ch3-2-微積分基本公式

第3章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用√第1節(jié)定積分的概念，存在條件與性質(zhì)第2節(jié)微積分根本公式與根本定理第3節(jié)兩種根本積分法第4節(jié)定積分的應(yīng)用第5節(jié)反常積分第6節(jié)幾類簡單的微分方程2008年12月15日1第2節(jié)微積分根本公式與根本定理2.1微積分根本公式2.2微積分根本定理2.3不定積分√2008年12月15日22.1微積分根本公式1引例

在變速直線運(yùn)動(dòng)中,位移函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的位移為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.2008年12月15日32、微積分根本公式(Newton–Leibniz公式)(牛頓-萊布尼茲公式)證明將區(qū)間[a,b]任意分成n個(gè)子區(qū)間微積分根本公式2008年12月15日4記作注意:微積分根本公式說明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.2008年12月15日5例1計(jì)算解例2

計(jì)算正弦曲線的面積.解2008年12月15日6例3

設(shè),求.解2008年12月15日7例4

求

解由圖形可知2008年12月15日8例5解2008年12月15日92.2微積分根本定理本節(jié)討論什么樣的函數(shù)一定存在原函數(shù).為此先介紹變上限的定積分概念.變上限的定積分2微積分根本定理2008年12月15日10１變上限的定積分設(shè)f(x)∈R[a,b]，那么對任意f(x)∈R

[a,x]，即－稱為變上限的定積分注意2008年12月15日11證2微積分根本定理2008年12月15日12由積分中值定理得2008年12月15日13那么變上限積分1)假設(shè)說明2)定理2.2證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2008年12月15日14補(bǔ)充證2008年12月15日15例1.

求解:原式例2.確定常數(shù)a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得2008年12月15日16例3.

證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證2008年12月15日172.3不定積分微分法:積分法:互逆運(yùn)算1原函數(shù)與不定積分的概念2根本積分公式3不定積分的性質(zhì)2008年12月15日181原函數(shù)與不定積分的概念定義1假設(shè)在區(qū)間I(有限或無窮)上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿足那么稱F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).例2008年12月15日19問題1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.假設(shè)原函數(shù)存在,是否唯一?3.假設(shè)不唯一有多少個(gè)?它們之間有什么聯(lián)系？原函數(shù)存在定理對于第1個(gè)問題,有(后面證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù).2008年12月15日20問題

1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.假設(shè)原函數(shù)存在,是否唯一?假設(shè)不唯一有多少個(gè)?3.它們之間有什么聯(lián)系？例（為任意常數(shù)）對于第2個(gè)問題,假設(shè)原函數(shù)存在,原函數(shù)有無窮多!2008年12月15日21問題

1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.假設(shè)原函數(shù)存在,是否唯一?假設(shè)不唯一有多少個(gè)?3.它們之間有什么聯(lián)系？推論4.2由第2章第4節(jié)的f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)!2008年12月15日22積分常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量通常簡寫成(C為任意常數(shù))2008年12月15日23注意2.求不定積分的運(yùn)算與微分運(yùn)算是互逆的.由不定積分的定義，可知2008年12月15日24例1求解解例2求2008年12月15日25不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線.2008年12月15日26求f(x)的過(x0,y0)的積分曲線:定義:用于確定常數(shù)C的條件稱為初始條件,帶有初始條件的求原函數(shù)問題,稱為初值問題:2008年12月15日27例3求的初值問題解故初值問題的解為:幾何上,在所有切線斜率等于橫坐標(biāo)的兩倍的積分曲線中，通過點(diǎn)〔1，2〕的積分曲線為2008年12月15日282根本積分公式利用逆向思維2008年12月15日292008年12月15日30例4求積分解根據(jù)積分公式〔2〕2008年12月15日313不定積分的性質(zhì)假設(shè)那么2008年12月15日32例5求積分解2008年12月15日33例6

求積分解2008年12月15日34例7求積分解

原式=EX1

求積分2008年12月15日35例8求積分解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用根本積分表.2008年12月15日36內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?根本積分表(見P186)2.直接積分法:利用恒等變形,及根本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)