第1講 集合（解析版）

集合基礎(chǔ)知識(shí)1.集合及其表示方法(1)集合元素的性質(zhì):、、無(wú)序性.

(2)集合與元素的關(guān)系:①屬于,記為;②不屬于,記為.

(3)集合的表示方法:列舉法、、和區(qū)間法.

(4)常見數(shù)集及記法數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)

2.集合的基本關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言記法基本關(guān)系子集集合A的都是集合B的元素

x∈A?x∈BA?B或

真子集集合A是集合B的子集,并且B中有一個(gè)元素不屬于A

A?B,?x0∈B,x0?AA

B或B?A相等集合A,B的元素完全

A?B,B?A

空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集

?x,x??,??A?備注若A不是B的子集,則記作A?B(或B?A),讀作“A不包含于B”(或“B不包含A”)3.集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法交集屬于A屬于B的元素組成的集合

{x|x∈A,x∈B}

并集屬于A

屬于B的元素組成的集合{x|x∈A,x∈B}

補(bǔ)集全集U中屬于A的所有元素組成的集合

{x|x∈U,xA}

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)交集的運(yùn)算性質(zhì):A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩?=?∩A=?;A∩B=A?AB.

(2)并集的運(yùn)算性質(zhì):A∪B=;A∪A=A;A∪?=?∪A=A;A∪B=?B?A.

(3)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=;

?U(?UA)=;?U(A∪B)=(?UA)(?UB);?U(A∩B)=∪.

【答案】1.(1)確定性互異性(2)①∈②?(3)描述法圖示法(維恩圖)(4)NN*或N+ZQR2.任意一個(gè)元素B?A至少?相同A=B不含3.且且A∩B或或A∪B不??UA4.(1)?(2)B∪AA(3)?A∩(?UA)(?UB)常用結(jié)論(1)集合的關(guān)系①一個(gè)集合的真子集必是其子集,一個(gè)集合的子集不一定是其真子集.②任何一個(gè)集合是它本身的子集.③子集的傳遞性:A?B,B?C,則A?C(真子集也滿足).④若A?B,則有A=?和A≠?兩種可能.(2)子集個(gè)數(shù)和元素個(gè)數(shù)①集合子集的個(gè)數(shù):集合A中有n個(gè)元素,則集合A有2n個(gè)子集、2n-1個(gè)真子集、2n-1個(gè)非空子集、2n-2個(gè)非空真子集.②集合元素個(gè)數(shù):card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在實(shí)際問題中).(3)集合的運(yùn)算A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB.分類訓(xùn)練探究點(diǎn)一集合及其表示例1(1)[2020·濟(jì)南章丘四中模擬]若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},則集合B中的元素個(gè)數(shù)為 ()A.9 B.6C.4 D.3非空有限數(shù)集S滿足:若a,b∈S,則必有a2,b2,ab∈S.則滿足條件且含有兩個(gè)元素的數(shù)集S=.(寫出一個(gè)即可)

[思路點(diǎn)撥](1)通過(guò)列舉可得x,y∈A的數(shù)對(duì)(x,y)共有9對(duì),再尋找符合題意的(x,y),從而確定集合B中的元素個(gè)數(shù);(2)由題意,不妨設(shè)S={a,b},根據(jù)題意有a2,ab,b2∈S,所以a2,ab,b2中必有兩個(gè)是相等的,分類討論即可.(1)D(2){0,1}(或{-1,1})[解析](1)通過(guò)列舉,可知x,y∈A的數(shù)對(duì)(x,y)共有9對(duì),即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).∵B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},而(2,3),(3,2),(3,3)滿足x+y-4>0,∴集合B中的元素個(gè)數(shù)為3.故選D.(2)由題意,不妨設(shè)S={a,b}(a≠b),根據(jù)題意有a2,ab,b2∈S,所以a2,ab,b2中必有兩個(gè)是相等的.若a2=b2,則a=-b,故ab=-a2,又a2=a或a2=b=-a,所以a=0(舍去)或a=1或a=-1,此時(shí)S={-1,1};若a2=ab,則a=0,此時(shí)b2=b,故b=1,此時(shí)S={0,1};若b2=ab,則b=0,此時(shí)a2=a,故a=1,此時(shí)S={0,1}.綜上,S={0,1}或{-1,1}.[總結(jié)反思]解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點(diǎn):一是確定構(gòu)成集合的元素是什么;二是看這些元素的限制條件是什么;三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.特別提醒:含字母的集合問題,在求出字母的值后,需要驗(yàn)證集合的元素是否滿足互異性.變式題(1)[2020·榆林模擬]設(shè)集合A=[0,m],若1∈A且2?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

[2020·武漢一模]用列舉法表示集合:A=xx∈Z,且86-x∈N=.

