第三章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

3.1正弦交流電

3.2正弦交流電的相量形式

3.3R、L、C伏安關(guān)系的相量形式

3.4基爾霍夫定律的相量形式

3.5復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換

3.6正弦交流電路的功率

3.7正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算第三章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求：

(1)了解正弦量的三要素及相位差特點(diǎn)；

(2)掌握正弦量的相量表示方法，元件伏安方程和基爾霍夫定律的的相量形式；

(3)熟練掌握復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納的計算；

(4)熟練掌握用相量法和相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路；

(5)掌握正弦交流電路中的功率分析。第三章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析上頁下頁目錄返回

我們最熟悉和最常用的家用電器采用是都是交流電，如電視、電腦、照明燈、冰箱、空調(diào)等家用電器。上頁下頁目錄返回

3.1正弦交流電

頻率與周期

幅值與有效值相位與相位差

上頁下頁目錄返回Ru+_正弦量：

隨時間按正弦規(guī)律做周期變化的量。

3.1

正弦交流電

iu+_Ru+_

_

_正半周負(fù)半周上頁下頁目錄返回3.1.1

正弦量的三要素設(shè)正弦交流電流：iO

2Im

T初相角：決定正弦量起始位置角頻率：決定正弦量變化快慢幅值：決定正弦量的大小上頁下頁目錄返回周期T：變化一周所需的時間（s）頻率f：（Hz）角頻率：（rad/s）iO*

無線通信頻率：

30kHz~30GMHz*電網(wǎng)頻率：我國50Hz

，美國、日本60Hz*高頻爐頻率：200~300KHz*中頻爐頻率：500~8000HzT上頁下頁目錄返回3.1.2

正弦量的相位差iO

相位：反映正弦量變化的進(jìn)程。初相位：

表示正弦量在t=0時的相角。

上頁下頁目錄返回

兩同頻率的正弦量之間的初相位之差。如：若電壓超前電流

uiui

ωtO上頁下頁目錄返回

電流超前電壓

uiωtui

O電流超前電壓uiωtui90°O電壓與電流同相uiωtuiO

電壓與電流反相ωtuiuiO上頁下頁目錄返回注意:

①兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，與計時的選擇起點(diǎn)無關(guān)。tO②不同頻率的正弦量比較無意義。上頁下頁目錄返回3.1.3

正弦量的有效值有效值：如果一個周期電流i

通過電阻R,在一個周期T內(nèi)消耗的熱能等于直流電流I在同樣時間內(nèi)通過該電阻R消耗的能量,則I定義為i的有效值。交流直流則有有效值必須大寫

上頁下頁目錄返回同理：上頁下頁目錄返回

3.2

正弦量的相量表示法復(fù)數(shù)運(yùn)算正弦量的相量表示上頁下頁目錄返回3.2正弦量的相量表示法正弦量的表示方法波形圖uO瞬時值表達(dá)式必須小寫相量重點(diǎn)重點(diǎn)介紹相量表示法。上頁下頁目錄返回

3.2.1

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)表示形式設(shè)A為復(fù)數(shù):(1)代數(shù)式A=a+jbo+1+jAab式中:復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的輻角r上頁下頁目錄返回由歐拉公式:可得:

(3)指數(shù)式

(4)極坐標(biāo)式上頁下頁目錄返回(2)三角式

復(fù)數(shù)運(yùn)算(1)加減運(yùn)算——用代數(shù)或三角形式若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2則A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)加減法可用圖解法。A1A2+1+jOA1+A2A1-A2-A2上頁下頁目錄返回(2)乘除運(yùn)算——極坐標(biāo)或指數(shù)形式若

A1=|A1|

1，若A2=|A2|

2乘法：模相乘，角相加。上頁下頁目錄返回除法：模相除，角相減。例解:例

解：上式上頁下頁目錄返回3.2.2

用旋轉(zhuǎn)相量表示正弦量設(shè)正弦量:OxyO若:有向線段長度

=有向線段與橫軸夾角=初相位ω有向線段以速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)u0ω上頁下頁目錄返回

旋轉(zhuǎn)有向線段每一瞬時在縱軸上的投影即表示相應(yīng)時刻正弦量的瞬時值。演示上頁下頁目錄返回上頁下頁目錄返回相量:表示正弦量的復(fù)數(shù)稱相量設(shè)正弦量:相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量輻角=正弦量的初相角電壓的有效值相量上頁下頁目錄返回相量的模=正弦量的最大值

