第三章 正弦交流電路-1-相量表示法

第三章正弦交流電路正弦電壓與電流交流電的概念如果電流或電壓每經(jīng)過(guò)一定時(shí)間（T

）就重復(fù)變化一次，則此種電流

、電壓稱為周期性交流電流或電壓。如正弦波、方波、三角波、鋸齒波等。記做：u(t)=u(t+T)TutuTt正弦電壓與電流如果在電路中電動(dòng)勢(shì)的大小與方向均隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化，由此產(chǎn)生的電流、電壓大小和方向也是正弦的，這樣的電路稱為正弦交流電路。

正弦交流電的優(yōu)越性：便于傳輸；便于運(yùn)算；有利于電器設(shè)備的運(yùn)行；

.....正弦交流電路Tut正弦電壓與電流它的大小和方向均隨時(shí)間按正弦規(guī)律做周期變化的量。Ru+_

_

_iu+_正半周負(fù)半周Ru+_正弦量交流電路進(jìn)行計(jì)算時(shí)，首先也要規(guī)定物理量的正方向，然后才能用數(shù)字表達(dá)式來(lái)描述。正弦電壓與電流設(shè)正弦交流電流：角頻率：決定正弦量變化快慢幅值：最大正值，決定正弦量大小

幅值、角頻率、初相角稱為正弦量的三要素。初相角：決定正弦量起始位置i

ImT1.頻率與周期周期T：變化一周所需的時(shí)間（s、ms）角頻率：（rad/s）頻率f：（Hz、kHz）iT*電網(wǎng)頻率：我國(guó)50Hz，美國(guó)

、日本

60Hz*有線通訊頻率：300~5000Hz

*無(wú)線通訊頻率：

30kHz~3×104MHz小常識(shí)2.幅值與有效值幅值：正弦量的最大正值。表示為：Im、Um、Em幅值必須大寫,下標(biāo)加m。在工程應(yīng)用中常用有效值來(lái)衡量正弦量的大小。常用交流電壓、電流表測(cè)量數(shù)據(jù)為有效值；交流設(shè)備銘牌標(biāo)注的電壓、電流均為有效值。思考題：正弦量的大小和方向隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化，但我們常說(shuō)供電電壓為220V，這是一個(gè)什么值？有效值！交流直流同理：有效值必須大寫

有效值概念無(wú)論交流i還是直流I，通過(guò)電阻R都會(huì)產(chǎn)生熱效應(yīng)。如果在相等時(shí)間內(nèi)（T）二者產(chǎn)生的熱效應(yīng)相同，則將這個(gè)與交流熱效應(yīng)相等的直流I定義為交流

i的有效值。則有（均方根值）問(wèn)題與討論

電器~220V最高耐壓

=300V

若購(gòu)得一臺(tái)耐壓為

300V的電器，是否可用于

220V的線路上?

該用電器最高耐壓低于電源電壓的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V電源電壓例已知：其中求：U和t=0.1秒時(shí)的瞬時(shí)值解：：

t=0

時(shí)的相位，稱為初相位或初相角。i：正弦波的相位角或相位三、初相角和相位差

兩個(gè)同頻率正弦量間的相位差φ(初相角)

t兩種正弦信號(hào)的關(guān)系同相位落后于相位落后相位領(lǐng)先領(lǐng)先于與同相位

三相交流電路：三種電壓初相位各差120

。

t

瞬時(shí)值表達(dá)式

相量必須小寫前兩種不便于運(yùn)算，重點(diǎn)介紹相量表示法。

波形圖i

正弦波的表示方法：重點(diǎn)3.1.2正弦交流電的相量表示1.復(fù)數(shù)的表示形式①代數(shù)形式A=a(實(shí))+jb(虛)其中：baAReIm0r由上圖可知一、復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)及其基本運(yùn)算②三角形式③指數(shù)形式④極坐標(biāo)形式（歐拉公式）q+q==q+q=qqsinjrcosrreAsinjcosejj2.復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算（1）加、減設(shè)：；則：ReImBAA+BReImBAA-B-B（加）（減）（2）乘、除（乘）設(shè)：或：（除）3.討論（1）設(shè)：ReImrr為旋轉(zhuǎn)因子（2）由歐拉公式可知注意：j、-j、-1都是旋轉(zhuǎn)因子j稱為旋轉(zhuǎn)因子，一個(gè)復(fù)數(shù)乘以j相當(dāng)于在復(fù)平面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；除以j相當(dāng)于在復(fù)平面上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