(1)[1,2)(2){-2,2,4,5}[解析](1)因?yàn)榧螦=[0,m],1∈A且2?A,所以1≤m<2.(2)∵x∈Z且86-x∈N,∴1≤6-x≤8,即-2≤x≤5.當(dāng)x=-2時(shí),1∈N;當(dāng)x=-1時(shí),87?N;當(dāng)x=0時(shí),43?N;當(dāng)x=1時(shí),85?N;當(dāng)x=2時(shí),2∈N;當(dāng)x=3時(shí),83?N;當(dāng)x=4時(shí),4∈N;當(dāng)x=5時(shí),8∈N.綜上可知A={-2,探究點(diǎn)二集合的基本關(guān)系例2(1)[2020·西安模擬]若集合M=xx=π4+k·π2,k∈Z,N=xx=π2+k·π4,k∈Z,則 ()A.M=N B.M?NC.N?M D.M∩N=?(2)[2021·新高考八省聯(lián)考]已知M,N均為R的子集,且?RM?N,則M∪(?RN)=()A.? B.M C.N D.R[思路點(diǎn)撥](1)由集合M=xx=π4+k·π2,k∈Z,N=xx=π2+k·π4,k∈Z,可得對(duì)任意x∈M,都有x∈N,而在集合N中存在元素π2,使得π2?M,根據(jù)集合的真子集的定義,易得到答案;(2)根據(jù)題意,先求M的元素個(gè)數(shù),再求M的真子集個(gè)數(shù).(1)B(2)7[解析](1)若x∈M,則x=π4+k·π2=π2+(2k-1)·π4,k∈Z,所以M中的元素都是N中的元素,所以M?N.而π2∈N,π2?M,所以(2)由題得-2≤x≤2,令x=0,得y=2;令x=±1,得y=3;令x=±2,得y=0.故M中有三個(gè)元素,則M有7個(gè)真子集.[總結(jié)反思](1)一般利用數(shù)軸法、維恩圖法以及結(jié)構(gòu)法判斷兩集合的關(guān)系,如果集合中含有參數(shù),需要對(duì)式子進(jìn)行變形,有時(shí)需要進(jìn)一步對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.(2)確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù),需先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù).特別提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集,空集是非空集合的真子集.(3)根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素滿足的式子或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系.變式題(1)[2020·大連一模]設(shè)集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},若A=B,則a2021+b2021的值為 ()A.0 B.-1C.-2 D.0或-1(2)[2021·新高考八省聯(lián)考]已知M,N均為R的子集,且?RM?N,則M∪(?RN)=()A.? B.M C.N D.R

(1)B(2)B[解析](1)∵集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,∴ab=1,a2=b或ab=b,a2=1,解得a=1,b=1(舍)或a=1,b∈R((2)方法一:∵M(jìn)?R,N?R且?RM?N,∴?RN??R(?RM),即?RN?M,∴M∪(?RN)=M,故選B.方法二:由題意,作出如圖所示的Venn圖,由圖知,?RN?M,∴M∪(?RN)=M,故選B.探究點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算角度1集合的運(yùn)算例3(1)[2020·沈陽(yáng)二中模擬]已知集合M={x|y=log2(x-5)},N=yy=x+1x,x>0,則M∪N= ()A.(-∞,5) B.[2,+∞)C.[2,5) D.(5,+∞)(2)[2020·全國(guó)卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為 ()A.2 B.3 C.4 D.6(3)若全集U=R,集合A={x|y=lg(6-x)},B={x|2x>1},則圖1-1-1中陰影部分表示的集合是()圖1-1-1A.(2,3) B.(-1,0]C.[0,6) D.(-∞,0][思路點(diǎn)撥](1)先求出集合M,N,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可;(2)利用交集的定義求出A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},由此求出A∩B中元素的個(gè)數(shù);(3)求出集合A,B,從而求出?UB,題圖中陰影部分表示的集合為A∩(?UB),由此求出結(jié)果.(1)B(2)C(3)D[解析](1)∵M(jìn)={x|x>5},N={y|y≥2},∴M∪N=[2,+∞),故選B.(2)由8-x≥x,得x≤4,又x∈N*,∴A∩B中有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4個(gè)元素.(3)∵全集U=R,集合A={x|y=lg(6-x)}={x|x<6},B={x|2x>1}={x|x>0},∴?UB={x|x≤0},∴題圖中陰影部分表示的集合為A∩(?UB)={x|x≤0}.故選D.[總結(jié)反思]對(duì)于已知集合的運(yùn)算,可根據(jù)集合的交集、并集和補(bǔ)集的定義直接求解,必要時(shí)可結(jié)合數(shù)軸以及維恩圖求解.角度2利用集合運(yùn)算求參數(shù)例4(1)[2020·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a= ()A.-4 B.-2 C.2 D.4(2)[2020·開封一模]設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}.①若A∩B={2},則實(shí)數(shù)a=;