相量輻角=正弦量的初相角或：電壓的幅值相量①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。上頁下頁目錄返回③相量的兩種表示形式相量式:

相量圖:

把相量表示在復(fù)平面的圖形+1+j超前落后？

落后于上頁下頁目錄返回

3.3

基爾霍夫定律的相量形式上頁下頁目錄返回電阻元件伏安關(guān)系相量形式電感元件伏安關(guān)系相量形式電容元件伏安關(guān)系相量形式時域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值關(guān)系：UR=RI相位關(guān)系

u=

i(u,i同相)R+-UR

u相量關(guān)系：UR=RI

u=

i3.3.1電阻元件伏安關(guān)系相量形式上頁下頁目錄返回瞬時功率：波形圖及相量圖：

i

tOuRpR

u=

iURI瞬時功率以2

交變。但始終大于零，表明電阻始終是吸收（消耗）功率。上頁下頁目錄返回平均功率(有功功率)P瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值

單位:瓦（W）通常銘牌數(shù)據(jù)或測量的功率均指有功功率。上頁下頁目錄返回感抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；U=XLI=LI=2fLI(2)感抗和頻率成正比；wXL相量表達(dá)式:XL=L=2fL，稱為感抗，單位為(歐姆)BL=1/L=1/2fL，感納，單位為S(同電導(dǎo))感抗和感納:上頁下頁目錄返回功率關(guān)系(1)瞬時功率(2)

平均功率L是非耗能元件上頁下頁目錄返回儲能p<0+p>0分析：瞬時功率：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能儲能放能

電感L是儲能元件。iuopo結(jié)論：純電感不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換（能量的吞吐)?？赡娴哪芰哭D(zhuǎn)換過程上頁下頁目錄返回

用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模。用瞬時功率達(dá)到的最大值表征，即單位：var

無功功率

Q瞬時功率

：上頁下頁目錄返回

3.3.3電容元件伏安關(guān)系相量形式時域形式：相量形式：相量關(guān)系：iC(t)u(t)C+-有效值關(guān)系：IC=wCU相位關(guān)系：

i=

u+90°

(i超前

u90°)+-

u上頁下頁目錄返回令XC=1/wC，稱為容抗，單位為W

BC=wC，稱為容納，單位為S頻率和容抗成反比,w

0，|XC|

直流開路(隔直)w

，|XC|0高頻短路(旁路作用)容抗與容納：相量表達(dá)式:O上頁下頁目錄返回瞬時功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充電p<0放電+p>0充電p<0放電po所以電容C是儲能元件。結(jié)論：純電容不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換（能量的吞吐)。uiou,i上頁下頁目錄返回同理，無功功率等于瞬時功率達(dá)到的最大值。

無功功率

Q單位：var為了同電感電路的無功功率相比較，這里也設(shè)則：上頁下頁目錄返回

KCL的相量形式

KVL的相量形式3.4

基爾霍夫定律的相量形式上頁下頁目錄返回

基爾霍夫電流定律的相量形式對于電路中任一結(jié)點(diǎn)，根據(jù)KCL有：i1i2i3i4I1I2I3I4I1I2-I3I4節(jié)點(diǎn)的KCL相量表達(dá)式為

連接在電路任一節(jié)點(diǎn)的各支路電流的相量的代數(shù)和為零上頁下頁目錄返回

基爾霍夫電壓定律的相量形式對于電路中任一回路，根據(jù)KVL有：任一回路的各支路電壓的相量的代數(shù)和為零回路的電壓方程：其KVL相量表達(dá)式為：

上頁下頁目錄返回例LCR+

uL

-uCa+-iS+

uR

-bcd????R+

-a+-+

-bcd????上頁下頁目錄返回R+

-a+-+

-bcd????上頁下頁目錄返回

例

圖示電路，電流表A1的讀數(shù)為5A，A2的讀數(shù)

20A，A3的讀數(shù)為25A，求電流表A和A4的讀數(shù)。+-AA1A3A2A4上頁下頁目錄返回

R、L、C的復(fù)阻抗

R、L、C的復(fù)導(dǎo)納3.5

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換上頁下頁目錄返回正弦激勵下Z+-線性無源+-|Z|RXj阻抗三角形單位：

阻抗模阻抗角3.5.1復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納上頁下頁目錄返回復(fù)導(dǎo)納Y|Y|GB