※數(shù)學(xué)課程中旋轉(zhuǎn)因子是用i表示的，電學(xué)中為了區(qū)別于電流而改為j。相量法是分析求解正弦電流電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種有效工具。

根據(jù)歐拉公式，一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)

可以寫成:實(shí)部是余弦量

虛部是正弦量

則

正弦量可以用上述形式復(fù)數(shù)函數(shù)描述

二、

正弦交流電的相量表示法正弦量可以用上述形式復(fù)數(shù)函數(shù)描述

取復(fù)數(shù)函數(shù)的虛部復(fù)指數(shù)函數(shù)中的一個(gè)復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)即為正弦量的相量，記為

相量:指與正弦量具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的復(fù)數(shù)。如：正弦量的最大值對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)A的模值；

ωu顯然，復(fù)數(shù)A就是正弦電壓u的相量。二者具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。正弦座標(biāo)復(fù)數(shù)座標(biāo)正弦量的初相與復(fù)數(shù)A的幅角相對(duì)應(yīng)；

正弦量的角頻率對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)A繞軸旋轉(zhuǎn)的角速度ω；

設(shè)正弦量:為和一般的復(fù)數(shù)區(qū)別，把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱相量，并在大寫字母上打“·”。相量的模=正弦量的有效值

相量輻角=正弦量的初相角相量表示:電壓的有效值相量實(shí)質(zhì)：用復(fù)數(shù)表示正弦量。正弦交流電的相量表示法相量的模=正弦量的最大值

相量輻角=正弦量的初相角或：

相量圖:

把相量表示在復(fù)平面的圖形一般不畫(huà)坐標(biāo)軸相量圖相量的書(shū)寫方式

模用最大值表示，則用符號(hào)：

實(shí)際應(yīng)用中，模多采用有效值，符號(hào)：如：已知?jiǎng)t或可以證明同頻率正弦波運(yùn)算后，頻率不變。如：結(jié)論:

因角頻率（

）不變，所以以下討論同頻率正弦波時(shí)，

可不考慮，主要研究幅度與初相位的變化。幅度、相位變化頻率不變解：例1:已知瞬時(shí)值，求相量。已知:

求：

i

、u

的相量220100AV相量圖求：例2：已知相量，求瞬時(shí)值。

已知：兩個(gè)頻率都為

1000Hz的正弦電流其相量形式為：解：相量運(yùn)算：1.同頻率正弦量相加減得：這實(shí)際上是一種變換思想，由時(shí)域量變換到相量“相量”不同于“向量”例同頻正弦量的加、減運(yùn)算可借助相量圖進(jìn)行。相量圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用，尤其適用于定性分析。ReImReIm注意：還原為正弦量時(shí)，要為對(duì)應(yīng)的正弦量形式注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同頻率的正弦量才能畫(huà)在一張相量圖上，不同頻率不行。新問(wèn)題提出：平行四邊形法則可以用于相量運(yùn)算，但不方便。故引入相量的復(fù)數(shù)運(yùn)算法。

相量

復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)運(yùn)算

相量的復(fù)數(shù)表示ab+1將復(fù)數(shù)放到復(fù)平面上，可如下表示：歐拉公式

代數(shù)式

指數(shù)式

極坐標(biāo)形式abq+q=qsinjcosej在復(fù)數(shù)運(yùn)算當(dāng)中，一定要根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限正確寫出幅角的值。如：注意：+1+j034-3-4ABCD符號(hào)說(shuō)明瞬時(shí)值

---小寫u、i有效值

---大寫U、I復(fù)數(shù)、相量

---大寫

+“.”最大值

---大寫+下標(biāo)正誤判斷1.已知：？？有效值？3.已知：復(fù)數(shù)瞬時(shí)值j45

?2.已知：？最大值4.已知：？？

負(fù)號(hào)

落后于