安徽省淮北市2023屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

淮北市2023屆高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)試題卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

r?RP={xeN∣χ2-2x—3≤0∣工Q—[χ?χ—2k—I,k∈Z)Pfeɑ)..

i,已知全集u=R,集合〔IJ和上iI?,則集合LN叼的

元素個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4.

R答案UB

K解析D

K樣解》根據(jù)一元二次不等式求解方法求出P={0,1,2,3},利用補(bǔ)集的定義求出

^,Q^[x?x≠2k-l,ke7],再利用交集的運(yùn)算即可求解.

K詳析H因?yàn)槭?{x∈N,2一2x_34θ}

所以P={0,l,2,3},

又因?yàn)镼={x∣x=2k-LZeZ},

所以布Q={xeRI%≠2%-1,Z∈Z},

Pn?β)={0,2}.

故選：B.

z+2

2.已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)是(2,-1),則H=()

15.15.53.53.

A.—+—iB.---------1C.—+—1D.-------1

22222222

K答案，C

K解析》

K祥解』根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.

R詳析2因?yàn)閺?fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)是(2,-1),所以z=2-i,

z+24-i(4-i)(l+i)5+3i53.

則----=----=-----------=-----=—+-1；

z-11-i(l-i)(l+i)222

故選：C.

3.如圖所示，在三棱臺A'B'C'_ABC中，沿平面A'8C截去三棱錐A'_48C，則剩余的部分是（)

A.三棱錐B.四棱錐C.三棱柱D.組合體

R答案UB

K解析D

K樣解》根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論.

K詳析』三棱臺A'B'C'_ABC中，沿平面A2C截去三棱錐A'-ABC，剩余的部分是以A'為頂點(diǎn)，四

邊形BCC'B'為底面的四棱錐4一BCCB'.

故選:B.

Jcos2a1,,.(3萬)

4.已知----------=-,貝rIjsin?+—=()

sin?+cosɑ3?,4J

A.-ΔB.?C也

6?6

R答案XC

K解析D

R祥解11結(jié)合題干條件以及余弦的二倍角公式得到COSa-Sina=；,進(jìn)而結(jié)合兩角和的正弦公式即可求

出結(jié)果.

(7*4■匚XiCoS20COS2a-sin2(7(CoSa-Sina)(COSa+sinα)1

K詳析U因?yàn)槎?---------=-------------=---------:———-------------=cosa-sιna=-

Sina+cos。sina+cosasina+cosa3

二.(3π?.3π.3π√2z?√21√2

所以Smα+——=SlnaCoS——+cosαsm——=——(COSa-Sma)=——χ-=——,

4J442v7236

故選：C.

5.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)A(X,y),B(w,%)在橢圓C：、+J=l上，且直線OAOB的斜率

之積為一萬，則Xj-y：+々之一%~二（）

5

A.1B.3C.2D.-

2

K答案1A

K解析H

解Il利用橢圓方程和OA,08的斜率之積為-L，建立A、3兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入原式化簡計(jì)算即可.

K祥

2

K詳析D因?yàn)锳（Xl,）；）,3（%2，%）在橢圓上，

所以與+"1亭及=1,

因?yàn)槊?

所以XlX2=-2y%，

,2λ∕,2、

所以無;x；=4.y；￡=4l-?1一個=4-2x<-2%2+^2?

727

所以x；+x；=2,

才3%2C,

所以才一代+考一只=片一1+1--------+-L-2=1.

222

故選：A.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，/W,CD,",GH分別是單位圓上的四段弧，點(diǎn)尸在其中一段上，角ɑ以

Or為始邊，OP為終邊.若Sina<cosα<tanα,則P所在的圓弧是（）

A?ABB.CDc?EFD.GH

K答案HC

（解析】

"羊解1根據(jù)三角函數(shù)定義解決即可.

K詳析》設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為a,y),所以由三角函數(shù)的定義可得

.V

sina=y.cosa=x,tana--,

x

y

因?yàn)镾ina<cosα<tana,B∣Jy<x<—,

x

由圖知

對于A,AB在第一象限，且0<x<y,不滿足題意，故A錯；

對于B,CQ在第三象限，且x<y<0,不滿足題意，故B錯；

對于C,〃在第三象限，且y<x<上，滿足題意，故C正確；

X

對于D,GH在第四象限，且y<0,x>0，上<0,不滿足題意，故D錯；

X

故選：C.

