高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019選擇性必修一）專題1.9空間向量的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型精講（學(xué)生版）

專題1.9空間向量的應(yīng)用重難點(diǎn)題型精講1．空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示(1)空間中點(diǎn)的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來(lái)表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點(diǎn)P的位置向量．(2)空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過(guò)點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．2．空間中直線、平面的平行(1)線線平行的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.(3)面面平行的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.3．空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.(3)面面垂直的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.4．距離問(wèn)題(1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．(2)點(diǎn)P到平面α的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．5．夾角問(wèn)題(1)兩個(gè)平面的夾角：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．(2)空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個(gè)平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【題型1求平面的法向量】【方法點(diǎn)撥】(1)求平面ABC的法向量時(shí)，要選取平面內(nèi)兩不共線向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)；(3)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；(4)所求出向量中的三個(gè)坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定一個(gè)坐標(biāo)為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個(gè)法向量．【例1】（2022春?連云港期中）在三棱錐P﹣ABC中，CP，CA，CB兩兩互相垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則下列向量是平面PAB的一個(gè)法向量的是（）A．(1，1，12) B．(1，2，1) C．（1，1，1【變式11】（2022春?湖北月考）已知平面α內(nèi)有兩點(diǎn)M（1，﹣1，2），N（a，3，3），平面α的一個(gè)法向量為n→=(6，A．4 B．3 C．2 D．1【變式12】（2021秋?河北區(qū)期末）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面A1BC1的一個(gè)法向量為（）A．（1，1，1） B．（﹣1，1，1） C．（1，﹣1，1） D．（1，1，﹣1）【變式13】（2021秋?諸暨市期末）在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（1，0，2），B（0，1，0），C（﹣2，1，1），向量n→=(1，λ，μ)是平面A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7【題型2空間線面平行關(guān)系的判定及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．證明線面平行問(wèn)題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．證明面面平行問(wèn)題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．【例2】（2021秋?成都期中）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點(diǎn)．分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．①求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；②求證：EF∥平面ACD1．【變式21】如圖，設(shè)P為長(zhǎng)方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M在PD上，N在AC上，若DMMP=CNNA，用向量法證明：直線【變式22】（2021秋?黃陵縣校級(jí)期末）如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面AMN∥平面EFBD．【變式23】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F．【題型3空間線面垂直關(guān)系的判定及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．【例3】（2021?常熟市校級(jí)模擬）如圖，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中點(diǎn)，cos＜DP→，（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使EF⊥平面PCB．【變式31】（2022春?青羊區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，在CC1上求一點(diǎn)P，使面A1B1P⊥面C1DE．【變式32】（2021?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，AB→=（﹣1，2，1），AD→=（0，﹣2，3），AP→=（（1）求證：PA⊥底面ABCD；（2）求PC的長(zhǎng)．【變式33】（2021秋?吉林期末）如圖，直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1，在底面ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)．（1）求cos＜（2）求證：BN⊥平面C1MN．【題型4利用空間向量研究距離問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟：(1)求直線的方向向量．(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．用向量法求點(diǎn)面距的步驟：(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(eq\o(AP,\s\up6(→))，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n)．(4)求距離d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).【例4】（2022春?南通期末）如圖，在四面體P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2PA＝2，點(diǎn)D在線段AC上．（1）當(dāng)D是線段AC中點(diǎn)時(shí)，求A到平面PBD的距離；（2）若二面角A﹣PD﹣B的余弦值為13，求AD【變式41】（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD=12AD＝1．E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為（1）在平面PAB內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，如果存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若二面角P?CD?A的大小為45°，求P到直線CE的距離．【變式42】（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為AA1，AC，A1C1的中點(diǎn)，AB=BC=5，AC＝AA1＝2（1）求證：AC⊥平面BEF；（2）求點(diǎn)D與平面BEC1的距離；（3）求二面角B﹣CD﹣C1的正弦值．【變式43】（2022秋?渝中區(qū)月考）在如圖所示的五面體ABCDFE中，面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DF=12AE＝1，N為（Ⅰ）求證：FN∥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面MNF的距離．【題型5利用空間向量求空間角】【方法點(diǎn)撥】求異面直線夾角的方法：(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進(jìn)而構(gòu)造三角形求解．(2)向量法：在兩異面直線a與b上分別取點(diǎn)A，B和C，D，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))可分別為a，b的方向向量，則cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|).利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求直線的方向向量u；(3)求平面的法向量n；(4)設(shè)線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：(1)求平面的垂線的方向向量；(2)利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解.【例5】（2021秋?盤龍區(qū)月考）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E為線段PD的中點(diǎn)，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°．（1）證明：直線PB∥平面ACE；（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．【變式51】（2022秋?安徽月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面BB1C1C．（1）求證：AB⊥B1C；（2）若∠B1BC＝60°，直線AB與平面BB1C1C所成的角為30°，求二面角A1﹣B1C1﹣A的正弦值．【變式52】（2022春?江都區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，直線AC⊥平面BDEF，點(diǎn)O為AC與BD的交點(diǎn)，AB＝2，且∠DAB＝∠DBF＝60°．（1）求異面直線DE與CF所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣FB﹣C的余弦值．【變式53】（2022?南京模擬）如圖，AB為圓柱底面的直徑，△ACD是圓柱底面的內(nèi)接正三角形，AP和DQ為圓柱的兩條母線，若AB＝2AP＝2．（1）求證：平面PCQ⊥平面BDQ；（2）求BP與面ABQ所成角正弦值；（3）求二面角B﹣AQ﹣C的余弦值．【題型6利用空間向量研究存在性問(wèn)題】【例6】（2022?歷城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=BC=2AB=2AC，點(diǎn)（1）證明：AC1∥平面A1BM；（2）AC上是否存在點(diǎn)N，使二面角B﹣A1M﹣N的大小為π4，若存在，求AN【變式61】（2022春?內(nèi)江期末）四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，PA=PD=2，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC（1）若Q是PC的中點(diǎn)，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；（2）是否存在Q，使PA∥平面DEQ？若存在，求出PQPC【變式62】（2022?迎