shè)m為正整數(shù)，（x+y）2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，（x+y）2m+1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m=（）A．5 B．6 C．7 D．8 10．（5分）已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），則E的方程為（）A． B． C． D． 11．（5分）已知函數(shù)f（x）=，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0] 12．（5分）設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，，則（）A．{Sn}為遞減數(shù)列 B．{Sn}為遞增數(shù)列 C．{S2n﹣1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列 D．{S2n﹣1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列 二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.13．（5分）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為60°，=t+（1﹣t）．若?=0，則t=．14．（5分）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=an+，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=．15．（5分）設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，則cosθ=．16．（5分）若函數(shù)f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=﹣2對(duì)稱，則f（x）的最大值為．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．（12分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）證明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．（Ⅰ）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；（Ⅱ）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x﹣1）2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍．四、請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一道作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選的題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分，不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評(píng)分.22．（10分）（選修4﹣1：幾何證明選講）如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D．（Ⅰ）證明：DB=DC；（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC=，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．23．已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．（1）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（2）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）設(shè)a＞﹣1，且當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．2013年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，則（）A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A D．A?B 【考點(diǎn)】1D：并集及其運(yùn)算；73：一元二次不等式及其應(yīng)用．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用；5J：集合．【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，求出集合A，再根據(jù)的定義求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的解法，以及并集的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，則z的虛部為（）A．﹣4 B． C．4 D． 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】由題意可得z==，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則化簡(jiǎn)為+i，由此可得z的虛部．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虛部等于，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）為了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）A．簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣 【考點(diǎn)】B3：分層抽樣方法．【專題】21：閱讀型．【分析】若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣．【解答】解：我們常用的抽樣方法有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，而事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，按學(xué)段分層抽樣，這種方式具有代表性，比較合理．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本小題考查抽樣方法，主要考查抽樣方法，屬基本題．4．（5分）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，則C的漸近線方程為（）A．y= B．y= C．y=±x D．y= 【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由離心率和abc的關(guān)系可得b2=4a2，而漸近線方程為y=±x，代入可得答案．【解答】解：由雙曲線C：（a＞0，b＞0），則離心率e===，即4b2=a2，故漸近線方程為y=±x=x，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及的漸近線方程，屬基礎(chǔ)題．5．（5分）執(zhí)行程序框圖，如果輸入的t∈[﹣1，3]，則輸出的s屬于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5] 【考點(diǎn)】3B：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；EF：程序框圖．【專題】27：圖表型；5K：算法和程序框圖．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算一個(gè)分段函數(shù)的函數(shù)值，由條件為t＜1我們可得，分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，由分支結(jié)構(gòu)中是否兩條分支上對(duì)應(yīng)的語(yǔ)句行，我們易得函數(shù)的解析式．【解答】解：由判斷框中的條件為t＜1，可得：函數(shù)分為兩段，即t＜1與t≥1，又由滿足條件時(shí)函數(shù)的解析式為：s=3t；不滿足條件時(shí)，即t≥1時(shí)，函數(shù)的解析式為：s=4t﹣t2故分段函數(shù)的解析式為：s=，如果輸入的t∈[﹣1，3]，畫(huà)出此分段函數(shù)在t∈[﹣1，3]時(shí)的圖象，則輸出的s屬于[﹣3，4]．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】要求條件結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，要分如下幾個(gè)步驟：①分析流程圖的結(jié)構(gòu)，分析條件結(jié)構(gòu)是如何嵌套的，以確定函數(shù)所分的段數(shù)；②根據(jù)判斷框中的條件，設(shè)置分類標(biāo)準(zhǔn)；③根據(jù)判斷框的“是”與“否”分支對(duì)應(yīng)的操作，分析函數(shù)各段的解析式；④對(duì)前面的分類進(jìn)行總結(jié)，寫(xiě)出分段函數(shù)的解析式．6．（5分）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【專題】11：計(jì)算題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M，可得圓心M為正方體上底面正方形的中心．設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R﹣2）cm，而圓M的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)建立關(guān)于R的方程并解出R=5，用球的體積公式即可算出該球的體積．【解答】解：設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M，則圓心M為正方體上底面正方形的中心．如圖．設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R﹣2）cm，而圓M的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根據(jù)球的體積公式，該球的體積V===．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題給出球與正方體相切的問(wèn)題，求球的體積，著重考查了正方體的性質(zhì)、球的截面圓性質(zhì)和球的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．7．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，則m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 【考點(diǎn)】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】11：計(jì)算題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由an與Sn的關(guān)系可求得am+1與am，進(jìn)而得到公差d，由前n項(xiàng)和公式及Sm=0可求得a1，再由通項(xiàng)公式及am=2可得m值．【解答】解：am=Sm﹣Sm﹣1=2，am+1=Sm+1﹣Sm=3，所以公差d=am+1﹣am=1，Sm==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能為0，得a1=﹣2，所以am=﹣2+（m﹣1）?1=2，解得m=5，另解：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，即有數(shù)列{}成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列，可得2?