7.如圖，對于曲線「所在平面內(nèi)的點(diǎn)O,若存在以。為頂點(diǎn)的角a,使得對于曲線「上的任意兩個不同的

點(diǎn)A,B恒有NAO3≤a成立，則稱角a為曲線「的相對于點(diǎn)。的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線「

Xei+1%≥O

的相對于點(diǎn)。的“確界角已知曲線C：y=<2'一'(其中e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)),

4X2+X+1,X<0

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線C的相對于點(diǎn)。的“確界角''為()

K答案DB

K解析H

R祥解X利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到過點(diǎn)。且與/(X)=Xel+1(X>0)相切的直線的斜率，設(shè)過O的直線

y=6與/(x)=4χ2+χ+i(χ<0)相切，然后通過聯(lián)立，讓A=O得到切線斜率，最后利用傾斜角和斜率

的關(guān)系求角即可.

記曲線C為y=∕(x),當(dāng)x≥0時，/'(X)=e*τ(x+l),設(shè)過。的直線與/(x)(x≥0)的圖象相切，切

點(diǎn)為P(XO,x°e2+l),則切線方程為y-Λne"-l=e5∣(∕+1)(X-X0)，將(。，。)代入整理，得

后e%τ=ι,因?yàn)間(χ)=fe?i是(0,+α))上的增函數(shù)，且g(l)=l,所以7=1,所以尸(1,2),所以F(X)

的圖象與直線y=2x相切.

當(dāng)尤<()時，設(shè)/(x)的圖象即拋物線y=4f+χ+ι(χ<o)與過。的直線丁=去相切.聯(lián)立兩方程整理,

得4f+。-Z)X+1=0,△=().解得左=-3或％=5(舍).設(shè)兩切線傾斜角分別為α,β,則tanα=2,

tan￡-tana-3-27Γ

tan/=-3.所以tan(4-α)==1，所以所求確界角為?！猘=一.

1+tan∕7tana1+(-3)x24

故選：B.

8.對于一個古典概型的樣本空間Ω和事件A,B,C,D,其中〃(C)=60,n(A)=3(),〃(B)=1(),n(C)=20,

心>)=30,n(A8)=40,n(A∩C)=10,n(AD)=6(),則()

A.A與8不互斥B.4與?；コ獾粚α?/p>

C.C與?；コ釪.A與C相互獨(dú)立

K答案，D

R解析』

R祥解》由已知條件結(jié)合事件的運(yùn)算判斷事件間的互斥、對立關(guān)系，根據(jù)P(ACC),P(A)尸(C)的關(guān)系判

斷事件是否獨(dú)立.

K詳析H由“(A)=30,“(8)=10,n(A8)=4(),即〃(A[8)=∕ι(A)+/(3),故A、B互斥,A錯

誤；

由〃(A.D)=〃(A)+〃(￡>)=〃(Q)=60,A、。互斥且對立，B錯誤；

又〃(C)=20,〃(AC)=I0,則〃(D-C)=10,C與。不互斥，C錯誤;

n(A)_1〃(C)=1π(AnC)?

由P(A),P(C),P(ACC)=

∏(Ω)2∕ι(C)3∏(Ω)6

所以尸(ACC)=P(A)P(C),即A與。相互獨(dú)立，D正確.

故選：D

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.已知。是，ABC的邊JBC上的一點(diǎn)(不包含頂點(diǎn))，且AD=XA8+)，AC,貝IJ()

A.x+y=lB.x+2y=l

C.7x+7？≥λ∕2D.Iog2%+Iog2y≤-2

R答案2AD

K解析H

K祥解》利用平面向量線性運(yùn)算，結(jié)合基本不等式，驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)果.

R詳析員。是」WC的邊BC上的一點(diǎn)(不包含頂點(diǎn))，則有BD=C(O<X<1),

得AZ)-AB=AC-A8),AD=λAC+(?-X)AB,

x=l-λ

又AO=XAB+yAC,〈，

J=/1

可得x+y=l,0<x<l,O<y<l,2y[xy≤x+y-l,xy≤?^,

所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤；

(4+4)=x+y+2y[xy≤x+y+x+y=2,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=；時等號成立，所以+

C選項(xiàng)錯誤：

log,X+Iog2y=log2(肛)≤log2；=-2,D選項(xiàng)正確.

