壓軸小題03 奇思妙解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題（原卷版）

壓軸小題03奇思妙解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題壓軸壓軸秘籍八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式（為常數(shù)）；例：，，，，，，，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和的導(dǎo)數(shù)：差的導(dǎo)數(shù)：積的導(dǎo)數(shù)：（前導(dǎo)后不導(dǎo)前不導(dǎo)后導(dǎo)）商的導(dǎo)數(shù)：，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)中，設(shè)（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處切線的斜率直線的點(diǎn)斜式方程直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線過點(diǎn)，斜率為，則直線的點(diǎn)斜式方程為：用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).判別是極大（?。┲档姆椒ó?dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.能成立（有解）問題常見類型假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，（1）若的值域?yàn)棰?，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域?yàn)棰伲瑒t只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比），則只需要②，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比），則只需要能成立（有解）問題的解決策略=1\*GB3①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；=4\*GB3④換元分離，簡(jiǎn)化運(yùn)算；在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．利用曲線的切線進(jìn)行放縮證明不等式設(shè)上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則過該點(diǎn)的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．特別地，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有．設(shè)上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則過該點(diǎn)的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．特別地，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有．利用切線進(jìn)行放縮，能實(shí)現(xiàn)以直代曲，化超越函數(shù)為一次函數(shù)．利用曲線的相切曲線進(jìn)行放縮證明不等式由圖可得；由圖可得；由圖可得，（），（）；由圖可得，（），（）．綜合上述兩種生成，我們可得到下列與、有關(guān)的常用不等式：與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）．與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相應(yīng)的可得到與有關(guān)的常用不等式．壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最大值為（

）A． B．0 C．1 D．32．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式對(duì)于任意恒成立，則整數(shù)k的最大值為（

）A．-2 B．-1 C．0 D．14．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，對(duì)于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－25．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．6．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)與，若這兩個(gè)函數(shù)值相等時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量分別為，則的最小值為（

）A．-1 B． C． D．7．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為和的定義域均為為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則下列不等式一定成立的是（

）．A． B．C． D．8．（2022秋·江蘇徐州·高三期末）設(shè)，若函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知偶函數(shù)滿足且，當(dāng)時(shí),，關(guān)于的不等式在上有且只有200個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．10．（2023秋·江蘇泰州·高三泰州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．11．（2023·江蘇常州·校考一模）已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則的最小值是（

）A． B． C． D．12．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學(xué)校考階段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．13．（2023秋·江蘇泰州·高三泰州中學(xué)校考開學(xué)考試）若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，且，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．14．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┰谛畔r(shí)代，信號(hào)處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).函數(shù)的圖象可以近似的模擬某種信號(hào)的波形，則下列判斷中不正確的是（

）A．函數(shù)為周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為4.16．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列不等式正確的是（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，）（

）A． B． C． D．17．（2023·江蘇南京·南京市第五高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)的最小值是(

)A． B． C． D．18．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）兩條曲線與存在兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．19．（2023秋·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）若存在實(shí)數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足：恒成立，則稱直線為和的一條“劃分直線”．列命題正確的是（

）A．函數(shù)和之間沒有“劃分直線”B．是函和之間存在的唯一的一條“劃分直線”C．是函數(shù)和之間的一條“劃分直線”D．函數(shù)和之間存在“劃分直線”，且的取值范圍為20．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．二、多選題21．（2023·江蘇南京·校考一模）定義在上的函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（

）A．在處取得極大值，極大值為B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．若在上恒成立，則D．22．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若與圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為，且這些公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，…，，則下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則23．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．在單調(diào)遞增B．在僅有1個(gè)零點(diǎn)C．在有1個(gè)極大值D．當(dāng)時(shí)，24．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)是定義在上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的，均滿足：，，記，則（

）A． B．C． D．25．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．C． D．26．（2023春·江蘇南通·高三校考開學(xué)考試）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．27．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則（

）A． B．C．的最大值為0 D．當(dāng)時(shí)，28．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍為B．若滿足，則C．若過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則D．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則29．（2023·江蘇·江蘇省邗江中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，且方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)的取值可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．330．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，則（

）A．函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)B．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為D．若，則的最大值為31．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，若與圖像的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為，且這些公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則32．（2023秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B．若的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)C．當(dāng)時(shí)，不存在極值D．當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且33．（2023秋·江蘇無錫·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A． B． C． D．34．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）函數(shù)，關(guān)于x的方程，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為C．當(dāng)時(shí)，則方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．若方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是35．（2023秋·江蘇常州·高三常州高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，其中，則（

）A．不等式對(duì)恒成立B．若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為C．方程共有4個(gè)實(shí)根D．若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)正整數(shù)解，則的取值范圍為36．（2023秋·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．在上有極小值 B．的最小值為C．在上單調(diào)遞增 D．的最小值為37．（2023秋·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則以下判斷正確的是（

）A．函數(shù)的零點(diǎn)是B．不等式的解集是．C．設(shè)，則在上不是單調(diào)函數(shù)D．對(duì)任意的，都有．38．（2023秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，則（