=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差數(shù)列的求和公式可得（m﹣1）（a1+am﹣1）=﹣2，m（a1+am）=0，（m+1）（a1+am+1）=3，可得a1=﹣am，﹣2am+am+1+am+1=+=0，解得m=5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)an與Sn的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力．8．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】16：壓軸題；27：圖表型．【分析】三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體與半個(gè)圓柱的組合體，依據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，得出組合體長(zhǎng)、寬、高，即可求出幾何體的體積．【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體與半個(gè)圓柱的組合體，如圖，其中長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別是：4，2，2，半個(gè)圓柱的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4．∴長(zhǎng)方體的體積=4×2×2=16，半個(gè)圓柱的體積=×22×π×4=8π所以這個(gè)幾何體的體積是16+8π；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的三視圖及直觀圖的畫(huà)法，三視圖與直觀圖的關(guān)系，柱體體積計(jì)算公式，空間想象能力9．（5分）設(shè)m為正整數(shù)，（x+y）2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，（x+y）2m+1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m=（）A．5 B．6 C．7 D．8 【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專題】5P：二項(xiàng)式定理．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得a和b，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m為正整數(shù)，由（x+y）2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得a=，同理，由（x+y）2m+1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，組合數(shù)的計(jì)算公式，屬于中檔題．10．（5分）已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），則E的方程為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程得，利用“點(diǎn)差法”可得．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率計(jì)算公式可得==．于是得到，化為a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．進(jìn)而得到橢圓的方程．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程得，相減得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化為a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴橢圓E的方程為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握“點(diǎn)差法”和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．11．（5分）已知函數(shù)f（x）=，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0] 【考點(diǎn)】7E：其他不等式的解法．【專題】16：壓軸題；59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由函數(shù)圖象的變換，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象可作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，由導(dǎo)數(shù)求切線斜率可得l的斜率，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．【解答】解：由題意可作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，由圖象可知：函數(shù)y=ax的圖象為過(guò)原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線介于l和x軸之間符合題意，直線l為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)y=|f（x）|在第二象限的部分解析式為y=x2﹣2x，求其導(dǎo)數(shù)可得y′=2x﹣2，因?yàn)閤≤0，故y′≤﹣2，故直線l的斜率為﹣2，故只需直線y=ax的斜率a介于﹣2與0之間即可，即a∈[﹣2，0]故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查其它不等式的解法，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．12．（5分）設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，，則（）A．{Sn}為遞減數(shù)列 B．{Sn}為遞增數(shù)列 C．{S2n﹣1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列 D．{S2n﹣1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列 【考點(diǎn)】82：數(shù)列的函數(shù)特性；8H：數(shù)列遞推式．【專題】16：壓軸題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；55：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的邊BnCn為定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，則在△AnBnCn中邊長(zhǎng)BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長(zhǎng)度之和bn+cn=2a1為定值，由此可知頂點(diǎn)An在以Bn、Cn為焦點(diǎn)的橢圓上，根據(jù)bn+1﹣cn+1=，得bn﹣cn=，可知n→+∞時(shí)bn→cn，據(jù)此可判斷△AnBnCn的邊BnCn的高h(yuǎn)n隨著n的增大而增大，再由三角形面積公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由題意，+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=（bn+cn﹣2an），∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1，由此可知頂點(diǎn)An在以Bn、Cn為焦點(diǎn)的橢圓上，又由題意，bn+1﹣cn+1=，∴=a1﹣bn，∴bn+1﹣a1=，∴bn﹣a1=，∴，cn=2a1﹣bn=，∴[][]=[﹣]單調(diào)遞增（可證當(dāng)n=1時(shí)＞0）故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、三角形面積海倫公式，綜合考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有較高的思維抽象度，是本年度全國(guó)高考試題中的“亮點(diǎn)”之一．二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.13．（5分）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為60°，=t+（1﹣t）．若?=0，則t=2．【考點(diǎn)】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】由于?=0，對(duì)式子=t+（1﹣t）兩邊與作數(shù)量積可得=0，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．14．（5分）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=an+，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=（﹣2）n﹣1．【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】把n=1代入已知式子可得數(shù)列的首項(xiàng)，由n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，可得數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為﹣2，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分段可得答案．【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=，解得a1=1當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開(kāi)始是以﹣2為首項(xiàng)，﹣2為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)n≥2時(shí)，an=（﹣2）n﹣1，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，上式也適合，故答案為：（﹣2）n﹣1【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及等比數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，則cosθ=﹣．【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；H4：正弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】16：壓軸題；56：三角函數(shù)的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，與sin2θ+cos2θ=1聯(lián)立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，聯(lián)立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．16．（5分）若函數(shù)f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=﹣2對(duì)稱，則f（x）的最大值為16．