故選：AD

10已知函數(shù)/(X)=Xln(I+x),則()

A./(χ)在(0,+∞)單調(diào)遞增

B./(χ)有兩個零點(diǎn)

C.曲線y=∕(χ)在點(diǎn)(—處切線的斜率為一I—ln2

D.DX)是奇函數(shù)

K答案，AC

R解析H

K祥解》利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可判斷零點(diǎn)個數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及奇偶性

的定義，對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

K詳析》對A：/(x)=XIn(I+x),定義域?yàn)?-1,+8),則/'(X)=ln(x+l)+*,

由y=In(x+1),y=?=1-——都在(-l,+∞)單調(diào)遞增，故y=f?x~)也在(-l,+∞)單調(diào)遞增，

又/(0)=0,故當(dāng)x∈(T,0)時，f'(χ)<0,/(X)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0,+∞)時，f?x)>0,/(X)單

調(diào)遞增；故A正確；

對B：由A知，/(x)在(—1,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增，又/(0)=0,

故/(x)只有一個零點(diǎn)，B錯誤；

對C：∕,(-∣)=ln^-l=-l-ln2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；

對D：/(x)定義域?yàn)?-1,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故/(x)是非奇非偶函數(shù)，D錯誤.

故選：AC.

11.已知曲線「：V=16X,直線/過點(diǎn)尸(4,0)交「于A,B兩點(diǎn)，下列命題正確的有()

A.若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為8,則∣A3∣=24

B.若P(2,3),則IAH+1A目的最小值為6

C.原點(diǎn)。在AB上的投影的軌跡與直線工+由y—6=0有且只有一個公共點(diǎn)

D.若AF=2FB,則以線段AB為直徑的圓的面積是81π

K答案HBCD

K解析H

R祥解』對A選項(xiàng)將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線方程，聯(lián)立直線及拋物線方程，由

弦長∣4M=XI+Λ2+p即可求出弦長；對B選項(xiàng)作圖可知，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為4,當(dāng)P,A,4三

點(diǎn)共線時MH+∣A同取最小值，即可求得最小值；對C選項(xiàng)根據(jù)題意，得出原點(diǎn)。在AB上的投影的軌跡，

聯(lián)立方程由判別式即可判斷公共點(diǎn)的個數(shù)；對D選項(xiàng)設(shè)出AB直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，由結(jié)合

AF=2FB得出直線方程，再由弦長公式計(jì)算出線段AB的長度即可判斷

K詳析H對于A,易得*4,0)是拋物線r：y2=16》的焦點(diǎn)，

若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為8,則yi=16x8=y1=±80,即A(8,80)或43,一80),根據(jù)拋物線的對稱性可

得兩種情況計(jì)算出的∣AB∣相同，再此取A(8,8j∑)計(jì)算.

所以/的直線方程是y=普(》-4)即y=2√∑x-8立,

y2=16%

直線與「：＞2=i6χ相交,聯(lián)立方程得,X2-IoX+16=0,

y=2Λ∕2X-8Λ∕2

得％+W=10，IAB∣=玉+%2+P=I()+8=18,故A錯誤;

對于B,過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為4,則∣M+∣AF∣=∣M+∣A4j,當(dāng)P,A4三點(diǎn)共線時IAPl+1AFl

取最小值，此時最小值為|/弭I=XP+5=2+4=6,故B正確;

對于C,設(shè)原點(diǎn)。在直線/上的投影為H,OF的中點(diǎn)為0(2,0),

因OHLAB,所以NO”E=90。，所以一O為直角三角形，所以I=ToFl=gx4=2,

根據(jù)兒何性質(zhì)及圓的定義可知點(diǎn)”的軌跡方程為(x-2y+y2=4(yHθ),聯(lián)立

%+V3y-6=O

得/_2百y+3=0,A=(2@2-4×1×3=O,

(x-2)2+y2=4(y≠θ)

解得y=7J,所以直線％+6y—6=0與(x—2)2+y2=4(y≠0)只有一個交點(diǎn)，故C正確;

X=ry+4`

對于D,設(shè)直線/的方程為x=（y+4,聯(lián)立V2，得y~-16(y-64=0,所以y∣+>2=16f,>∣%=-64,

y=Iox

因?yàn)锳b=（4一百,一y）,尸B=（X-42，%），而4/=2尸3，所以一乂=2%，

所以,+%=-2%+%=-%=16/,所以必=T6f,yl=-2y1=32f,

所以VM=-512產(chǎn)=一64,解得"±乎,

則%+%=⑹=±4Λ∕2,Xy2=-64，

所以Iy-%I=J（X+%y-4y%=^（4√2j2-4×（-64）=12√2，

IABl=JI2+1,一引S,所以以線段AB為直徑的圓的面積是S=苧=生產(chǎn)=8E,故D正確.