②若A∪B=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

[思路點(diǎn)撥](1)先化簡(jiǎn)集合A,B,再由交集的定義得到關(guān)于a的方程,解方程可得a的值.(2)①先由2∈B得到關(guān)于a的一元二次方程,求出a=-5或a=1,再進(jìn)行檢驗(yàn),從而得到符合題意的實(shí)數(shù)a的值;②先由題意求出集合B,再求出a的取值范圍.(1)B(2)①-5或1②(3,+∞)[解析](1)A={x|-2≤x≤2},B=xx≤-a2,∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-a2=1,∴a=-2.故選B.(2)①由題可知,A={x|x2-3x+2=0}={1,2},∵A∩B={2},∴2∈B,∴4+4(a-1)+(a2-5)=0,解得a=-5或a=1.當(dāng)a=-5時(shí),集合B={2,10},符合題意;當(dāng)a=1時(shí),集合B={2,-2},符合題意.綜上所述,a=-5或a=1.②若A∪B=A,則B?A,∵A={1,2},∴B=?或B={1}或{2}或{1,2}.若B=?,則Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=24-8a<0,解得a>3;若B={1},則Δ=24-8a=0,-2(a-1)2=1,即a=3,a=0,無(wú)解;若B={2},則Δ=24-8a=0,-2([總結(jié)反思]根據(jù)集合運(yùn)算求參數(shù),要把集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用數(shù)形結(jié)合求解.角度3集合語(yǔ)言的運(yùn)用例5(1)[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷]某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 ()A.62% B.56%C.46% D.42%(2)(多選題)當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集F滿足條件“若a,b∈F,則a+b,a-b,ab∈F,且當(dāng)b≠0時(shí),ab∈F”時(shí),稱F為一個(gè)數(shù)域.以下說(shuō)法正確的是 (A.0是任何數(shù)域的元素B.若數(shù)域F有非零元素,則2020∈FC.集合P={x|x=3k,k∈Z}為數(shù)域D.有理數(shù)集為數(shù)域[思路點(diǎn)撥](1)設(shè)只喜歡足球的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為x,只喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為y,兩個(gè)項(xiàng)目都喜歡的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為z,列方程求解即可;(2)根據(jù)數(shù)域的定義分別進(jìn)行判斷即可.(1)C(2)ABD[解析](1)設(shè)只喜歡足球的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為x,只喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為y,兩個(gè)項(xiàng)目都喜歡的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為z,則由題意得x+z=60%,x+y+z=96%,y+z=82%,解得z=46%.∴該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是46%.故選C.(2)對(duì)于A,當(dāng)a=b時(shí),a-b=0屬于數(shù)域,故A正確;對(duì)于B,若a∈F且a≠0,則1=aa∈F,2=1+1∈F,3=1+2∈F,依次類推,可得2020∈F,故B正確;對(duì)于C,易知P中的元素是3的倍數(shù),當(dāng)a=6,b=3時(shí),ab=63=2?P,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若F是有理數(shù)集,則當(dāng)a,b∈F時(shí),a+b,a-b,ab∈F,且當(dāng)b≠0時(shí),ab∈F,故D正確[總結(jié)反思]以集合語(yǔ)言為背景的新定義問題,需正確理解新定義(即分析新定義的特點(diǎn),把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚),轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學(xué)情境,并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中,這是破解新定義集合問題的關(guān)鍵所在.同步作業(yè)1.[2020·合肥模擬]已知集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={x||x-1|≤2},則A∩B= ()A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2}C.{1,2} D.{-1,0,1,3}1.B[解析]∵集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3},∴A∩B={-1,0,1,2}.故選B.2.[2020·北京海淀區(qū)二模]若全集U=R,A={x|x<1},B={x|x>-1},則 ()A.A?B B.B?AC.B??UA D.?UA?B2.D[解析]∵?UA={x|x≥1},∴?UA?B,故選D.3.