導(dǎo)納三角形對同一二端網(wǎng)絡(luò):單位：S上頁下頁目錄返回（1）R：（2）L：（3）C：3.5.2R、L、C

元件的阻抗和導(dǎo)納上頁下頁目錄返回RLC串聯(lián)電路用相量法分析R、L、C串聯(lián)電路的阻抗。由KVL：其相量關(guān)系也成立LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+-上頁下頁目錄返回Z—復(fù)阻抗；R—電阻（阻抗的實部）；

X—電抗（阻抗的虛部）；

|Z|—復(fù)阻抗的模；

—阻抗角。關(guān)系：或R=|Z|cos

X=|Z|sin

|Z|RXj阻抗三角形上頁下頁目錄返回電路為感性，電壓超前電流；電路為容性，電壓落后電流；電路為電阻性，電壓與電流同相。上頁下頁目錄返回畫相量圖：選電流為參考向量三角形UR、UX、U

稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似。即

上頁下頁目錄返回例已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC.解其相量模型為LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+-上頁下頁目錄返回則UL=8.42>U=5，分電壓大于總電壓。

-3.4°相量圖上頁下頁目錄返回RLC并聯(lián)電路由KCL：iLCRuiLiC+-iLj

LR+-上頁下頁目錄返回Y—復(fù)導(dǎo)納；G—電導(dǎo)（導(dǎo)納的實部）；

B—電納（導(dǎo)納的虛部）；

|Y|—復(fù)導(dǎo)納的模；

導(dǎo)納角。關(guān)系：或G=|Y|cos

B=|Y|sin

|Y|GB

導(dǎo)納三角形上頁下頁目錄返回電路為容性，i超前

u；電路為感性，i落后

u；電路為電阻性，i與

u同相。上頁下頁目錄返回畫相量圖：選電壓為參考相量

'RLC并聯(lián)電路同樣會出現(xiàn)分電流大于總電流的現(xiàn)象j

LR+-上頁下頁目錄返回3.5.3復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納的等效互換ooZRjXooGjBY一般情況下，

若Z為感性，

X>0，則B<0，即Y仍為感性上頁下頁目錄返回同樣，若由Y變?yōu)閆，則有：ooZRjXooGjBY上頁下頁目錄返回同直流電路相似：ZZ1Z2+++---3.5.4

阻抗（導(dǎo)納）的串聯(lián)和并聯(lián)上頁下頁目錄返回同直流電路相似：Y+-Y1Y2上頁下頁目錄返回例

已知Z1=10+j6.28

,Z2=20-j31.9

,Z3=15+j15.7

。Z1Z2Z3ab求

Zab。上頁下頁目錄返回R2R1+-+-上頁下頁目錄返回R2R1+-+-上頁下頁目錄返回3.6正弦交流電路中的功率有功、無功、視在功率

最大功率傳輸

功率因數(shù)提高上頁下頁目錄返回

電類設(shè)備及其負(fù)載都要提供或吸收一定的功率。如某臺變壓器提供的容量為250kVA，某臺電動機(jī)的額定功率為2.5kW，一盞白熾燈的功率為60W等等。由于電路中負(fù)載性質(zhì)的不同，它們的功率性質(zhì)及大小也各自不一樣。上頁下頁目錄返回3.6.1瞬時功率無源一端口網(wǎng)絡(luò)吸收的功率(u,i

關(guān)聯(lián))無源+ui_上頁下頁目錄返回

p有時為正,有時為負(fù)p>0,

電路吸收功率p<0，電路發(fā)出功率

t

iOupUIcos

上頁下頁目錄返回正弦量的有效值cos

：功率因數(shù)。P的單位：W（瓦）對無源網(wǎng)絡(luò)，為其等效阻抗的阻抗角。功率因數(shù)角3.6.2

平均功率上頁下頁目錄返回一般地

,有0

cosj1X>0,j>0,感性，滯后功率因數(shù)X<0,j<0,容性，超前功率因數(shù)例：cosj

=0.5(滯后)，則j=60o(電壓超前電流60o)。cosj1,純電阻0，純電抗平均功率實際上是電阻消耗的功率，亦稱為有功功率。表示電路實際消耗的功率，它不僅與電壓電流有效值有關(guān)，而且與功率因數(shù)cosφ