故選：BCD.

12.如圖，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)

上述操作（其中NI=N2=N3）,得到四個小正方形AB,C,。，記它們的面積分別為Syl,Ss，Sc，S。，則

以下結(jié)論正確的是（）

?-Sy4+SD=SB+Sc

CSA+SD..2SB

D.SD+SΛ<2SC

K答案，BC

K解析X

K詳析Il設(shè)Nl=N2=N3=α,最大正方形的邊長為1,

小正方形A?B,CQ的邊長分別為α力,c,d.*.,α=cos?a,。=sinαcosa,

C=SinaCOSa,d=Sin,a,

4422

SA+SD=sinof÷cos<7>2sin6zcos6r,

22

SB=SC=sin(7cos(7,SΛ+SD≥2SB,

所以C正確;

SASD=Sin4asin,a,SBSC=Sin%sin,a,

所以SASD=SNc,所以B正確,

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（X一的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）

K答案，240

R解析Il

K祥解》根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式賦值即可求出.

=06{-=(-2)'@6號,

K詳析H因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為4+∣

3

令6—r=0,解得r=4.

2

所以（％-?。┑恼归_式的常數(shù)項(xiàng)是4

=(-2)4C^=240.

故K答案H為：240.

H點(diǎn)石成金」H本題主要考查利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

14.已知直四棱柱ABCr>-A4C2的底面是菱形，NABC=I20°,棱長均為4,AB,CG的中點(diǎn)分別

為P、2,則三棱錐P—AAQ的體積為.

R答案U

K解析D

K祥解D取Co的中點(diǎn)E，連接口E、PE、QE、PE、DP、BD，即可得到VP-AOg=%-0賽，由

題意可得OP_LA6,即可得到OPLCD,由面面垂直的性質(zhì)得到QD_L平面。Ca2,最后根據(jù)錐體的

體積公式計(jì)算可得.

K詳析》解：如圖取Co的中點(diǎn)E,連接。萬、PE、QE、PE、DP、BD，

顯然P￡〃AO且收=AD,又AL>∕∕4R且AO=4A,

所以PE〃4。且PE=A2，

所以四邊形為平行四邊形，所以匕

44EP)fA°=^Q-AlDlP=VQ-Pf)IE=P-QDiE，

又ABCo是邊長為2的菱形且NABC=120°,所以4ABD為等邊三角形，則。PLAB,

又ABHCD、所以O(shè)PLCD,又四棱柱ABC?！狝AGR為直棱柱，即平面ABeDl平面OCG。，

平面ABCDC平面DCCR=CD,PDU平面ABCD,

所以PD，平面QCCl4，且PD=AoSin600=2√L

又SF∩n=4x4—×2×4—×2×4—x2x2=6，

EQ5222

pds

所以=yp-QDiE=^EQD1=∣×2√3×6=4√3.

B

故K答案』為：4√3

C^Λ,Λ<O,

15.設(shè)/(x)=<e',O≤x≤l,若互不相等的實(shí)數(shù)玉,X2∕3滿足/(%)=∕O2)=∕(X3),則

3-%,Λ>1.

?l/(?l)+X2f(X2)+X3f(X3)的取值范圍是.

(9^

K答案，2,-

I4J

K解析H

"羊解》作出函數(shù)/(x)圖象，由條件觀察圖象確定為,々，83的范圍，化簡XJ(XI)+々/(々HF/?)，

求其范圍.

