壓軸小題10 迎刃而解平面解析幾何綜合問題（原卷版）

壓軸小題10迎刃而解平面解析幾何綜合問題壓軸壓軸秘籍點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)，直線，點(diǎn)到直線的距離為：兩條平行線間的距離公式，，直線與圓的位置關(guān)系直線，圓代數(shù)關(guān)系，幾何關(guān)系圓上一點(diǎn)的切線方程圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為，設(shè)圓的半徑為，兩圓的圓心距為若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內(nèi)切若，兩圓相交，若，兩圓內(nèi)含，若，同心圓兩圓外離，公切線的條數(shù)為4條；兩圓外切，公切線的條數(shù)為3條；兩圓相交，公切線的條數(shù)為2條；兩圓內(nèi)切，公切線的條數(shù)為1條；兩圓內(nèi)含，公切線的條數(shù)為0條；弦長公式，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，有：則或：橢圓離心率，雙曲線離心率，橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式（橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形叫做焦點(diǎn)三角形）雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式：拋物線（焦點(diǎn)在x軸上）焦點(diǎn)弦相關(guān)結(jié)論，直線A,B過拋物線（焦點(diǎn)在x軸上）焦點(diǎn)與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，有6.橢圓離心率求解的5種常用方法公式1:公式2:變形證明:公式3:已知棚圓方程為,兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,,則橢圓的離心率證明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以橢圓兩焦點(diǎn)及橢圓上任一點(diǎn)(除長軸兩端點(diǎn)外)為頂點(diǎn),則證明:由正弦定理有.公式5:點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),過的弦與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),注:或者而不是或7.雙曲線離心率求解的5種常用方法公式1:公式證明:公式3:已知雙曲線方程為兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,則證明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)及雙曲線上任意一點(diǎn)除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外)為頂點(diǎn)的,則離心率證明:由正弦定理,有即又公式5:點(diǎn)是雙曲線焦點(diǎn),過弦與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為為直線斜率,,則,當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),注:或者而不是或8.橢圓中的阿基米德三角形設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦為AB,過A，B兩點(diǎn)做橢圓切線，交于Q點(diǎn)，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦AB繞著定點(diǎn)Pm,0轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),則其所對(duì)頂點(diǎn)Q落在直線x=a2m上.

其中,當(dāng)P點(diǎn)為左(右)焦點(diǎn)時(shí)9.雙曲線中的阿基米德三角形設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1a,b>0的弦為AB,過A，B兩點(diǎn)做雙曲線切線，交于Q點(diǎn)，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦AB繞者定點(diǎn)Pm,0轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),則其所對(duì)頂點(diǎn)Q落在直線x=a2m上.

其中,當(dāng)P點(diǎn)為左(右)焦點(diǎn)時(shí)10.拋物線中的阿基米德三角形拋物線的弦為AB,過A，B阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)(若直線l方程為:ax+by+c=底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為a3若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn),頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線,且阿基米德三角形的面積最小值為p在阿基米德三角形中,∠AF?拋物線上任取一點(diǎn)I(不與A,B重合),過I作拋物線切線交QA,QB于S,T,連接AI,BI,則△壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若與的焦距的比值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線l1：與l2：相交于點(diǎn)M，線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的最小值為（

）．A． B．C． D．15．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓）的焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的內(nèi)切圓的半徑滿足，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（

）A． B． C． D．6．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇南京·南京市第五高級(jí)中學(xué)?？级＃┮阎謩e是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇南通·二模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．9．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線E上一點(diǎn)，，的平分線與x軸交于點(diǎn)Q，，則雙曲線E的離心率為（

）A． B．2 C． D．10．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┮阎?、是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，，交橢圓于，.若過橢圓的焦點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．11．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）人教版必修第一冊(cè)第92頁上“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)”，經(jīng)探究它的圖象實(shí)際上是雙曲線.現(xiàn)將函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于軸上的雙曲線，則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．二、多選題12．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）圓柱高為1，下底面圓的直徑長為2，是圓柱的一條母線，點(diǎn)分別在上、下底面內(nèi)（包含邊界），下列說法正確的有（

）．A．若，則點(diǎn)的軌跡為圓B．若直線與直線成，則的軌跡是拋物線的一部分C．存在唯一的一組點(diǎn)，使得D．的取值范圍是13．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若點(diǎn)P是棱長為2的正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)P在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時(shí)，線段長度的最大值為4C．當(dāng)直線AP與平面所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長度為D．直線DM被正方體的外接球所截得的線段的長度為14．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）過圓：內(nèi)一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，，得到四邊形，則（