有關(guān)，這是交流和直流電路的區(qū)別,主要由于交流電路中電壓和電流存在相位差。上頁下頁目錄返回

R、L、C

元件的平均功率電阻

R：

=0，電感

L：

=/2，電容C：

=－/2，電阻吸收有功功率，而電感和電容不吸收有功功率。上頁下頁目錄返回

3.6.3

無功功率瞬時功率可改寫為：

上式第一項符號不變，反映網(wǎng)絡(luò)N與外電路之間的單向能量傳送速率，其平均值即有功功率。上式第二項是正負(fù)半周對稱的時間函數(shù)，它反映網(wǎng)絡(luò)N與外電路之間能量往返交換的速率，是在平均意義上不能作功的無功分量，其最大值UIsin

定義為網(wǎng)絡(luò)的無功功率。上頁下頁目錄返回定義網(wǎng)絡(luò)N的無功功率Q為：Q的單位：無功伏安，簡稱為：乏(var)

R、L、C

元件的無功功率電阻R：

=0電感

L：

=/2電容

C：

=-/2電阻不吸收無功功率，電感吸收正值的無功功率，電容吸收負(fù)值的無功功率。上頁下頁目錄返回電感、電容的無功補(bǔ)償作用LCRuuLuCi+-+-+-

i

tOuCpLpC當(dāng)L發(fā)出功率時，C剛好吸收功率，則與外電路交換功率為QL+QC。因此，L、C的無功具有互相補(bǔ)償?shù)淖饔?。uL上頁下頁目錄返回設(shè)備的容量一般用視在功率表示。S的單位：伏安(VA)、千伏安(KVA)視在功率、平均功率和無功率之間的關(guān)系3.6.4視在功率上頁下頁目錄返回jSPQ視在功率，平均功率和無功功率之間的關(guān)系功率三角形上頁下頁目錄返回負(fù)載+_3.6.5復(fù)功率其中為的共軛相量上頁下頁目錄返回復(fù)功率守恒定理：在正弦穩(wěn)態(tài)下，任一電路的所有支路吸收的復(fù)功率之和為零。即上頁下頁目錄返回一般情況下：+_+_+_上頁下頁目錄返回已知電路如圖，求各支路的復(fù)功率。例+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W方法1：上頁下頁目錄返回+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W方法2：上頁下頁目錄返回3.6.6功率因數(shù)的提高在生產(chǎn)和生活中使用的電氣設(shè)備大多屬于感性負(fù)載，它們的功率因數(shù)都較低。如供電系統(tǒng)的功率因數(shù)是由用戶負(fù)載的大小和性質(zhì)決定的，在一般情況下，供電系統(tǒng)的功率因數(shù)總是小于1。上頁下頁目錄返回設(shè)備容量S(額定)，向負(fù)載供給多少有功功率，要由負(fù)載的阻抗角決定。P=ScosjS75kVA負(fù)載cosj

=1,P=S=75kWcosj

=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機(jī)空載cosj

=0.2~0.3

滿載cosj

=0.7~0.85日光燈cosj

=0.45~0.6上頁下頁目錄返回

電力系統(tǒng)中的負(fù)載大多是呈感性的。這類負(fù)載不單只消耗電網(wǎng)能量，還要占用電網(wǎng)能量，這是我們所不希望的。日光燈負(fù)載內(nèi)帶有電容器就是為了減小感性負(fù)載占用電網(wǎng)的能量。這種利用電容來達(dá)到減小占用電網(wǎng)能量的方法稱為無功補(bǔ)償法，也就是后面我們提到的提高功率因數(shù)。演示上頁下頁目錄返回日光燈電路：上頁下頁目錄返回

(1)設(shè)備不能充分利用電網(wǎng)提供的功率，造成能量浪費(fèi)；(2)當(dāng)輸出相同的有功功率時，線路壓降損耗大。功率因數(shù)低帶來的問題解決辦法：對于感性負(fù)載，并聯(lián)電容，提高功率因數(shù)。上頁下頁目錄返回分析:j1j2LRC+_。率因數(shù)從而提高了電源端的功的夾角減小了，、從相量圖上看，減少?？傠娏?，于超前由于并聯(lián)電容的電流生任何變化。即負(fù)載工作狀態(tài)沒有發(fā)都不變，功率吸收的有功功率和無功，原感性負(fù)載的電流不變并聯(lián)電容后，φIUIUICcos