K詳析』設(shè)/(%)=/。2)=/。3)=女，則王，工2，毛為方程/(X)=攵的解，所以和馬，工3為函數(shù)/(x)的

圖象與函數(shù)y=k的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

e^x,x<O,

又/(x)=W,O≤x≤l,作函數(shù)/(χ)和y=A的圖象如下,

觀察圖象可得1<A<2,不妨設(shè)x∣<Z<X3,則ef=e&=3-X3=%，所以

xi=-Inkfx2=lnkfx3=3-k9

所以Λ∣∕(XI)+X2∕(X2)+X3∕(X3)=-ZlnZ+ZlnZ+Z(3-A)=3Z-22,

所以x∕(x)+x∕(x)+x∕(x)=3?-?2

l12233+Γ

(3VO9

因?yàn)镮VA：v2,所以2<—攵—H—≤—

I2；44

所以XJ（西）+V（?）+?∕（?）的取值范圍是（2,；

故K答案』為：（2,1

22

16.已知雙曲線C：5-匕=丸過點(diǎn)（6,6）,則其方程為，設(shè)片，B分別為雙曲線C的左右

焦點(diǎn)，E為右頂點(diǎn)，過K的直線與雙曲線C的右支交于4,B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)M,N分別

為AAg,ZXBK6的內(nèi)心，貝IJlM目TN￡）的取值范圍是.

K答案】①.--??l②.（—羋,羋

412I??J

K解析》

K祥解》①將點(diǎn)代入方程中求出九，即可得K答案見②據(jù)圓的切線長定理和雙曲線的定義可推得斗鳥，

的內(nèi)切圓與X軸切于雙曲線的右頂點(diǎn)E，設(shè)直線AB的傾斜角為。，可用夕表示IMEITN同，根

據(jù)AB兩點(diǎn)都在右支上得到。的范圍，利用6的范圍可求得IMElTN目的取值范圍

In羊析』①由雙曲線C：三一上=九過點(diǎn)（右,6）,所以2—0=4=>zl=2

26,,26

22

所以方程為2-匕=1

412

②如圖:

設(shè)用的內(nèi)切圓與分別切于",0,G,

所以IAHI=IAD?,?HFt?=?Gf]∣,∣DF21=∣GF2\,

所以IAKl-IAK?=?AH?+?HFy?-?AD?-?DF2?=?HFl?-?DF2HGE?-?GF21=2?,

又IGGl+∣G乃I=2c,所以IG6∣=α+c,∣Gg∣=c-α,

又IEKl=。+。,|%|=。一。，所以6與后(〃，0)重合，所以加的橫坐標(biāo)為。,同理可得N的橫坐標(biāo)也為

設(shè)直線AB的傾斜角為a則NMM=M3，∕%N=?∣,

IMEI-17VE∣=(c-a)tan^y^-(c-tz)ta∏y

.(πθΛθ

s?n?--sin2

L(21)2」

122；

cos^-sin2,

=(C-Q)-2-----2

θθ

sin?cos—

22

、2cos

c-a)--------

7Sine

TT

當(dāng)e=工時，IMElNEl=O,

2

當(dāng)工時，由題知，a=2.c=4.-=?/?.

2a

TT2乃

因?yàn)?8兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，；.生<6<2,且6≠j∣?,所以tan。＜-?/?或tan。＞G，

33

.??一正＜，＜叵且124

---------≠O,|M￡|-∣Λ^F∣=(4-2)?

3tan3tantanθtanθ丁

綜上所述，IMEI-1NEIe

I3F3J

224√34疔

故①E答案H為：—-?=i;

412虧‘亍,

Rf點(diǎn)石成金D關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：第一問相對簡單，代點(diǎn)求出即可；第二問難度較大，主要根據(jù)圓的切

線長定理和雙曲線的定義推出aAE心，片鳥的內(nèi)切圓與X軸同時切于雙曲線的右頂點(diǎn)E,并將

IMEITN目用直線AB的傾斜角。表示出來是解題關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

CSinbSinB

17.設(shè)-ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,已知95-----SinC=—^巴----sinA,6=4.

aa

(1)求角8的大小

(2)若c=±W5,求.ABC的面積.

3

K答案，⑴8=方

(2)4+迪

3

R解析』

"羊解II(I)利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；

(2)由正弦定理求出C,即可得到A,再由兩角和的正弦公式求出SinA,最后由面積公式計(jì)算可得.

R小問1詳析卜

EucsinC.CbsinB

解:因?yàn)?-------SinC=----------sinA,

由正弦定理可得U-C=殳-“，即4+￠2一∕72=αc,則CoSB=三上二忙=L

aa2ac2

又5∈(0,7i),所以B=1.