）A．的最小值為4B．當(dāng)時(shí)，C．四邊形面積的最大值為16D．為定值15．（2023春·江蘇南通·高三校考開學(xué)考試）已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，其中點(diǎn)在線段上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．存在使得 D．存在使得16．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_學(xué)考試）已知經(jīng)過點(diǎn)的圓C的圓心坐標(biāo)為(t為整數(shù))，且與直線l：相切，直線m：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．若，則實(shí)數(shù)a的值為C．若，則直線m的方程為或D．弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為17．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線，拋物線，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的公切線，則以下說法正確的有（

）．A．直線是曲線和的公切線；B．曲線和的公切線有且僅有一條；C．最小值為；D．當(dāng)軸時(shí)，最小值為．18．（2023秋·江蘇南京·高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則（

）A．若直線的斜率為，則B．使得為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有四個(gè)C．點(diǎn)到兩條漸近線的距離乘積為D．已知點(diǎn)，則的最小值為519．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是直線l：x＋y＋2＝0上一點(diǎn)(除去與x軸的交點(diǎn))，過P作拋物線C：x2＝2y的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線PA，PB與x軸分別交于點(diǎn)M，N，則（

）A．直線AB過定點(diǎn)(－1，2) B．MN的最小值為C．∠MPN為銳角 D．最小值為－120．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，作MN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，且，則B．若，則直線l的傾斜角為C．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，則的最小值為D．若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相切21．（2023·江蘇徐州·江蘇省沛縣中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓.過點(diǎn)作斜率分別為和的兩條直線，，其中與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，且，則（

）A．的離心率為 B．C． D．四點(diǎn)共圓22．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．的取值范圍是C．面積的最大值為D．的取值范圍是23．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓，，為橢圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．直線的斜率乘積為定值C．若軸上存在點(diǎn)，使得，則的坐標(biāo)為或D．直線過定點(diǎn)24．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，且M為的中點(diǎn)．（

）A．當(dāng)時(shí)，的斜率為2 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，符合條件的直線l有兩條 D．當(dāng)時(shí)，符合條件的直線l有四條25．（2023·江蘇鹽城·校考三模）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓.分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的方程為，為橢圓的蒙日?qǐng)A上一動(dòng)點(diǎn)，分別與橢圓相切于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為B．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為C．一矩形四條邊與橢圓相切，則此矩形面積最大值為D．的面積的最小值為，最大值為26．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線C的右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于M，N，則（

）A．的最小值為8B．若直線l經(jīng)過，且與雙曲線C交于另一點(diǎn)Q，則的最小值為6C．為定值D．若直線l與雙曲線C相切，則點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)之積為27．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）橢圓曲線是代數(shù)幾何中一類重要的研究對(duì)象.關(guān)于橢圓曲線：，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．曲線關(guān)于直線對(duì)稱C．當(dāng)時(shí)，曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為D．若曲線上存在位于y軸左側(cè)的點(diǎn)，則28．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，直線與相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）A．若，則B．若，則直線的斜率為C．不可能是正三角形D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離的最小值為29．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)是上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且與相切的直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，，為垂足，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的方程為B．設(shè)，則的最小值為4C．D．30．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A（），則下列說法正確的是（

）A．存在圓經(jīng)過原點(diǎn)B．存在圓，其所有點(diǎn)均在第一象限C．存在定直線，被圓截得的弦長為定值D．所有動(dòng)圓僅存在唯一一條公切線三、填空題31．（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓T：的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與橢圓交于點(diǎn)A，B，M為AB的中點(diǎn)，使得是、的等比中項(xiàng)，則a的最小整數(shù)值為32．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，則弦的長為.33．（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B，若，則橢圓C的離心率為．34．（2023·江蘇徐州·江蘇省沛縣中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與雙曲線C：交于點(diǎn)，.為C上一點(diǎn)，且，，則△PAB的面積最大值為.35．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)A作圓的兩條切線分別交拋物線于B，C兩點(diǎn)，則直線BC的方程為．36．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于點(diǎn)，，若的面積最大值為，則的最大值為.37．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過動(dòng)點(diǎn)P的兩條直線，均與C相切，設(shè)，的斜率分別為，，若，則的最小值為