90

·····o演示上頁下頁目錄返回上頁下頁目錄返回補(bǔ)償容量的確定：j1j2補(bǔ)償容量不同全——不要求(電容設(shè)備投資增加,經(jīng)濟(jì)效果不明顯)欠過——使功率因數(shù)又由高變低(性質(zhì)不同)綜合考慮，提高到適當(dāng)值為宜(0.9左右)。LRC+_上頁下頁目錄返回功率因數(shù)提高后，線路上電流減少，就可以帶更多的負(fù)載，充分利用發(fā)電設(shè)備的能力。再從功率這個角度來看:并聯(lián)C后，電源向負(fù)載輸送的有功功率（UILcosj1=UIcosj2）不變，但是電源向負(fù)載輸送的無功功率（UIsinj2<UILsinj1）減少了，減少的這部分無功功率就是由電容“產(chǎn)生”的無功功率來提供的，使感性負(fù)載吸收的無功功率保持不變，因而功率因數(shù)得到提高。上頁下頁目錄返回已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滯后)。要使功率因數(shù)提高到0.9,求并聯(lián)電容C。例9P=20kWcosj1=0.6+_CLRC+_解：j1j2上頁下頁目錄返回討論正弦電流電路中負(fù)載獲得最大功率Pmax的條件。ZLZi+-Zi=Ri+jXi，ZL=RL+jXL

ZL=RL+jXL可任意改變

3.6.7最大功率傳輸上頁下頁目錄返回(a)先討論XL改變時，P的極值顯然，當(dāng)Xi+XL=0，即XL=-Xi時，P獲得極值(b)再討論RL改變時，P的最大值當(dāng)RL=Ri時，P獲得最大值綜合(a)、(b)，可得負(fù)載上獲得最大功率的條件是：ZL=Zi*，即RL=RiXL=-Xi此結(jié)果可由P分別對XL、RL求偏導(dǎo)數(shù)得到。共扼匹配最佳匹配上頁下頁目錄返回求一端口的戴維南等效電路：例

圖示電路求負(fù)載最佳匹配時獲得的最大功率。+_2

2

2

j4

Z+_ZeqZ+_上頁下頁目錄返回

相量法計算相量圖計算3.7

正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算上頁下頁目錄返回電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較：可見，二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法推廣應(yīng)用于正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。3.7

正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算上頁下頁目錄返回一般正弦交流電路的解題步驟1、根據(jù)原電路圖畫出相量模型圖(電路結(jié)構(gòu)不變)2、根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫相量圖3、用相量法或相量圖求解4、將結(jié)果變換成要求的形式上頁下頁目錄返回3.7.1

電路分析方法的應(yīng)用

例圖示電路中，已知試用支路電流法求電流

I3。+-+-上頁下頁目錄返回解：應(yīng)用基爾霍夫定律列出相量表示方程代入已知數(shù)據(jù)，可得：+-+-解之，得：上頁下頁目錄返回列寫電路的回路電流方程和節(jié)點(diǎn)電壓方程例12解：+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4回路法:上頁下頁目錄返回+_R1R2R3R4節(jié)點(diǎn)法:上頁下頁目錄返回3.7.2電路定理的應(yīng)用例圖示電路中，已知試用疊加原理求電流I3。+-+-上頁下頁目錄返回解:(1)當(dāng)單獨(dú)作用時同理（2）當(dāng)單獨(dú)作用時+-+-+-++-=上頁下頁目錄返回例求圖示電路的戴維南等效電路。+–+–+–1、求開路電壓上頁下頁目錄返回例15

求圖示電路的戴維南等效電路。+–+–2、求等效阻抗+–+–上頁下頁目錄返回3.7.3用相量圖求解

用相量圖求解正弦交流電路，一般用于簡單電路。首先要明確各元件的電壓與電流的相量關(guān)系；其次是能正確畫出相量圖。原則：1.選定一個參考相量（設(shè)初相位為零）串聯(lián)電路選電流，并聯(lián)電路選電壓，混聯(lián)電路按最后負(fù)載的聯(lián)結(jié)方式來選擇參考相量，即最后一節(jié)負(fù)載串聯(lián)，則以電流為參考相量，并聯(lián)則以電壓為參考相量。2.以負(fù)載開始向電源端畫相量圖3.運(yùn)用幾何、三角等方面的知識，求出結(jié)果上頁下頁目錄返回jw

L1/jwCR+-+-用途：定性分析利用比例尺定量計算如選

為參考相量上頁下頁目錄返回

已知：U=115V,U1=55.4V,

U2=80V,R1=32W,f=50Hz