R小問2詳析』

4√6

解：因?yàn)閎=4,C=-------

3

4√6

√34√6

b_c43

由,得zb-----=—^―即旦,

sinBsinC.πsinCSinC=^——^2^

sin—4

3

又小吟TEππ5π

，所以C=—,則A=兀一—+—

434Ii

STT，兀兀、TrTtitTt

所以SinA=Sin—=sin—÷-=sin—cos—+cos—sin—

12146√4646

√2√3√21√6+√2

--×---1---X—=-------

≡c1/?414√6√6+√2.

所f以S.=—PcsinA=-×4yl×-----X------------=4+-------

λbκcr22343

18.已知數(shù)列｛α,,｝滿足％=1,%=3α,ι+2(〃≥2,∕eN*).

(1)求證：數(shù)列｛4+l｝是等比數(shù)列；

⑵若勿=(2〃+1)(4出一4),S,,為數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和，求S”.

K答案D(1)證明見K解析D

n

(2)Srl=4n-3,Π∈N*

K解析汽

ci÷1

K祥解》(1)根據(jù)遞推公式證明j-7為定值即可；

(2)先由(1)求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)，從而可得數(shù)列｛4｝的的通項(xiàng)，再利用錯位相減法求解即可.

K小問1詳析Il

因?yàn)閍”=3α,τ+2("≥2,”∈N*),

所以α,,+l=3(α,ι+1),

又q+1=2,

所以｛α,,+1｝是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；

R小問2詳析]

由⑴知α,+l=2?3"τ,故∕=2?3"T-1,

所以a=(2〃+1乂2?3〃一1—231+1)=§(2"+1)?3〃，

4-

r23Λ1

?5W=-[3×3÷5×3÷7×3÷÷(2H+1)?3],

貝∣J3S,,=^[3×32+5×33+??+(2∕ι-l)?3rt+(2∕2+l)?3,,+l],

4-

兩式相減得-2S“=§[r3x3+2x32+2x33++2?3n-(2n+l)?3,1+1J1

4∣^6(1-3")

=-3+??-(2n+l)3,,+l

=-8n-3n'

所以S,,=4n?3"?

19.如圖，已知四棱錐P—ABCO的底面是平行四邊形,側(cè)面以8是等邊三角形，BC=2AB,NABC=60°,

PBlAC.

(1)求證：面面ABCA

(2)設(shè)。為側(cè)棱PO上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過B,。兩點(diǎn)的截面，且AC平面BEQF,是否存在點(diǎn)。,

使得平面BEQ/J?平面心￡>?若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，說明理由.

K答案H(1)證明見K解析東

2

(2)存在點(diǎn)Q,DQ=-DP.

R解析』

K祥解Il(I)結(jié)合余弦定理，勾股定理可得ACLA5,又所以ACJ_面力8,進(jìn)而得出結(jié)論;

(2)建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求出平面出。的法向量用,設(shè)OQ=2DP,求得平面BE0產(chǎn)

的法向量〃2，由∏1?%=0得出K答案1.

K小問1詳析工

在-ABC中，因?yàn)?C=2AB,NABC=60°,

22

所以AC2=ab^+j5C-2AB?BCcos60°=3AB，AC=百AB，

所以AC^+AB?=3。2,則ZB4C=90°,即ACj.A3,

又ACLPB,PBcAB=B,P3,A8u面∕?B,

所以AC_L面以8,又ACU面ABCD,

所以面PA5_L面ABCr＞；

K小問2詳析』

假設(shè)存在點(diǎn)。，使得平面BEQF_L平面以。；

如圖，以A為原點(diǎn)，分別以Ag,AC為X，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一型，

設(shè)Aβ=2,則A(0,0,0),B(2,0,0),Γ>(-2,2√3,θ)tP(1,0,√3),

AD=(-2,2λΛ,θ),AP=(1,0,6),βD=(-4,2√3,θ),Sp=(3,-2√3,λ^),

/、n.?AD=-2xl+2√=O/r

設(shè)4=(x,,y,zJ是平面玄。的法向量，貝葉I,IRH1=√3,1,-1

nl?AP=x1+√3z1=O'

設(shè)。Q=入DP，其中0W4W1.

則BQ=BD+DQ=BD+λDP=卜2-4,2√3-2也λ,√3Λ)

連接EF,因AC-平面BEQ凡ACU平面B4C,平面PAC'平面BEQF=EF,故AC〃所,

取與EF同向的單位向量/=(0,1,0),

設(shè)〃2=(X2，V2，Z2)是平面BEQF的法向量，

則卜2?∕=)'2=0,取H=(G,(),4—3%).

v7

n2-BQ=(32-4)X2+2√3(1-λ)y2+√3Λz2=O

2

由平面BEQF±平面PAD,知4_LH,,有〃「”，=32+34—4=O，解得丸=一.