[2020·北京東城區(qū)一模]已知集合A={x∈R|x2-2x=0},則滿足A∪B={0,1,2}的集合B的個(gè)數(shù)是 ()A.2 B.3 C.4 D.53.C[解析]∵集合A={x∈R|x2-2x=0}={0,2},∴滿足A∪B={0,1,2}的集合B有{1},{0,1},{1,2},{0,1,2},共4個(gè),故選C.4.[2020·景德鎮(zhèn)模擬]已知集合A=x∈N1x-2>0,則集合?NA的子集的個(gè)數(shù)為 ()A.3 B.4 C.7 D.84.D[解析]∵集合A=x∈N1x-2>0={x∈N|x>2},∴?NA={0,1,2},則集合?NA的子集的個(gè)數(shù)為23=8.故選D.5.[2020·成都三診]已知集合A={0,x},B={0,2,4},若A?B,則實(shí)數(shù)x的值為 ()A.0或2 B.0或4C.2或4 D.0或2或45.C[解析]因?yàn)锳={0,x},B={0,2,4},A?B,所以x=2或4.故選C.6.[2020·遼陽(yáng)期末]若集合A={x|x>2},B={x|x≤m+1},A∪B=R,則m的取值范圍為6.[3,+∞)[解析]∵A∪B=R,∴m+1≥2,解得m≥3,∴m的取值范圍為[3,+∞)7.[2020·河北衡水中學(xué)一調(diào)]已知全集U=R,集合A={y|y=x2+2,x∈R},集合B={x|y=lg(x-1)},則圖K1-1中陰影部分所表示的集合為 ()圖K1-1A.[1,2] B.(1,2) C.(1,2] D.[1,2)7.B[解析]∵集合A={y|y=x2+2,x∈R}=[2,+∞),集合B={x|y=lg(x-1)}=(1,+∞),∴圖中陰影部分所表示的集合為(?UA)∩B=(1,2),故選B.8.[2020·隴南模擬]若集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,則m= ()A.0 B.1 C.±1 D.0或18.A[解析]∵集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,∴m2=m,m+1=1,解得9.[2020·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)月考]設(shè)集合A=(x,y)y=13x,B={(x,y)|y=-x2+3},則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.39.C[解析]在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=13x和函數(shù)y=-x2+3的圖像,如圖所示.∵兩函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn),∴A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2.故選C.10.[2020·南昌二模]設(shè)集合A={x||x-a|=1},B={-1,0,b}(b>0),若A∩B=A,則實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)有 ()A.1對(duì) B.2對(duì)C.3對(duì) D.4對(duì)10.B[解析]由題意知A={x||x-a|=1}={a-1,a+1}?{-1,0,b}(b>0),若a≤0,則a-1=-1,即a=0,所以b=1;若a>0,則a-1=0且a+1=b,所以a=1,b=2.故a=0,b=1或a=1,b=2,所以實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)有11.學(xué)校舉辦秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí),高一(2)班共有24名同學(xué)參加比賽,有12人參加游泳比賽,有9人參加田賽,有13人參加徑賽,同時(shí)參加游泳比賽和田賽的有3人,同時(shí)參加游泳比賽和徑賽的有3人,沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽,則同時(shí)參加田賽和徑賽的有 ()A.4人 B.6人C.8人 D.9人11.A[解析]設(shè)同時(shí)參加田賽和徑賽的有x人,只參加田賽的有y人,只參加徑賽的有z人,由題意畫出維恩圖,如圖所示:根據(jù)題意可知12+解得x所以同時(shí)參加田賽和徑賽的有4人.12.(多選題)已知集合A={x|ax≤2},B={2,2},若B?A,則實(shí)數(shù)a的值可能是 ()A.-1 B.1C.-2 D.212.ABC[解析]因?yàn)锽?A,所以2∈A,2∈A,所以2a≤2,2a故選ABC.13.(多選題)[2020·膠州期末]設(shè)集合A={y|y=x-2,x∈R},集合B={x|x2+x-2<0,x∈R},則 ()A.A∩B=(0,1)B.A∪B=(-2,+∞)C.A∩(?RB)=(0,+∞)D.A∪(?RB)=R13.AB[解析]∵A={y|y>0},B={x|-2<x<1},∴A∩B=(0,1),A∪B=(-2,+∞),?RB={x|x≤-2或x≥1},A∩(?RB)=[1,+∞),A∪(?RB)={x|x≤-2或x>0}≠R.故選AB.14.設(shè)集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},若a∈M,b∈P,c∈Q,則a+b-c∈.(填“M”“P”或“Q”)

14.Q[解析]設(shè)a=3k1,k1∈Z,b=3k2+1,k2∈Z,c=3k3-1,k3∈Z,則a+b-c=3k1+3k2+1-3k3+1=3(k1+k2-k3)+2=3(k1+k2-k3+1)-1,k1,k2,k3∈Z,又k1+k2-k3+1∈Z,∴a+b-c∈Q.15.(多選題)已知集合