【考點(diǎn)】57：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性，可得f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函數(shù)，在區(qū)間（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是減函數(shù)，結(jié)合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=﹣2對(duì)稱，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a?（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a?（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2﹣）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（﹣2﹣，﹣2）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（﹣2，﹣2+）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（﹣2+，+∞）時(shí)，f′（x）＜0∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函數(shù)，在區(qū)間（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是減函數(shù)．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值為16．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題給出多項(xiàng)式函數(shù)的圖象關(guān)于x=﹣2對(duì)稱，求函數(shù)的最大值．著重考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．（12分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用邊角關(guān)系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）設(shè)∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化簡(jiǎn)即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB?ABcos30°==．∴PA=．（II）設(shè)∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化為．∴．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系、正弦定理和余弦定理是解題的關(guān)鍵．18．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）證明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．【考點(diǎn)】LW：直線與平面垂直；LY：平面與平面垂直；MI：直線與平面所成的角．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角．【分析】（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB，又因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因?yàn)橹本€與法向量的余弦值的絕對(duì)值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定，屬難題．19．（12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．（Ⅰ）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；（Ⅱ）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)】CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件A，依題意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1與A2B2互斥，由概率得加法公式和條件概率，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得；（Ⅱ）X可能的取值為400，500，800，分別求其概率，可得分布列，進(jìn)而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件A，依題意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1與A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值為400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X400500800P故EX=400×+500×+800×=506.25【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列涉及數(shù)學(xué)期望的求解，屬中檔題．20．（12分）已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x﹣1）2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|．【考點(diǎn)】J3：軌跡方程；J9：直線與圓的位置關(guān)系．【專題】5B：直線與圓．【分析】（I）設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，由已知?jiǎng)訄AP與圓M外切并與圓N內(nèi)切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，求出即可；（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0）R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．分①l的傾斜角為90°，此時(shí)l與y軸重合，可得|AB|．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，根據(jù)，可得Q（﹣4，0），所以可設(shè)l：y=k（x+4），與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可得出．【解答】解：（I）由圓M：（x+1）2+y2=1，可知圓心M（﹣1，0）；圓N：（x﹣1）2+y2=9，圓心N（1，0），半徑3．設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，∵動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲線C的方程為（x≠﹣2）．（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0）R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．①l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|=．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，可得Q（﹣4，0），所以可設(shè)l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，也有|AB|=．綜上可知：|AB|=或．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了兩圓的相切關(guān)系、直線與圓相切問(wèn)題、橢圓的定義及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力及其分類討論的思想方法．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍．【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問(wèn)題；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】16：壓軸題；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）對(duì)f（x），g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)k的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（x）≤kg（x）恒成立，從而求出k的范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，從而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）設(shè)F（x）=kg（x）﹣f（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，則F′（x）=2kex（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（kex﹣1），由題設(shè)得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，則﹣2＜x1≤0，從而當(dāng)x∈（﹣2，x1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上減，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2時(shí)F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，則F′（x）=2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），從而當(dāng)x∈（﹣2，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故當(dāng)x≥﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以當(dāng)x＞﹣2時(shí)，f（x）≤kg（x）不恒成立，綜上，k的取值范圍是[1，e2]．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題．四、請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一道作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選的題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分，不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評(píng)分.22．（10分）（選修4﹣1：幾何證明選講）如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D．（Ⅰ）證明：DB=DC；（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC=，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．【考點(diǎn)】NC：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】5B：直線與圓．【分析】（I）連接DE交BC于點(diǎn)G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分線可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE為⊙O的直徑，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的