3

2

故在側(cè)棱PO上存在點(diǎn)。且當(dāng)OQ=時，使得平面BEQE，平面∕?D

20.為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，榮造良好的文化氛圍，某高中校團(tuán)委組織非畢業(yè)年級開展了“我們的元宵節(jié)'

主題知識競答活動，該活動有個人賽和團(tuán)體賽，每人只能參加其中的一項(xiàng)，根據(jù)各位學(xué)生答題情況，獲獎

學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：

個人賽

獎項(xiàng)組別團(tuán)體賽獲獎

一等獎二等獎三等獎

高一20206050

高二162910550

(1)從獲獎學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎，求抽到的學(xué)生來自高一的概率：

(2)從高一和高二獲獎?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以X表示這2人中團(tuán)體賽獲獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

(3)從獲獎學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來自高一的人數(shù)為4，來自高二的人數(shù)為〃，試判斷。(J)與

。(〃)的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

K答案R(1)I

(2)分布列見K解析》，E(X)=L

⑶DK)=Dm

R解析y

K祥解D(1)直接利用條件概率公式計(jì)算得到K答案』.

(2)X得可能取值為0,1,2,計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到［答案D.

⑶根據(jù)方差的性質(zhì)得到。⑷=(-1)2。⑺=。(辦得至UR答案決

R小問1詳析』

記”任取1名學(xué)生，該生獲得一等獎”為事件A,“任取1名學(xué)生，該生為高一學(xué)生”為事件8,

20

P(A)=色，P(AB)=衛(wèi)，故P(MA)=乎？=嚕=2.

v,350v7350v17P(A)369

350

K小問2詳析"

由己知可得，X得可能取值為0,1,2

100150?

P(X=O)=--------X---------

1502002

10050501505

P(X=I)

150200150200^12

50501

p(χ=2)=-------X---------

15020012

X的分布列為

X012

?51

P

2Ii12

1517

E(X)=OX—+1X——+2X——=——

v72121212

K小問3詳析》

D⑺=DW

理由：

ξ+η=3,故4=3p,。⑷=0(3-〃)=(-1)2O(77)=O(77)

22

已知橢圓「：二+

4=l(α>b>0),A、F分別為「的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為直徑

a-b-

的圓與「交于M點(diǎn)(第二象限)，|。Ml=.

(2)若。=2,直線〃/AM,/交「TP、Q兩點(diǎn)，直線OP,OQ的斜率分別為k2.

(i)若/過F,求妙融的值；

(ii)若/不過原點(diǎn)，求S8°的最大值.

K答案，(1)還

5

(2)(i)-1；(ii)2√5

K解析』

K祥解H(1)根據(jù)所給條件求得點(diǎn)M坐標(biāo)，帶入橢圓方程結(jié)合離心率的定義，進(jìn)行求解即可：

(2)設(shè)p,Q,坐標(biāo)分別為(χ∣,匕)，(巧，匕)，

(i)根據(jù)題意求得直線/的方程為y=平(x-4)，聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理直接求秘2=急即可；

(ii)設(shè)直線/的方程為y=￥(x-r),(∕≠0)與橢圓方程聯(lián)立得8y2+2j?y+L-20=0,利用韋

達(dá)定理得乂+必=一一~rt,必必="一z一,由S"OQ=泉WE-%|即可得解.

K小問1詳析工

由已知點(diǎn)M是以AO為直徑的圓上的點(diǎn)，

.?.NAMO=?∣,又?.?∣Q4∣=o,IW=I,.“AM[=立π

a，/AOM=-,

3

(a43}。丫卜行T*i

，整理得勺=」

I44J/=1O15

ab2

.Lb22√5

一寸丁三

K小問2詳析』

設(shè)尸(％,yj,Q{χ2,y2),

(i)由b=2,α=2石，，橢圓「的方程為：工+工=1,

204

在RtZsAOM中NOAM=三，二直線/的斜率為左=義

63

X?V

---1----

204

???直線/的方程為y=x-4),與橢圓方程聯(lián)立得＜

整理得：2χ2-10χ+5=(),，%+々=5，x1x